专题1.3.2 函数的极值与导数（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题1.3.2 函数的极值与导数 教学目标 1.理解函数极大值、极小值和极值点的概念，明确极值的局部性特征。 2.掌握函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能借助导数判断函数的极值点。 3.熟练运用一阶导数符号变化、二阶导数符号判别两种方法求可导函数的极值，能解决简单的极值求解问题。 教学重难点 1.重点： （1）理解函数极值的定义及局部性本质，能准确识别函数的极值点和极值。 （2）掌握利用导数求可导函数极值的核心方法，包括一阶导数法判断极值点、求解极值的完整步骤。 （3）理解导数与函数极值的内在联系，明确 “导数为 0” 是函数在该点取得极值的必要条件。 2.难点： （1）理解导数为 0 的点不一定是极值点，能准确判断导数零点两侧的符号变化，区分 “驻点” 与 “极值点”。 （2）对含指数、三角函数等复杂表达式的函数，能正确求导、求解导数零点，并准确判定极值点类型。 （3）掌握二阶导数判别极值的适用条件，理解二阶导数符号与函数凹凸性、极值类型的关联。 （4）能将实际生活中的最优化问题抽象为函数极值模型，确定函数定义域并验证极值的实际意义。 知识点01 函数的极值与导数 1.极大值与极大值点 设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有定义，x0是区间 (a,b) 内的一个点。若点 x0附近的函数值都小于或等于 f(x0​)（即 f(x)≤f(x0)），就说 f(x0) 是函数 y=f(x) 的一个极大值，此时称 x0为极大值点。 2.极小值与极小值点 设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有定义，x0是区间 (a,b) 内的一个点。若点 x0附近的函数值都大于或等于 f(x0)（即 f(x)≥f(x0)），就说 f(x0) 是函数 y=f(x) 的一个极小值，此时称 x0为极小值点。 3.极值与极值点的统称 （1）极大值和极小值统称为极值。 （2）极大值点和极小值点统称为极值点。 （3）简言之：极值是局部开区间上的最值。 4.极值点与导数的关系 必要条件换句话说，函数在极值点的导数为0。导函数的零点可能不是函数的极值点。 5.驻点与极值点的判定 （1）若 f′(c)=0，则 x=c 叫作函数 f(x) 的驻点。 （2）如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点。 6.利用导数求函数极值的步骤：如果函数y=f(x)在某个区间内有导数，就可按下列步骤求它的极值： （1）求导数：求导数。 （2）求驻点：求f(x)的驻点，即方程f′ (x)=0的解。 （3）确定极值点：对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析在x0左右两侧的符号（即讨论f(x) 的单调性），①若在x0两侧的符号为 “左正右负”，则x0为极大值点；②若在 x0两侧的符号为 “左负右正”，则x0为极小值点。 （4） 求极值：求出各极值点的函数值，就得到函数y=f(x)的全部极值。 【即学即练】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）根据题意，求得，结合和的解集，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）中，函数的单调性，列表，求得函数的极值. 【详解】（1）由函数，可得， 令，可得或；令，可得， 则函数的增区间为和，减区间为. （2）解：由（1）可得 + 0 0 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数的极大值为，极小值为. 题型01 函数极值点的辨析 【典例1】（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （   ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有 2025 个极值点 D．恰有 2026 个极值点 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析、求已知函数的极值点、求函数零点或方程根的个数 【分析】先对函数求导，然后令导数为，将问题转化为两个函数图象的交点问题，通过分析交点个数来确定极值点的个数. 【详解】对求导，可得. 令，即，移项可得. 那么的极值点个数就等价于函数与图象的交点（不算切点）的个数. 当时，，与只有一个交点，且在该点两侧导数符号改变变，所以此时有1个极值点； 当时，与都是奇函数，图象关于原点对称， 是周期函数，是过原点的直线， 随着的取值不同，由正弦函数的对称性及有界性，两函数图象的交点（不算切点）的个数只能是有限个，且是奇数个（因为关于原点对称）. 所以该函数可能恰有2025个极值点. 故选：C 【变式1-1】（2025·江苏·三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】C 【知识点】函数对称性的应用、函数极值点的辨析 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 【变式1-2】（多选）（24-25高二下·广东·月考）已知是定义在上的可导函数，则（    ） A．若，则是增函数 B．若，则0是的极值点 C．若，则 D．若，则是减函数 【答案】AD 【知识点】简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】易判断A；由，可判断B；利用复合函数的求导法则可判断C；对求导可判断D. 【详解】若，则是增函数，故A正确； 当时，0不一定是的极值点，如，，但没有极值，故B错误； 若，则，故C错误； 因为，所以， 所以在上是减函数，故D正确. 故选：AD. 【变式1-3】（多选）（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 【答案】ACD 【知识点】判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值的辨析、函数极值点的辨析 【分析】求得，根据求极值和判断极值的方法可以判断A，B；通过利用导数研究在上的单调性可以判断C；通过计算看其的结果是否为可判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，令得或， 当时，；当时，；当时， 所以有两个极值点，故A正确； 对于B，当时，，，，故B不正确； 对于C，当时，若，则，所以在上单调递增， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，， 因为， 关于点中心对称.故D正确. 故选：ACD. 题型02 求已知函数的极值 【典例2】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解. 【详解】（1）当时， . ，. 即曲线在处的切线斜率为. （2）. 所以. 当时，， ，. 在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得. 当时， ，在上单调递减； 当时， ，在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增. ， 所以在处取得极小值为，无极大值. 综上： 当时， 无极值； 当时，有极小值为，无极大值. 【变式2-1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增， 所以是极小值点，则函数的极小值为. 故选：B. 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、求已知函数的极值 【分析】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 【变式2-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在切点处的切线斜率及切点坐标，代入直线方程求解. （2）求出函数的导函数，明确函数的定义域，对导函数再次求导，利用导数的符号变化判断单调性，进而确定极值. 【详解】（1）当时，. . ，又. 则曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，. . 令. 则. 当时，，函数在上单调递增. 此时函数在上无极值； 当时，令，解得， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 综上，当时，函数在上无极值； 当时，函数在处取得极小值，无极大值. 题型03 根据函数的极值求参数 【典例3】（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在处取得极小值-2． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）根据取得极值的条件列方程组即可求解； （2）根据连续函数在闭区间上的最值即可求解. 【详解】（1），由题意可知，即，解得， 经检验是函数的极小值点，所以. （2）由（1）可知，令，解得或， 当时，，当时，， 所以在处取得极大值，， 又，，， 所以函数在上的值域为. 【变式3-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）若函数的极大值是6，则 . 【答案】6 【知识点】根据极值求参数 【分析】利用极大值的性质并结合导数得到在处取得极大值6，进而求解参数值即可. 【详解】设，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 可得函数在处取得极大值6，即，解得. 故答案为：6 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则 . 【答案】24 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】根据极值点和极值可得关于参数的方程组，求出其解后再检验可得参数的值，从而可求. 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数有极大值，则实数c 的值为 【答案】6 【知识点】根据极值求参数 【分析】对函数求导，令导数为0，求出极值点，分情况讨论函数的单调性，得出相应的极值点并结合已知极大值计算求解． 【详解】， 求导得，令，解得或， 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极大值，在处取得极小值， ，即，解得； 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极小值，在处取得极大值， ，不符合题意； 若，则，函数单调递增，无极值，不合题意； 综上，实数． 故答案为：6． 题型04 求函数的极值点 【典例4】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)求的极值点个数； (3)求所有极值点的乘积. 【答案】(1)在，上单调递增 (2)在其定义域上存在两个极值点 (3)1 【知识点】函数极值点的辨析、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求出的定义域为，然后求导得，再令，再结合导数知识可求解； （2）由（1）可得，，从而，使，且，，从而所以，使，再结合导数极值知识即可求解； （3）由（2）知，是函数的零点，从而化简得到，即可求解. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，由， 所以可得， 当时，，则， 综上可得， 令，则恒成立， 所以在，上单调递增. （2）因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在（0，1）上有一个极小值点. 因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在上有一个极小值点， 所以在其定义域上存在两个极值点. （3）由（2）知，是函数的零点， 所以， 所以，所以. 因为，所以，且在，上各存在一个零点，， 所以，即， 所以所有极值点的乘积为. 【变式4-1】（24-25高二下·四川达州·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为 . 【答案】1 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值点 【详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负， 由导函数的图象可知，这样的极大值点为1， 故答案为：1 【变式4-2】（23-24高二下·广东清远·月考）函数的极大值点为 . 【答案】1 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的定义计算即可. 【详解】因为，所以， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以在处取得极大值，即函数的极大值点为1. 故答案为：1 【变式4-3】（24-25高二下·广西梧州·期末）函数的极小值点为 ． 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】先求导，然后由与求得单调区间，再由导数与极值的关系求得极小值点. 【详解】， 令，即，∴； 令，即，∴． ∴的单调增区间为，单调减区间为． 因此时函数取得极小值. 函数的极小值点为. 故答案为： 题型05 确定极值点的个数 【典例5】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程; (2)若函数，求函数极值点的个数; 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）求导，分类讨论求解函数的单调区间，根据极值点的概念即可判断极值点个数； 【详解】（1）解：的定义域为，，， 所以，，所以曲线在处的切线方程为 （2）解：， 对于方程， ①当时， ，此时没有极值点; ②当时，方程的两根为，，不妨设， 则，，， 当或时，， 当时，，此时，是函数的两个极值点; ③当时，方程的两根为，，且，， 故，，当时，，故没有极值点; 综上，当时，函数有两个极值点; 当时，函数没有极值点. 【变式5-1】（2025·江西·模拟预测）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．675 B．676 C．2027 D．2028 【答案】B 【知识点】正切函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、函数极值点的辨析 【分析】根据极值点的定义，将问题等价转化为函数求零点，根据零点的定义，结合图象，可得变号零点存在的区间，结合题意，可得答案. 【详解】由题意可得． 当时，显然，于是， 易知符合条件的解为的变号零点，即的极值点， 于是的极值点均可视作的图象与直线交点的横坐标， 由可知交点必在第四象限． 当时，由图象可知的解集为． 故的图象与直线在每一个区间上有且仅有一个交点． 由解得，故满足条件的区间共676个， 于是的图象与直线在区间上共有676个交点， 即在区间（0，2028）上共有676个极值点． 故选：B． 【变式5-2】（24-25高二下·上海·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有 个 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据导函数的图象确定区间单调性，进而判断极值点个数. 【详解】由题图，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点. 故答案为：1 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期中）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为 ． 【答案】 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】利用极值点的定义判断即可. 【详解】若为函数的极大值点，则在左侧附近的导数为正，在右侧附近导数为负， 结合图象可知，函数在上极大值点的个数为. 故答案为：. 题型06 根据函数的极值点求参数 【典例6】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 【变式6-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）若函数在处取得极小值，则 ． 【答案】/ 【知识点】根据极值点求参数、函数极值点的辨析 【分析】通过导数判断的单调性，从而找到其极值点，进而求出. 【详解】的定义域为，, 令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点， 所以， 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知为函数的极小值点，则 . 【答案】 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】利用导数判断函数的单调性可知结果. 【详解】，令，则；令，则， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以是函数的极小值点，所以. 故答案为： 【变式6-3】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若函数在处有极小值，则等于 ． 【答案】108 【知识点】根据极值点求参数、函数极值点的辨析 【分析】由，求得并检验，求得的解析式，运算得解. 【详解】， 因为在处有极小值，所以， 即，解得或， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，不合题意， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极小值，合题意， 所以，则. 故答案为：108. 题型07 根据函数的极值点个数求参数 【典例7】（25-26高三上·江西上饶·月考）已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由导数为0结合韦达定理可得，通过斜率计算公式化简即可得结果. 【详解】由题意知的定义域为， 且. 令，得，此方程有两个不相等的实数根， 其中， 故直线的斜率为 ， 即直线的斜率为. 故答案为：. 【变式7-1】（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式7-2】（25-26高三上·重庆北碚·月考）若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、根据极值点求参数 【分析】对函数求导，问题化为导函数在上有两个变号零点，令，与在上有两个交点，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，令， 又在上有两个极值点，即在上有两个变号零点， 令在上单调递减，且， 根据二次函数性质知只需与在上有两个交点， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，在上，在上， 综上，与有两个交点，则. 故选：B 【变式7-3】（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数极值点的辨析、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】将问题转化为存在两个不同的零点，利用即可. 【详解】函数定义域为R， 因函数恰有三个单调区间，则函数有两个极值点， 即在上存在两个不同的零点， 则判别式，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 题型08 函数（导函数）的图象与极值点的关系 【典例8】（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数的图象如图所示，则（   ）． A．0 B．l C．2 D． 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值点、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点，则， 求导得，是函数的两个极值点，即为函数的两个变号零点， 而，所以. 故选：D 【变式8-2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 【变式8-3】（多选）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABC 【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】由极值点定义及导数符号与函数单调性关系逐项判断. 【详解】对于A：图象在处左正右负、在处左负右正、在处左正右负， 所以函数共有三个极值点，A错误； 对于B：由极值点定义可知是的极大值点，B错误； 对于C：由图象，在为负，在为正， 所以在单调递减，在单调递增，C错误； 对于D：由图象，在为负，所以在单调递减，D正确； 故选：ABC. 题型09 函数（导函数）的图象与极值的关系 【典例9】（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 【变式9-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【详解】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B 【变式9-2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 【变式9-3】（多选）（24-25高二下·福建泉州·月考）如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（    ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【答案】AC 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解. 【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误； 对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确； 对C，由的图象，可知时，， 所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误； 对D，由的图象，可知时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取得极小值，故选项D正确. 故选：AC. 一、单选题 1．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数的导函数为，若函数的图象如图所示，则的极小值点为（    ） A． B．0 C．或 D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析 【分析】根据导函数的符号判断函数的单调性，判断函数的极小值点. 【详解】由图可知，当时，， 当时，，当且仅当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而的极小值点为. 故选：D 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、函数极值点的辨析 【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【详解】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 4．（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【详解】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A. 5.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数、函数极值点的辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先求出导函数，对进行分类讨论发现当时，不存在极值点，当时，恰好存在一个极值点，由此可得答案. 【详解】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有，令，得， 当时，；当时，，即恰好有一个极小值点， 符合题意，故a的取值范围是. 故选：C. 6．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 7．（25-26高三上·河北沧州·月考）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值求参数 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，则在区间（    ）上一定存在极值点. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析 【分析】结合题意可设，，进而结合极值点的定义分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由，，则， 要使存在极值点，则一定有两个变号零点， 可设，，则 当时，函数开口向上，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 同理，当时，函数开口向下，且， 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 综上所述，函数在一定存在极值点. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二·全国·假期作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数是点为极值点的充要条件 D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 【答案】BD 【知识点】函数极值点的辨析、函数最值与极值的关系辨析、函数极值的辨析 【分析】根据极值和最值的概念可判断ABD，对于C，举说明即可. 【详解】对于A，函数在某区间上或定义域内的极大值可以有多个，故A错误； 对于B，函数的极大值不一定比极小值小，故B正确； 对于C，对可导函数，是点处为极值点的必要不充分条件， 例如， ，但是不是函数的极值点.，故C错误； 对于D，函数的极值是局部概念，可以有多个极值，函数的最值是全局概念， 函数的最大值和最小值分别最多只有一个，故D正确. 故选：BD 10．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 【答案】ACD 【知识点】函数极值点的辨析、函数极值的辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断或证明函数的对称性 【分析】求得，根据求极值和判断极值的方法可以判断A，B；通过利用导数研究在上的单调性可以判断C；通过计算看其的结果是否为可判断D. 【详解】由，得， 对于A，当时，令得或， 当时，；当时，；当时， 所以有两个极值点，故A正确； 对于B，当时，，，，故B不正确； 对于C，当时，若，则，所以在上单调递增， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，， 因为， 关于点中心对称.故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的极值点均为，则（   ） A．若，则 B． C．c可能为 D．b可能为1 【答案】ABD 【知识点】函数极值点的辨析、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】对函数求导，问题化为两两相交且交点横坐标为正实数，结合各选项描述，并应用导数、对数函数的性质判断各项的正误. 【详解】由题设， 所以是的两个零点，即两两相交且交点横坐标均为正实数， 所以的交点横坐标为，即是的两个根， 所以的两个根为，故， 所以，，且，B对， A：当，即，显然存在一个根为1，故，则，A对， C：若，则在上存在两个根， 对于，即，仅当时取等号， 对于，则，显然有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 所以，仅当时取等号， 综上在上恒成立，故在上不存在实根，与题设矛盾，C错， D：若，由有两个正实根，结合一次函数和对数函数的图象，易知且， 由，则且，    此时，且， 同时，故，，满足前提， 综上，时，存在，且满足要求，D对. 故选：ABD 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 【答案】 【知识点】求已知函数的极值、求已知函数的极值点 【分析】利用即可求解. 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 13．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 【答案】 【知识点】求已知函数的极值 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得或， 当时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值. 故答案为：-6 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】原问题等价于有两个不同的根，令，利用导数法求出单调性，数形结合即可求解. 【详解】由得， 因为函数有两个极值点，所以有两个异号零点， 即有两个不同的根，显然，则有两个不同的根，令， 则与的图象有两个不同的交点， ，当和时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在时，取得极小值，作出图象如图： 由图可知，所以，所以m的取值范围是 . 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为. 【知识点】求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 16．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调区间及极值. 【详解】（1）当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 17．（25-26高二上·全国·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，故， 可得曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，恒成立， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，恒成立，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3.2 函数的极值与导数 教学目标 1.理解函数极大值、极小值和极值点的概念，明确极值的局部性特征。 2.掌握函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能借助导数判断函数的极值点。 3.熟练运用一阶导数符号变化、二阶导数符号判别两种方法求可导函数的极值，能解决简单的极值求解问题。 教学重难点 1.重点： （1）理解函数极值的定义及局部性本质，能准确识别函数的极值点和极值。 （2）掌握利用导数求可导函数极值的核心方法，包括一阶导数法判断极值点、求解极值的完整步骤。 （3）理解导数与函数极值的内在联系，明确 “导数为 0” 是函数在该点取得极值的必要条件。 2.难点： （1）理解导数为 0 的点不一定是极值点，能准确判断导数零点两侧的符号变化，区分 “驻点” 与 “极值点”。 （2）对含指数、三角函数等复杂表达式的函数，能正确求导、求解导数零点，并准确判定极值点类型。 （3）掌握二阶导数判别极值的适用条件，理解二阶导数符号与函数凹凸性、极值类型的关联。 （4）能将实际生活中的最优化问题抽象为函数极值模型，确定函数定义域并验证极值的实际意义。 知识点01 函数的极值与导数 1.极大值与极大值点 设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有定义，x0是区间 (a,b) 内的一个点。若点 x0附近的函数值都小于或等于 f(x0​)（即 f(x)≤f(x0)），就说 f(x0) 是函数 y=f(x) 的一个极大值，此时称 x0为极大值点。 2.极小值与极小值点 设函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有定义，x0是区间 (a,b) 内的一个点。若点 x0附近的函数值都大于或等于 f(x0)（即 f(x)≥f(x0)），就说 f(x0) 是函数 y=f(x) 的一个极小值，此时称 x0为极小值点。 3.极值与极值点的统称 （1）极大值和极小值统称为极值。 （2）极大值点和极小值点统称为极值点。 （3）简言之：极值是局部开区间上的最值。 4.极值点与导数的关系 必要条件换句话说，函数在极值点的导数为0。导函数的零点可能不是函数的极值点。 5.驻点与极值点的判定 （1）若 f′(c)=0，则 x=c 叫作函数 f(x) 的驻点。 （2）如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点。 6.利用导数求函数极值的步骤：如果函数y=f(x)在某个区间内有导数，就可按下列步骤求它的极值： （1）求导数：求导数。 （2）求驻点：求f(x)的驻点，即方程f′ (x)=0的解。 （3）确定极值点：对于方程f′(x)=0的每一个解x0，分析在x0左右两侧的符号（即讨论f(x) 的单调性），①若在x0两侧的符号为 “左正右负”，则x0为极大值点；②若在 x0两侧的符号为 “左负右正”，则x0为极小值点。 （4） 求极值：求出各极值点的函数值，就得到函数y=f(x)的全部极值。 【即学即练】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值. 题型01 函数极值点的辨析 【典例1】（2025·北京·模拟预测）已知函数 ，则 的极值点的个数情况可能为 （   ） A．没有极值点 B．有无穷多个极值点 C．恰有 2025 个极值点 D．恰有 2026 个极值点 【变式1-1】（2025·江苏·三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（   ） A．是的极小值点 B．是的极大值点 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【变式1-2】（多选）（24-25高二下·广东·月考）已知是定义在上的可导函数，则（    ） A．若，则是增函数 B．若，则0是的极值点 C．若，则 D．若，则是减函数 【变式1-3】（多选）（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 题型02 求已知函数的极值 【典例2】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线斜率； (2)讨论函数的极值； 【变式2-1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【变式2-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若为函数的导函数，讨论函数的极值； 题型03 根据函数的极值求参数 【典例3】（25-26高三上·河北衡水·期中）已知函数在处取得极小值-2． (1)求的解析式； (2)求在区间上的值域． 【变式3-1】（24-25高二下·福建泉州·月考）若函数的极大值是6，则 . 【变式3-2】（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则 . 【变式3-3】（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数有极大值，则实数c 的值为 题型04 求函数的极值点 【典例4】（24-25高二下·河北石家庄·期末）已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)求的极值点个数； (3)求所有极值点的乘积. 【变式4-1】（24-25高二下·四川达州·期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则函数的极大值点为 . 【变式4-2】（23-24高二下·广东清远·月考）函数的极大值点为 . 【变式4-3】（24-25高二下·广西梧州·期末）函数的极小值点为 ． 题型05 确定极值点的个数 【典例5】（24-25高二下·江苏南京·月考）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程; (2)若函数，求函数极值点的个数; 【变式5-1】（2025·江西·模拟预测）函数在区间上的极值点个数为（   ） A．675 B．676 C．2027 D．2028 【变式5-2】（24-25高二下·上海·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有 个 【变式5-3】（25-26高二上·上海·期中）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在上极大值点的个数为 ． 题型06 根据函数的极值点求参数 【典例6】（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【变式6-1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）若函数在处取得极小值，则 ． 【变式6-2】（24-25高二下·福建福州·期中）已知为函数的极小值点，则 . 【变式6-3】（24-25高二下·内蒙古包头·期末）若函数在处有极小值，则等于 ． 题型07 根据函数的极值点个数求参数 【典例7】（25-26高三上·江西上饶·月考）已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点，设点，则直线的斜率为 . 【变式7-1】（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高三上·重庆北碚·月考）若函数在上有两个极值点，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二下·四川成都·期中）若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 题型08 函数（导函数）的图象与极值点的关系 【典例8】（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【变式8-1】（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数的图象如图所示，则（   ）． A．0 B．l C．2 D． 【变式8-2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【变式8-3】（多选）（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断不正确的是（    ）    A．函数有四个极值点 B．为的极大值点 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 题型09 函数（导函数）的图象与极值的关系 【典例9】（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【变式9-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【变式9-2】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 【变式9-3】（多选）（24-25高二下·福建泉州·月考）如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（    ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 一、单选题 1．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数的导函数为，若函数的图象如图所示，则的极小值点为（    ） A． B．0 C．或 D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高三上·河北沧州·月考）若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，则在区间（    ）上一定存在极值点. A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二·全国·假期作业）（多选）下列命题正确的是（   ） A．函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数是点为极值点的充要条件 D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 10．（24-25高二下·山东威海·期中）已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，在处有极值 C．当时， D．当时，曲线关于点中心对称 11．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的极值点均为，则（   ） A．若，则 B． C．c可能为 D．b可能为1 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 13．（2025·四川·三模）函数的极小值是 . 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 16．（25-26高二上·陕西·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调性和极值． 17．（25-26高二上·全国·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $