第18卷 计数原理 2026年湖南省对口招生考试《数学45分钟训练卷》

编写说明：2026年湖南省对口招生考试《数学45分钟训练卷》，依据湖南省对口招生数学考试大纲，聚焦对口招生考试复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是对口招生考试复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是湖南省对口招生考试《数学45分钟训练卷》的第18卷，是专题训练卷。 湖南省对口招生考试《数学45分钟训练卷》 第18卷 计数原理 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．从1， 3， 5， 6中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（    ） A． B． C． D． 2．在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（    ） A． B． C． D． 3．两个班各有两名宣讲员，现从四名宣讲员中任选两人参加环保宣讲活动，则这两名宣讲员来自同一个班的概率是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（   ） A．1023 B．1024 C．512 D．513 5．6名同学排成一排，其中小红、小芳两人必须相邻的不同排法种数为（   ） A．720 B．360 C．240 D．120 6．在二项式的展开式中，常数项等于（    ） A． B．42 C．14 D． 7．某中职学校学生会主席团共有5名成员，其中3名女生、2名男生，现从中任选两名去参加活动，是1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 8．已知的展开式的第5项为，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．现有1元，5元，10元，50元的纸币各1张，可以组成 种不同的币值. 10．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有 种．（填数字） 11．的展开式的二项式系数的和是 （用数字作答）． 12．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．已知，且.求： (1)n的值； (2)的值. 14．的二项展开式中，求： (1)第4项； (2)含的项； (3)常数项. 15．从这6个数中随机抽取2个不同的数字，求： (1)这两个数字都是奇数的概率； (2)这两个数字之和是奇数的概率. 16．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年湖南省对口招生考试《数学45分钟训练卷》，依据湖南省对口招生数学考试大纲，聚焦对口招生考试复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是对口招生考试复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是湖南省对口招生考试《数学45分钟训练卷》的第18卷，是专题训练卷。 湖南省对口招生考试《数学45分钟训练卷》 第18卷 计数原理 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．从1， 3， 5， 6中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由组合数和古典概型即可得解. 【详解】从1， 3， 5， 6中任取两个数，共有种， 满足两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的有 ，共4种， 所以其概率为. 故选：A. 2．在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先对两个元素进行全排列，再运用捆绑法考虑和余下的元素，最后运用乘法计数原理计算即可得出结果. 【详解】已知必须在两端，所以先排列，共有种排法， 且必须相邻，所以排列，共有种排法， 最后将当成一个元素，和余下的两个元素一起排列，共有种排法， 综上所述，排法种数共有， 故选：B. 3．两个班各有两名宣讲员，现从四名宣讲员中任选两人参加环保宣讲活动，则这两名宣讲员来自同一个班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据组合及古典概型求概率方法求解. 【详解】从四名宣讲员中任选两人有种选法， 这两名宣讲员来自同一个班有两种选法, 所以这两名宣讲员来自同一个班的概率是. 故选:A. 4．若，则的值为（   ） A．1023 B．1024 C．512 D．513 【答案】A 【分析】根据二项式展开式，分别令，两式相减即可得解. 【详解】由题意，令得，① 令得，② 得. 故选：A. 5．6名同学排成一排，其中小红、小芳两人必须相邻的不同排法种数为（   ） A．720 B．360 C．240 D．120 【答案】C 【分析】将小红、小芳捆绑成整体，再与其他同学排列. 【详解】将小红、小芳两名同学看作一个整体，那么他们之间的排列方式有， 然后将这个整体与其他4名同学一起进行排列，即， 根据分步计数原理，总的排列方式为. 故选：C. 6．在二项式的展开式中，常数项等于（    ） A． B．42 C．14 D． 【答案】C 【分析】先写出二项式的通项公式，再求常数项的系数. 【详解】二项式的通项公式为 . 当时，即，此时. 故选：C. 7．某中职学校学生会主席团共有5名成员，其中3名女生、2名男生，现从中任选两名去参加活动，是1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概率的计算公式，结合组合数公式求解即可. 【详解】由题意得，从五名成员中选两名参加活动共有种选法， 1男1女的选法有种，则1男1女的概率是. 故选：A. 8．已知的展开式的第5项为，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【分析】先根据二项式的通项公式写出的第项，再根据系数之间的关系求得实数的值. 【详解】根据二项式的通项公式可得， 的展开式的第5项为， 又的展开式的第项为， 所以，即 解得或. 故选：C． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 9．现有1元，5元，10元，50元的纸币各1张，可以组成 种不同的币值. 【答案】15 【分析】分别计算取1张纸币、2张纸币、3张纸币和4张纸币的情况，即可求解. 【详解】4张纸币只取1张时，有（种），币值为1，5，10，50四种. 4张纸币取2张时﹐有（种），币值为6，11，15，51，55，60六种. 4张纸币取3张时，有（种），币值为16，56，61，65四种.4 张纸币取4张时，有（种），币值为66一种. 根据分类计数原理，可以组成（种）不同的币值. 故答案为：15. 10．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有 种．（填数字） 【答案】36 【分析】利用排列数公式表示司机、售票员的安排方法，由分步计数原理得出结果. 【详解】司机、售票员各有种安排方法，由分步计数原理知，共有（种）不同的安排方法． 故答案为：36. 11．的展开式的二项式系数的和是 （用数字作答）． 【答案】 【分析】根据二项式系数的和的公式求值即可. 【详解】由于中，， 所以二项式系数的和为. 故答案为：. 12．从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有 种. 【答案】 【分析】根据组合数公式进行计算即可解得. 【详解】根据题意，没有女生入选有种选法， 从名学生中任意选人有种选法； 故至少有位女生入选，则不同的选法共有种； 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．已知，且.求： (1)n的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式即可求解. （2）由各项系数之和的性质即可求解. 【详解】（1）的展开式的通项是. 因为，令，则，解得. （2）由（1）得，， 令，则. 令，则. 则. 14．的二项展开式中，求： (1)第4项； (2)含的项； (3)常数项. 【答案】(1) (2) (3)84. 【分析】写出二项展开式的通项公式，运算即可求解. 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 第4项是； （2）令，解得，所以含的项为 （3）令，解得，所以展开式的常数项为. 15．从这6个数中随机抽取2个不同的数字，求： (1)这两个数字都是奇数的概率； (2)这两个数字之和是奇数的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先运用组合数计算出基本事件的总数，再求出取出两个数都是奇数的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. （2）首先运用组合数计算出基本事件的总数，再求出取出两个数之和是奇数的基本事件的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】（1）从这6个数中随机抽取2个不同的数字， 共有个基本事件， 其中两个数字都是奇数有个基本事件， 所以这两个数字都是奇数的概率为. （2）从这6个数中随机抽取2个不同的数字， 共有个基本事件， 其中两个数字之和是奇数有个基本事件， 所以这两个数字之和是奇数的概率为. 16．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）2名医生必须参加，选派的4人只有2人从护士中挑选，再由组合数计算即可. （2）2名医生都不参加，需从护士中挑选4人，再由组合数计算即可. （3）2名医生至少有1人参加，分两类情况考虑，分别由组合数计算即可. 【详解】（1）2名医生必须参加， 因此选派的4人只有2人从护士中挑选，有种选法． 因此，不同的选派方法共有（种）. （2）2名医生都不参加， 就需要从护士中挑选4人，有种选法 因此，不同的选派方法共有（种）. （3）2名医生至少有1人参加，可分两类情况考虑： 第一类：2名医生中只有1人参加， 此时，不同的选派方法共有（种） 第二类：2名医生都参加， 此时，不同的选派方法共有（种）， 综上，不同的选派方法共有（种）． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $