寒假巩固作业08一元一次方程的实际应用2025-2026学年人教版数学七年级上册

寒假巩固作业08一元一次方程的实际应用 （知识框架+核心思维+巩固提升+十四大题型+习题精炼+易错点） 目录 核心解题思维 1 必须警惕的三大高频错误 1 高效复习策略 1 十四大题型核心知识点速查 3 题型一、和差倍分问题 5 题型二、数字问题 5 题型三、比赛积分问题 6 题型四、工程问题 7 题型五、动点问题 8 题型六、几何问题 10 题型七、行程问题 12 题型八、配套问题 14 题型九、销售盈亏问题 14 题型十、方案选择问题 16 题型十一、电费水费问题 17 题型十二、比例分配问题 19 题型十三、日历问题 19 题型十四、古文化问题 21 本资料系统梳理了一元一次方程应用题的14大核心题型，旨在帮助你快速识别题型、掌握核心等量关系、避开解题陷阱，从而高效提升解题能力。 核心解题思维 五步法 解决任何方程应用题，都应遵循以下五个关键步骤，这是解题的通用“脚手架”。 1.审：仔细阅读，划出已知量、未知量、关键关系词（如“共”、“比…多/少”、“是…倍”）。 2.设：合理设未知数（直接设问或间接设），注意带上单位。 3.列：寻找等量关系，用含未知数的式子表示相关量，列出方程。 4.解：解方程， 5.验、答：务必检验（代入原方程验算；检查解是否符合实际意义），并作出答。核心易错点与复习建议 必须警惕的三大高频错误 1.等量关系错误：这是失分的首要原因，务必紧扣关键词，明确谁和谁相等。 2.单位不统一：行程题中的“小时”与“分钟”，几何题中的“米”与“厘米”，列方程前必须统一。 3.解不检验：解出方程后，必须代入原方程检验计算，并判断答案是否符合实际（如人数为正整数、时间非负等）。 高效复习策略 题型归类：对照上表进行练习，强化“识别题型→调用模型”的思维反射。 错题深究：建立错题本，重点记录错误原因（审题？列式？计算？）和正确等量关系。 十四大题型核心知识点速查 题型分类 核心等量关系/模型 解题关键要点 一、和差倍分问题 "比"、"是"、"等于"等词建立关系 关键：找准"基准量" 易错：将"多/少"的关系列反 二、数字问题 两位数 = 十位数字×10 + 个位数字 关键：区分"数字"与"数" 易错：数位变化时混淆位置 三、比赛积分问题 总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 关键：用总场次表示另一种场次 易错：忽略非负整数条件 四、工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 常设总工作量为"1" 关键：明确实际工作时间 易错：合作时时间计算错误 五、行程问题 路程=速度×时间 相遇：路程和=总路程 追及：路程差=初始距离 关键：画线段图分析，统一单位 易错："提前"、"晚到"理解错误 六、销售盈亏问题 利润 = 售价 - 进价 利润率 = (利润 / 进价) × 100% 关键：理清五者关系 易错：利润率分母用错 七、方案选择问题 分别计算各方案费用表达式，比较或求临界点 关键：设同一变量表示两种方案 易错：遗漏方案，临界点判断错误 八、配套问题 甲:乙 = 配套比例 例：螺母数 = 2 × 螺钉数 关键：按比例表示需求总量 易错：将配套比例关系列反 九、动点问题 路程 = 速度 × 时间。 t秒后位置：起点 ± 速度×时间 (注意方向)。 关键：用时间t统一表示各动点位置，根据“相遇”、“追及”、“距离为定值”列式。 易错：混淆“位置”与“距离”，方向处理错误。 十、几何问题 周长、面积、体积公式。 例：长方形周长=2(长+宽)，面积=长×宽。 关键：设未知量，用公式建立方程。 易错：单位不统一；形状变化时抓不住不变量。 十一、阶梯收费问题 (水电费等) 总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + …。 模式：固定部分 + 超出部分 × 新单价。 关键：先判断用量所属区间，再分段列式。 易错：未判断区间直接列方程，导致单价用错。 十二、比例分配问题 总量 = 各部分之和。 设一份为x，则各部分为a₁x, a₂x, a₃x…。 关键：用比例系数设未知数，简洁明了。 易错：混淆“按比例分配”与“已知部分求比例”。 十三、日历问题 同行相邻数差1，同列相邻数差7。 方框中，对角线数字和相等。 关键：用最小数x表示方框内所有数。 易错：表示日历数字时行列规律应用错误。 十四、古文化问题 (盈不足等) 将古文翻译为数学等式。 典型模型：人数×出钱数 ± 盈不足数 = 总物价。 关键：准确理解“盈”（多）、“不足”（少）、“适足”（刚好）的含义。 易错：古文理解偏差导致等量关系错误。 题型一、和差倍分问题 1．王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生年龄是另外三人年龄和的，李先生年龄是另外三人年龄和的，赵先生年龄是另外三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗？ 2．两支外观相同、成分不同的蜡烛，以均匀速度燃烧．其中一支2小时烧完，另一支可以燃烧3小时．晚6点半同时点燃蜡烛，多少小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍？（列方程解应用题） 3．水果商店运来桔子、苹果和梨共410千克，其中桔子是梨的2倍，梨比苹果的少10千克，三种水果各多少千克？ 4．甲、乙两车间原有人数的比是，从甲车间调出48人到乙车间后，甲车间的人数是乙车间的．甲、乙两车间原来各有多少人？ 题型二、数字问题 5．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏（如图所示），现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，老师已经完成了部分填空，请同学们完成下列问题：    (1)求图中的值； (2)求图中的值． 6．有一列数：2，，8，，…，第个数可以表示为（为正整数），若这列数中三个相邻数的和是96，求这三个数． 7．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 （1）我们用表示一个三位数．其中，，分别表示百位，十位，个位上的数字，请证明：若能被3整除，则能被3整除． 【学以致用】 （2）若三位数能被3整除，求的值． 8．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数3752换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个n进制数43，换算成十进制数是23，求n的值． 题型三、比赛积分问题 9．某中学举办“校园非遗文化节”，设置皮影戏展演竞赛，参赛班级按得分排名，计分规则如下：皮影戏展演获胜一场积2分，平一场积1分，负一场积分．某班参加了14场比赛，并保持不败的纪录，最终总得分为22分，求该班获胜了多少场． 10．在足球联赛中，文昌队表现抢眼，开局保持不败．球迷小亮收集了该队的初期战绩信息：该队在前9场比赛中保持不败，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)如果文昌队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？ (2)文昌队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 11．我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 12．社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 题型四、工程问题 13．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要天，乙工程队单独完成需要天． (1)甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？ (2)若两队合作天完成此项工程，在甲工程队将效率提高的情况下，那么乙工程队的效率应提高多少？ 14．某农场有一块面积为亩的耕地需要播种，现安排、两个播种队共同完成这项任务．已知播种队每天播种的亩数是播种队每天播种亩数的倍，、两个播种队合作天完成了总任务的． (1)求、两个播种队每天分别可播种多少亩； (2)若播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由播种队单独完成，总费用刚好为万元．已知播种队每天的播种费用为万元，播种队每天的播种费用为万元，求播种队单独播种的天数． 15．“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 16．某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 题型五、动点问题 17．如图，数轴上有A，B两点对应的数分别是a，b，且满足，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的n倍，则称点P为点A，B的“n倍点”，记作．点C表示的数为10． (1)求a，b的值； (2)若点P表示的数为0，求n的值； (3)点P，Q分别同时从点A，B出发，点P沿数轴以每秒3个单位的速度向点C运动，点P到达点C后，再立即以同样的速度返回到点A，到达点A停止运动．点Q沿数轴以每秒1个单位的速度向点C运动，到达点C停止运动．设点P运动时间为t，当t为何值时，点P为点B，Q的“2倍点”． 18．表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【背景知识】 数轴能将数与形结合，有如下规律： ①若数轴上点，表示的数分别为，．则，两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． ②若在数轴上一个点表示的数为，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为． 【综合应用】 如图，点表示的数为，点所表示的数为． (1)填空： ①的中点所表示的数为 ； ②若，则点表示的数为 ． (2)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①、运动过程中，当点正好是的中点时，，求点的速度． ②若点保持①中的速度继续运动，当点运动到的四等分点时，求的运动时间t． 19．数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足．点M为数轴上一动点，其对应的数为m． (1)点A表示的数为_________；若点M为线段AB的中点，则点M对应的数为________． (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为12时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D的距离分别为，则，即原点O是点C，D的“2倍点”，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒．当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值． 20．如图，长方形中，，，点P从点A出发，沿匀速运动；点Q从点C出发，沿的路径匀速运动，两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动，点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，后两点在长方形某一边上的点E处第二次相遇后停止运动，设点P原来的速度为． (1)点Q的速度为___________（用含x的代数式表示）； (2)求点P原来的速度． (3)判断E点的位置并求线段的长． 题型六、几何问题 21．根据以下素材，探索完成任务： 项目式学习：如何设计宣传牌？ 素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写24个字；中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的倍；四周空白部分的宽度相等． 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等． 素材3 如图3，每个长方形栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为． 【任务1】设四周宽度为，结合图1， （1）填空：设计部分的长为_____，宽为_____． 再列出方程求出四周宽度的值； 【任务2】（2）结合图3，求每个长方形栏目的竖直高度； 【任务3】（3）结合图2，直接写出长方形栏目与栏目之间中缝的间距是_____． 22．解决问题 如何设计班级菜地？ 素材1 如图1是长方形菜园，长，宽． （1）中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍． （2）四周过道部分的宽度相等 素材2 如图2，为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等 素材3 每垄菜地的长比宽多． 问题解决 任务1 分析数量关系 设过道宽度为，用含x的代数式表示种植区域的长与宽． 任务2 确定过道宽度 求过道宽度x的值 任务3 确定每垄菜地的大小 求每垄菜地的长与宽 23．某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量，，通过计算发现长方形的面积与长方形的面积相等．求长方形的面积． 24．如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题： (1)折成的无盖长方体盒子的长为_____cm，宽为_____cm，容积为_______cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简） (2)当时，求此时铁皮盒的容积； (3)若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值． 题型七、行程问题 25．一辆汽车从A地驶往B地，先行驶的是一段普通公路，后行驶的路段都为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，且汽车所行驶的高速公路路程是普通公路路程的2倍，从A地到B地一共行驶了．试求汽车在普通公路上行驶了多少小时？ 26．以下是两张不同类型火车（“次”表示动车，“次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求，两地之间的距离． (3)在的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 27．一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时，已知该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是千米，根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 28．某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶，冬季时实际能行驶的里程会折损．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多，高速路段总长度与市区路段总长度的比是． (1)求车主从家到该景区的路程； (2)该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家． 题型八、配套问题 29．某条生产线上有22台机器，已知一台机器一天可以生产300支笔套或500支笔芯．如果1支笔套需要2支笔芯配成一套．要使生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器生产笔套和笔芯？（每台机器只能生产笔套或笔芯中的一种） 30．一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 31．某非遗文化工坊为推广榄雕工艺，推出“非遗传承配套礼盒”定制服务，每套礼盒由1本榄雕技法手册和2枚榄雕挂件组成，已知该工坊共有36名工人，其中第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人． (1)该工坊第一车间和第二车间各有多少人？ (2)已知每名工人每天可制作4本技法手册或10枚榄雕挂件，为提升礼盒质量，原计划安排第一车间负责制作榄雕挂件，第二车间负责制作技法手册，那么每天制作的手册与挂件不能完全配套，若不考虑其他因素，问需从第二车间安排多少名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套？ 32．在数学活动课上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（如图1）．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每人每小时剪20个圆柱体侧面（如图2）或剪10个圆柱体底面（如图3）． (1)七（1）班女生有多少人？ (2)计划男生负责剪圆柱体侧面，女生负责剪圆柱体底面，要求1个圆柱体侧面配2个圆柱体底面，需要调多少名男生去支援女生，才能使每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套？ 题型九、销售盈亏问题 33．某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 苹果 6 9 金桔 8 12 (1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？ (2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？ 34．为迎接马年春节，开州某商店购进了“马到福来”（以下简称为“”）和“幸福加马”（以下简称为“”）两款红包，每个款红包进价比款红包进价贵1元，该商店购进了个款红包和个款红包共花费元． (1)求、款红包进价每个分别为多少元？ (2)春节前，款红包在进价基础上提价后售卖了，款红包按一定价格售卖了；春节后，因商店保管不善导致剩下的款红包无法售卖按报废处理，款红包按春节前的售价打八折进行促销并全部售完，销售完这两款红包后共获利元，求春节前款红包的售价为每个多少元？ 35．某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“春节年货节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件？ (2)若每件甲种产品按标价出售可获得利润20元，每件乙种产品按标价出售可盈利．“春节年货节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品打9折出售，乙种产品每件降价15元．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？ 36．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐单数超过40单的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是小刚这一周的送餐单数： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐单数 0 (1)求小刚这一周一共送餐多少单； (2)若小刚的收入为每单元，小刚想用这周的总收入买一台标价为2400元的平板电脑，这款平板电脑在商场的售价为标价的，在实际购买时，小刚幸运地抢到了一张180元的消费优惠券．小刚用这周的总收入买下这款平板电脑后，还剩120元，请求出的值． 题型十、方案选择问题 37．小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 38．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 39．为美化校园环境，某校决定购买一批花卉，经市场调查发现： 甲、乙两花店以同样的价格出售茶花和杜鹃花，已知每株茶花比每株杜鹃花贵5元，2株茶花与3株杜鹃花的费用相等． (1)每株茶花和每株杜鹃花的价格分别是多少? (2)甲花店的优惠方案： 每购买10株茶花，送1株杜鹃花； 乙花店的优惠方案： 若购买茶花超过 80株，则购买杜鹃花打八折（即 ） 假设该校购买100株茶花和a株杜鹃花，其中且为整数． ①请用含a的代数式表示： 若在甲花店购买，所花的费用为 元 若在乙花店购买，所花的费用为 元 ②当a为何值时，在两家花店购买所花的费用一样? 40．小张在元旦期间逛商场，看到如下两个商场的促销信息． A商场：全场均按九折优惠； B商场：购物不超过元，不给予优惠；超过了元，其中的元不打折，超过元的部分打七五折； 已知两家商场相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是元时，A、B两家商场实付款分别是多少元？ (2)当购物总额是多少时，A、B两家商场实付款相同？ (3)小张选择在B商场购物，实际付款元，小张的选择划算吗？请说明理由． 题型十一、电费水费问题 41．年月日起，乌鲁木齐居民生活用气（不包含采暖用气）开始执行阶梯价格制度，以下为具体阶梯收费标准： 收费方式 居民生活用气阶梯气量（立方米/年） 目前执行价格 第一阶梯 （含）的部分 元/立方米 第二阶梯 （含）的部分 元/立方米 第三阶梯 以上的部分 元/立方米 已知李明家全年生活用气量为立方米． (1)李明家应缴纳多少费用？ (2)张丽家全年生活用气比李明家多缴纳了元，张丽家全年用气量比李明家多多少立方米？ 42．某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 43．为倡导广大市民以实际行动节约用电，中国电网供电公司采用居民生活用电阶梯式计费方式．如两表分别是该市“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表和该市小明家7，8月的用电情况． 生活用电阶梯式计费价格表                                 每户每月用电量 电价（元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 180千瓦时至280千瓦时的部分 超过280千瓦时的部分 小明家7，8月用电情况 用电量（千瓦时） 电费（元） 7月 180 8月 260 (1)其中______，_________； (2)如果小明家9月应交电费是172元，则小明家这个月用电量是多少千瓦时？ 44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 6元 (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中a超出不超出），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简） (3)若该户居民4月份交水费50元，该户居民4月份用水多少立方米？ 题型十二、比例分配问题 45．2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 46．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 47．七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 48．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 题型十三、日历问题 49．如图，这是2026年2月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为4，则Y形框框中的这四个数字之和为________． (2)设框住的这四个数中最小的数为m，请用含m的式子表示另外三个数． (3)在该表中用Y形框“”框住四个数的和是否能为105？能的话，请求出这四个数字中最小的数；如不能，请说明理由． 50．综合与实践 数学活动课上，数学老师展示了一张2025年10月的月历表，让同学们观察数字间的关系，发现数学规律． 【观察发现】如图，在表中用一个小方框画出“”形，任意圈出4个阿拉伯数字x，y，z，t．若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：，，． 【解决问题】 (1)请用含有x的式子表示y，z，t． (2)按照上述方法，所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答． 51．如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 52．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 题型十四、古文化问题 53．《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 54．明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚分一碗汤，一共用了只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 55．《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？”．这道题目的意思是，今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 56．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 《2025-2026学年人教版数学七年级上册寒假巩固作业08一元一次方程的实际应用》参考答案 1．40岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先统一单位“1”，以四人年龄总和为单位“1”，将王、李、赵的年龄转化为占总和的比例，再利用杨先生的年龄求解总和，进而求出王先生的年龄，据此进行分析列式计算，即可作答． 【详解】解：设四人年龄总和为S岁， ∵王先生年龄是另外三人年龄和的， ∴王先生年龄王先生年龄， 则王先生年龄， ∵李先生年龄是另外三人年龄和的， ∴李先生年龄李先生年龄， ∴李先生年龄； ∵赵先生年龄是另外三人年龄和的， ∴赵先生年龄赵先生年龄， ∴赵先生年龄； ∵杨先生年龄26岁， ∴， ∴， 即王先生年龄（岁）． 2． 【分析】本题考查的知识点是用方程解决实际问题，关键是认真审题，依据“一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍”列方程解答即可． 【详解】解：设x小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍． 其中一支2小时烧完，燃烧的速度快，则燃烧同样时间剩余部分少，应乘2， 根据题意得： 解得 答：小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍． 3．梨有78千克，桔子有156千克，苹果有176千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设苹果有x千克，则梨有千克，桔子有千克，根据“桔子、苹果和梨共410千克”列方程求解即可． 【详解】解：设苹果有x千克，则梨有千克，桔子有千克， 根据题意，得， 解得， 则，， 答：梨有78千克，桔子有156千克，苹果有176千克． 4．甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲车间原有人，乙车间原有人，则调出后甲车间有人，乙车间有人，根据调人后甲车间的人数是乙车间的建立方程求解即可． 【详解】解：设甲车间原有人，乙车间原有人， 由题意得， 解得， ∴ 答：甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人． 5．(1) (2)或 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）如图，设小圈上的空数为，大圈上的空数为，可得两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2，再根据题意列出方程求解即可； （2）先求出c的值，从而可得，再结合已知讨论a、d的值，进而求解． 【详解】（1）解：如图，设小圈上的空数为，大圈上的空数为．    因为横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，， 所以两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2， 则，得； （2）解：由（1）知，所以，解得； ，解得． 所以当，时，； 当，时，． 故的值为或． 6． 这三个数依次是，，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到相邻数字之间的关系，进而列出方程求解是解题的关键．从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的是它前面的数与的乘积．设所求三个相邻数中的第一个数是x，则后两个数分别是，，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设所求三个相邻数中的第一个数是x，则后两个数分别是，， 根据题意，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． ∴第一个数是，则后两个数分别是，． 答：这三个数依次是，，． 7．（1）详见解析；（2）的值为2，5，8 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）类比题干可知得到，进而求解即可； （2）首先得到能被3整除，然后根据分情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， 和都能被3整除， 若能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． （2）解：， 又能被3整除， 能被3整除， ， 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2，5，8． 8．(1)2026 (2)5 【分析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元一次方程的应用，正确理解换算方法是解题关键． （1）根据八进制数换算成十进制数的方法列式计算即可得； （2）参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，； （2）解：根据题意可得： 解得， 故n的值为5． 9．该班胜了8场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．设该班胜了场比赛，则平了场比赛，利用总得分胜的场数平的场数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班胜了场比赛，则平了场比赛， ， 解得． 答：该班胜了8场比赛． 10．(1)这9场比赛中胜6场，平3场 (2)这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设该队共胜了x场，则平了场，根据题意列出一元一次方程，求出x的值即可；（2）设该队共胜了y场，则平了场，由题意列出一元一次方程，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设该队共胜了x场，则平了场，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：这9场比赛中胜6场，平3场； （2）解：设该队共胜了y场，则平了场，由题意，得 ， 解得不符合题意， 这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 11．(1)5， (2)14 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，根据得分为64分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设参赛者F答对了y道题，则答错了道题，根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者F不可能得80分． 【详解】（1）解：，即参赛者答对1道题得5分， ，即答错1道题得分； 故答案为：，； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 即他答对了道题； 故答案为： （3）解：不可能，理由如下： 设参赛者F答对了y道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不是整数，不符合题意， 参赛者F说他得了分，是不可能的． 12．(1)第一局得分为6分 (2)第二局投中A区3次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意列式计算即可求解； （2）设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：分， 答：小星第一局的得分为6分； （2）解：设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意得： ， 解得：， 答：第二局投中A区3次． 13．(1)天 (2) 【分析】本题主要考查了工程问题的应用，熟练掌握“将工作总量设为单位‘’，利用‘工作效率工作总量工作时间’ ‘工作总量工作效率工作时间’分析数量关系”是解题的关键． （）将工程总量设为单位“”，先求出甲、乙的工作效率，再根据“合作时间工作总量合作效率”计算； （）设乙工程队效率提高的比例为未知数，根据“两队合作天完成工作总量”列方程求解． 【详解】（1）解：设工程总量为，则甲的工作效率：，乙的工作效率：， 合作效率：， ∴合作时间：（天）， 答：甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要天； （2）解：设乙工程队的效率应提高，则 ， 解得， 答：乙工程队的效率应提高． 14．(1)播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩 (2)播种队单独播种天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（工程问题、费用问题）．根据题目的问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”的关系设未知数并建立等量关系，得到答案． （2）结合工作量关系与费用计算规则“总费用＝单日费用×工作天数”，设未知数并建立等量关系，得到答案． 【详解】（1）解：设播种队每天播种亩，播种队每天播种亩， 根据题意可列方程：， 解得， ∴播种队每天播种亩， ∴播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩； （2）解：设播种队单独播种天， ∴播种队播种亩，剩余亩由播种队完成， ∴播种队共播种天， ∴根据总费用可列方程：， 解得． ∴播种队单独播种天． 15．(1)天 (2)甲队万元，乙队万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，熟练掌握工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”的关系，准确根据工作量、费用的等量关系建立方程是解题的关键． （1）把工程总量设为单位“”，先计算甲单独做天的工作量，再用剩余工作量除以甲乙合作的工作效率，得到合作所需天数； （2）设乙工作总天数为未知数，根据“甲单独做的工作量乙单独做的工作量总工作量”列方程求工作天数，再设甲每天施工费为未知数，结合总费用列方程求解． 【详解】（1）解：设还需要天完成，则 ， ， ， ， 答：还需要9天才能完成． （2）解：设乙工作总天数为天，则甲工作天数为天． ， ， ， ， ， 甲工作天数：（天） 设甲每天施工费为万元，则乙每天施工费为万元． ， ， ， ， 乙每天施工费： 答：甲工程队每天施工费0.4万元，乙工程队每天施工费0.2万元． 16．(1)5天 (2)甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意列方程，再解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设乙队还需要完成任务的天数为天， 根据题意得，， 解得． 答：乙队还需要完成任务的天数为5天． （2）解：根据题意得，甲队所得报酬为（万元）， 乙队所得报酬为（万元）． 答：甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元． 17．(1)； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，正确理解“n倍点”的定义是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）求出的值，再根据“n倍点”的定义可得答案； （3）可求出点P运动到点C的时间为秒，点Q运动到点C的时间为秒，点P从点C运动到点A的时间为秒，则点P和点Q同时停止运动；分两种情况，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据“2倍点”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得，，， ∴，即； （3）解：由题意得，， ∴点P运动到点C的时间为秒，点Q运动到点C的时间为秒，点P从点C运动到点A的时间为秒， ∴点运动的时间为秒， ∴点P和点Q同时停止运动； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵点P为点B，Q的“2倍点”， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵点P为点B，Q的“2倍点”， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，当或或时，点P为点B，Q的“2倍点”． 18．(1)①；②或 (2)①；②或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）①根据中点公式进行计算即可； ②设点表示的数为，解方程即可； （2）①先用含有的代数式表示出点和点表示的数，由 是的中点，可得，，，解方程即可； ②先用含有的代数式表示出和，根据点在上四等分点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：①由中点公式可知，的中点所表示的数为； ②设点表示的数为， ∵， ∴， 解得，或； 故答案为：①；②或． （2）解：设运动时间为， 在运动过程中，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 当点正好是的中点时，， 化简，得， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 将代入，得， ， 解得，； ②，， ∵点是的四等分点， ∴，且或或， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，或或． 19．(1) (2)或7 (3)或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． （1）由可得，则可知点、点在数轴上对应的点，因为点M为线段AB的中点，则长可求，则对应的数可求； （2）此题要分两种情况：①当在左侧时，②当在在右侧时，再列出方程求解即可； （3）表示出t秒后对应的数，根据点是点，点的“2倍点”，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∵点M为线段AB的中点， ∴， ∴M表示的数为． 故答案为：； （2）解：由题意可得：, 而， ∴不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． ①在点左侧，，， ， ； ②在点右侧，，， ， ； 故的值是或7； （3）解：由题意得t秒后点对应的数为，点对应的数为，对应点数为， 则，， ∵点M恰好是点A，B的“2倍点”， ∴或 解方程 或 或； 解方程 或 解得或（舍）， 综上所述或或． 20．(1) (2) (3)点E在边上，且 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程即可求解． （1）设点的速度为，根据题意列方程即可求解； （2）根据第二次相遇时点P、的路程和为长方形的周长列出方程即可求解； （3）计算出第一次相遇后，第二次相遇时点P的运动路程即可求解． 【详解】（1）解：设点的速度为， 由题意得：， 解得． 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得． 答：点P原来的速度为． （3）解：点P从第一次相遇到第二次相遇走过的路程为：， ∴， 此时点E在边上，且． 21．（1）310；200；四周宽度；（2）；（3）5 【分析】本题考查一元一次方程的应用和有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 任务1：根据题意，设计部分的长为，宽为；由设计的部分也是长方形，且长是宽的倍，得，可解得答案； 任务 2 ：设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行中间间隔是，根据正方形边长相等可得：，可解得每个栏目的竖直高度为； 任务3：列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 【详解】解：任务1：根据题意，设计部分的长为，宽为； ∵设计的部分也是长方形，且长是宽的倍， ， 解得：， ∴四周宽度是； ∴设计部分的长为，宽为， 故答案为：310；200； 任务2：∵设计部分的长为，宽为， 设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行中间间隔是，则竖向中间间隔宽度为， 根据正方形边长相等可得：， 解得：， ∴每个栏目的竖直高度为； 任务3：， ∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 故答案为：5． 22．长方形菜园长，宽；；每垄菜地宽为，长为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程是解题的关键： 任务1：根据图形，列出代数式即可； 任务2：根据长方形的长是宽的2倍，列出方程进行求解即可； 任务3：设每垄菜地宽为，根据每垄菜地的长比宽多，求出宽的长，再根据长方形的长是宽的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：任务1：设过道宽度为，根据题意，种植区长方形菜园长，宽； 任务2：设过道宽度为，由题意得，， 解得； 任务3：设每垄菜地宽为，则长为，由任务2可知：种植区的长方形的长为，宽为； 由题意，得：， 解得， 每垄菜地宽为，长为． 23．长方形的面积为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的边长为，则，根据“长方形的面积与长方形的面积相等”列方程求得，进一步计算求解，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 由题意得：， 解得：， ∴，， ∴长方形的面积为， 答：长方形的面积为． 24．(1)，， (2)此时铁皮盒的容积为 (3)x的值为2 【分析】本题主要考查列代数式、长方体的体积计算，根据题意列代数式是解题的关键． （1）根据裁剪。折叠可得无盖长方体盒子的长、宽、高，进而可以计算容积； （2）根据（1）中的容积结论，代入即可求解容积； （3）根据（1）中的长和宽的代数式，利用比例关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形， ∴无盖长方体盒子的长为cm，无盖长方体盒子的宽为cm， ∵四个角都剪去小正方形， ∴折叠后无盖长方体盒子的高为xcm, ∴容积为， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得：容积为， 当时，容积为， ∴此时铁皮盒的容积为； （3）解：∵折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1， ∴，解得： ∴x的值为2． 25．汽车在普通公路上行驶了． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设汽车在普通公路上行驶了，则在高速公路上行驶了，列方程求解即可． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了，则在高速公路上行驶了， 由题意得：， 解得：， 答：汽车在普通公路上行驶了． 26．(1)同，早 (2) (3)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识． （1）根据车票信息即可求解； （2）设A、B两地之间的距离为．根据“动车行驶时间比高铁行驶时间多2小时”列方程，解方程即可求解； （3）设高铁出发小时后两车相距，分①高铁还未追上动车；②高铁追上动车后但未到达B地；③高铁到达B地后三种情况分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早． 故答案为：同，早； （2）解：设A、B两地之间的距离为． 根据题意得， 解得． 答：，两地之间的距离为． （3）解：设高铁出发小时后两车相距， 当高铁还未追上动车时，， 解得； 当高铁追上动车后但未到达B地时，， 解得； 当高铁到达B地后，， 解得． 答：当高铁出发或或后两车相距． 27．见解析 【分析】本题主要考查流水行船问题的速度：关系(顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度)、路程-速度-时间的数量关系，以及分式方程的建立与求解，先根据船在静水中的速度与水流速度，分别算出顺流、逆流速度，再用路程：表示出两种航行的时间，结合“逆流比顺流多小时”的等量关系列分式方程，最后通过通分、化简求解路程． 【详解】解：设甲乙两地的距离是千米， ∵该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时， ∴顺流的速度：，时间：， 逆流的速度：，时间：， ∵从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时， ∴， 解得：． 表格如图： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 28．(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意，设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米，再根据“高速路段总长度比市区路段总长度多”列方程即可解答； （2）根据题意，结合（1）中结论，求得实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程，进而求得到达景区时显示屏显示的能行驶的里程，从而求得答案． 【详解】（1）解：设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米， 由题意得，， 解得， 则车主从家到该景区的路程为（千米）． 答：车主从家到该景区的路程为240千米． （2）解：由题意可知，实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程为， 则到达景区时显示屏显示的能行驶的里程为， ∵返程同样需要240千米的实际里程， ∴要使车内显示屏显示的能行驶的里程增加， 答：至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加200千米，才能保证电量够返回到家． 29．要使生产线每天生产的笔套和笔芯恰好配套，应安排10台机器生产笔套，安排12台机器生产笔芯． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排x台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯，根据题意建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设应安排x台机器生产笔套，安排台机器生产笔芯．根据题意得， ，                     解得．                         所以，（台）． 答：要使生产线每天生产的笔套和笔芯恰好配套，应安排10台机器生产笔套，安排12台机器生产笔芯． 30．150 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是做题的关键．根据题意，设用x立方米木材做桌面，利用等量关系列方程，最后解方程即可． 【详解】解：设用x立方米木材做桌面，则工厂能做张桌面，用立方米木材做桌腿，则可以做个桌腿， 根据题意，得， 解得， ∴，， 故工厂能做150张方桌． 答：工厂能做150张方桌． 31．(1)第一车间有14人，第二车间有22人 (2)需从第二车间安排2名工人支援第一车间 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）该工坊第一车间有人，则第二车间有人，根据“第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人”列出方程并解答； （2）设需从第二车间安排名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套，根据题意可得等量关系：榄雕挂件技法手册，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：该工坊第一车间有人，则第二车间有人， 由题意得：， 解得：， 第二车间有：（人）， 答：该工坊第一车间有14人，第二车间有22人； （2）解：设需从第二车间安排名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套， 由题意得：， 解得：， 答：需从第二车间安排2名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套． 32．(1)女生26人 (2)男生向女生支援14人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设该班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）先判断每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面不配套，然后设男生向女生支援人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：设该班有男生人，则女生有人， 由题意，得， 解得， 答：女生26人； （2）解：因为男生一小时剪圆柱体侧面， 需要960个圆柱体底面，而， 所以每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面不配套， 设男生向女生支援人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套， 由题意，得， 即， 解得：， 答：男生向女生支援14人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套． 33．(1)苹果有60千克，金桔有80千克 (2)500元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设购进苹果千克，根据水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于两种水果的利润之和，列式计算即可． 【详解】（1）解：设购进苹果千克，则购进金桔千克， 由题意得，， 解得； ； 答：苹果有60千克，金桔有80千克； （2）解：元 答：获得利润500元． 34．(1)款红包进价为2元，款红包进价为元 (2)春节前款红包的售价为元 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设款红包的进价为每个元，则款红包的进价为每个元，根据数量关系列式求解即可． （2）根据题意可得提价后款红包获利钱数为，设春节前款红包的售价为每个元，根据题意可列款红包获利，结合题意可列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设款红包的进价为每个元，则款红包的进价为每个元， 根据题意：， 解得，则（元）， 答：款红包的进价为每个2元，款红包进价为元； （2）解：∵款红包在进价基础上提价后售卖了， ∴提价后售价为（元），销售量为（个）， ∴提价后款红包获利（元）； 设春节前款红包的售价为每个元， ∴春节前款红包按元售卖了，即（个），春节后款红包的销售量为（个），售价为元， ∴款红包获利（元）， ∵销售完这两款红包后共获利元， ∴， 解得：， ∴春节前款红包的售价为元． 35．(1)该商场购进120件甲种产品，80件乙种产品． (2)2280元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设该商场购进x件甲种产品，则购进件乙种产品，根据该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品，列出一元一次方程求解即可； （2）分别计算甲、乙种产品的利润，再求和即可． 【详解】（1）解：设该商场购进x件甲种产品，则购进件乙种产品， 根据题意得，， 解得， （件）． 答：该商场购进120件甲种产品，80件乙种产品． （2）解：根据题意得，甲产品总利润：（元）， 乙产品总利润：（元）， 总利润：（元）， 答：商场最终获利2280元． 36．(1)300单 (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，正负数的实际应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程和算式是解题的关键． （1）求出七天每天送40单的总单量，再加上表格中这七天的送餐单数即可得到答案； （2）根据收入减去平板电脑实际支付金额等于剩余的钱，列方程求解m． 【详解】（1）解： 单， 答：小刚这一周一共送餐300单； （2）解：由题意得，， 解得． 37．(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8； （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠； （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 38．(1)，； (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍，再在乙店买20盒乒乓球 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球x盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外20盒乒乓球在乙店购买即可． 【详解】（1）解：甲店购买球拍和球的总费用为：元， 乙店购买球拍和球的总费用为：元， 故答案为： ，； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）解：当时， ①在甲店购买球拍和球的总费用为： （元）， ②在乙店购买球拍和球的总费用为： （元）， ③在甲店买10副球拍送10盒球，费用为，在乙店买盒乒乓球， 费用为，则总费用为 （元） ∵， ∴最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍送10盒球，再在乙店买20盒乒乓球． 39．(1)每株茶花的价格是15元，每株杜鹃花的价格是10元 (2)①，；②当时，在两家花店购买所花的费用一样 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系， （1）设每株杜鹃花的价格是x元，则每株茶花的价格是元，根据“2株茶花与3株杜鹃花的费用相等”建立一元一次方程求解； （2）①根据两个店的优惠方案即可列出代数式；②在①的基础上建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每株杜鹃花的价格是x元，则每株茶花的价格是元                                                 由题意得，         .             答：每株茶花的价格是15元，每株杜鹃花的价格是10元； （2）解：①甲花店：购买100株茶花，可获赠株杜鹃花，则需额外购买株杜鹃花， 所以总费用：（元） 乙花店：茶花超过80株，杜鹃花打八折 所以总费用：（元）， 故答案为：，； ②由题意得， 解得                答：当时，在两家花店购买所花的费用一样． 40．(1)商场实付款为元，商场实付款为元； (2)在购物总额为元时，在商场实付款相同； (3)小张的选择划算；理由见解析 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解打折率，准确地找出等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）根据两个商场的优惠条件进行计算即可得出答案； （2）设当购物总额是元时，两商场实付款相同．当时，显然；②当时，根据题意两商场实付款相同列方程，求解即可得出答案； （3）设小张购物总额为元，实付款为元，根据B商场的实付款金额列方程求出购物总额，再计算总额为元的商品选择在商场的实付款，比较两者即可得出结论． 【详解】（1）解：商场实付款为（元）， 商场实付款为（元）； （2）解：当时，商场实付款为元， 商场实付款为元，显然； 当时，商场实付款为元， 商场实付款为元， 令， 解得， 答：在购物总额为元时，在商场实付款相同； （3）解：小张的选择划算． 理由：设小张购物总额为元， ∵实付款元，， ∴， 由题意可得， 解得． 在商场的实付款为（元）， ∵， ∴小张的选择划算． 41．(1)540元 (2)60立方米 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题． （1）根据收费标准计算即可； （2）先判断张丽家2025年全年生活用气超过400立方米，再设张丽家2025年全年生活用气x立方米，根据张丽家2025年全年用气缴费情况列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：李明家应缴纳540元． （2）解：若用气量为400立方米时，应交费用为（元） 张丽家全年生活用气缴费为（元）， 所以张丽家2025年全年生活用气超过400立方米， 设张丽家2025年全年生活用气x立方米，则 解得， 所以张丽家全年用气量比李明家多（立方米）． 42．(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． 43．(1)， (2)小明家这个月用电量是300千瓦时． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据小明家7，8月的用电量及电费，可列出一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小明家这个月用电量是x千瓦时，求出月用电量是280千瓦时的应交电费，将其与172元比较后，可得出，根据小明家9月应交电费是172元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ， 解得：， 故答案为：，； （2）解：设小明家这个月用电量是x千瓦时， ∵（元），， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：小明家这个月用电量是300千瓦时． 44．(1)8，18； (2)元； (3)该户居民4月份用水13立方米 【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）月份用水，则按第一档缴费；月份用水，则按第二档缴费； （2）由于月份用水量(其中)，根据缴费的形式得到化简即可； （3）设月份用水，根据题意可得，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：1月份用水，不超过，水费为（元）； 2月份用水，超过不超出，水费为（元）； 故答案为：8，18； （2）解：∵， ∴应收水费为元． 答：应收水费元； （3）解：设4月份用水， 当时，水费为（元）； 当时，水费为（元）； ∵， ∴． 根据题意，得． 解得． 答：该户居民4月用水． 45．从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 46．(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 47．3条船，36人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班租了x条船， 根据题意得：， 解得：， ∴该班一共有教师和学生:人， 答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人． 48．10千克 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量． 【详解】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为， 设需要药液质量为千克，则药水质量为千克， 由题意，， 解得． 答：需要10千克的这种药液． 49．(1)41 (2)，， (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）根据图形的数字列式计算即可； （2）设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为，，； （3）令，解得，由日历表即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得， 答：Y形框框中的这四个数字之和为41， 故答案为：41； （2）解：设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为，，； （3）解：不能，理由如下： 假设用Y形框框住四个数的和能为105， 则由（2）可得， 解得， ∴要求框出的四个数中最小的是20，由图可知，不能框出这样的四个数． 50．(1)，， (2)所圈出的四个数的和能等于100，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）观察图可得比大1，比大7，比大8，由此即可得； （2）参考（1）的结果，建立方程，解方程求出的值，则可得的值，再进行检验即可得． 【详解】（1）解：由图可知，，，． （2）解：由题意得：， 解得， 则，，， 经检验，在2025年10月的月历表中，可以圈出这四个数， 所以圈出的四个数的和能等于100． 51．(1)能，这五个数中最小的数为 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，掌握日历中的规律是解题的关键． （1）设中间的数为，则其它个数为、、、，列方程即可求解； （2）设中间的数为，则其它个数为、、、，当时，即可求解． 【详解】（1）解：能； 设中间的数为，则其它个数为、、、，由题意得 ， 解得， ， 这五个数中最小的数为； （2）解：设中间的数为，则其它个数为、、、， 2025年12月份最大的一天是号， ， 解得， ； 故用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是． 52．(1) (2)他的说法是错误的，理由见解析 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，理解题意并列出方程是解题的关键． （1）根据月历的特点化简条件式即可； （2）列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：根据月历的特点可知，，，，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知，当时，不是整数，此种情况不存在， ∴他的说法是错误的． 53．大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 54． 和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解． 设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为，总碗数为，列出方程求解，再计算碗的数量即可． 【详解】解：设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为， 由题意得， 方程两边同乘，得， 即， 解得， 则饭碗数为（只）， 汤碗数为（只）， 答：和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 55．20人，6辆车 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设共有x辆车，根据“每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有x辆车， ∵每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐， ∴总人数为， ∵每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘， ∴总人数为， ∴， 解得， ∴车有6辆， ∴人数为． 答：共有20人，6辆车． 56．木长尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长尺，则绳子长为尺， 由题意得， 解得． 答：木长尺． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业08一元一次方程的实际应用 （知识框架+核心思维+巩固提升+十四大题型+习题精炼+易错点） 目录 核心解题思维 1 必须警惕的三大高频错误 1 高效复习策略 1 十四大题型核心知识点速查 2 题型一、和差倍分问题 3 题型二、数字问题 3 题型三、比赛积分问题 5 题型四、工程问题 6 题型五、动点问题 7 题型六、几何问题 9 题型七、行程问题 11 题型八、配套问题 12 题型九、销售盈亏问题 13 题型十、方案选择问题 14 题型十一、电费水费问题 15 题型十二、比例分配问题 17 题型十三、日历问题 18 题型十四、古文化问题 20 本资料系统梳理了一元一次方程应用题的14大核心题型，旨在帮助你快速识别题型、掌握核心等量关系、避开解题陷阱，从而高效提升解题能力。 核心解题思维 五步法 解决任何方程应用题，都应遵循以下五个关键步骤，这是解题的通用“脚手架”。 1.审：仔细阅读，划出已知量、未知量、关键关系词（如“共”、“比…多/少”、“是…倍”）。 2.设：合理设未知数（直接设问或间接设），注意带上单位。 3.列：寻找等量关系，用含未知数的式子表示相关量，列出方程。 4.解：解方程， 5.验、答：务必检验（代入原方程验算；检查解是否符合实际意义），并作出答。核心易错点与复习建议 必须警惕的三大高频错误 1.等量关系错误：这是失分的首要原因，务必紧扣关键词，明确谁和谁相等。 2.单位不统一：行程题中的“小时”与“分钟”，几何题中的“米”与“厘米”，列方程前必须统一。 3.解不检验：解出方程后，必须代入原方程检验计算，并判断答案是否符合实际（如人数为正整数、时间非负等）。 高效复习策略 题型归类：对照上表进行练习，强化“识别题型→调用模型”的思维反射。 错题深究：建立错题本，重点记录错误原因（审题？列式？计算？）和正确等量关系。 十四大题型核心知识点速查 题型分类 核心等量关系/模型 解题关键要点 一、和差倍分问题 "比"、"是"、"等于"等词建立关系 关键：找准"基准量" 易错：将"多/少"的关系列反 二、数字问题 两位数 = 十位数字×10 + 个位数字 关键：区分"数字"与"数" 易错：数位变化时混淆位置 三、比赛积分问题 总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分 关键：用总场次表示另一种场次 易错：忽略非负整数条件 四、工程问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 常设总工作量为"1" 关键：明确实际工作时间 易错：合作时时间计算错误 五、行程问题 路程=速度×时间 相遇：路程和=总路程 追及：路程差=初始距离 关键：画线段图分析，统一单位 易错："提前"、"晚到"理解错误 六、销售盈亏问题 利润 = 售价 - 进价 利润率 = (利润 / 进价) × 100% 关键：理清五者关系 易错：利润率分母用错 七、方案选择问题 分别计算各方案费用表达式，比较或求临界点 关键：设同一变量表示两种方案 易错：遗漏方案，临界点判断错误 八、配套问题 甲:乙 = 配套比例 例：螺母数 = 2 × 螺钉数 关键：按比例表示需求总量 易错：将配套比例关系列反 九、动点问题 路程 = 速度 × 时间。 t秒后位置：起点 ± 速度×时间 (注意方向)。 关键：用时间t统一表示各动点位置，根据“相遇”、“追及”、“距离为定值”列式。 易错：混淆“位置”与“距离”，方向处理错误。 十、几何问题 周长、面积、体积公式。 例：长方形周长=2(长+宽)，面积=长×宽。 关键：设未知量，用公式建立方程。 易错：单位不统一；形状变化时抓不住不变量。 十一、阶梯收费问题 (水电费等) 总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + …。 模式：固定部分 + 超出部分 × 新单价。 关键：先判断用量所属区间，再分段列式。 易错：未判断区间直接列方程，导致单价用错。 十二、比例分配问题 总量 = 各部分之和。 设一份为x，则各部分为a₁x, a₂x, a₃x…。 关键：用比例系数设未知数，简洁明了。 易错：混淆“按比例分配”与“已知部分求比例”。 十三、日历问题 同行相邻数差1，同列相邻数差7。 方框中，对角线数字和相等。 关键：用最小数x表示方框内所有数。 易错：表示日历数字时行列规律应用错误。 十四、古文化问题 (盈不足等) 将古文翻译为数学等式。 典型模型：人数×出钱数 ± 盈不足数 = 总物价。 关键：准确理解“盈”（多）、“不足”（少）、“适足”（刚好）的含义。 易错：古文理解偏差导致等量关系错误。 题型一、和差倍分问题 1．王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生年龄是另外三人年龄和的，李先生年龄是另外三人年龄和的，赵先生年龄是另外三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗？ 2．两支外观相同、成分不同的蜡烛，以均匀速度燃烧．其中一支2小时烧完，另一支可以燃烧3小时．晚6点半同时点燃蜡烛，多少小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍？（列方程解应用题） 3．水果商店运来桔子、苹果和梨共410千克，其中桔子是梨的2倍，梨比苹果的少10千克，三种水果各多少千克？ 4．甲、乙两车间原有人数的比是，从甲车间调出48人到乙车间后，甲车间的人数是乙车间的．甲、乙两车间原来各有多少人？ 题型二、数字问题 5．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏（如图所示），现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，老师已经完成了部分填空，请同学们完成下列问题：    (1)求图中的值； (2)求图中的值． 6．有一列数：2，，8，，…，第个数可以表示为（为正整数），若这列数中三个相邻数的和是96，求这三个数． 7．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 （1）我们用表示一个三位数．其中，，分别表示百位，十位，个位上的数字，请证明：若能被3整除，则能被3整除． 【学以致用】 （2）若三位数能被3整除，求的值． 8．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数3752换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个n进制数43，换算成十进制数是23，求n的值． 题型三、比赛积分问题 9．某中学举办“校园非遗文化节”，设置皮影戏展演竞赛，参赛班级按得分排名，计分规则如下：皮影戏展演获胜一场积2分，平一场积1分，负一场积分．某班参加了14场比赛，并保持不败的纪录，最终总得分为22分，求该班获胜了多少场． 10．在足球联赛中，文昌队表现抢眼，开局保持不败．球迷小亮收集了该队的初期战绩信息：该队在前9场比赛中保持不败，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)如果文昌队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？ (2)文昌队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 11．我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 12．社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 题型四、工程问题 13．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要天，乙工程队单独完成需要天． (1)甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？ (2)若两队合作天完成此项工程，在甲工程队将效率提高的情况下，那么乙工程队的效率应提高多少？ 14．某农场有一块面积为亩的耕地需要播种，现安排、两个播种队共同完成这项任务．已知播种队每天播种的亩数是播种队每天播种亩数的倍，、两个播种队合作天完成了总任务的． (1)求、两个播种队每天分别可播种多少亩； (2)若播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由播种队单独完成，总费用刚好为万元．已知播种队每天的播种费用为万元，播种队每天的播种费用为万元，求播种队单独播种的天数． 15．“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 16．某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 题型五、动点问题 17．如图，数轴上有A，B两点对应的数分别是a，b，且满足，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的n倍，则称点P为点A，B的“n倍点”，记作．点C表示的数为10． (1)求a，b的值； (2)若点P表示的数为0，求n的值； (3)点P，Q分别同时从点A，B出发，点P沿数轴以每秒3个单位的速度向点C运动，点P到达点C后，再立即以同样的速度返回到点A，到达点A停止运动．点Q沿数轴以每秒1个单位的速度向点C运动，到达点C停止运动．设点P运动时间为t，当t为何值时，点P为点B，Q的“2倍点”． 18．表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【背景知识】 数轴能将数与形结合，有如下规律： ①若数轴上点，表示的数分别为，．则，两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． ②若在数轴上一个点表示的数为，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为． 【综合应用】 如图，点表示的数为，点所表示的数为． (1)填空： ①的中点所表示的数为 ； ②若，则点表示的数为 ． (2)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①、运动过程中，当点正好是的中点时，，求点的速度． ②若点保持①中的速度继续运动，当点运动到的四等分点时，求的运动时间t． 19．数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足．点M为数轴上一动点，其对应的数为m． (1)点A表示的数为_________；若点M为线段AB的中点，则点M对应的数为________． (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为12时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D的距离分别为，则，即原点O是点C，D的“2倍点”，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒．当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值． 20．如图，长方形中，，，点P从点A出发，沿匀速运动；点Q从点C出发，沿的路径匀速运动，两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动，点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，后两点在长方形某一边上的点E处第二次相遇后停止运动，设点P原来的速度为． (1)点Q的速度为___________（用含x的代数式表示）； (2)求点P原来的速度． (3)判断E点的位置并求线段的长． 题型六、几何问题 21．根据以下素材，探索完成任务： 项目式学习：如何设计宣传牌？ 素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写24个字；中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的倍；四周空白部分的宽度相等． 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等． 素材3 如图3，每个长方形栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为． 【任务1】设四周宽度为，结合图1， （1）填空：设计部分的长为_____，宽为_____． 再列出方程求出四周宽度的值； 【任务2】（2）结合图3，求每个长方形栏目的竖直高度； 【任务3】（3）结合图2，直接写出长方形栏目与栏目之间中缝的间距是_____． 22．解决问题 如何设计班级菜地？ 素材1 如图1是长方形菜园，长，宽． （1）中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍． （2）四周过道部分的宽度相等 素材2 如图2，为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等 素材3 每垄菜地的长比宽多． 问题解决 任务1 分析数量关系 设过道宽度为，用含x的代数式表示种植区域的长与宽． 任务2 确定过道宽度 求过道宽度x的值 任务3 确定每垄菜地的大小 求每垄菜地的长与宽 23．某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量，，通过计算发现长方形的面积与长方形的面积相等．求长方形的面积． 24．如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题： (1)折成的无盖长方体盒子的长为_____cm，宽为_____cm，容积为_______cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简） (2)当时，求此时铁皮盒的容积； (3)若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值． 题型七、行程问题 25．一辆汽车从A地驶往B地，先行驶的是一段普通公路，后行驶的路段都为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，且汽车所行驶的高速公路路程是普通公路路程的2倍，从A地到B地一共行驶了．试求汽车在普通公路上行驶了多少小时？ 26．以下是两张不同类型火车（“次”表示动车，“次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求，两地之间的距离． (3)在的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 27．一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时，已知该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是千米，根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 28．某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶，冬季时实际能行驶的里程会折损．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多，高速路段总长度与市区路段总长度的比是． (1)求车主从家到该景区的路程； (2)该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家． 题型八、配套问题 29．某条生产线上有22台机器，已知一台机器一天可以生产300支笔套或500支笔芯．如果1支笔套需要2支笔芯配成一套．要使生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器生产笔套和笔芯？（每台机器只能生产笔套或笔芯中的一种） 30．一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 31．某非遗文化工坊为推广榄雕工艺，推出“非遗传承配套礼盒”定制服务，每套礼盒由1本榄雕技法手册和2枚榄雕挂件组成，已知该工坊共有36名工人，其中第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人． (1)该工坊第一车间和第二车间各有多少人？ (2)已知每名工人每天可制作4本技法手册或10枚榄雕挂件，为提升礼盒质量，原计划安排第一车间负责制作榄雕挂件，第二车间负责制作技法手册，那么每天制作的手册与挂件不能完全配套，若不考虑其他因素，问需从第二车间安排多少名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套？ 32．在数学活动课上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（如图1）．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每人每小时剪20个圆柱体侧面（如图2）或剪10个圆柱体底面（如图3）． (1)七（1）班女生有多少人？ (2)计划男生负责剪圆柱体侧面，女生负责剪圆柱体底面，要求1个圆柱体侧面配2个圆柱体底面，需要调多少名男生去支援女生，才能使每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套？ 题型九、销售盈亏问题 33．某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 苹果 6 9 金桔 8 12 (1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？ (2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？ 34．为迎接马年春节，开州某商店购进了“马到福来”（以下简称为“”）和“幸福加马”（以下简称为“”）两款红包，每个款红包进价比款红包进价贵1元，该商店购进了个款红包和个款红包共花费元． (1)求、款红包进价每个分别为多少元？ (2)春节前，款红包在进价基础上提价后售卖了，款红包按一定价格售卖了；春节后，因商店保管不善导致剩下的款红包无法售卖按报废处理，款红包按春节前的售价打八折进行促销并全部售完，销售完这两款红包后共获利元，求春节前款红包的售价为每个多少元？ 35．某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“春节年货节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件？ (2)若每件甲种产品按标价出售可获得利润20元，每件乙种产品按标价出售可盈利．“春节年货节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品打9折出售，乙种产品每件降价15元．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？ 36．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐单数超过40单的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是小刚这一周的送餐单数： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐单数 0 (1)求小刚这一周一共送餐多少单； (2)若小刚的收入为每单元，小刚想用这周的总收入买一台标价为2400元的平板电脑，这款平板电脑在商场的售价为标价的，在实际购买时，小刚幸运地抢到了一张180元的消费优惠券．小刚用这周的总收入买下这款平板电脑后，还剩120元，请求出的值． 题型十、方案选择问题 37．小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 38．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 39．为美化校园环境，某校决定购买一批花卉，经市场调查发现： 甲、乙两花店以同样的价格出售茶花和杜鹃花，已知每株茶花比每株杜鹃花贵5元，2株茶花与3株杜鹃花的费用相等． (1)每株茶花和每株杜鹃花的价格分别是多少? (2)甲花店的优惠方案： 每购买10株茶花，送1株杜鹃花； 乙花店的优惠方案： 若购买茶花超过 80株，则购买杜鹃花打八折（即 ） 假设该校购买100株茶花和a株杜鹃花，其中且为整数． ①请用含a的代数式表示： 若在甲花店购买，所花的费用为 元 若在乙花店购买，所花的费用为 元 ②当a为何值时，在两家花店购买所花的费用一样? 40．小张在元旦期间逛商场，看到如下两个商场的促销信息． A商场：全场均按九折优惠； B商场：购物不超过元，不给予优惠；超过了元，其中的元不打折，超过元的部分打七五折； 已知两家商场相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是元时，A、B两家商场实付款分别是多少元？ (2)当购物总额是多少时，A、B两家商场实付款相同？ (3)小张选择在B商场购物，实际付款元，小张的选择划算吗？请说明理由． 题型十一、电费水费问题 41．年月日起，乌鲁木齐居民生活用气（不包含采暖用气）开始执行阶梯价格制度，以下为具体阶梯收费标准： 收费方式 居民生活用气阶梯气量（立方米/年） 目前执行价格 第一阶梯 （含）的部分 元/立方米 第二阶梯 （含）的部分 元/立方米 第三阶梯 以上的部分 元/立方米 已知李明家全年生活用气量为立方米． (1)李明家应缴纳多少费用？ (2)张丽家全年生活用气比李明家多缴纳了元，张丽家全年用气量比李明家多多少立方米？ 42．某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 43．为倡导广大市民以实际行动节约用电，中国电网供电公司采用居民生活用电阶梯式计费方式．如两表分别是该市“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表和该市小明家7，8月的用电情况． 生活用电阶梯式计费价格表                                 每户每月用电量 电价（元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 180千瓦时至280千瓦时的部分 超过280千瓦时的部分 小明家7，8月用电情况 用电量（千瓦时） 电费（元） 7月 180 8月 260 (1)其中______，_________； (2)如果小明家9月应交电费是172元，则小明家这个月用电量是多少千瓦时？ 44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 6元 (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中a超出不超出），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简） (3)若该户居民4月份交水费50元，该户居民4月份用水多少立方米？ 题型十二、比例分配问题 45．2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 46．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 47．七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 48．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 题型十三、日历问题 49．如图，这是2026年2月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为4，则Y形框框中的这四个数字之和为________． (2)设框住的这四个数中最小的数为m，请用含m的式子表示另外三个数． (3)在该表中用Y形框“”框住四个数的和是否能为105？能的话，请求出这四个数字中最小的数；如不能，请说明理由． 50．综合与实践 数学活动课上，数学老师展示了一张2025年10月的月历表，让同学们观察数字间的关系，发现数学规律． 【观察发现】如图，在表中用一个小方框画出“”形，任意圈出4个阿拉伯数字x，y，z，t．若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：，，． 【解决问题】 (1)请用含有x的式子表示y，z，t． (2)按照上述方法，所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答． 51．如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 52．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 题型十四、古文化问题 53．《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 54．明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚分一碗汤，一共用了只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 55．《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？”．这道题目的意思是，今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 56．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假巩固作业08一元一次方程的实际应用 1．王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生年龄是另外三人年龄和的，李先生年龄是另外三人年龄和的，赵先生年龄是另外三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗？ 【答案】40岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先统一单位“1”，以四人年龄总和为单位“1”，将王、李、赵的年龄转化为占总和的比例，再利用杨先生的年龄求解总和，进而求出王先生的年龄，据此进行分析列式计算，即可作答． 【详解】解：设四人年龄总和为S岁， ∵王先生年龄是另外三人年龄和的， ∴王先生年龄王先生年龄， 则王先生年龄， ∵李先生年龄是另外三人年龄和的， ∴李先生年龄李先生年龄， ∴李先生年龄； ∵赵先生年龄是另外三人年龄和的， ∴赵先生年龄赵先生年龄， ∴赵先生年龄； ∵杨先生年龄26岁， ∴， ∴， 即王先生年龄（岁）． 2．两支外观相同、成分不同的蜡烛，以均匀速度燃烧．其中一支2小时烧完，另一支可以燃烧3小时．晚6点半同时点燃蜡烛，多少小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍？（列方程解应用题） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用方程解决实际问题，关键是认真审题，依据“一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍”列方程解答即可． 【详解】解：设x小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍． 其中一支2小时烧完，燃烧的速度快，则燃烧同样时间剩余部分少，应乘2， 根据题意得： 解得 答：小时后一支蜡烛剩余部分正好是另一支蜡烛剩余部分的2倍． 3．水果商店运来桔子、苹果和梨共410千克，其中桔子是梨的2倍，梨比苹果的少10千克，三种水果各多少千克？ 【答案】梨有78千克，桔子有156千克，苹果有176千克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设苹果有x千克，则梨有千克，桔子有千克，根据“桔子、苹果和梨共410千克”列方程求解即可． 【详解】解：设苹果有x千克，则梨有千克，桔子有千克， 根据题意，得， 解得， 则，， 答：梨有78千克，桔子有156千克，苹果有176千克． 4．甲、乙两车间原有人数的比是，从甲车间调出48人到乙车间后，甲车间的人数是乙车间的．甲、乙两车间原来各有多少人？ 【答案】甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲车间原有人，乙车间原有人，则调出后甲车间有人，乙车间有人，根据调人后甲车间的人数是乙车间的建立方程求解即可． 【详解】解：设甲车间原有人，乙车间原有人， 由题意得， 解得， ∴ 答：甲车间原有人数为144人，乙车间原有人数为96人． 5．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏（如图所示），现在将，2，，4，，6，，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，老师已经完成了部分填空，请同学们完成下列问题：    (1)求图中的值； (2)求图中的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）如图，设小圈上的空数为，大圈上的空数为，可得两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2，再根据题意列出方程求解即可； （2）先求出c的值，从而可得，再结合已知讨论a、d的值，进而求解． 【详解】（1）解：如图，设小圈上的空数为，大圈上的空数为．    因为横、竖以及内外两圈上的4个数的和都相等，， 所以两个圈上的数的和都是2，横、竖的数的和也是2， 则，得； （2）解：由（1）知，所以，解得； ，解得． 所以当，时，； 当，时，． 故的值为或． 6．有一列数：2，，8，，…，第个数可以表示为（为正整数），若这列数中三个相邻数的和是96，求这三个数． 【答案】 这三个数依次是，，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找到相邻数字之间的关系，进而列出方程求解是解题的关键．从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律，后面的是它前面的数与的乘积．设所求三个相邻数中的第一个数是x，则后两个数分别是，，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设所求三个相邻数中的第一个数是x，则后两个数分别是，， 根据题意，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． ∴第一个数是，则后两个数分别是，． 答：这三个数依次是，，． 7．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 （1）我们用表示一个三位数．其中，，分别表示百位，十位，个位上的数字，请证明：若能被3整除，则能被3整除． 【学以致用】 （2）若三位数能被3整除，求的值． 【答案】（1）详见解析；（2）的值为2，5，8 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）类比题干可知得到，进而求解即可； （2）首先得到能被3整除，然后根据分情况讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ， 和都能被3整除， 若能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． （2）解：， 又能被3整除， 能被3整除， ， 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2，5，8． 8．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数3752换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个n进制数43，换算成十进制数是23，求n的值． 【答案】(1)2026 (2)5 【分析】本题考查了有理数的乘方、零指数幂、一元一次方程的应用，正确理解换算方法是解题关键． （1）根据八进制数换算成十进制数的方法列式计算即可得； （2）参照八进制数换算成十进制数的方法，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：根据题意可得，； （2）解：根据题意可得： 解得， 故n的值为5． 9．某中学举办“校园非遗文化节”，设置皮影戏展演竞赛，参赛班级按得分排名，计分规则如下：皮影戏展演获胜一场积2分，平一场积1分，负一场积分．某班参加了14场比赛，并保持不败的纪录，最终总得分为22分，求该班获胜了多少场． 【答案】该班胜了8场比赛 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．设该班胜了场比赛，则平了场比赛，利用总得分胜的场数平的场数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班胜了场比赛，则平了场比赛， ， 解得． 答：该班胜了8场比赛． 10．在足球联赛中，文昌队表现抢眼，开局保持不败．球迷小亮收集了该队的初期战绩信息：该队在前9场比赛中保持不败，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． (1)如果文昌队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？ (2)文昌队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 【答案】(1)这9场比赛中胜6场，平3场 (2)这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设该队共胜了x场，则平了场，根据题意列出一元一次方程，求出x的值即可；（2）设该队共胜了y场，则平了场，由题意列出一元一次方程，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设该队共胜了x场，则平了场，根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：这9场比赛中胜6场，平3场； （2）解：设该队共胜了y场，则平了场，由题意，得 ， 解得不符合题意， 这支球队9场比赛的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 11．我校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 10 10 40 (1)根据表格数据，参赛者答对1道题得__________分，答错1道题得__________分； (2)参赛者E得64分，他答对了__________道题； (3)参赛者F说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)14 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）根据参赛者A，B的得分情况，可求出答对一题及答错一题的得分情况； （2）设参赛者E答对了x道题，则答错了道题，根据得分为64分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设参赛者F答对了y道题，则答错了道题，根据得分为80分，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，由该值不为整数，即可得出参赛者F不可能得80分． 【详解】（1）解：，即参赛者答对1道题得5分， ，即答错1道题得分； 故答案为：，； （2）解：设参赛者E答对了x道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：， 即他答对了道题； 故答案为： （3）解：不可能，理由如下： 设参赛者F答对了y道题，则答错了道题， 由题意得：， 解得：，不是整数，不符合题意， 参赛者F说他得了分，是不可能的． 12．社团活动课上，小星正在玩投飞镖的游戏，靶盘如图，小星一共玩了两局，每局投10次，规则如下；投中A区一次得3分，投中B区一次得1分，脱靶一次则扣2分，如果飞镖投到边界上，则该次不计，需要重投． (1)在第一局中，小星投中A区4次，B区2次，脱靶4次，求小星第一局的得分； (2)在第二局中，小星投中B区的次数比A区多2次，其余全部脱靶，本局得分10分，求小星第二局投中A区的次数． 【答案】(1)第一局得分为6分 (2)第二局投中A区3次 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意列式计算即可求解； （2）设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意列一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：分， 答：小星第一局的得分为6分； （2）解：设第二局投中A区x次，则投中B区的次数为次，根据题意得： ， 解得：， 答：第二局投中A区3次． 13．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要天，乙工程队单独完成需要天． (1)甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？ (2)若两队合作天完成此项工程，在甲工程队将效率提高的情况下，那么乙工程队的效率应提高多少？ 【答案】(1)天 (2) 【分析】本题主要考查了工程问题的应用，熟练掌握“将工作总量设为单位‘’，利用‘工作效率工作总量工作时间’ ‘工作总量工作效率工作时间’分析数量关系”是解题的关键． （）将工程总量设为单位“”，先求出甲、乙的工作效率，再根据“合作时间工作总量合作效率”计算； （）设乙工程队效率提高的比例为未知数，根据“两队合作天完成工作总量”列方程求解． 【详解】（1）解：设工程总量为，则甲的工作效率：，乙的工作效率：， 合作效率：， ∴合作时间：（天）， 答：甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要天； （2）解：设乙工程队的效率应提高，则 ， 解得， 答：乙工程队的效率应提高． 14．某农场有一块面积为亩的耕地需要播种，现安排、两个播种队共同完成这项任务．已知播种队每天播种的亩数是播种队每天播种亩数的倍，、两个播种队合作天完成了总任务的． (1)求、两个播种队每天分别可播种多少亩； (2)若播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由播种队单独完成，总费用刚好为万元．已知播种队每天的播种费用为万元，播种队每天的播种费用为万元，求播种队单独播种的天数． 【答案】(1)播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩 (2)播种队单独播种天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（工程问题、费用问题）．根据题目的问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”的关系设未知数并建立等量关系，得到答案． （2）结合工作量关系与费用计算规则“总费用＝单日费用×工作天数”，设未知数并建立等量关系，得到答案． 【详解】（1）解：设播种队每天播种亩，播种队每天播种亩， 根据题意可列方程：， 解得， ∴播种队每天播种亩， ∴播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩； （2）解：设播种队单独播种天， ∴播种队播种亩，剩余亩由播种队完成， ∴播种队共播种天， ∴根据总费用可列方程：， 解得． ∴播种队单独播种天． 15．“告别百年隐患，守护城市安全”，按照中央、省市关于城市地下管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇地下管网更新改造工程．现有甲乙两个工程队，需要对一小区进行改造，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间是天． (1)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (2)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的总天数是乙工程队工作的总天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲、乙两队施工费共计万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)天 (2)甲队万元，乙队万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程在工程问题中的应用，熟练掌握工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”的关系，准确根据工作量、费用的等量关系建立方程是解题的关键． （1）把工程总量设为单位“”，先计算甲单独做天的工作量，再用剩余工作量除以甲乙合作的工作效率，得到合作所需天数； （2）设乙工作总天数为未知数，根据“甲单独做的工作量乙单独做的工作量总工作量”列方程求工作天数，再设甲每天施工费为未知数，结合总费用列方程求解． 【详解】（1）解：设还需要天完成，则 ， ， ， ， 答：还需要9天才能完成． （2）解：设乙工作总天数为天，则甲工作天数为天． ， ， ， ， ， 甲工作天数：（天） 设甲每天施工费为万元，则乙每天施工费为万元． ， ， ， ， 乙每天施工费： 答：甲工程队每天施工费0.4万元，乙工程队每天施工费0.2万元． 16．某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 【答案】(1)5天 (2)甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意列方程，再解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设乙队还需要完成任务的天数为天， 根据题意得，， 解得． 答：乙队还需要完成任务的天数为5天． （2）解：根据题意得，甲队所得报酬为（万元）， 乙队所得报酬为（万元）． 答：甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元． 17．如图，数轴上有A，B两点对应的数分别是a，b，且满足，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的n倍，则称点P为点A，B的“n倍点”，记作．点C表示的数为10． (1)求a，b的值； (2)若点P表示的数为0，求n的值； (3)点P，Q分别同时从点A，B出发，点P沿数轴以每秒3个单位的速度向点C运动，点P到达点C后，再立即以同样的速度返回到点A，到达点A停止运动．点Q沿数轴以每秒1个单位的速度向点C运动，到达点C停止运动．设点P运动时间为t，当t为何值时，点P为点B，Q的“2倍点”． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，正确理解“n倍点”的定义是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）求出的值，再根据“n倍点”的定义可得答案； （3）可求出点P运动到点C的时间为秒，点Q运动到点C的时间为秒，点P从点C运动到点A的时间为秒，则点P和点Q同时停止运动；分两种情况，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据“2倍点”的定义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得，，， ∴，即； （3）解：由题意得，， ∴点P运动到点C的时间为秒，点Q运动到点C的时间为秒，点P从点C运动到点A的时间为秒， ∴点运动的时间为秒， ∴点P和点Q同时停止运动； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵点P为点B，Q的“2倍点”， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵点P为点B，Q的“2倍点”， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，当或或时，点P为点B，Q的“2倍点”． 18．表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【背景知识】 数轴能将数与形结合，有如下规律： ①若数轴上点，表示的数分别为，．则，两点之间的距离为，线段的中点表示的数为． ②若在数轴上一个点表示的数为，则向左运动个单位后表示的数为，向右运动个单位后所表示的数为． 【综合应用】 如图，点表示的数为，点所表示的数为． (1)填空： ①的中点所表示的数为 ； ②若，则点表示的数为 ． (2)点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①、运动过程中，当点正好是的中点时，，求点的速度． ②若点保持①中的速度继续运动，当点运动到的四等分点时，求的运动时间t． 【答案】(1)①；②或 (2)①；②或或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）①根据中点公式进行计算即可； ②设点表示的数为，解方程即可； （2）①先用含有的代数式表示出点和点表示的数，由 是的中点，可得，，，解方程即可； ②先用含有的代数式表示出和，根据点在上四等分点的位置，分别计算即可． 【详解】（1）解：①由中点公式可知，的中点所表示的数为； ②设点表示的数为， ∵， ∴， 解得，或； 故答案为：①；②或． （2）解：设运动时间为， 在运动过程中，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 当点正好是的中点时，， 化简，得， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 将代入，得， ， 解得，； ②，， ∵点是的四等分点， ∴，且或或， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上所述，或或． 19．数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足．点M为数轴上一动点，其对应的数为m． (1)点A表示的数为_________；若点M为线段AB的中点，则点M对应的数为________． (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为12时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D的距离分别为，则，即原点O是点C，D的“2倍点”，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒．当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值． 【答案】(1) (2)或7 (3)或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． （1）由可得，则可知点、点在数轴上对应的点，因为点M为线段AB的中点，则长可求，则对应的数可求； （2）此题要分两种情况：①当在左侧时，②当在在右侧时，再列出方程求解即可； （3）表示出t秒后对应的数，根据点是点，点的“2倍点”，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∵点M为线段AB的中点， ∴， ∴M表示的数为． 故答案为：； （2）解：由题意可得：, 而， ∴不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． ①在点左侧，，， ， ； ②在点右侧，，， ， ； 故的值是或7； （3）解：由题意得t秒后点对应的数为，点对应的数为，对应点数为， 则，， ∵点M恰好是点A，B的“2倍点”， ∴或 解方程 或 或； 解方程 或 解得或（舍）， 综上所述或或． 20．如图，长方形中，，，点P从点A出发，沿匀速运动；点Q从点C出发，沿的路径匀速运动，两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了，并沿的路径匀速运动，点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，后两点在长方形某一边上的点E处第二次相遇后停止运动，设点P原来的速度为． (1)点Q的速度为___________（用含x的代数式表示）； (2)求点P原来的速度． (3)判断E点的位置并求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)点E在边上，且 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程即可求解． （1）设点的速度为，根据题意列方程即可求解； （2）根据第二次相遇时点P、的路程和为长方形的周长列出方程即可求解； （3）计算出第一次相遇后，第二次相遇时点P的运动路程即可求解． 【详解】（1）解：设点的速度为， 由题意得：， 解得． 故答案为：． （2）解：根据题意得：， 解得． 答：点P原来的速度为． （3）解：点P从第一次相遇到第二次相遇走过的路程为：， ∴， 此时点E在边上，且． 21．根据以下素材，探索完成任务： 项目式学习：如何设计宣传牌？ 素材1 如图1是长方形宣传牌，长，宽，拟在上面书写24个字；中间可以用来设计的部分也是长方形，且长是宽的倍；四周空白部分的宽度相等． 素材2 如图2，为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等． 素材3 如图3，每个长方形栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为． 【任务1】设四周宽度为，结合图1， （1）填空：设计部分的长为_____，宽为_____． 再列出方程求出四周宽度的值； 【任务2】（2）结合图3，求每个长方形栏目的竖直高度； 【任务3】（3）结合图2，直接写出长方形栏目与栏目之间中缝的间距是_____． 【答案】（1）310；200；四周宽度；（2）；（3）5 【分析】本题考查一元一次方程的应用和有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 任务1：根据题意，设计部分的长为，宽为；由设计的部分也是长方形，且长是宽的倍，得，可解得答案； 任务 2 ：设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行中间间隔是，根据正方形边长相等可得：，可解得每个栏目的竖直高度为； 任务3：列出算式即可求出长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 【详解】解：任务1：根据题意，设计部分的长为，宽为； ∵设计的部分也是长方形，且长是宽的倍， ， 解得：， ∴四周宽度是； ∴设计部分的长为，宽为， 故答案为：310；200； 任务2：∵设计部分的长为，宽为， 设每个栏目的竖直高度为，每栏横向两行中间间隔是，则竖向中间间隔宽度为， 根据正方形边长相等可得：， 解得：， ∴每个栏目的竖直高度为； 任务3：， ∴长方形栏目与栏目之间中缝的间距为． 故答案为：5． 22．解决问题 如何设计班级菜地？ 素材1 如图1是长方形菜园，长，宽． （1）中间种植区域是长方形，且长是宽的2倍． （2）四周过道部分的宽度相等 素材2 如图2，为了实现6个小组种植区域均匀分配，现将种植区域分割成大小相等的6垄长方形菜地，垄与垄之间的间距相等 素材3 每垄菜地的长比宽多． 问题解决 任务1 分析数量关系 设过道宽度为，用含x的代数式表示种植区域的长与宽． 任务2 确定过道宽度 求过道宽度x的值 任务3 确定每垄菜地的大小 求每垄菜地的长与宽 【答案】长方形菜园长，宽；；每垄菜地宽为，长为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程是解题的关键： 任务1：根据图形，列出代数式即可； 任务2：根据长方形的长是宽的2倍，列出方程进行求解即可； 任务3：设每垄菜地宽为，根据每垄菜地的长比宽多，求出宽的长，再根据长方形的长是宽的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：任务1：设过道宽度为，根据题意，种植区长方形菜园长，宽； 任务2：设过道宽度为，由题意得，， 解得； 任务3：设每垄菜地宽为，则长为，由任务2可知：种植区的长方形的长为，宽为； 由题意，得：， 解得， 每垄菜地宽为，长为． 23．某小区有一块正方形空地，现将该空地分成三块长方形（如图所示）区域，分别种上三种不同花草，经测量，，通过计算发现长方形的面积与长方形的面积相等．求长方形的面积． 【答案】长方形的面积为． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的边长为，则，根据“长方形的面积与长方形的面积相等”列方程求得，进一步计算求解，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 由题意得：， 解得：， ∴，， ∴长方形的面积为， 答：长方形的面积为． 24．如图1是一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子（如图2），请回答下列问题： (1)折成的无盖长方体盒子的长为_____cm，宽为_____cm，容积为_______cm3；（用含x的代数式表示即可，不需化简） (2)当时，求此时铁皮盒的容积； (3)若折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1，求x的值． 【答案】(1)，， (2)此时铁皮盒的容积为 (3)x的值为2 【分析】本题主要考查列代数式、长方体的体积计算，根据题意列代数式是解题的关键． （1）根据裁剪。折叠可得无盖长方体盒子的长、宽、高，进而可以计算容积； （2）根据（1）中的容积结论，代入即可求解容积； （3）根据（1）中的长和宽的代数式，利用比例关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一张长为20cm，宽为12cm的长方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为xcm的小正方形， ∴无盖长方体盒子的长为cm，无盖长方体盒子的宽为cm， ∵四个角都剪去小正方形， ∴折叠后无盖长方体盒子的高为xcm, ∴容积为， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得：容积为， 当时，容积为， ∴此时铁皮盒的容积为； （3）解：∵折成的铁皮盒底面为长方形，其长与宽的比是2：1， ∴，解得： ∴x的值为2． 25．一辆汽车从A地驶往B地，先行驶的是一段普通公路，后行驶的路段都为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为，在高速公路上行驶的速度为，且汽车所行驶的高速公路路程是普通公路路程的2倍，从A地到B地一共行驶了．试求汽车在普通公路上行驶了多少小时？ 【答案】汽车在普通公路上行驶了． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设汽车在普通公路上行驶了，则在高速公路上行驶了，列方程求解即可． 【详解】解：设汽车在普通公路上行驶了，则在高速公路上行驶了， 由题意得：， 解得：， 答：汽车在普通公路上行驶了． 26．以下是两张不同类型火车（“次”表示动车，“次”表示高铁）的车票： (1)根据车票中的信息填空：该列动车和高铁是______（填“相”或“同”）向而行，该列动车比高铁发车______（填“早”或“晚”）． (2)已知该列动车和高铁的平均速度分别为，，两列火车的长度不计，高铁比动车早到1h，求，两地之间的距离． (3)在的条件下，求高铁出发多少小时后两车相距150km． 【答案】(1)同，早 (2) (3)或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识． （1）根据车票信息即可求解； （2）设A、B两地之间的距离为．根据“动车行驶时间比高铁行驶时间多2小时”列方程，解方程即可求解； （3）设高铁出发小时后两车相距，分①高铁还未追上动车；②高铁追上动车后但未到达B地；③高铁到达B地后三种情况分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：该列动车和高铁是同向而行，该列动车比高铁发车早． 故答案为：同，早； （2）解：设A、B两地之间的距离为． 根据题意得， 解得． 答：，两地之间的距离为． （3）解：设高铁出发小时后两车相距， 当高铁还未追上动车时，， 解得； 当高铁追上动车后但未到达B地时，， 解得； 当高铁到达B地后，， 解得． 答：当高铁出发或或后两车相距． 27．一艘轮船从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时，已知该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时，求甲、乙两地的距离．设甲乙两地的距离是千米，根据题意填写以下表格： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 【答案】见解析 【分析】本题主要考查流水行船问题的速度：关系(顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度)、路程-速度-时间的数量关系，以及分式方程的建立与求解，先根据船在静水中的速度与水流速度，分别算出顺流、逆流速度，再用路程：表示出两种航行的时间，结合“逆流比顺流多小时”的等量关系列分式方程，最后通过通分、化简求解路程． 【详解】解：设甲乙两地的距离是千米， ∵该轮船在静水中的速度为千米/小时，水流的速度是千米/小时， ∴顺流的速度：，时间：， 逆流的速度：，时间：， ∵从甲码头顺流而行到达乙码头，所用时间比从乙码头逆流而行到达甲码头少小时， ∴， 解得：． 表格如图： 速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米） 顺流 逆流 所列方程 28．某新能源汽车满电时车内显示屏显示能行驶，冬季时实际能行驶的里程会折损．某车主冬季从家出发前往一个景区，全程包含高速公路和市区道路，其中高速路段总长度比市区路段总长度多，高速路段总长度与市区路段总长度的比是． (1)求车主从家到该景区的路程； (2)该车主从家出发时汽车满电，返程前在这个景区充电站充电，至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加多少千米，才能保证电量够返回到家． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据题意，设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米，再根据“高速路段总长度比市区路段总长度多”列方程即可解答； （2）根据题意，结合（1）中结论，求得实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程，进而求得到达景区时显示屏显示的能行驶的里程，从而求得答案． 【详解】（1）解：设高速路段总长度为千米，则市区路段总长度为千米， 由题意得，， 解得， 则车主从家到该景区的路程为（千米）． 答：车主从家到该景区的路程为240千米． （2）解：由题意可知，实际能行驶所需显示屏显示的能行驶的里程为， 则到达景区时显示屏显示的能行驶的里程为， ∵返程同样需要240千米的实际里程， ∴要使车内显示屏显示的能行驶的里程增加， 答：至少使车内显示屏显示的能行驶的里程增加200千米，才能保证电量够返回到家． 29．某条生产线上有22台机器，已知一台机器一天可以生产300支笔套或500支笔芯．如果1支笔套需要2支笔芯配成一套．要使生产线每天生产的笔芯和笔套恰好配套，应分别安排多少台机器生产笔套和笔芯？（每台机器只能生产笔套或笔芯中的一种） 【答案】要使生产线每天生产的笔套和笔芯恰好配套，应安排10台机器生产笔套，安排12台机器生产笔芯． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设安排x台机器制作笔套，则安排台机器制作笔芯，根据题意建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设应安排x台机器生产笔套，安排台机器生产笔芯．根据题意得， ，                     解得．                         所以，（台）． 答：要使生产线每天生产的笔套和笔芯恰好配套，应安排10台机器生产笔套，安排12台机器生产笔芯． 30．一个校办厂购进了5立方米的木材，厂长决定做成方桌销售，已知一张方桌由一张桌面和4个桌腿做成，经试验发现立方米的木材可以做张桌面或个桌腿，问工厂能做多少张方桌？ 【答案】150 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是做题的关键．根据题意，设用x立方米木材做桌面，利用等量关系列方程，最后解方程即可． 【详解】解：设用x立方米木材做桌面，则工厂能做张桌面，用立方米木材做桌腿，则可以做个桌腿， 根据题意，得， 解得， ∴，， 故工厂能做150张方桌． 答：工厂能做150张方桌． 31．某非遗文化工坊为推广榄雕工艺，推出“非遗传承配套礼盒”定制服务，每套礼盒由1本榄雕技法手册和2枚榄雕挂件组成，已知该工坊共有36名工人，其中第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人． (1)该工坊第一车间和第二车间各有多少人？ (2)已知每名工人每天可制作4本技法手册或10枚榄雕挂件，为提升礼盒质量，原计划安排第一车间负责制作榄雕挂件，第二车间负责制作技法手册，那么每天制作的手册与挂件不能完全配套，若不考虑其他因素，问需从第二车间安排多少名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套？ 【答案】(1)第一车间有14人，第二车间有22人 (2)需从第二车间安排2名工人支援第一车间 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）该工坊第一车间有人，则第二车间有人，根据“第一车间的人数比第二车间人数的一半多3人”列出方程并解答； （2）设需从第二车间安排名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套，根据题意可得等量关系：榄雕挂件技法手册，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：该工坊第一车间有人，则第二车间有人， 由题意得：， 解得：， 第二车间有：（人）， 答：该工坊第一车间有14人，第二车间有22人； （2）解：设需从第二车间安排名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套， 由题意得：， 解得：， 答：需从第二车间安排2名工人支援第一车间，才能使每天生产的手册与挂件正好配套． 32．在数学活动课上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（如图1）．七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每人每小时剪20个圆柱体侧面（如图2）或剪10个圆柱体底面（如图3）． (1)七（1）班女生有多少人？ (2)计划男生负责剪圆柱体侧面，女生负责剪圆柱体底面，要求1个圆柱体侧面配2个圆柱体底面，需要调多少名男生去支援女生，才能使每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套？ 【答案】(1)女生26人 (2)男生向女生支援14人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设该班有男生人，则女生有人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）先判断每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面不配套，然后设男生向女生支援人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：设该班有男生人，则女生有人， 由题意，得， 解得， 答：女生26人； （2）解：因为男生一小时剪圆柱体侧面， 需要960个圆柱体底面，而， 所以每小时剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面不配套， 设男生向女生支援人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套， 由题意，得， 即， 解得：， 答：男生向女生支援14人，剪出的圆柱体侧面与圆柱体底面正好配套． 33．某水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价（元/千克） 售价（元/千克） 苹果 6 9 金桔 8 12 (1)求该水果店这两种水果各购进多少千克？ (2)如果该水果店按表中售价销售完这两种水果，不计损耗，获得的利润是多少元？ 【答案】(1)苹果有60千克，金桔有80千克 (2)500元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设购进苹果千克，根据水果店用1000元购进苹果、金桔两种水果共140千克，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于两种水果的利润之和，列式计算即可． 【详解】（1）解：设购进苹果千克，则购进金桔千克， 由题意得，， 解得； ； 答：苹果有60千克，金桔有80千克； （2）解：元 答：获得利润500元． 34．为迎接马年春节，开州某商店购进了“马到福来”（以下简称为“”）和“幸福加马”（以下简称为“”）两款红包，每个款红包进价比款红包进价贵1元，该商店购进了个款红包和个款红包共花费元． (1)求、款红包进价每个分别为多少元？ (2)春节前，款红包在进价基础上提价后售卖了，款红包按一定价格售卖了；春节后，因商店保管不善导致剩下的款红包无法售卖按报废处理，款红包按春节前的售价打八折进行促销并全部售完，销售完这两款红包后共获利元，求春节前款红包的售价为每个多少元？ 【答案】(1)款红包进价为2元，款红包进价为元 (2)春节前款红包的售价为元 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式计算是解题的关键． （1）设款红包的进价为每个元，则款红包的进价为每个元，根据数量关系列式求解即可． （2）根据题意可得提价后款红包获利钱数为，设春节前款红包的售价为每个元，根据题意可列款红包获利，结合题意可列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设款红包的进价为每个元，则款红包的进价为每个元， 根据题意：， 解得，则（元）， 答：款红包的进价为每个2元，款红包进价为元； （2）解：∵款红包在进价基础上提价后售卖了， ∴提价后售价为（元），销售量为（个）， ∴提价后款红包获利（元）； 设春节前款红包的售价为每个元， ∴春节前款红包按元售卖了，即（个），春节后款红包的销售量为（个），售价为元， ∴款红包获利（元）， ∵销售完这两款红包后共获利元， ∴， 解得：， ∴春节前款红包的售价为元． 35．某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“春节年货节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件？ (2)若每件甲种产品按标价出售可获得利润20元，每件乙种产品按标价出售可盈利．“春节年货节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品打9折出售，乙种产品每件降价15元．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？ 【答案】(1)该商场购进120件甲种产品，80件乙种产品． (2)2280元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设该商场购进x件甲种产品，则购进件乙种产品，根据该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品，列出一元一次方程求解即可； （2）分别计算甲、乙种产品的利润，再求和即可． 【详解】（1）解：设该商场购进x件甲种产品，则购进件乙种产品， 根据题意得，， 解得， （件）． 答：该商场购进120件甲种产品，80件乙种产品． （2）解：根据题意得，甲产品总利润：（元）， 乙产品总利润：（元）， 总利润：（元）， 答：商场最终获利2280元． 36．某学习小组调查了外卖员小刚某一周的送餐情况，规定每天的送餐单数超过40单的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是小刚这一周的送餐单数： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐单数 0 (1)求小刚这一周一共送餐多少单； (2)若小刚的收入为每单元，小刚想用这周的总收入买一台标价为2400元的平板电脑，这款平板电脑在商场的售价为标价的，在实际购买时，小刚幸运地抢到了一张180元的消费优惠券．小刚用这周的总收入买下这款平板电脑后，还剩120元，请求出的值． 【答案】(1)300单 (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，正负数的实际应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程和算式是解题的关键． （1）求出七天每天送40单的总单量，再加上表格中这七天的送餐单数即可得到答案； （2）根据收入减去平板电脑实际支付金额等于剩余的钱，列方程求解m． 【详解】（1）解： 单， 答：小刚这一周一共送餐300单； （2）解：由题意得，， 解得． 37．小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8； （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠； （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 38．某校为了丰富学生的课余生活，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 (1)若学校购买乒乓球x盒（），则在甲店购买球拍和球的总费用为______元，在乙店购买球拍和球的总费用为______元（结果用含x的式子表示）； (2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ (3)若学校打算购买10副乒乓球拍和30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1)，； (2)学校计划购买乒乓球20盒 (3)最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍，再在乙店买20盒乒乓球 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列式计算即可； （2）设学校计划购买乒乓球x盒，根据“去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同”列出方程求解即可； （3）根据两种方案的优惠方式，可得出先在甲店购买10副球拍，送10盒乒乓球，另外20盒乒乓球在乙店购买即可． 【详解】（1）解：甲店购买球拍和球的总费用为：元， 乙店购买球拍和球的总费用为：元， 故答案为： ，； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）解：当时， ①在甲店购买球拍和球的总费用为： （元）， ②在乙店购买球拍和球的总费用为： （元）， ③在甲店买10副球拍送10盒球，费用为，在乙店买盒乒乓球， 费用为，则总费用为 （元） ∵， ∴最省钱的购买方案是在甲店买10副球拍送10盒球，再在乙店买20盒乒乓球． 39．为美化校园环境，某校决定购买一批花卉，经市场调查发现： 甲、乙两花店以同样的价格出售茶花和杜鹃花，已知每株茶花比每株杜鹃花贵5元，2株茶花与3株杜鹃花的费用相等． (1)每株茶花和每株杜鹃花的价格分别是多少? (2)甲花店的优惠方案： 每购买10株茶花，送1株杜鹃花； 乙花店的优惠方案： 若购买茶花超过 80株，则购买杜鹃花打八折（即 ） 假设该校购买100株茶花和a株杜鹃花，其中且为整数． ①请用含a的代数式表示： 若在甲花店购买，所花的费用为 元 若在乙花店购买，所花的费用为 元 ②当a为何值时，在两家花店购买所花的费用一样? 【答案】(1)每株茶花的价格是15元，每株杜鹃花的价格是10元 (2)①，；②当时，在两家花店购买所花的费用一样 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系， （1）设每株杜鹃花的价格是x元，则每株茶花的价格是元，根据“2株茶花与3株杜鹃花的费用相等”建立一元一次方程求解； （2）①根据两个店的优惠方案即可列出代数式；②在①的基础上建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设每株杜鹃花的价格是x元，则每株茶花的价格是元                                                 由题意得，         .             答：每株茶花的价格是15元，每株杜鹃花的价格是10元； （2）解：①甲花店：购买100株茶花，可获赠株杜鹃花，则需额外购买株杜鹃花， 所以总费用：（元） 乙花店：茶花超过80株，杜鹃花打八折 所以总费用：（元）， 故答案为：，； ②由题意得， 解得                答：当时，在两家花店购买所花的费用一样． 40．小张在元旦期间逛商场，看到如下两个商场的促销信息． A商场：全场均按九折优惠； B商场：购物不超过元，不给予优惠；超过了元，其中的元不打折，超过元的部分打七五折； 已知两家商场相同商品的标价都一样． (1)当一次性购物总额是元时，A、B两家商场实付款分别是多少元？ (2)当购物总额是多少时，A、B两家商场实付款相同？ (3)小张选择在B商场购物，实际付款元，小张的选择划算吗？请说明理由． 【答案】(1)商场实付款为元，商场实付款为元； (2)在购物总额为元时，在商场实付款相同； (3)小张的选择划算；理由见解析 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解打折率，准确地找出等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）根据两个商场的优惠条件进行计算即可得出答案； （2）设当购物总额是元时，两商场实付款相同．当时，显然；②当时，根据题意两商场实付款相同列方程，求解即可得出答案； （3）设小张购物总额为元，实付款为元，根据B商场的实付款金额列方程求出购物总额，再计算总额为元的商品选择在商场的实付款，比较两者即可得出结论． 【详解】（1）解：商场实付款为（元）， 商场实付款为（元）； （2）解：当时，商场实付款为元， 商场实付款为元，显然； 当时，商场实付款为元， 商场实付款为元， 令， 解得， 答：在购物总额为元时，在商场实付款相同； （3）解：小张的选择划算． 理由：设小张购物总额为元， ∵实付款元，， ∴， 由题意可得， 解得． 在商场的实付款为（元）， ∵， ∴小张的选择划算． 41．年月日起，乌鲁木齐居民生活用气（不包含采暖用气）开始执行阶梯价格制度，以下为具体阶梯收费标准： 收费方式 居民生活用气阶梯气量（立方米/年） 目前执行价格 第一阶梯 （含）的部分 元/立方米 第二阶梯 （含）的部分 元/立方米 第三阶梯 以上的部分 元/立方米 已知李明家全年生活用气量为立方米． (1)李明家应缴纳多少费用？ (2)张丽家全年生活用气比李明家多缴纳了元，张丽家全年用气量比李明家多多少立方米？ 【答案】(1)540元 (2)60立方米 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，一元一次方程解决实际问题． （1）根据收费标准计算即可； （2）先判断张丽家2025年全年生活用气超过400立方米，再设张丽家2025年全年生活用气x立方米，根据张丽家2025年全年用气缴费情况列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：（元）， 答：李明家应缴纳540元． （2）解：若用气量为400立方米时，应交费用为（元） 张丽家全年生活用气缴费为（元）， 所以张丽家2025年全年生活用气超过400立方米， 设张丽家2025年全年生活用气x立方米，则 解得， 所以张丽家全年用气量比李明家多（立方米）． 42．某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． (1)若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； (2)若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ (3)若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】(1)52.5 (2)31.4立方米 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【详解】（1）解：（元）． 故答案为：52.5； （2）解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． （3）解：小刚家11月份应交水费为：（元）． 43．为倡导广大市民以实际行动节约用电，中国电网供电公司采用居民生活用电阶梯式计费方式．如两表分别是该市“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表和该市小明家7，8月的用电情况． 生活用电阶梯式计费价格表                                 每户每月用电量 电价（元/千瓦时） 不超过180千瓦时的部分 180千瓦时至280千瓦时的部分 超过280千瓦时的部分 小明家7，8月用电情况 用电量（千瓦时） 电费（元） 7月 180 8月 260 (1)其中______，_________； (2)如果小明家9月应交电费是172元，则小明家这个月用电量是多少千瓦时？ 【答案】(1)， (2)小明家这个月用电量是300千瓦时． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据小明家7，8月的用电量及电费，可列出一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小明家这个月用电量是x千瓦时，求出月用电量是280千瓦时的应交电费，将其与172元比较后，可得出，根据小明家9月应交电费是172元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ， 解得：， 故答案为：，； （2）解：设小明家这个月用电量是x千瓦时， ∵（元），， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：小明家这个月用电量是300千瓦时． 44．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 2元 超出不超出的部分 4元 超出的部分 6元 (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中a超出不超出），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简） (3)若该户居民4月份交水费50元，该户居民4月份用水多少立方米？ 【答案】(1)8，18； (2)元； (3)该户居民4月份用水13立方米 【分析】本题考查列代数式，整式的加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）月份用水，则按第一档缴费；月份用水，则按第二档缴费； （2）由于月份用水量(其中)，根据缴费的形式得到化简即可； （3）设月份用水，根据题意可得，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：1月份用水，不超过，水费为（元）； 2月份用水，超过不超出，水费为（元）； 故答案为：8，18； （2）解：∵， ∴应收水费为元． 答：应收水费元； （3）解：设4月份用水， 当时，水费为（元）； 当时，水费为（元）； ∵， ∴． 根据题意，得． 解得． 答：该户居民4月用水． 45．2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 46．为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问： (1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？ (2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？ 【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人 (2)租用7辆70座客车合算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． （1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量； （2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算． 【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人； （2）解：租用45座客车所需费用为（元）， 租用70座客车所需费用为（元）． ∵， ∴租用7辆70座客车合算． 47．七年级某班的教师和学生去湖边坐游船，为此租了若干条船，如果每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满，问：该班租了多少条船？该班一共有教师和学生多少人？ 【答案】3条船，36人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设该班租了x条船，根据“每条船坐9人，那么恰好需要多租一条船；如果每条船坐12人，那么租的这些船恰好坐满”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该班租了x条船， 根据题意得：， 解得：， ∴该班一共有教师和学生:人， 答：该班租了3条船，该班一共有教师和学生36人． 48．某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？ 【答案】10千克 【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量． 【详解】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为， 设需要药液质量为千克，则药水质量为千克， 由题意，， 解得． 答：需要10千克的这种药液． 49．如图，这是2026年2月的日历表． (1)如图，在表中用Y形框“”框住四个数，其中最小的数为4，则Y形框框中的这四个数字之和为________． (2)设框住的这四个数中最小的数为m，请用含m的式子表示另外三个数． (3)在该表中用Y形框“”框住四个数的和是否能为105？能的话，请求出这四个数字中最小的数；如不能，请说明理由． 【答案】(1)41 (2)，， (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）根据图形的数字列式计算即可； （2）设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为，，； （3）令，解得，由日历表即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得， 答：Y形框框中的这四个数字之和为41， 故答案为：41； （2）解：设框住的这四个数中最小的数为m，则另外三个数分别为，，； （3）解：不能，理由如下： 假设用Y形框框住四个数的和能为105， 则由（2）可得， 解得， ∴要求框出的四个数中最小的是20，由图可知，不能框出这样的四个数． 50．综合与实践 数学活动课上，数学老师展示了一张2025年10月的月历表，让同学们观察数字间的关系，发现数学规律． 【观察发现】如图，在表中用一个小方框画出“”形，任意圈出4个阿拉伯数字x，y，z，t．若被圈到的数恰好为时，发现有下列数量关系：，，． 【解决问题】 (1)请用含有x的式子表示y，z，t． (2)按照上述方法，所圈出的四个数的和能否等于100？请列出一元一次方程并解答． 【答案】(1)，， (2)所圈出的四个数的和能等于100，见解析 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）观察图可得比大1，比大7，比大8，由此即可得； （2）参考（1）的结果，建立方程，解方程求出的值，则可得的值，再进行检验即可得． 【详解】（1）解：由图可知，，，． （2）解：由题意得：， 解得， 则，，， 经检验，在2025年10月的月历表中，可以圈出这四个数， 所以圈出的四个数的和能等于100． 51．如图1是2025年11月份的月历，用形如X形框覆盖月历中的日期数，每次同时覆盖5个数． (1)图1中X形框覆盖的5个数的和能等于50吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由； (2)图2是2025年12月份的月历，用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是多少？ 【答案】(1)能，这五个数中最小的数为 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，一元一次方程与日历问题，掌握日历中的规律是解题的关键． （1）设中间的数为，则其它个数为、、、，列方程即可求解； （2）设中间的数为，则其它个数为、、、，当时，即可求解． 【详解】（1）解：能； 设中间的数为，则其它个数为、、、，由题意得 ， 解得， ， 这五个数中最小的数为； （2）解：设中间的数为，则其它个数为、、、， 2025年12月份最大的一天是号， ， 解得， ； 故用同样的X形框能覆盖的五个数的和的最大值是． 52．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为． (1)如果，则是多少？ (2)在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)他的说法是错误的，理由见解析 【分析】本题考查了实际问题与一元一次方程，理解题意并列出方程是解题的关键． （1）根据月历的特点化简条件式即可； （2）列方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：根据月历的特点可知，，，，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知，当时，不是整数，此种情况不存在， ∴他的说法是错误的． 53．《算法统宗》是明代数学家程大位的重要著作，其中记载了一个“百僧分馒头”的问题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：一百个和尚分一百个馒头，大和尚每人分三个，小和尚三人分一个，正好分完．问大和尚和小和尚各有多少人？ 【答案】大和尚有25人，小和尚有75人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据一百个和尚分一百个馒头，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，那么小和尚有人，根据题意，可列方程： ， 整理得：， 解得： 小和尚的人数是（人）， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 54．明代《算法统宗》中记录了这样一个问题，“炎炎古寺在山中，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，恰合用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹．请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意为，山上有一座古寺，在这座寺庙里，每个和尚合吃一碗饭，每个和尚分一碗汤，一共用了只碗，那么寺院里有多少个和尚？饭碗和汤碗各多少只？请你解决这个问题． 【答案】 和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解． 设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为，总碗数为，列出方程求解，再计算碗的数量即可． 【详解】解：设和尚人数为，则饭碗数为，汤碗数为， 由题意得， 方程两边同乘，得， 即， 解得， 则饭碗数为（只）， 汤碗数为（只）， 答：和尚人数为人，饭碗只，汤碗只． 55．《孙子算经》中有个问题：“今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？”．这道题目的意思是，今有若干个人，每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】20人，6辆车 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设共有x辆车，根据“每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐；如果每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有x辆车， ∵每四个人乘坐一辆车，还剩一辆车没人坐， ∴总人数为， ∵每两人乘坐一辆车，有八个人无车可乘， ∴总人数为， ∴， 解得， ∴车有6辆， ∴人数为． 答：共有20人，6辆车． 56．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？ 译文：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺？ 请解答上述问题． 【答案】木长尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余尺列出方程求解即可． 【详解】解：设木长尺，则绳子长为尺， 由题意得， 解得． 答：木长尺． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $