寒假预习1-8单元知识点（知识清单）-2025-2026学年四年级下册书写人教版

四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 ( 第九单元 数学广角一鸡兔同笼 ) 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 第一单元 四则运算 1、加、减的意义和各部分间的关系 (1)加法：把两个数合并成(一个数)的运算，叫做(加法)。相加的两个数叫做( 加 数)。加得的数叫做(和)。 (2)减法：已知两个数的和与其中的一个加数，求(另一个加数)的运算，叫做(减 法)。在减法中，已知的和叫做(被减数)。减法是加法的(逆运算)。 (3)加法各部分间的关系： 和=加数+加数 加数=和一另一个加数 (4)减法各部分间的关系： 差=被减数一减数 减数=被减数一差 被减数=减数+差 2、乘、除法的意义和各部分间的关系 (1)乘法：求几个(相同加数的和)的简便运算，叫做(乘法)。相乘的两个数叫做 (因数)。乘得的数叫做(积)。 (2)除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求(另一个因数)的运算，叫做 (除 法)。在除法中，已知的积叫做(被除数)。除法是乘法的(逆运算)。 (3)乘法各部分间的关系： 积=因数×因数因数=积÷另 一个因数 (4)除法各部分间的关系： 商=被除数÷除数 除数=被除数×商 被除数=商×除数 (5)有余数的除法，各部分间的关系： 被除数=商×除数+余数除数=(被除数 一 余数)÷商 商=(被除数一余数)÷除数余数=被除数一商×除数 3、 加法、减法、乘法、除法统称为( 四则运算)。+、一、×、÷叫(运算符 号)。 4、 四则混和运算的顺序 (1)在 (没有括号的算式)里，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，都要按(从 左往右)的顺序计算； 第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 (2)在(没有括号的算式)里，如果既有乘、除法，又有加、减法，要先算(乘、除 法) ,后算(加、减法) ;(先乘除，后 加减) (3)在(有括号的算式)里，要先算(括号里面的),后算(括号外面的)。 5、有关O的计算 序号 文字描述 字母表示 (1) 一个数和0相加，结果还得原数 a+ 0=a 0+a=a (2) 一个数减去0,结果还得这个数 a-0=a (3) 一个数减去它自己，结果得零 a-a=0 (4) 一个数和O相乘，结果得0 a×0=0; O×a=0 (5) 0除以一个非0的数，结果得0 O÷a=0(a≠0) (6) 0不能做除数 a÷0=(无意义) 6、租船问题 ( 解答租船问题的方法： 先假设、再调整 。因为大船便宜，所以多安排大船， 剩下的部分再安排小船，尽量( 不要有空位 )。如果怎么安排都会出现空位时， ( 空位最少 )的那种最便宜。 第 二 单 元 观察物体(二) ) 1、从不同位置(上面、前面、左面)观察物体的形状。 观察物体有诀窍：先数(看到几个面),再看它的(排列法),即有(几层) ,每 层有(几排),把(相同方向的面)画在一起。画图形时要注意，只分(上下)画数量。 2、 从(不同位置)或 (同一位置)观察物体，所看到的图形(可能一样) ,也(可能不 类型3: 一 样)。 正 面 上面 左面 正面 左面 类型2: 类型4: 第2页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 正面 上面 左面 正 面 左面 上面 3、 从(不同的位置)观察，才能(更全面)地认识一个物体。 4、 数一数有几个小正方体的方法：先数(每层有几个),再加起来。 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 第三单元 运算定律 1、加法运算定律： 运算律 文字描述 字母表示 加法交换律 两个数相加，(交换)加数的位置，(和)不 变。 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，可以先把 (前两个数)相加， 再加上第三个数；或者先把(后两个数) 相加，再加上第一个数，(和)不变。 (a+b)+c=a+(b+c) (数的位置不变，小括 号位置改变) (加法交换律)和(加法结合律)往往(结合起来)一起使用更简便。例如： 加法交换律 加法结合律 结合使用 ①50+98+50 ②488+40+60 ③78+56+22+44 =50+50+98 =488+(40+60) =(78+22)+(56+44) =100+98 =488+100 =100+100 =198 =588 =200 ( 2、连减的性质： ) 运算律 文字描述 字母表示 连减 一个数(连续)减去两个数，等于这个数减去 (那两个数的和)。 a-b-c=a-(b+c) 在连减运算中，任意交换(减数的位置),(差) 不变。 a-b-c=a-c-b 例如： ①198-59-41 =198-(59+41) =198-100 =98 ②851-(51+40) =851-51-40 =800-40 =760 ③721-60-21 =721-21-60 =700-60 =640 3、乘法运算定律： 运算律 文字描述 字母表示 乘法交换律 两个数相乘， (交换)因数的位置，(积) 不变。 a×b=b×a 乘法结合律 三个数相乘，可以先把(前两个数)相 乘，再乘以第三个数，也可以先把(后 两个数)相乘，再乘以第一个数，(积) 不变。 (a×b)×c=a×(b×c) 第3页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把 (这两个数分别)与这两个数相乘，再 把(积)相加。 (a+b)×c=a×c+b×c 或a×(b+c)=a×b+a×c (a-b)×c=a×c-b×c 或a×(b-c)=a×b-a×c (乘法交换律)和(乘法结合律)往往(结合起来)一起使用更简便。 乘法交换律 乘法结合律 乘法交换律与结合律结合 ①25×56×4 =25×4×56 =100×56 =5600 ②99×125×8 =99×(125×8) =99×1000 =99000 ③25×125×4×8 =(25×4)×(125×8) =100×1000 =10000 乘法分配律分解式 乘法分配律合并式 乘法分配律特殊式1 ④25×(40+4) =25×40+25×4 =1000+100 =1100 ⑤135×12-135×2 =135×(12-2) =135×10 =1350 ⑥35×8+35×6-4×35 =35×(8+6-4) =35×10 =350 乘法分配律特殊式2 乘法分配律特殊式3 乘法分配律特殊式4 ⑦99×256+256 =99×256+256×1 =256×(99+1) =256×100 =25600 ⑧45×102 =45×(100+2) =45×100+45×2 =4500+90 =4590 ⑨99×26 =(100-1)×26 =100×26-1×26 =2600-26 =2574 4、连除的性质： 运算律 文字描述 字母表示 连除 一个数连续除以两个数，等于除以 (这两个数的积)。 a÷b÷c=a÷(b×c) 在连除运算中，任意交换(除数)的 位置，(商)不变 a÷b÷c=a÷c÷b 例如： ①3200÷25÷4 =3200÷(25×4)=3200 ÷100 =32 ②250÷8×4 =250×4÷8 =1000÷8 =125 ③160÷(16×2) =160÷16÷2 =10÷2 =5 第4页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 ( 第 四 单 元 小数的意义和性质 ) ( 1、 小数的意义 ) (1)小数的产生：在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常 用小数来表示。 (小数点前面)的数叫小数的 (整数部分), (小数点后面)的数叫小 数的(小数部分)。 (2)分母是10、100、1000……的分数可以用小数来表示。 (3)小数是十进制分数的另一种表现形式。 (4)小数的计数单位是十分之一、 百分之一、 千分之一 ……分别写作0.1、 0.01、0.001 · (5)每相邻两个计数单位间的进率是10. (6)小数的数位是十分位、百分位、千分位……最高位是士分位。整数部分的 最低位是个位。个位和十分位的进率是10。 (7)小数的数位顺序表 整数部分 小数点 小数部分 数位 … 万位 千位 百位 十位 个位 ■ 十分位 百 分 位 千 分 位 万 分 位 … 计数单位 … 万 千 百 十 一 十分之一 百分之一 千分之一 万分之 一 … ①6.378的计数单位是0.001。(最低位的计数单位是整个数的计数单位) ②6.378中有6个一，3个十分之一 (0.1),7个百分之一 (0.01),8个千分 之一(0.001)。 ③6.378中有(6378)个千分之一(0.001)。 2、小数的读写①小数的读法：先读整数部分(按照原来的读法),再读小数点， 再读小数部分。读小数部分.小数部分要依次读出每个数字.而且有几个0就 读几个0 。如：25 .104读作：二十五点一零四 第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 ②小数的写法：先写整数部分(按照原来的写法),再写小数点，再写小数部 分：写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个 0 。 如：九十二点一五，写作：92.15 3、小 数 的 性 质 ：小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变。 注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。作 用可以化简小数等。 ( 4、 小数的大小比较： ) ①先比较整数部分，整数部分大的那个小数就大； ②如果整数部分相同，就比较就比较小数部分十分位； ③十分位相同，就比较百分位； ④以此类推，直到比较出大小。 5、 小数点移动引起小数大小的变化 (向右扩大，向左缩小)。 ①小数点(向右): 移动一位，相当于把原数(扩大10倍); 移动两位，相当于把原数(扩大100倍); 移动三位，相当于把原数(扩大1000倍)…… ②小数点(向左): 移动一位，相当于把原数(缩小10倍); 移动两位，相当于把原数(缩小100倍); 移动三位，相当于把原数(缩小1000倍)…… ( 6、 小数与单位换算 ) (1)常用单位名称及进率 长度单位：千米、米、分米、厘米 面积单位：平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米 重量单位：吨、千克、克 人民币单位：元、角、分 质量单位换算：.1千克=1000 克 1 吨 =1000 千克 长度单位换算： 1 米 =10 分米 1分米=10 厘米 1厘米=10 毫米 1 米 =10 分米=100 厘米=1000 毫米 1 千米=1000 米 第6页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 面积单位换算： 1 平方米=100 平方分米 1平方分米=100 平方厘米 1 公顷=10000 平方米 1平方千米=100 公顷=1000000 平方米 人民币单位换算：1 元 =10 角 1 角 =10 分 1元=100 分 (2)单位换算(大化小乘进率，小化大除进率) 含有一个单位名称的数叫单名数； 含有两个或两个以上单位名称的数叫复名数。 大单位转化成小单位=乘以进率，小数点向右移动。 如：7450米=(7.45 )千米，因为1千米=1000米，7450÷1000=7.45(千 米),所以7450米=(7.45 )千米。 小单位转化成大单位=除以进率，小数点向左移动。 如：3.07吨=(3070 )千克，因为1 吨=1000千克，3.07×1000=3070(千 克),所以3 .07吨=(3070 )千克 ( 7、 小数的近似数 ) 用“四舍五入”法求小数的近似数，关键要明确两点： 一是看要保留到哪一位； 是 看舍去部分的最高位上的数是几。 如果前一位是0、1、2、3、4(不能进“1”); 如果前一位是5、6、7、8、9 (能进“1”)。 (1)保留整数(也就是精确到个位) :看(第一位小数)能否进1。 (2)保留一位小数(也就是精确到十分位) :看(第二位小数)能否进1。 (3)保留两位小数(也就是精确到百分位):看(第三位小数)能否进1。 ▲需要保留的小数(末尾的O)不能去掉，否则(数位不够)。 (4)为了读写的方便，常常把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位 的数。改写成“万”作单位的数就是小数点向左 移 4 位，即在万位的右边点上 小数点，在数的后面加上“万”字。改写成“亿”作单位的数就是小数点往左移 8 位即在亿位的右边点上小数点，在数的后面加上“亿”字。注意：带上单 位。然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可。 第7页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 ①用“万”作单位 ：299792=29 .9792万 ②用“万”作单位，并保留一位小数：2401478=240.1478万 ≈240.1万 (5)在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉。 近似数： 1.827 13.094 13.049 0.991 保留整数(精确到个位) 2 13 13 1 保留一位小数(精确到十分位) 1.8 13.1 13.0 1.0 保留两位小数(精确到百分位) 1.83 13.09 13.05 0.99 ※:一个两位小数，近似数是5 .6,这个两位小数最大是多少?最小是多 少 ? 最大：即在后面添4,所以是5 .64。 最小：末尾对齐，保留小数点，减一，添5。所以是5 .55。 第 五 单 元 三 角 形 1、 由三条(线段)围成的封闭图形叫三角形。 如： 2、 从三角形的一个 顶点 到它的对边 作一条垂线 ，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高。这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。如： 3、 三角形具有 稳定性。如： 自行车的三角架 ， 电线杆上的三角架。 4、 三角形三条边的关系：三角形任意两边的和大于 第三边 ，任意两边的差小 于第三边。 两边之差<第三边<两边之和。(判断三条线段能不能组成三角形，只要看最 短的两条边的和是不是大于第三条边。 ) 5、 为了表达方便，用字母 A、B、C 分别表示三角形的三个顶点，三角 形可表示成三角形ABC。 第8页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 6、 三角形的分类： ①按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三类；如： ②按边分类，可以分为等腰三角形、等边兰角形和不等边三角形这三类。如： 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 7、 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。(其他两个角必定是锐角)。 ★★★可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类 三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角 形 。 10、 每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形至多有 1 个直角；每个三角 形至多有1 个钝角。 11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的两条腰相 等 ，两个底 角相等。相等的两条边叫做( 腰),相等的两个内角叫做(底角),另外一个角叫做 (顶 角)。 12、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。等边三角形的三条 边长度相等，三个内角的大小相等(都是60 °)。 13、 等边三角形是特殊的等腰三角形。 14、 三角形的内角和是 180°:四边形的内角和是 360° :五边形的内角和是 540° 。多边形内角和=(边数-2)×180°,如六边形：(6-2)×180°=720° 15、图形的拼组：(1)当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四 边形。(2)用任意2个完全 一样的三角形 一定能拼成 一个平行四边形。 16、 用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。 第9页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 第10页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 17、 用2个相同的直角三角 大等腰三角形。 一个长方形、一个 18、 用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、 一个正方 形、一个大的等腰直角三角形。 19、三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯 形。 20、 至少需要两个三角形，才可以拼四边形。 至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。 至少用(2 )个直角三角形可以拼成一个长方形。 至少用(3 )个等边三角形可以拼成一个等腰梯形。 至少用(2 )个等边三角形可以拼成一个平行四边形。 21、 多个三角形可以拼出各种美丽的图案。 密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以 及正六边形等。 第六单元 小数的加减法 1、 笔算小数加、减法的方法： (1)小数点对齐，也就是相同数位对齐； (2)从末位算起，算加法时，哪一位数相加满十都要向前一位进1;算减法时， 哪一位不够减就要从前一位退 1 当 1 0, 在本位上加 1 0 再 减。 (3)得数末尾有0,一般要把0 去掉。 (4)不要忘记了小数点。 2、小数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同： (1)没有括号，按从左往右的顺序依次计算； (2)有小括号，要先算小括号里面的。 3、整数的运算定律在小数运算中同样适用。 在小数四则运算中，恰当地运用 加法交换律、结合律及连减的运算性质会使计算更简便。 4.得数是小数时，(末尾)的0一般要去掉。 5.一个整数与一个小数相加减时： 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 ①先在整数的右边点上小数点； ②再添上与另一个小数部分同样多个数的0; ③然后再按照小数加减法的计算方法计算。 6、验算： 加法验算： ①交换加数的位置再加一遍，看结果与原来是否相同； ②用减法，把和减去一个加数，看差是否与另一个加数相同。 减法验算： ①用加法，把减数与差相加，看结果是否等于被减数； ②用减法，把被减数减去差，看是否等于减数。 7、 应用整数运算定律进行小数的简便计算： 整数运算定律在小数运算中同样适用。在小数四则运算中，恰当地运用加法(交 换律)、(结合律)及减法的运算性质会使计算更简便。 8、简便运算方法： (1)几个小数连加时，如果其中的两个小数的尾数相加能凑整，先把这两个数相 加，可使计算简便； 如：0.36+18.09+2.64+4.91 (2)一个数连续减去两个小数时，如果这两个小数相加的和能凑整，可以先把两 个减数相加，再从被减数里减去这两个减数的和比较简便； 如：13.2-5.73-4.27 (3)一个数减去两个小数的和，当这两个数中的一个数的小数部分与被减数的小 数部分相同时，可以先从被减数里减去这个数，然后再减去另一个数，计算比 较简便。如：18.63- (4.75+3.63) (4)整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用，如：3.65×42.6+3.65×57.4 (5)在小数运算中，可以利用(添括号)或(去括号)使计算简便： →无论是去括号或添括号 ①括号前面是加号，去掉括号不变号； 如：6.59-4.86+2.86 ②括号前面是减号，去掉括号全变号(加号变减号，减号变加号)。 如：6.47- (1.5-0.53) (6)在没有括号的同级运算中，交换数据的位置， 一定要带着它前面的符号。 如：4.95-2.67+1.05 第11页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 ( 第七单元 图形的运动(二) ) 1、把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，我 们就说这个图形是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。 2、 轴对称的性质： 对应点到对称轴的距离都相等。 3、 对称轴是一条直线，所以在画对称轴时，要画到图形外面，且要用虚线。 4、 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴。轴对称图形可以有一条或几条 对称轴。 5、 画对称轴时，先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点，最后连线。 6、 长方形、 正方形、 等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、 线段、 菱形都是轴对称图形。 线段有 1 条对称轴， 长方形有 2 条对称轴， 菱形有2 条对称轴， 正方形有4 条对称轴， 圆有无数条对称轴， 等腰梯形有1 条对称轴， 半圆有 1 条对称轴， 等腰三角形有 1 条对称轴， 圆环有无数条对称轴， 等边三角形有3 条对称轴， 半圆环有一条对称轴。 7、 平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴。(长方形和正方形除外) 8、梯形不一定是轴对称图形。只有等腰梯形是轴对称图形。 9、古今中外，许多著名的建筑就是对称的。比如： 中国的赵州桥，印度泰姬 10、 平移先找图形点，平移完点连起来，注意数点数要数十字。 11、 平移不改变图形的大小、 形状，只改变图形的位置。 12、 利用平移，可以求出不规则图形的面积。 第12页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 四下数学(人教)寒假预习1-8单元知识点总结 ( 第八单元 平均数和条形统计图 1、 平均数的意义及求平均数的方法： ) (1)平均数的意义：一组数据的和除以这组数据的个数，所得的商叫做平均数， 它是描述数据集中程度的一个统计量，能清楚地表示一组数据的整体水平。 (2)求平均数的方法： ①移多补少法： 从多的数量中拿出一部分给少的数量，使它们变成相等的数。 ②公式法： 总数量÷总分数=平均数 2、 用平均数比较两组或几组数据的总体情况的方法： 1.先计算出每组数据的平均数； 2.再对比各个平均数，综合思路分析； 3.最后进行正确判断，解决问题。 3、复式条形统计图 将两个单式条形统计图合并以后就得到一个复式条形统计图。 复式条形统计图要有图 例。复式条形统计图有横向和纵向两种。 复式条形统计图是用两个单位长度表示一个的数量，根据数量的多少画成长短 不同的直条，后把这些直条按一定的顺序排列起来。 【特点】用直条的长短表示数量的多少。 【优点】能清楚地看出数量的多少，便于比较两组数据的多少。 ( 4、 怎样画横向复式条形统计图 ) 1.准备尺 子，铅笔， 橡皮等画图工具。 2.注意写单 位，画纵坐标和横坐标还有日期名字还有横坐标上的“0”。 3.假如位置有限，例如说0到10,到20,假如你写到200,位置绝对有限， 你可以在0的上面画波浪线，然后写100(当然其他数也可以，但最标准的还 是画闪电线)。 4.例如上图两者要有不同的颜色，假如没有色笔，第一个可以画斜线，第二个 可以涂得严严实实。 5.在每个图的下方都要写标题。 注意：绘制统计图时直条的宽度是相同的，直条间的间隔是相等的。 第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 1、鸡兔同笼属于假设问题，假设的和最后结果相反。 2、“鸡兔同笼”问题的解题方法 假设法： ①假如都是兔 ②假如都是鸡 ③古人“抬脚法” 解答思路：假如每只鸡、每只兔各抬起一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”, 每只兔就变成了"双脚兔"。这样，鸡和兔的脚的总数就少了一半。这种思维方 法叫化归法。 3、 公 式 ：鸡兔总脚数÷2一鸡兔总数=兔的只数； 鸡兔总数一兔的只数=鸡的只数。 4、常用公式： 1、行程问题： 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 2、工程问题： 工效×时间=工作总量 工作总量÷时间=工效 工作总量÷工效=时间 3、价格问题： 单价×数量=总价 总价÷数量=单价 总价÷单价=数量 4、产量问题： 单产量×数量=总产量 总产量÷数量=单产量 总产量÷单产量=数量 5、和差问题： (和+差)÷2=大的数 (和一差)÷2=小的数 6、和倍问题： 和÷(倍数+1)=小的数 小的数×倍数=大的数 7、差倍问题： 差÷(倍数-1)=小的数 小的数×倍数=大的数 8、相遇问题： 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 9、相遇问题 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 10、奇偶问题 奇数+奇数=偶数 奇数+偶数=奇数 偶数+偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 奇数×偶数=偶数 第14页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $