第8章 实数单元复习（寒假衔接讲义）（5大知识点预习+9 大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

第8章 实数 知识点1：平方根与算术平方根 1.平方根：若（），则叫做的平方根，记作；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2.算术平方根：正数的正平方根叫做算术平方根，记作；具有双重非负性（且），算术平方根等于本身的数是0和1。 知识点2：立方根 1.定义：若，则叫做的立方根，记作；任何实数都有且只有一个立方根。 2.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；（立方根的符号与被开方数一致）。 知识点3：无理数与实数 1.无理数：无限不循环小数，常见类型包括开方开不尽的数（如）、特殊常数（如）、特定结构的数（如）。 2.实数：有理数（有限小数、无限循环小数）和无理数的统称；实数与数轴上的点一一对应，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之亦然。 知识点4：实数的性质与运算 1.核心性质：实数的相反数、绝对值定义与有理数相同；非负性形式有、、（），若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 2.运算规则：有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律等）在实数范围内仍适用；运算顺序为“先乘方开方，再乘除，最后加减”，有括号先算括号内的。 知识点5：实数的大小比较与估算 1.比较方法：数轴法（右边的数大于左边的数）、平方法（正数比较，平方大的数大）、估算法（确定无理数的整数范围）、作差法（则）。 2.无理数估算：先确定无理数介于两个连续整数之间，再分离整数部分与小数部分（小数部分=无理数-整数部分）。 【基础必考题型】 【题型1】平方根与算术平方根的辨析与计算 1.核心知识点 平方根与算术平方根的定义、双重非负性。 开方运算的基本规则。 2.解题方法技巧 辨析关键：明确算术平方根是非负的，平方根是互为相反数的两个数（0除外）。 计算步骤：先判断被开方数是否非负，再根据定义计算，注意（）。 【例题1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 【变式题1-1】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）的平方根是 ；的平方根是 ． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则 ． 【题型2】立方根的计算与性质应用 1.核心知识点 立方根的定义与性质（符号一致性、）。 开立方运算规则。 2.解题方法技巧 符号判断：先确定被开方数的符号，再计算立方根的符号。 特殊运算：利用简化计算，负数开立方直接保留负号。 【例题2】.（24-25八年级上·江苏苏州·期末）8的立方根是 ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）“的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2025七年级上·山东·专题练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 【题型3】实数与数轴的简单对应 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应关系。 数轴上两点间距离的计算（右边点表示的数-左边点表示的数）。 2.解题方法技巧 定位关键：根据无理数的估算结果，在数轴上找到对应的区间。 距离计算：直接用数轴上两点表示的数作差（大减小）。 【例题3】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型4】实数的基本运算 1.核心知识点 实数的加减乘除、开方运算。 绝对值的化简（正数的绝对值是本身，负数的是相反数）。 2.解题方法技巧 运算顺序：先处理开方和绝对值，再进行乘除，最后加减。 符号统一：先确定每个部分的符号，再逐步运算，避免符号错误。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【培优高频题型】 【题型5】非负性的综合应用（代数式求值） 1.核心知识点 实数的非负性（、、）。 非负数和为0的性质（各非负数均为0）。 2.解题方法技巧 构造方程：根据“几个非负数和为0”列出方程组，求解未知数。 代入计算：将求得的未知数的值代入代数式，计算最终结果。 【例题5】.（25-26八年级上·江苏·期末）若实数，满足，则 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江西抚州·期中）若，则 ． 【变式题5-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广东东莞·期末）a与b均为实数，且与互为相反数，则 ； ． 【题型6】实际情境中的方根应用（几何/物理） 1.核心知识点 平方根（几何中边长、面积关系）、立方根（体积相关）的实际意义。 跨学科常识（如物理动能公式、几何图形面积/体积公式）。 2.解题方法技巧 情境转化：将实际问题转化为“已知面积求边长”“已知体积求棱长”等数学模型。 结果验证：结合实际情境取舍结果（边长、棱长为正数）。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·课后作业）用一个边长为2的正方形和五个边长为1的正方形可以拼成一个大正方形吗？如果能拼成，请画出所拼大正方形的示意图，并直接写出大正方形的边长． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东肇庆·月考）在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）经过反复实验得到一个物体从高处自由下落时，下落的距离（单位：米）和下落的时间可以用公式来估计． (1)一个物体从80米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了3秒，问物体下落前离地面的距离是多少米？ 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 【题型7】实数的大小比较（多种方法综合） 1.核心知识点 实数大小比较的常用方法（数轴法、平方法、估算法、作差法）。 无理数与有理数的大小比较技巧。 2.解题方法技巧 方法选择：无理数与有理数比较用估算法，两个无理数比较优先用平方法。 步骤简化：作差法先计算差值，再判断差值与0的大小关系。 【例题7】.（24-25七年级下·全国·课后作业）将数－2，，，在数轴上表示出来，并将原数用“＜”连接起来． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与4． (2)与3． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）（1）过A，B两点画一条数轴，使A，B两点所表示的数互为相反数． （2）在你所画的数轴上表示下列各数：，2，，，并用“<”连接起来． ______<______<______<______． 【压轴素养题型】 【题型8】无理数的估算与整数/小数部分分离 1.核心知识点 无理数的估算方法（夹逼法：找到相邻的两个完全平方数/立方数）。 整数部分与小数部分的分离规则（小数部分=无理数-整数部分）。 2.解题方法技巧 夹逼估算：如估算，先确定，则整数部分为3。 小数部分计算：直接用无理数减去其整数部分，结果必为正数且小于1。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知的立方根是2，的算术平方根是，的整数部分为． (1)求的值． (2)求的立方根． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分．求的立方根． 【题型9】新定义与阅读材料题 1.核心知识点 平方根、立方根的定义与估算。 阅读提炼信息的能力（新定义的规则、材料中的解题方法）。 2.解题方法技巧 精读材料：提取新定义的本质（如“根整数”是不大于√a的最大整数）。 迁移应用：将材料中的方法（如“调日法”求近似值）应用到新问题中。 【例题9】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·福建福州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． (1)已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ (2)在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·湖北荆门·期末）人教版七年级下册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． (2)【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫加乘运算．”然后他写出了一些按照加乘运算的运算法则进行运算的算式： ；；；；；． 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的加乘运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳加乘运算的运算法则：两数进行加乘运算时，______．特别地，0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，______． (2)计算：______括号的作用与它在有理数运算中的作用一致 (3)我们知道加法有结合律，这种运算律在有理数的加乘运算中还适用吗？请你判断它在加乘运算中是否适用，并说明理由． 易错点 1.混淆平方根与算术平方根：如误将的平方根认为是±4（实际，4的平方根是±2）。 2.忽略被开方数的非负性：如求解时，未考虑；非负数和为0时，漏解某个非负数为0的条件。 3.无理数估算错误：如将的整数部分误判为3（实际，整数部分为2）。 4.立方根符号错误：如误将计算为2（实际应为-2），忽略立方根的符号与被开方数一致。 重点 1.平方根、算术平方根、立方根的定义与计算：熟练掌握开方运算，区分三者的符号与取值范围。 2.实数的非负性应用：能利用“非负数和为0”求解未知数，化简代数式。 3.无理数的识别与估算：准确区分有理数与无理数，能估算无理数的整数部分。 4.实数的运算与大小比较：掌握实数混合运算规则，灵活运用多种方法比较大小。 难点 1.非负性的综合应用：多个非负形式（绝对值、平方、算术平方根）结合时，准确列方程求解。 2.实数与数轴的综合化简：结合数轴判断实数的正负、大小，化简含绝对值和平方根的表达式。 3.无理数的规律探究与新定义题：从特例中提炼规律，理解新定义的本质并迁移应用。 4.跨学科与实际情境应用：将几何、物理等实际问题转化为实数的方根问题，合理取舍结果。 【对应练习题】 一、单选题 1．实数的相反数是（    ） A． B．4 C． D．2 2．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 4．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 5．在，，，这四个数中，无理数是（   ） A．0．3 B． C． D． 二、填空题 6．化简： ． 7．一个正数a的两个平方根是和，则a的值为 ． 8．若为整数，且，则整数的值为 ． 9．大于且小于的整数有 个． 10．（1）已知，则， ． （2）已知，，则 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 12．解方程： (1) ； (2)． 13．比较大小： (1)与； (2)与． 14．（1）计算： （2） 已知，求x的值． （3）已知：求x的值． 15．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 实数 知识点1：平方根与算术平方根 1.平方根：若（），则叫做的平方根，记作；正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2.算术平方根：正数的正平方根叫做算术平方根，记作；具有双重非负性（且），算术平方根等于本身的数是0和1。 知识点2：立方根 1.定义：若，则叫做的立方根，记作；任何实数都有且只有一个立方根。 2.性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；（立方根的符号与被开方数一致）。 知识点3：无理数与实数 1.无理数：无限不循环小数，常见类型包括开方开不尽的数（如）、特殊常数（如）、特定结构的数（如）。 2.实数：有理数（有限小数、无限循环小数）和无理数的统称；实数与数轴上的点一一对应，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之亦然。 知识点4：实数的性质与运算 1.核心性质：实数的相反数、绝对值定义与有理数相同；非负性形式有、、（），若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 2.运算规则：有理数的运算法则、运算律（加法交换律、结合律等）在实数范围内仍适用；运算顺序为“先乘方开方，再乘除，最后加减”，有括号先算括号内的。 知识点5：实数的大小比较与估算 1.比较方法：数轴法（右边的数大于左边的数）、平方法（正数比较，平方大的数大）、估算法（确定无理数的整数范围）、作差法（则）。 2.无理数估算：先确定无理数介于两个连续整数之间，再分离整数部分与小数部分（小数部分=无理数-整数部分）。 【基础必考题型】 【题型1】平方根与算术平方根的辨析与计算 1.核心知识点 平方根与算术平方根的定义、双重非负性。 开方运算的基本规则。 2.解题方法技巧 辨析关键：明确算术平方根是非负的，平方根是互为相反数的两个数（0除外）。 计算步骤：先判断被开方数是否非负，再根据定义计算，注意（）。 【例题1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期中）下列说法正确的是（   ） A．9的平方根是3 B．是的平方根 C．是的平方根 D．3是9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．平方根包括正负两个值（正数），算术平方根为非负值；负数没有平方根． 根据平方根和算术平方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．9的平方根是，原说法错误； B．是的其中一个平方根，原说法错误； C．负数没有平方根，原说法错误； D．3是9的算术平方根，原说法正确； 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根．根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【变式题1-2】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）的平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：的平方根是；的平方根是； 故答案为：， 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若m是的平方根，是n的一个平方根，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平方根的定义等知识点，掌握相关概念是解题的关键． 先计算的值，再根据平方根的定义和条件确定的值；由是的一个平方根求的值；最后计算． 【详解】解：∵， ∴ ∵ 是 的平方根，且 ， ∴ ∵，且 是 的一个平方根， ∴ 则 故答案为：8． 【题型2】立方根的计算与性质应用 1.核心知识点 立方根的定义与性质（符号一致性、）。 开立方运算规则。 2.解题方法技巧 符号判断：先确定被开方数的符号，再计算立方根的符号。 特殊运算：利用简化计算，负数开立方直接保留负号。 【例题2】.（24-25八年级上·江苏苏州·期末）8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的定义即可直接求解． 【详解】解：因为， 所以8的立方根是2． 故答案为：2． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）“的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．根据立方根定义表示出的立方根即可． 【详解】解：“的立方根”用数学符号表示为． 故选：A． 【变式题2-2】.（2025七年级上·山东·专题练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求出的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义求得的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：，， 解得：，， ∴， ∴，， ∴， ∴的立方根等于1． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）一个正数a的两个平方根分别是和，且，则x的值与的值分别为多少． 【答案】的值为2，的值为3 【分析】本题考查的是算术平方根，平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根的意义求出，的值，再利用立方根的性质求出的值，再计算． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， ，， ； ， ， 解得：， ． 【题型3】实数与数轴的简单对应 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应关系。 数轴上两点间距离的计算（右边点表示的数-左边点表示的数）。 2.解题方法技巧 定位关键：根据无理数的估算结果，在数轴上找到对应的区间。 距离计算：直接用数轴上两点表示的数作差（大减小）。 【例题3】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，表示的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出的范围，再确定点的位置即可选择． 【详解】解：， 数轴上的A，B，C，D四个点中，只有A符合， 故选：A． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在数轴上，B，C两点关于点A对称，A，B两点所对应的实数分别是和1．求点C所对应的实数． 【答案】点C所对应的实数是 【分析】本题主要考查了实数的运算，数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由，两点所对应的实数可求出的长度，再根据，两点关于点对称，可得到，设点所对应的实数是，根据两点间的距离公式列方程，求解即可得到答案． 【详解】解：，两点所对应的实数分别是，1， ． 又，两点关于点对称， ． 设点所对应的实数是， 则， 解得． 故点所对应的实数是． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和算术平方根非负性，求一个数的平方根和立方根，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据数轴上点的移动，左减右加，求出的值即可； （）根据点的位置，确定，，进而化简即可； （）根据绝对值和算术平方根非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意知：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为：． 【题型4】实数的基本运算 1.核心知识点 实数的加减乘除、开方运算。 绝对值的化简（正数的绝对值是本身，负数的是相反数）。 2.解题方法技巧 运算顺序：先处理开方和绝对值，再进行乘除，最后加减。 符号统一：先确定每个部分的符号，再逐步运算，避免符号错误。 【例题4】.（25-26八年级上·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根和算术平方根，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方，立方根和算术平方根，最后计算加减法即可得到答案； （2）先化简绝对值，计算乘方和立方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据幂的运算、绝对值、立方根、算术平方根的意义逐项化简，再按运算顺序进行计算即可； （2）先根据绝对值的意义化简，去括号后进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知点在数轴上，其中分别表示数和．点向左平移4个单位长度后与点重合． (1)求线段的长； (2)求点表示的数； (3)对于数轴上三点，点、点关于点对称，求点对应的实数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数与数轴的知识，包括：数轴上两点距离为两点表示的数之差(右减左)；点向左平移时数减对应单位，向右平移时坐标加对应单位；两点关于某点对称时，该点到两点的距离相等． （1）通过数轴上两点距离公式计算长度； （2）根据平移规律列方程求点的数； （3）通过设未知数，利用线段长相等列方程求解表示点的数． 【详解】（1）解：∵点表示，点表示， ∴线段的长为； （2）解：∵点向左平移个单位长度后与点重合，即数减小4与相等， ∴点表示的数为； （3）解：设点对应的实数为， ∵点、点关于点对称， ∴，即， 解得，即点对应的实数为1． 【培优高频题型】 【题型5】非负性的综合应用（代数式求值） 1.核心知识点 实数的非负性（、、）。 非负数和为0的性质（各非负数均为0）。 2.解题方法技巧 构造方程：根据“几个非负数和为0”列出方程组，求解未知数。 代入计算：将求得的未知数的值代入代数式，计算最终结果。 【例题5】.（25-26八年级上·江苏·期末）若实数，满足，则 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再求出的值即可． 本题考查的是非负数的性质，代数式求值，属于基础题型，熟知非负数的性质：几个非负数的和为0时，其中每一项必为0是解答此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得，， ∴． 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江西抚州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值非负性和算术平方根的非负性，根据非负数的性质求出x、y的值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式题5-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质和代数式求值，掌握几个非负数的和为时，每个非负数都为是解题的关键． 绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为时，这两个非负数都为，由此建立方程求出的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵，且， ∴ 即 解得：，， 当，时， 原式 ． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·广东东莞·期末）a与b均为实数，且与互为相反数，则 ； ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了非负数的性质，相反数的定义等知识，根据相反数的定义，两个式子的和为零；利用平方和算术平方根的非负性，得出每个式子都等于零，从而求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵ ，， ∴ 且 ， 解得：，， 故答案为：1；3． 【题型6】实际情境中的方根应用（几何/物理） 1.核心知识点 平方根（几何中边长、面积关系）、立方根（体积相关）的实际意义。 跨学科常识（如物理动能公式、几何图形面积/体积公式）。 2.解题方法技巧 情境转化：将实际问题转化为“已知面积求边长”“已知体积求棱长”等数学模型。 结果验证：结合实际情境取舍结果（边长、棱长为正数）。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·课后作业）用一个边长为2的正方形和五个边长为1的正方形可以拼成一个大正方形吗？如果能拼成，请画出所拼大正方形的示意图，并直接写出大正方形的边长． 【答案】画图见解析，3 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据剪拼前后图形面积不变，以及正方形面积与边长的关系求边长，解答时需要一定的动手画图能力．能够理解题意，具备一定的动手画图能力是解题的关键． 根据面积关系可求出拼成的正方形的边长，再画出示意图即可． 【详解】解：用一个边长为2的正方形和五个边长为1的正方形可以拼成一个大正方形． 所拼成的大正方形的面积为：， 所拼成的大正方形的边长为：， 画出所拼大正方形的示意图如下： 【变式题6-1】.（24-25七年级下·广东肇庆·月考）在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为17； (2)x的值为． 【分析】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解：， 则阴影部分的面积为17； （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去） ∴阴影部分的边长为． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）经过反复实验得到一个物体从高处自由下落时，下落的距离（单位：米）和下落的时间可以用公式来估计． (1)一个物体从80米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了3秒，问物体下落前离地面的距离是多少米？ 【答案】(1)落到地面需要秒； (2)物体下落前离地面的距离是米． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的定义是解题的关键． （1）把代入公式求解即可； （2）把代入公式求解即可． 【详解】（1）解：当米时， （秒）， 答：落到地面需要秒； （2）解：把代入得：， ∴， ∴， 答：物体下落前离地面的距离是米． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·单元测试）小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 【答案】(1)小红所搭积木的棱长为 (2)小明搭的积木高 【分析】本题考查了立方根的实际应用，平方根的实际应用． （1）根据正方体的体积公式，列出方程，根据求立方根的方法解方程，即可求出小红所搭积木的棱长； （2）根据长方体的体积公式，列出方程，根据求平方根的方法解方程，求出小明所搭积木的高，即可求解． 【详解】（1）解：设小红所搭积木的棱长为， 由题意，得， 解得， 小红所搭积木的棱长为． （2）解：设小明所搭积木的长和高为， 由题意，得， 可求出（负值已舍去）， 小明所搭积木的高为． ， 小明搭的积木高． 【题型7】实数的大小比较（多种方法综合） 1.核心知识点 实数大小比较的常用方法（数轴法、平方法、估算法、作差法）。 无理数与有理数的大小比较技巧。 2.解题方法技巧 方法选择：无理数与有理数比较用估算法，两个无理数比较优先用平方法。 步骤简化：作差法先计算差值，再判断差值与0的大小关系。 【例题7】.（24-25七年级下·全国·课后作业）将数－2，，，在数轴上表示出来，并将原数用“＜”连接起来． 【答案】见解析， 【分析】先化简题中的数，再在数轴上找到每个数对应的位置，最后根据数轴上左边的数小于右边的数的规律，将原数用<连接． 【详解】解：化简各数：，， 如图所示． 由数轴，得． 【点睛】本题考查了实数的化简、数轴表示与大小比较，掌握先化简实数，再利用数轴左小右大的规律比较数的大小是解题的关键． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山西临汾·期末）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数的大小比较，根据比较两个负数的大小，绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：，， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小： (1)与4． (2)与3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的性质和实数的大小比较，掌握立方法比较立方根大小的方法是解题的关键． （1）比较含立方根的数与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方后比较结果； （2）比较正数的立方根与正数的大小，使用立方法，对两数同时立方，通过立方结果的大小判断原数大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·浙江温州·期中）（1）过A，B两点画一条数轴，使A，B两点所表示的数互为相反数． （2）在你所画的数轴上表示下列各数：，2，，，并用“<”连接起来． ______<______<______<______． 【答案】（1）见解析；（2）数轴表示见解析，，，2， 【分析】本题考查了数轴，利用数轴比较有理数的大小，以及立方根的意义，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小是解题的关键． （1）根据A，B两点间的距离为8个格子的长度，根据A，B两点所表示的数互为相反数，画出数轴即可； （2）先化简，再将各数标在数轴上，根据数轴的性质，越往左越小，越往右越大，进行大小比较即可． 【详解】解：（1）、B两点之间有8个格子，故在A、B之间确定原点O，则A，B两点所表示的数互为相反数． ， （2）， ， 故答案为：，，2， 【压轴素养题型】 【题型8】无理数的估算与整数/小数部分分离 1.核心知识点 无理数的估算方法（夹逼法：找到相邻的两个完全平方数/立方数）。 整数部分与小数部分的分离规则（小数部分=无理数-整数部分）。 2.解题方法技巧 夹逼估算：如估算，先确定，则整数部分为3。 小数部分计算：直接用无理数减去其整数部分，结果必为正数且小于1。 【例题8】.（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，如，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算出的大致范围是解题的关键． 先估算的大小，再得到的整数部分，最后依据定义求解即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知的立方根是2，的算术平方根是，的整数部分为． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)3． 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的性质可求出的值，再估算出的整数部分，可求出的值，代入即可求解； （2）将（1）中的代入，然后求出立方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是2， ， ． 的算术平方根是3， ， ． 的整数部分为，且， ． 故． （2）解：由（1）知，，， ， 的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义及估算无理数的大小等知识点，解题的关键是能够根据已知中的定义准确求出各个字母的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分．求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根，平方根的含义，无理数的整数部分的含义，熟记基本概念并灵活运用是解本题的关键．由算术平方根与平方根的含义可得，，由无理数的整数部分的含义可得，从而代入可得答案． 【详解】解：根据题意可知，， ，． ， ． 是的整数部分， ， ， 的立方根为． 【题型9】新定义与阅读材料题 1.核心知识点 平方根、立方根的定义与估算。 阅读提炼信息的能力（新定义的规则、材料中的解题方法）。 2.解题方法技巧 精读材料：提取新定义的本质（如“根整数”是不大于√a的最大整数）。 迁移应用：将材料中的方法（如“调日法”求近似值）应用到新问题中。 【例题9】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）【阅读材料】喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个无序且互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． (1)请证明：2，18，8这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根； (2)已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值． 【答案】(1)见详解，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12 (2)或64 【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键． （1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可； （2）分三种情况进行解答即可，即，，，分别列方程求解即可． 【详解】（1）证明：因为，，， 所以2，18，8这三个数是“老根数”； 其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：当时，则， 解得， 当时，则，解得，不合题意，舍去； 当时，则， 解得， 综上所述，或64． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·福建福州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有，其中，，，为正整数），则是的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为：；由于，再由，可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． 我们知道，是无限不循环小数，． (1)已知，根据“调日法”的规则，求出第一次使用“调日法”后的近似分数，判断该分数是的不足近似值还是过剩近似值？ (2)在（1）的条件下，再使用几次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)请说明使用“调日法”估计大小的有效性． 【答案】(1)，是的过剩近似值 (2)再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； (3)见解析 【分析】本题考查简单的推理与证明，实数的运算，读懂题意，掌握“调日法”的计算方法是解题的关键． （1）先利用一次“调日法”得到的一个更为精确的近似分数是，与比较大小，即可得到答案； （2）利用“调日法”得到的近似分数，即可得到答案； （3）由，，，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴第一次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴是的过剩近似值， （2）解：∵ ∴第二次使用“调日法”后的近似分数为， ∵， ∴， ∴第三次使用“调日法”后的近似分数为； 再使用次“调日法”后得到更为精确的近似分数为； （3）解：∵，， 又 ∴使用“调日法”估计的大小是有效的． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·湖北荆门·期末）人教版七年级下册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． (1)【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． (2)【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 【答案】(1)；； (2)不是有理数，理由见解析 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是． 两边平方得①． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即． 所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数． （2）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得， 于是．两边立方得． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏南京·月考）探究规律，完成相关题目：小明说：“我定义了一种新的运算，叫加乘运算．”然后他写出了一些按照加乘运算的运算法则进行运算的算式： ；；；；；． 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的加乘运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)归纳加乘运算的运算法则：两数进行加乘运算时，______．特别地，0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，______． (2)计算：______括号的作用与它在有理数运算中的作用一致 (3)我们知道加法有结合律，这种运算律在有理数的加乘运算中还适用吗？请你判断它在加乘运算中是否适用，并说明理由． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加，结果都等于这个数的绝对值， (2) (3)不成立，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是新定义运算的法则归纳、运算求解及运算律的验证，解题的关键是通过给定算式归纳加乘运算的法则，再依据法则进行运算和分析运算律是否适用． （1）通过观察给定的加乘运算算式，归纳出同号、异号两数运算的符号规则和绝对值运算规则，以及0参与运算的特殊规则． （2）根据加乘运算的法则，先计算括号内的，再计算括号外的该结果． （3）通过举具体的数值例子，分别计算两种不同结合方式的*加乘运算结果，比较是否相等来判断结合律是否适用． 【详解】（1）观察； ； ； ； ； ， 得出同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则， 0和任何数进行加乘运算，或任何数和0进行加乘运算，结果都等于这个数的绝对值， 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加，结果都等于这个数的绝对值； （2）根据0和任何数进行加乘运算， 或任何数和0进行加乘运算， 都得这个数的绝对值， 得出， ， 故答案为：； （3）结合律不成立， 例如：， ， 所以； 所以结合律不成立. 易错点 1.混淆平方根与算术平方根：如误将的平方根认为是±4（实际，4的平方根是±2）。 2.忽略被开方数的非负性：如求解时，未考虑；非负数和为0时，漏解某个非负数为0的条件。 3.无理数估算错误：如将的整数部分误判为3（实际，整数部分为2）。 4.立方根符号错误：如误将计算为2（实际应为-2），忽略立方根的符号与被开方数一致。 重点 1.平方根、算术平方根、立方根的定义与计算：熟练掌握开方运算，区分三者的符号与取值范围。 2.实数的非负性应用：能利用“非负数和为0”求解未知数，化简代数式。 3.无理数的识别与估算：准确区分有理数与无理数，能估算无理数的整数部分。 4.实数的运算与大小比较：掌握实数混合运算规则，灵活运用多种方法比较大小。 难点 1.非负性的综合应用：多个非负形式（绝对值、平方、算术平方根）结合时，准确列方程求解。 2.实数与数轴的综合化简：结合数轴判断实数的正负、大小，化简含绝对值和平方根的表达式。 3.无理数的规律探究与新定义题：从特例中提炼规律，理解新定义的本质并迁移应用。 4.跨学科与实际情境应用：将几何、物理等实际问题转化为实数的方根问题，合理取舍结果。 【对应练习题】 一、单选题 1．实数的相反数是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的化简，求一个数的相反数． 先将化简为，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【详解】解：， 则实数的相反数是4， 故选：B． 2．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求解算术平方根，准确的计算是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，4的算术平方根是2， 故选A． 3．已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，相反数的概念，掌握相关概念是解题的关键. 根据算术平方根的定义，该实数为 ，其相反数为. 【详解】解：设该实数为 ， ∵ （）， ∴ ， ∴ 相反数为 . 故选：A． 4．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，估算算术平方根的取值范围．先求出正方形花坛的边长为，再通过比较平方数确定其范围． 【详解】解：设正方形边长为， 正方形花坛的面积为， ， ， ，，且， ， 正方形边长介于和之间， 故选：B． 5．在，，，这四个数中，无理数是（   ） A．0．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，实数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为有理数即可． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 故选C． 二、填空题 6．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题关键．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．一个正数a的两个平方根是和，则a的值为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平方根的应用掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求解m，再代入即可求a的值． 【详解】解：∵正数a的两个平方根是和， ∴， 解得， ∴． 故答案为25． 8．若为整数，且，则整数的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查无理数的大小估算，熟练记忆常用的完全平方数是解题关键． 通过比较完全平方数，估算的范围，从而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．大于且小于的整数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的大小比较法则和估算无理数的大小的应用．先估算出的范围，再根据实数的大小比较法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴大于且小于的整数有，，0，1，2，3，共6个． 故答案为：6． 10．（1）已知，则， ． （2）已知，，则 ． 【答案】 26.46 6.69 14.42 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义以及小数点的变化规律是正确解答的关键． （1）根据被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位进行求解； （2）将写成，写成，结合，，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，则， 可以发现：当被开方数由变为时，其算术平方根由变为，即被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位， ∴当被开方数由变为时，其算术平方根由变为， ． 故答案为：． （2）∵， ； ， ； 故答案为：，． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)4． (5)． (6)． (7)． (8)． 【分析】（1）首先根据乘方运算，算术平方根的定义去掉根号，去绝对值，然后即可进行加减运算求解； （2）首先根据乘方运算，立方根的定义去掉根号，然后即可进行加减运算求解； （3）首先根据乘方运算，算术平方根，立方根的定义去掉根号，然后即可进行加减运算求解； （4）首先根据乘方运算，算术平方根的定义去掉根号，然后即可进行加减运算求解； （5）首先根据乘方运算，立方根的定义去掉根号，去绝对值，然后即可进行加减运算求解； （6）首先根据乘方运算，有理数的乘法法则，立方根的定义去掉根号，然后即可进行加减运算求解； （7）首先根据乘方运算，算术平方根的定义去掉根号，去绝对值，然后即可进行加减运算求解； （8）首先根据乘方运算，算术平方根，立方根的定义去掉根号，去绝对值，然后即可进行加减运算求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ； （7）解：原式 ； （8）解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了简单的实数运算．正确理解平方根、立方根的意义是解题关键． 12．解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ， ． 13．比较大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）直接利用作差法比较大小即可； （2）将两数相减得到，接着比较与的大小，将、分别平方即可比较大小，由此可比较原数的大小． 【详解】（1）解： ， ， ，即， ． （2）解： ． ，， ， ， ， ． 14．（1）计算： （2） 已知，求x的值． （3）已知：求x的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别运算立方根，乘方，算术平方根，再化简绝对值，最后运算加法，即可作答． （2）先在方程左右两边同时乘上，再开立方，即可作答． （3）先移项，再开平方，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2）∵ ∴ ∴ 则 （3）∵ ∴ 则， ∴或 解得或 15．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，估算无理数的大小等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，即可得出答案； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $