天津市蓟州区第一中学等校2025-2026学年第一学期期末高二数学学生学业能力调研试卷

2025～2026学年度第一学期期末 高二数学参考答案 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C B D A C D A A D 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. . 11. 外切 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共5题，共75分） 16．（本小题满分14分） （1）平面，以为原点，分别以､ 的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ………………………1分 ，点是的中点， ，， 则. 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . ………………………3分 平面. ………………………5分 （2）， 设平面的法向量为，则有 不妨令，得， . ………………………7分 则， 点到平面的距离为. ………………………10分 （3）设平面与平面的夹角为， 平面的法向量为，平面的法向量为， ， 平面和平面夹角的余弦值等于. ………………………14分 17.（本小题满分15分） （1）由椭圆的简单几何性质，可知 ………………………1分 将点代入，得， …………………………3分 所以椭圆C的标准方程为. …………………………5分 （2）由已知可得椭圆的右焦点为， 直线l的方程为， …………………………7分 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， …………………………9分 则， …………………………11分 点到直线的距离， …………………………13分 故. …………………………15分 18．（本小题满分15分） （1）设等差数列的公差为，等比数列公比为， ， …………………………2分 解得：， …………………………4分 ， …………………………6分 （2）， …………………………7分 ，… ……………8分 ， …………………………9分 两式作差得： …………………………12分 . …………………………15分 19.（本小题满分15分） （1）由椭圆的定义知的周长为，， …………………………2分 代入椭圆方程有，，， 所以通径， …………………………4分 故椭圆的标准方程为 …………………………5分 （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 ……………………7分 直线的方程为 …………………………8分 令，解得，则， …………………………9分 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 …………………………10分 令，则 …………………………11分 …………13分 所以直线过定点. …………………………15分 20．（本小题满分16分） （1）根据题设条件可知为公差为1的等差数列， 根据等差数列的通项公式可得， …………………………1分 又为公差为的等差数列， 根据等差数列通项公式的推广公式可得，解得 ………3分 （2）由题可知：为公差为1的等差数列， 根据等差数列的通项公式可得， …………………………4分 为公差为的等差数列， 故， …………………………6分 为公差的等差数列， 故， 又为正整数，故，即的最小值为. ………………………9分 （3）记除以的整数部分为，余数为，则， 当时，是公差为的等差数列， 而， …………………………10分 依次类推得， 累加得， …………………………12分 当时，， 当，根据等比数列的求和公式可得， 也即 …………………………14分 由题，，则 当时，，仍然满足上式， 综上，数列的通项公式为 …………………………16分 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度第一学期期末高二数学 学生学业能力调研试卷 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1.过两点40,4)，(5的直线的倾斜角为（) A.30 B.60 C.120 D.150 2.设xyeR,向量a=(1xy),b=(2,-4,2),a/B,则2x-y=（) A.-7 B.-5 C.-3 D.1 3.在等差数列{an}中，a,+4+a6=60,则4+a的值为（) A.15 B.20 C.30 D.40 4.已知双曲线若常-1o>00>0的一条渐近线与直线x-3y+2=0垂直，则该 双曲线的离心率为() A.0 B.3 C.5 D.2 5.已知圆C:x2+y2-4x-m+9=0与直线：√5x+y-5=0相交于A,B两点，若 △ABC为正三角形，则实数m的值为() A.4 B.5 C.6 D.7 6.设数列{x}满足，=1+nx,且片+为++。=10，则+xa++名0=（) A.11e0 B.11-e C.10-e21 D.10e20 7,双曲线c:三-女=1@>0，b>0)的左顶点与抛物线y=2prp>)的焦点 距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为(~1，-2)，则双曲 线的焦距为() 高二数学第页共8页 A.65 B.35 c.65 D.35 8.已知双曲线C=(>0,6>0)的左、右焦点分别为，6，点4B分别在 C的左支和右支上，且满足AIBR,5M=3BF,BF=2M,则C的高心 率为() A.4 B.34 c.5 D. 2 g.数列a}满足a-品nae门，若a+a4+agg++agg号成 6 立，则正整数n的最大值为() A.4 B.6 C.8 D.10 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10.已知直线l:x+(2a-1)y+a-2=0总是经过定点，则定点坐标为 11.已知圆C:x2+y2-2x+2my+1=0(meR)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆 C,:(x+3)'+(y-2)°=16，则圆G与圆C的位置关系是 (外离、外切、 相交、内切、内含) 12.已知等比数列{a}的前n项和为S。,且2S.=301-3,则a= 13.如图，直三棱柱ABC-ABC中， AA=2,AB=BC=1,LABC=90', 点D是BB中点，则点C到直线DA的距离是 已知点M为双腊线C:芹-卡=a>0>0在第-象限上一点点P为 双曲线C的右焦点，O为坐标原点，F到一条渐近线的距离为√5，且 高二数学第2页共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 4MO=4Mf=7OF,则双曲线C的标准方程为 15.设抛物线y=2x(p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作1的垂 线，垂足为B.设C(P,O),AF与BC相交于点E.若AB=2CF,且△ABE的面积 为3，P是抛物线上的一点，则PC的最小值为 三、解答题（共5题，共75分） 16.(本小题满分14分)如图，三棱台ABC-ABC中， AB⊥AC,AB=AC=4,AB=AC=AA=2,侧棱AA⊥平面ABC,点D是 CC的中点. (1)求证：BB⊥平面ABC: (2)求点B到平面ABD的距离： (3)求平面AB,C和平面ABD夹角的余弦值. 17.(本小题满分15分)已知椭圆C: 芳=e>b>0的过点)和L) (I)求椭圆C的标准方程： (2)若经过椭圆C的右焦点E作倾斜角为45°的直线1，直线1与椭圆C交于 A,B两点，O为坐标原点，求AAOB的面积. 18.(本小题满分15分)已知公差为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,数 列{bn}为等比数列，且a1=1,6=2,b,S2=18,b2+S3=12. (1)求数列{a}和也}的通项公式： 高二数学第3页共8页 (2)求数列{a。b,}的前n项和Tn 19.（本小愿清分15分)已知椭圆C:号+茶-1>6>0的左、右焦点分别为 F,F,过点的直线I与C交于D,E两点，△DEF的周长为8，当直线I垂 直于x轴时，DE=2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左顶点为A,直线x=y+1与C相交于M,N两点，直线AM 与直线x=4相交于点2.问：直线N2是否过定点？若过定点，求出该点坐标： 若不过定点，请说明理由. 20.(本小题满分16分)已知k为正整数且k≥2，d为非零实数，数列{a}满 足a=1,且4，a,,a是公差为1的等差数列，a,a4,au是公差为d的等差数 列，au,a,,au是公差为dP的等差数列，以此类推 (1)当k=10,a=50时，求d; (2)求a:的最小值（用含k的代数式表示）： (3)记n除以k的整数部分为S,余数为t,求{a}的通项公式（用含k,n,s,1 的代数式表示). 高二数学第4页共8页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp