14.5一次函数（教学课件）数学新教材北京版八年级下册

二、一次函数 14.5一次函数 第十四章 一次函数 学 习 目 标 1 2 理解一次函数和正比例函数的定义，能识别一次函数与正比例函数。 能根据实际问题列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 3 掌握一次函数表达式的一般形式 y=kx+b（k≠0），并理解 k、b 的意义。 新知探究 1 探究1 一次函数的概念 问题一：判断下列每个问题中的两个变量是否构成函数关系 . 如果是，指出哪一个是自变量，哪一个是因变量，并分别写出每一个函数表达式： ( 1 ) 等腰三角形顶角的度数 α 和它的一个底角的度数 β 对应； ( 2 ) 一个长方形的一边的长是 3 cm，它的面积 S ( cm2 ) 和另一边的长 m ( cm ) 对应； ( 3 ) 某种最大量程为 5 N 的弹簧测力计，弹簧的原长度是 15 cm， 挂物每增加 1 N 时，弹簧伸长 0. 5 cm，这时，伸长后弹簧的总长度L ( cm ) 和所称物重 p ( N ) 对应。 新知探究 1 探究1 一次函数的概念 名称 自变量 因变量 函数关系式 自变量取值范围 等腰三角形 长方形 弹簧测力计 底角的度数 β 顶角的度数 α α = 180 - 2 β 0 < β < 90 另一边的 长 m ( cm ) 面积 S S = 3m m > 0 所称物重 p 弹簧的总长度L L = 0. 5p + 15 0≤p≤5 新知探究 1 探究1 一次函数的概念 问题二： 观察以上解析式有什么共同特点？ α = 180 - 2 β S = 3m L = 0. 5p + 15 只有一个未知数 未知数的最高次数为1 未知数的系数不为0 常数项一般不为0，也可以为0 形如：y=kx+b 新知探究 1 探究1 一次函数的概念 梳理归纳 　　 一般地，我们把形如y = kx + b ( k，b 为常数，且 k ≠ 0 )的函数叫做一次函数，其中 x 是自变量 . 当 b = 0 时，一次函数 y = kx ( k ≠ 0 )又叫做正比例函数 . 新知探究 1 探究1 一次函数的概念 思考：一次函数与正比例函数有什么关系？ （2）正比例函数是一种特殊的一次函数. （1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数. 典例解析 2 例 1：甲骑自行车以 10 km/h 的速度沿公路行驶，出发半小时后，乙骑自行车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为 15 km/h。设甲离开出发地的时间为 x（h）。 (1) 写出甲离开出发地的路程 y1​（km）与 x（h）之间的函数表达式，并指出自变量 x 的取值范围； 分析：路程 = 速度 × 时间，甲的速度为 10 km/h，行驶时间为 x h。 解：（1）由公式s=vt，则甲离开出发地的路程y1（km）与x（h）之间的函数表达式为 y1=10x 自变量x的取值范围为x≥0 典例解析 2 探究1 一次函数的概念 (2) 写出乙离开出发的路程y2（km）与x（h）之间的函数表达式，并指出自变量x的取值范围。 分析：乙比甲晚出发 0.5 h，因此乙的行驶时间为 x−0.5 h（x≥0.5） 解：（2）乙离开出发地的路程y2（km）与x（h）之间的函数表达式为 y2=15（x-0.5），即y2=15x-7.5 自变量x的取值范围为x≥0.5 数学思想：建模思想（将实际问题转化为函数表达式）、分类讨论思想（区分甲、乙的行驶时间）。 典例解析 2 例 2：某园林绿化公司接受任务，在公路边种 50 棵树，树苗堆在离点 M 3 m 远的 A 处，在 MA 方向每隔 5 m 种一棵树。求送树苗的路程 s（m）与树苗序号 n 的函数表达式，并确定自变量取值范围。 典例解析 2 分析：送树苗所走的路程s(m)和所种树苗的序号n的对应关系可列表 n 1 2 3 4 5 6 ... s/m 3 3+5×1 3+5×2 3+5×3 3+5×4 3+5×5 ... 从表中，可以发现s（m）和n的函数关系。 典例解析 2 例 2：某园林绿化公司接受任务，在公路边种 50 棵树，树苗堆在离点 M 3 m 远的 A 处，在 MA 方向每隔 5 m 种一棵树。求送树苗的路程 s（m）与树苗序号 n 的函数表达式，并确定自变量取值范围。 解：根据题意，得 s=3+5×(n-1) 整理，得函数的表达式 s=5n-2 自变量n的取值范围是1≤n≤50，n是整数。 新知进阶 3 1.已知函数 y=(m-1)x+1-m2. （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? 解：由题意可得 m-1≠0，解得m≠1. 即m≠1时，这个函数是一次函数. 注意：利用定义求一次函数 解析式时，必须保证： （1）k ≠ 0；（2）自变量x的指数是“1” 新知进阶 3 （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? 解：由题意可得 m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1. 即m=-1时，这个函数是正比例函数. 新知进阶 3 2.汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱中剩余的油量y（单位：升）随行驶路程x（单位：千米）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？ y =50－ x 解：剩余油量y与行驶路程x的函数关系式为 自变量x的取值范围是 . 课堂练习 4 1.下列函数中，哪些是一次函数，哪些不是一次函数？在一次函数中，哪些又是正比例函数？ （1）y=-x+4； （2）y=x； （3）y=-； （4）y=-6x2+7； （5）y=-3x； （6）y=- 解：一次函数有（1）、（2）、（3）、（5） 正比例函数有（2） 课堂练习 4 2．有下列函数关系式： ①y=2x-1；②y=x；③y=；④s=20t． 其中表示一次函数的是　　　　　　(填序号)．   3．函数y=-7x+3中，k=　　　，b=　　　．   4．已知函数y=3x-6，当x=0时，y=　　　；当y=0时，x=　　　． ①②④ -7　 3 -6　 2 课堂练习 4 5．把2y-4x+5=0表示成y是x的函数的形式为　　　　　　．  6．当自变量x取何值时，函数y=-2x+6满足： (1)y=0? (2)y=-2? 解:(1)把y=0代入y=-2x+6中， 可得-2x+6=0，解得x=3. (2)把y=-2代入y=-2x+6中， 可得-2x+6=-2，解得x=4. y=2x-2.5 课堂练习 4 7．已知一个长方形的周长为60米，求它的长y(米)与宽x(米)之间的函数关系式，并指出关系式中的自变量与函数． 解:由题意得2(x+y)=60，x+y=30， 即y=30-x(0<x<30). 故长方形的长与宽之间的关系式为y=30-x(0<x<30)，其中x为自变量，y是x的函数. 0 课堂总结 7 核心概念 一次函数：形如 y=kx+b（k≠0）的函数； 正比例函数：一次函数的特殊形式（b=0），即 y=kx（k≠0）。 建模步骤 分析变量关系→列出表达式→确定自变量取值范围。 知识联系 一次函数是最基本的函数类型，后续将学习其图象与性质，进一步理解函数的变化规律。 感谢聆听! $