6.2.3向量的数乘运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 导学案（详解版） 教材知识提炼： 【1】 一般地，规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1）．（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，． 注意：λ是实数，是向量，它们的积仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如，均没有意义． 【2】．数乘的运算律：；；. 【3】向量的加法、减法、数乘运算以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算.对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有＝． 【4】向量共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使． 【5】证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判断A，B，C三点共线，只需存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.　　 基于教材的训练和拓展： 一、单选题 1．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 2．在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算求解. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则. 故选：D 3．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、向量数乘的有关计算 【分析】或，从而得到答案. 【详解】因为或， ， 所以“”是“实数”的必要不充分条件. 故选：B 4．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 5．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的心的向量表示、向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 6．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量的线性运算的几何应用 【分析】由已知可知为的重心，然后结合向量的线性运算及三角形重心的性质可求． 【详解】满足，∴为的重心， ∴＝＝， 又∵， ∴ ． 故选：A． 7．为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量的混合运算 【分析】根据向量的运算性质，结合实际意义，即可判断选项. 【详解】因为向量表示“从点向正东走3米”，所以表示“从点向正东走6米”， ， 因为向量表示“从点向正北走4米”，所以向量表示“从点向正南走2米”， 故从点到这株花卉的位置可以先向正东走6米，再向正南走2米. 故选：B 8．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】由结合，可得点是线段上靠近点的四等分点，结合图形分析可得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 二、多选题 9．已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 10．已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 11．如图所示，D是的边上的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用向量的加、减以及数乘运算即可求解. 【详解】对A：，A选项正确； 对B：，B选项正确； 对C：，C选项错误； 对D：，D选项正确． 故选：ABD 三、填空题 12．已知为直线外一点，且，则 . 【答案】2 【知识点】向量减法的法则、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】由条件得到，即可求解. 【详解】由， 得， 得， 所以， 故答案为：2 13．化简：2＋2＋3＋3＋＝ ． 【答案】 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】 . 故答案为：. 14．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 16．设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 17．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求解； （2）根据三点共线列出方程组求解即可． 【详解】（1）因为点A是的中点， 所以，即， 整理得， 可得， 故． （2）由题意可得， 因为三点共线，所以，且， 则， 可得，解得， 故． 18．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值、向量的线性运算的几何应用 【分析】连接，由已知可得，根据三点共线结论可得，再由基本不等式即可求得的最小值． 【详解】如图，连接，   中，，， 点P满足， ， ， 又， ， 又三点共线， ， ， 当且仅当，即时取“”， 则的最小值为． 19．已知点O为内一点，，求. 【答案】. 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】取的中点D，的中点E，由向量关系可得为的中位线，再利用三角形面积关系求出面积比. 【详解】如图，取的中点D，的中点E，连接，    由，得， 而与有公共点，于是D、O、E三点共线，因此为的中位线， 由，，， 得， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3向量的数乘运算 导学案（学生版） 教材知识提炼： 【1】 一般地，规定实数λ与向量的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ． （2）当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ； 当时， ． 【2】．数乘的运算律 ； ； 【3】向量的加法、减法、数乘运算以及它们的混合运算，统称为向量的 .对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有＝ ． 【4】向量共线定理:向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ． 【5】证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判断A，B，C三点共线，只需存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1.　　 基于教材的训练和拓展： 一、单选题 1．设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 5．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 6．已知△ABC，点G、M满足，，则(    ) A． B． C． D． 7．为规划社区花园，工人师傅以花园中心为原点建立平面直角坐标系.已知向量表示“从点向正东走3米”，向量表示“从点向正北走4米”.已知一株花卉的位置用向量可表示为，则从点到这株花卉的位置可以（   ） A．先向正东走4米，再向正北走3米 B．先向正东走6米，再向正南走2米 C．先向正西走2米，再向正北走3米 D．先向正西走4米，再向正南走6米 8．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 10．已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 11．如图所示，D是的边上的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知为直线外一点，且，则 . 13．化简：2＋2＋3＋3＋＝ ． 14．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 . 四、解答题 15．（1）化简； （2）若，求向量. 16．设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 17．如图，在中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E．设． (1)用向量表示； (2)若，求实数的值． 18．在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，求的最小值．    19．已知点O为内一点，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $