2026年中考数学复习几何压轴・满分突破集训 专题05 几何中最值重难点题型汇编（全国通用）

专题05 几何中最值重难点题型汇编 【题型1 “一动一定”型】 模型:“垂线段最短” 条件:A是定点,直线l是动点P的运动路径, 结论:当AP⊥l时,AP的长度最小(即AP'的长). 类型一 显性“一动一定”（显动点） 【典例1】【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_______，数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，如图3，点与点关于对称，连接，，，已知，求四边形的面积的最小值； 类型二 隐性“一动一定”（隐定点） 【典例2】如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【题型2 “两动一定”型】 问题提出： P是∠AOB的内部(或边上) 的一定点，在OA，OB上分别找一点 M，N，使PM＋MN或PN＋NM最小. 模型建立： 作点P 关于 OA 对称的点 P₁，过点 P₁ 作 P₁N ⊥ OB 于点 N，交 OA 于点 M，则 PM＋MN 的最小值为 P₁N 的长. 模型建立： 作点 P 关于 OB 对称的点 P₂，过点 P₂ 作 P₂M ⊥ OA 于点 M，交 OB 于点 N，则 PN＋NM 的最小值为 P₂M 的长 【典例3】如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【变式1】如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则 的最小值为 ． 【变式2】如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 【题型3 “一动两定”(胡不归）型】 问题提出： 如图，A 为定直线l上的一定点，B为直线l外的一定点，在定直线l上找一点P，使kAP+PB(0<k<1)最小.。 模型建立: 当k＞1时， 模型解析: 以AP为斜边，在点B的异侧构造Rt△PAM，sin∠PAM=k,则kAP=PM;过点B作BMLAM于点M,,交于点P，则kAP+PB的最小值即为BM，的长,P，即为所求的点. 类型一 在直线形中的应用 【典例4】如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式2】如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 类型二:在圆弧形中的应用 【典例5】如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，点P是上一动点，点B的坐标为，则的最小值为 ． 【题型4 “两定一动”型】 模型 1“两点之间,线段最短” 条件:A,B是定直线L异侧的两个定点，P是l上的一动点.结论:PA+PB=AB≤PA+PB. 模型 2“将军饮马” 条件:A,B是定直线同侧的两个定点，P是上的一动点，结论:PA+P,B=A,B<PA+PB 【典例6】如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式2】如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式3】如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【题型5 “一定两动(一点两线)”型】 问题提出: P是锐角∠AOB内的一定点，分别在OA,OB上找一点M,N,使▲PMN 的周长最小 模型建立： 模型解析:分别作点关于OA,OB的对称点P，P连接P1P2:分别交OA,OB于点M，N:，则▲PMN，的周长最小，最小值为P1P2，的长连接OP,OP1,OP2:,解▲OP1P2是通法, 【典例7】如图，，点是内的一动点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】如图，已知，点是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于3，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 “两定两动一线”型】 问题提出： 已知A，B是定直线l外的两个定点，M，N是l上的两个动点，且MN=a（定值），求作M，N，使AM+NB最小 模型建立： 1 作点A向右平移 a 个单位后的对应点 A1，连接A1B交 l 于点N1​，再在N1左侧的l上取点M1​，使 M1​N1=MN。 ②作点A关于l的对称点A2​，再将A2向右平移a个单位得到A1，连接A1B交l于点N1，再确定点M1​（同上） 【典例8】如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，为边上一点，，，为边上的两个动点，且满足，则的最小值为 ． 【题型7 “两定两动(两点两线)”型一“架桥选址”】 问题提出： 已知直线 a∥b，A，B是分别位于直线a的上方和直线b的下方的定点，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，找点 M，N，使 AM+MN+NB的值最小 模型建立： 模型解析： 以 AM,MN为邻边作□AMNA1​，转化为在直线b上找一点 N，使A1N+NB 最小。连接 A1B交直线b于点N1，过点 N1作 N1M1⊥a于点M1，连接AM1，则AM1+M1N1+N1B最小 【典例9】小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为 ． 【题型8 “三定一动(共动点)”--费马点问题】 问题提出： (1)在△ABC中，三个内角均小于120∘，P是该平面内的一点，求作点P，使PA+PB+PC 最小； (2)在△ABC中，∠ABC≥120∘，P是该平面内的一点，求作点P，使PA+PB+PC最小。 模型建立： (1) 图（1）：在△ABC内部取一点P，连接PA,PB,PC；将△APC绕点C顺时针旋转 60∘得到△A′P′C。(2) 图（2）：点P与点B重合 模型解析： (1) 将△APC绕点C顺时针旋转60∘ 得到 △A′P′C，连接PP′，则△PCP′是等边三角形，P′A′=PA。因此PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′≥A′B，当且仅当 B,P,P′,A′四点共线时，PA+PB+PC 取得最小值 A′B，此时∠APB=∠BPC=∠APC=120∘（该点P也称为费马点）。 (2) 当 ∠ABC≥120∘ 时，点P与点B重合，PA+PB+PC 的最小值为AB+BC。 【典例10】如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【变式1】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 【变式3】如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 【题型9 “定点定长”型隐圆】 模型1“一中同长” 条件：O是定点，M 是动点，且OM=r（定值）。 结论：点M的运动路径是以r为半径的⊙O 模型2“一箭穿心” · 条件：M 是半径为r的 ⊙O上的一动点（OM=r 定值），点P是定点（OP=d 定值）。 · 结论：PM 的最小值 =PM1=∣d−r∣，PM的最大值=PM2=d+r。 【典例11】如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【变式1】如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． ．【变式2】如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【题型10 定弦定角”型隐圆】 问题提出： 在△ABC中，AB=a（定长），∠ACB=α（定角），探究点C的运动路径。 模型建立： ①当α<90°时，点 C 的运动路径是优弧ACB，∠AOB=2α。 ②当α=90°时，点 C 的运动路径是以 AB 为直径的⊙O（点 C 不与 A,B 重合）。 ③当α>90°时，点 C 的运动路径是劣弧 ，∠AOB=360°−2α。 【典例12】如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 【变式1】如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 【变式2】如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【题型11 “隐圆隐切线”型】 模型 1 · 条件：OP=a，Q 是一动点，且OQ=b（a，b是定长，且a>b）。 · 结论：点Q在以 b 为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，∠OPQ 最大。 模型 2 · 条件：O是直线 l 上的一定点，P是l上的一动点，OQ=m（定长），且∠OPQ=α（定角）。 · 结论：点Q在以 m 为半径的 ⊙O 上，且当PQ与⊙O相切时，OP最大。 【典例13】如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【变式1】如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在处射门时，则有张角．如图，若， 米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为 ． 【题型12 “阿氏圆”型(a十kb型)】 问题：求解“”类加权线段和最小值 方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“”转化为“”问题 关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型 类型一-“a+kb(k<1)”型 【典例14】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 　 　． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（　　） A． B．6 C．2 D．4 【变式2】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 类型二 “a+kb(k>1)”型 【典例15】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 　 　． 【变式1】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　　． 【变式2】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 　2　． 【基础巩固】 1．（2025·四川绵阳·三模）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．42 C． D． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 5.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）    A． B． C．6 D．3 6．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 7.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【能力提升】 1.如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2.如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 几何中最值重难点题型汇编 【题型1 “一动一定”型】 模型:“垂线段最短” 条件:A是定点,直线l是动点P的运动路径, 结论:当AP⊥l时,AP的长度最小(即AP'的长). 类型一 显性“一动一定”（显动点） 【典例1】【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_______，数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，如图3，点与点关于对称，连接，，，已知，求四边形的面积的最小值； ∴， ∴，即， ∴． （3）当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形． 如图，过点作于点，则， 设，四边形的面积为． 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为． 即四边形的面积的最小值为 类型二 隐性“一动一定”（隐定点） 【典例2】如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到点F，则长的最小值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理．将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上，得出点的运动轨迹为线段，当时，的长度最小，由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，则此时、、在同一直线上， ，，， ， ， 随着点的运动，总有，， ，即、、三点在同一直线上， 点的运动轨迹为线段， 当时，的长度最小， 在中，，，，， ， ， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等． 在上取一点E，使，连接，过点E作于F，由旋转的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点P和点F重合）时，最小，然后由含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小，即点P与点F重合，最小，最小值为， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故线段长度的最小值是， 故选：D． 【题型2 “两动一定”型】 问题提出： P是∠AOB的内部(或边上) 的一定点，在OA，OB上分别找一点 M，N，使PM＋MN或PN＋NM最小. 模型建立： 作点P 关于 OA 对称的点 P₁，过点 P₁ 作 P₁N ⊥ OB 于点 N，交 OA 于点 M，则 PM＋MN 的最小值为 P₁N 的长. 模型建立： 作点 P 关于 OB 对称的点 P₂，过点 P₂ 作 P₂M ⊥ OA 于点 M，交 OB 于点 N，则 PN＋NM 的最小值为 P₂M 的长 【典例3】如图，在中，，平分，交于点，点、分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段最短，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 连接，过点A作于点H，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点M在线段上时，最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图： ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据“垂线段最短”得：， 即当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 故答案为：． 【变式1】如图，的面积为，，平分，若分别是上的动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式2】如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【题型3 “一动两定”(胡不归）型】 问题提出： 如图，A 为定直线l上的一定点，B为直线l外的一定点，在定直线l上找一点P，使kAP+PB(0<k<1)最小.。 模型建立: 当k＞1时， 模型解析: 以AP为斜边，在点B的异侧构造Rt△PAM，sin∠PAM=k,则kAP=PM;过点B作BMLAM于点M,,交于点P，则kAP+PB的最小值即为BM，的长,P，即为所求的点. 类型一 在直线形中的应用 【典例4】如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数的图像与x轴交于点， ∴b＝2， ∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0）， 令x＝0，y=3， ∴B（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，-1）， ∴OD＝1，BD＝4， ∵DH⊥BC， ∴∠DHB＝90°， 设，则, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵PJ⊥CB， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴DP+PJ的最小值为， ∴的最小值为4． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键． 【变式2】如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 类型二:在圆弧形中的应用 【典例5】如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于， ，，， ， ，， ， ， 当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小， 当，，三点共线时，有最小值， 此时， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以为半径作，点P是上一动点，点B的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接，，在上取C，使，连接，可证明，得，即有，故取最小值，即是取最小值，此时B、P、C共线，的最小值即为，由C在直线上，，可得，从而，故的最小值为10． 【详解】解：连接，，在上取C，使，连接，如图： ∵，     ∴， ∵半径为， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故取最小值，即是取最小值，此时B、P、C共线，的最小值即为，如图： ∵， ∴直线为， 由，知， ∴， 设，则， ∴（负值已舍去），即， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中的动点问题，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，把所求问题转化为求的最小值． 【题型4 “两定一动”型】 模型 1“两点之间,线段最短” 条件:A,B是定直线L异侧的两个定点，P是l上的一动点.结论:PA+PB=AB≤PA+PB. 模型 2“将军饮马” 条件:A,B是定直线同侧的两个定点，P是上的一动点，结论:PA+P,B=A,B<PA+PB 【典例6】如图，中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若的面积为10，，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，解题的关键是利用垂直平分线的性质将转化为，再结合垂线段最短确定最小值． 由直线垂直平分得，则；当、、共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可． 【详解】解：连接，如图 直线垂直平分， ， 当、、共线且时，取得最小值，即的长． 由的面积，，得，解得， 故的最小值为5． 故选：B． 【变式1】如图，在菱形中，，，Q为的中点，P为对角线上的任意一点，则的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接．证明，可得，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【变式2】如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，最短线段问题，将的最小值转化为线段的长是解题关键．由等边三角形的性质可得垂直平分，则，当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再结合三角形面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，， ∴， ∴垂直平分，， ∵点P是AD上一个动点， ∴， ∴， 即当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是8． 故选：B． 【变式3】如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质．连接，根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后判断出是等边三角形，连接，根据轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点P，的最小值，然后根据等边三角形的性质求出即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 连接， ∵、D关于对角线对称， ∴与的交点即为所求的点P，的最小值， ∵是的中点， ∴， ∵菱形周长为16， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【题型5 “一定两动(一点两线)”型】 问题提出: P是锐角∠AOB内的一定点，分别在OA,OB上找一点M,N,使▲PMN 的周长最小 模型建立： 模型解析:分别作点关于OA,OB的对称点P，P连接P1P2:分别交OA,OB于点M，N:，则▲PMN，的周长最小，最小值为P1P2，的长连接OP,OP1,OP2:,解▲OP1P2是通法, 【典例7】如图，，点是内的一动点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称解决线段和最小问题，分别作点关于的对称点，连接，于的交点即为点，此时的周长最小为的长，证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，则：，    ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长， ∴周长的最小值为的长，即为3； 故选B． 【变式1】如图，已知，点是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点最值问题，涉及点的对称、两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握动点最值问题的解法是解决问题的关键． 作点关于、的对称点，连接、、，如图所示，由对称性可知，，，，，由两点之间线段最短可得，当四点共线时，，使的周长最小，即周长的最小值为线段长度，从而得到是等边三角形，即可得到从而得到答案． 【详解】解：作点关于、的对称点，连接、、，如图所示： 由对称性可知，，，，， ， 由两点之间线段最短可得，当四点共线时，，使的周长最小，即周长的最小值为线段长度，如图所示： ，周长的最小值等于3， ， 即是等边三角形， ， ， ，解得， 故选：A． 【题型6 “两定两动一线”型】 问题提出： 已知A，B是定直线l外的两个定点，M，N是l上的两个动点，且MN=a（定值），求作M，N，使AM+NB最小 模型建立： 1 作点A向右平移 a 个单位后的对应点 A1，连接A1B交 l 于点N1​，再在N1左侧的l上取点M1​，使 M1​N1=MN。 ②作点A关于l的对称点A2​，再将A2向右平移a个单位得到A1，连接A1B交l于点N1，再确定点M1​（同上） 【典例8】如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知，则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长，求出的最小值为，再求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点， ，， ， 作点关于直线的对称点， ，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ∵， ∴四边形周长的最小值为 故选：D． 【变式1】如图，，为边上一点，，，为边上的两个动点，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形的三边关系；利用轴对称和平行四边形的性质将转化为，然后由三角形的三边关系得，当M点移动到与D点重合时，的值最小值为的长度，最后利用勾股定理求出即可. 【详解】解：如图所示，作E点关于的对称点，连接，，过M作的平行线，过作的平行线，两平行线交于点F，连接， 由轴对称的性质得，， ∵，， ∴四边形为平行四边形 ∴， ∴ ∴当M点移动到与D点重合时，有， 即此时的值最小，最小值为的长度 ∵，， ∴ ∵在中，，， ∴ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴在中，. 故的最小值为. 【题型7 “两定两动(两点两线)”型一“架桥选址”】 问题提出： 已知直线 a∥b，A，B是分别位于直线a的上方和直线b的下方的定点，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，找点 M，N，使 AM+MN+NB的值最小 模型建立： 模型解析： 以 AM,MN为邻边作□AMNA1​，转化为在直线b上找一点 N，使A1N+NB 最小。连接 A1B交直线b于点N1，过点 N1作 N1M1⊥a于点M1，连接AM1，则AM1+M1N1+N1B最小 【典例9】小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握用轴对称的性质解决线段最短问题，作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，再据此求解即可． 【详解】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点， 由轴对称性质可得，由平移的性质可得， 当三点共线时，的值最小， 此时，的值最小， 矩形中，，洞口M 位于的中点处， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为： 【题型8 “三定一动(共动点)”--费马点问题】 问题提出： (1)在△ABC中，三个内角均小于120∘，P是该平面内的一点，求作点P，使PA+PB+PC 最小； (2)在△ABC中，∠ABC≥120∘，P是该平面内的一点，求作点P，使PA+PB+PC最小。 模型建立： (1) 图（1）：在△ABC内部取一点P，连接PA,PB,PC；将△APC绕点C顺时针旋转 60∘得到△A′P′C。(2) 图（2）：点P与点B重合 模型解析： (1) 将△APC绕点C顺时针旋转60∘ 得到 △A′P′C，连接PP′，则△PCP′是等边三角形，P′A′=PA。因此PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′≥A′B，当且仅当 B,P,P′,A′四点共线时，PA+PB+PC 取得最小值 A′B，此时∠APB=∠BPC=∠APC=120∘（该点P也称为费马点）。 (2) 当 ∠ABC≥120∘ 时，点P与点B重合，PA+PB+PC 的最小值为AB+BC。 【典例10】如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，可证是等边三角形，得到，当点四点共线且时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，将绕点顺时针旋转得到，得到是解题的关键． 【变式1】如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上． 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值． 【答案】+ 【分析】以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．根据△PAM、△ABN都是等边三角形，可得PA+PB+PC=CP+PM+MN；根据当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，进而求得PA+PB+PC的最小值． 【详解】证明：如图所示，以点C为旋转中心，将△CBP顺时针旋转60°得到△CNM，连接BN． 由旋转可得，△AMN≌△ABP， ∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN， ∴△PAM、△ABN都是等边三角形， ∴PA=PM， ∴PA+PB+PC=PM+MN+PC； 当AC=BC=1时，AB=2， 当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB， ∴AQ=AB==CQ，NQ=， 此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=+ 【变式3】如图，在中，，，．若点P是内一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【详解】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，，如图所示， 则∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP=PP′， ∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2， ∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB•cos∠BAC=2×cos30°=， ∴CB′=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 【题型9 “定点定长”型隐圆】 模型1“一中同长” 条件：O是定点，M 是动点，且OM=r（定值）。 结论：点M的运动路径是以r为半径的⊙O 模型2“一箭穿心” · 条件：M 是半径为r的 ⊙O上的一动点（OM=r 定值），点P是定点（OP=d 定值）。 · 结论：PM 的最小值 =PM1=∣d−r∣，PM的最大值=PM2=d+r。 【典例11】如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，在长方形中，，E点是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在的直线翻折，得，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段的最值问题，涉及隐圆，轴对称的性质，勾股定理等，找出点G的运动轨迹是解题的关键． 由轴对称的性质可得长度不变，因此点G在以点E为圆心，长为半径的圆上，进而可得当点G在线段上时，的长取最小值． 【详解】解：以点E为圆心，长度为半径作圆，连接，当点G在线段上时，的长取最小值，如图所示： 长方形中，，E点是的中点， ，，， ， ， 即长的最小值是， 故答案为：． ．【变式2】如图，正方形的边长为2，动点P为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，点与圆的位置关系；以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，利用，结合圆的性质可得出点P的轨迹是以为直径的圆，将的最值问题转化为点C到圆上点的距离最值问题，通过点C到圆心的距离与半径的关系即可求解． 【详解】解：如图，以B点为坐标原点，分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， ∵ 根据圆的性质，点P的轨迹是以为直径的圆， ∵正方形的边长为2， ∴，则圆心为，半径为， ∴圆的方程为， ∵， ∴圆心到点C的距离为 ∵， ∴点C在圆外， ∴最小值为， 最大值为， 故答案为：，． 【题型10 定弦定角”型隐圆】 问题提出： 在△ABC中，AB=a（定长），∠ACB=α（定角），探究点C的运动路径。 模型建立： ①当α<90°时，点 C 的运动路径是优弧ACB，∠AOB=2α。 ②当α=90°时，点 C 的运动路径是以 AB 为直径的⊙O（点 C 不与 A,B 重合）。 ③当α>90°时，点 C 的运动路径是劣弧 ，∠AOB=360°−2α。 【典例12】如图，在正方形中，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是（    ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，借助于圆解决线段的最值问题，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点，判定出，得出，确定点在上，然后利用勾股定理即可求出线段最小值． 【详解】解：如图所示，取线段的中点，以点为圆心，长为半径画圆，连接交于点， 在正方形中， ， ， 又， ， , ， ， ∴点在上， 此时，时值最小， 由勾股定理得, ， 故选：A． 【变式1】如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】 解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 【题型11 “隐圆隐切线”型】 模型 1 · 条件：OP=a，Q 是一动点，且OQ=b（a，b是定长，且a>b）。 · 结论：点Q在以 b 为半径的⊙O上，且当PQ与⊙O相切时，∠OPQ 最大。 模型 2 · 条件：O是直线 l 上的一定点，P是l上的一动点，OQ=m（定长），且∠OPQ=α（定角）。 · 结论：点Q在以 m 为半径的 ⊙O 上，且当PQ与⊙O相切时，OP最大。 【典例13】如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，， ， ， ，， ， ， 三点在以Q为圆心的圆上， ， 与圆Q相切与P， 此时最大， 在中，， 故选：． 【变式1】如图，在中，，，为中点，则当最大时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，三角形中位线性质；取的中点，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，当与相切时，最大，即，然后运用勾股定理求解即可；解题的关键是掌握点、的运动轨迹． 【详解】解：如图，取的中点， ，，为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵当与相切时，最大， ， ， 故选：D． 【变式2】如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置对球门的张角（）有关．当球员在处射门时，则有张角．如图，若， 米，是中点，球员在射线上的点射门时的最大张角为，则的长度为 ． 【答案】米 【分析】如图，过点作交于点，以的中点为圆心、为半径画圆，连接，可得为等腰直角三角形，且，进而得到，即得，得到，又由直角三角形的性质可得，可得点在上，由与射线相切，可知此时球员在射线上的点射门时的张角最大，且最大张角为，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，以的中点为圆心、为半径画圆，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点 ∴， ∴点在上， ∵与射线相切，， ∴可知此时球员在射线上的点射门时的张角最大，且最大张角为， ∵， ∴， ∴米， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，直线和圆的位置关系，正确画出图形是解题的关键． 【题型12 “阿氏圆”型(a十kb型)】 问题：求解“”类加权线段和最小值 方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“”转化为“”问题 关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型 类型一-“a+kb(k<1)”型 【典例14】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 　 　． 【答案】 【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ， ∴，， ∴， ∵∠PBQ＝∠CBP， ∴△BPQ∽△BCP， ∴， ∴PQ＝CP， ∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ， 当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小， 故答案为：． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（　　） A． B．6 C．2 D．4 【答案】A 【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝， 又∵∠PCD＝∠BCP， ∴△PCD∽△BCP， ∴＝， ∴PD＝BP， ∴AP+BP＝AP+PD． 要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小， 即：AP+BP最小值为AD， 在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6， ∴AD＝＝， AP+BP的最小值为， 故选：A． 【变式2】如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图 ∵ABCD是正方形，AB＝8 ∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90° ∵BP＝4 ∴， ∴且∠PBC＝∠PBC ∴△PBE∽△BCP ∴ ∴PE＝PC ∴PD+PC＝PD+PE 在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6 ∴DE＝＝10 ∵PD+PE≥DE ∴PD+PE≥10 ∴PD+PC的最小值是10 故选：C． 类型二 “a+kb(k>1)”型 【典例15】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 　 　． 【答案】2．版权所有 【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP， ∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点， ∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2， ∴＝＝，且∠COP＝∠EOP， ∴△OPE∽△OCP， ∴＝＝， ∴EP＝2DC， ∴2PC+PD＝PE+PD， ∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小， ∴2PC+PD最小值＝＝2． 【变式1】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　　． 【答案】． 【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH， ∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9）， ∴AO＝1，OB＝2，OH＝9， ∵，∠AOP＝∠POH， ∴△AOP∽△POH， ∴， ∴HP＝3AP， ∴3PA+PB＝PH+PB， ∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长， ∴BH＝＝＝， 故答案为：． 【变式2】如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 　2　． 【答案】2 【解答】 解：设⊙O半径为r， OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2， 取OB的中点I，连接PI， ∴OI＝IB＝， ∵， ， ∴， ∠O是公共角， ∴△BOP∽△POI， ∴， ∴PI＝PB， ∴AP+PB＝AP+PI， ∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小， 作IE⊥AB于E， ∵∠ABO＝45°， ∴IE＝BE＝BI＝1， ∴AE＝AB﹣BE＝3， ∴AI＝＝， ∴AP+PB最小值＝AI＝， ∵PA+PB＝（PA+PB）， ∴PA+PB的最小值是AI＝＝2． 故答案是2． 【基础巩固】 1．（2025·四川绵阳·三模）如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．42 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数定义等知识，过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，再由垂径定理和锐角三角函数即可求解．解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 【详解】解：如图，过作关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可知即为的最小值， 连接，，， 关于直线对称， ， ， ，， ， 过作于， 则， ， ， 在中，， ， 即的最小值， 故选：D． 2．（2025·山东济宁·模拟预测）如图，矩形中，，点、分别为、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故选：B． 3．（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形在第一象限，，分别在x轴和y轴上，P，Q分别为，上的动点，点M在上，，点N为中点，上一点，若点B的坐标是，则四边形的周长最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，先分别做出点M，N关于y轴和x轴的对称点，结合两点间线段最短，结合矩形性质结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得作点M关于y轴的对称点，点N关于y轴的对称点， ∵点M关于y轴的对称点是点，点N关于y轴的对称点是点， ∴，， ∴， ∴当点，，，四点共线时最小，此时四边形的周长最小， ∵长方形在第一象限，点B的坐标是， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴四边形的周长最小值为：， 故选：D． 5.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）    A． B． C．6 D．3 【答案】D 【详解】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可． 详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图， 则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小， 作OH⊥CD于H，则CH=DH， ∵∠OCH=30°， ∴OH=OC=， CH=OH=, ∴CD=2CH=3． 故选D．    点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 6．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 7.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 【能力提升】 1.如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（-4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（-4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得． 【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图： ∴，， ∴，此时周长最小， 由得，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵C、D关于AB对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由，可得直线DG解析式为， 在中，令得， ∴， 由，得， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置． 2.如图，在四边形中，， ，，，点在上，且为边上的两个动点，且，则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】先确定和的长为确定的值，得到四边形的周长最小时，即为最小时，过点F作得平行四边形，知作点E关于对称点Q，连接则连接当三点共线时，的值最小，为得到最小为在中由勾股定理可得从而可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，只要最小即可， 过点F作交于点P，则四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ 延长到点，使连接则 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小，为 ∴的最小值为 在中， ∴四边形的周长为 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $