7.3.1 正弦函数的性质与图象（第一课时）教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学教学设计聚焦正弦函数的性质与图象（第一课时），通过摩天轮情境抽象出点P高度与角x的函数关系，引出正弦函数定义，借助正弦线直观探究定义域、值域、奇偶性等性质，构建从生活情境到数学抽象的学习支架。 特色在于以情境问题驱动，用正弦线突破性质理解难点，体现“用数学眼光观察现实世界”“用数学思维思考现实世界”。例题如比较正弦值大小、求函数最值，培养推理意识与应用能力，助力学生形成数学表达习惯，为教师提供清晰的教学流程与实例支持。

7.3.1 正弦函数的性质与图象（第一课时） 【课程基本信息】 年级 高一 课题 正弦函数的性质与图象 课时 2课时 授课教师 【教学目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.利用正弦线理解正弦函数的性质. 3.掌握正弦函数的性质及其应用. 【教学重点】 利用正弦线理解正弦函数的性质. 【教学难点】 正弦函数的性质及其应用. 【教学过程】 情境与问题：如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系.设O到地面的高OT为l m，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r m，记以OP为终边的角为x rad，点P离地面的高度为y m，那么y是x的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？ 设计意图：根据生活中的情景，更好地引出正弦函数的定义. 正弦函数的定义：对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此 y=sin x是一个函数，一般称为正弦函数． 用正弦线可以直观地表示正弦函数地函数值，如图，就是角x的正弦线. 教师提问：你能由正弦线得出正弦函数y=sin x具有哪些性质吗？ 1.定义域与值域：因为任意角都有正弦，所以y=sin x的定义域为R. 值域：由上图中的正弦线可以看出，的长度最大是1，最小是0.因此可知 y=sin x的值域为[-1，1]，而且当x=+2kπ(k∈Z)时，y=sin x取得最大值ymax=1；当x=+2kπ(k∈Z)时，y=sin x取得最小值ymin= -1. 2.奇偶性：由诱导公式sin(-x)= -sin x，可知，正弦函数y=sin x是奇函数，其图象关于原点中心对称. 3.周期性：由诱导公式sin(x+k·2π)=sin x(k∈Z)可知，当自变量x的值每增加或减少2π的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性.由上可知，正弦函数y=sin x是一个周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期. 教师提问：根据上面的周期性，尝试给出周期的概念. 周期的定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x+T)=f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期. 最小正周期的定义：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. 注意：今后如果不特殊说明，均为最小正周期. 4.单调性：一般地，正弦函数y=sin x在区间上递增， 在上递减. 5.零点：可以看出，正弦函数y=sin x的零点为kπ(k∈Z). 总结一下：正弦函数的性质 性质 定义域 R 值域 [-1，1] 奇偶性 奇函数 周期性 周期：2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期：2π 单调性 单调递增： 单调递减： 零点 kπ 【课堂例题】 例1：已知sin x=t-3，x∈R，求t的取值范围. 解：因为-1≤sin x≤1，所以-1≤t-3≤1，由此解得2≤t≤4. 例2：不求值，比较和的大小. 解：因为，，又因为y=sin x在区间内递增，且，所以，因此. 例3：求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值. （1）y=sin x-2； （2）y=(sin x-1)2+2； （3）. 解：（1）函数y=sin x-2与y=sin x同时取得最大值和最小值，所以当x=+2kπ(k∈Z)时，y=sin x-2取得最大值-1，当x=+2kπ(k∈Z)时，y=sin x-2取得最小值-3. （2）令t=sin x，则y=(t-1)2+2，t∈[-1，1]，于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.因为-1≤t≤1时，-2≤t-1≤0，所以0≤(t-1)2≤4，因此2≤(t-1)2+2≤6，从而ymax=6，此时t-1=2，t= -1，即sin x= -1，x==+2kπ(k∈Z)；ymin=2，此时sin x=1，x=+2kπ(k∈Z). （3）令t=sin x，则.因为时，，所以，因此.从而，此时sin x=-1，；，此时，，即，或. 【课堂巩固】 1.下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是( ). A.在上单调递增，在上单调递减 B.在上单调递增，在上单调递减 C.在及上单调递增，在上单调递减 D.在上单调递增，在及上单调递减 2.已知集合，集合，则( ) A. B.S C.T D.R 3.设函数，下列结论不成立的是( ) A. B. C.最小正周期是 D. 【小结作业】 41页的课后习题 【板书设计】 7.3.1 正弦函数的性质与图象（第一课时） 1.正弦函数的性质 2.周期的概念 3.最小正周期的概念 4.正弦函数的概念 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $