第05讲 平面向量在几何和物理中的应用（知识清单+2题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第05讲 平面向量在几何和物理中的应用 知识清单 知识点01：向量在几何中的应用 知识点02：向量在物理中的应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面几何中的向量方法 题型2：向量在物理中的应用举例 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 题型1：平面几何中的向量方法 【例1-1】（2025高一·全国·专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ）. A．3 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】由向量加法的几何意义可知的最小值就是点到直线的距离 【详解】设，则为直线上的动点，,如图.   的最小值为点到直线的距离， 根据，，得. 故选：A． 【例1-2】（2025高一·全国·专题练习）已知向量满足，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据题意点在以为圆心，半径为2的圆上运动，点在以为圆心，半径为1的圆上运动，设的中点为，利用极化恒等式：在三角形中，两边向量的数量积等于第三边中线长的平方与第三边一半长的平方之差可得，即点在以为直径的圆上，根据两圆的位置关系列不等式求解即可. 【详解】如图，设，，， 由，，点在以为圆心，半径为2的圆上运动，点在以为圆心，半径为1的圆上运动， 设的中点为，因为，即， 所以由极化恒等式可得，证明如下： 令，，则，， 所以，解得，即， 即点在以为直径的圆上，要求，即求直径的取值范围， 不妨设圆的半径为，因为点所在的圆与圆存在公共点， 所以圆心距满足：，且， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为： 【例1-3】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 【变式1-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 【变式1-2】（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 题型2：向量在物理中的应用举例 【例2-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 【例2-2】（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【答案】13 【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可. 【详解】已知共点力， 则合力为， 又已知位移为， 所以合力对物体所做的功. 故答案为：13 【例2-3】（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 【答案】(1)（1+）N. (2) 【分析】（1）根据力的平衡．利用数量积进行求解的大小； （2）解法一，根据力的平衡，利用数量积求解夹角；解法二，利用数量积进行求解夹角. 【详解】（1）因为三个力平衡，所以， 所以 , 故的大小为. （2）解法一：设与的夹角为θ， 则， 即=，解得， 因为，所以. 解法二：设与的夹角为θ，得， 因为，所以. 【变式2-1】（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 【变式2-2】（24-25高一下·新疆喀什·月考）一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，则飞机飞行的路程为 ，位移为 . 【答案】 1400 1000 【分析】根据路程和位移的概念求解即可. 【详解】一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行， 飞机飞行的路程为，位移为. 故答案为：1400,1000 【变式2-3】（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量的运算与分解，利用坐标法计算向量的长度，进而求得；（2）货船要垂直到达正对岸B，需使合速度的东向分量为0，进而计算求解. 【详解】（1）以为坐标原点，以东向方向为轴，以垂直对岸的方向为轴建立直角坐标系如图所示. 货船从码头航行到货站的最短路径要求合速度方向由指向. 设货船在静水中的速度为 ，水流速度为4 km/h向东，即, 合速度为水流速度与船速的矢量和： 由题意，合速度方向与向量同向，且大小为. 设合速度为，则： 因此，合速度为 . 联立方程： 货船速度大小为：    （2）货船要垂直到达正对岸，需使合速度的东向分量为0. 设船速为，则： 由（1）知船速大小为 ，故： 合速度的北向分量为 ，河宽，所需时间为： 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【详解】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 3．（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设航船方向与河岸夹角为，根据求出即可求解. 【详解】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 4．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用向量夹角及模的几何意义将问题转化为圆上的点到射线距离最小值求解. 【详解】由是单位向量，，得，即， 作向量，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 由，得，作向量，， 过作射线的垂线，垂足为， 所以. 故选：D 6．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】利用物体处于平衡状态得到，同时结合力和向量的关系求出即可. 【详解】由题意可知，所以 所以 故，则力的大小为. 故选：D. 7．（2025高一·全国·专题练习）设为非零不共线向量，若，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量模的几何意义以及向量运算的几何意义，数形结形即可求解. 【详解】． 如图，设，，， 则点在直线上移动，且． 因为， 即， 所以是的最小值，故，即. 故选：D. 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【分析】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【详解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可. 【详解】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 10．（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解. 【详解】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 【答案】 8 【分析】利用向量加法法则即可求得此人实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8km/h. 【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 故答案为： ；8. 13．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，再根据向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】依题意，所以. 故答案为： 14．（24-25高一下·山西晋中·月考）如图，在平面四边形中，，当点为边的中点时，的值为 ，当点为边上的动点，的最小值为 ． 【答案】 /1.5 【分析】建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以，. 设，由，，， ，则①； 又，，，，即， 得，代入①式解得，所以. 设，，则， , 所以点坐标为. 则. ， 当点为边的中点时，即时，； 当点为边上的动点时，当时，取得最小值. 故答案为：； 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中，方向为北偏东30°；，方向为北偏东60°；|，方向为北偏西30°．求这三个力的合力所做的功． 【答案】 J 【分析】 利用向量运算的坐标形式，结合向量的数量积公式即可求得. 【详解】 如图所示，以物体的重心为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，, , 又因为位移， ∴合力所做的功(J). ∴合力所做的功为 J． 16．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析. 【分析】由题知，，进而根据题意得，再根据向量共线即可证明. 【详解】由四边形是平行四边形，得，， 因为，， 因此，显然点不在直线上，则，且， 所以四边形是平行四边形. 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【详解】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 18．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【分析】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【详解】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知为矩形，，所以，结合图形显示关系得出，从而得出的值，进而求出. （2）由（1）知，因为为矩形，则，结合题给条件，，求出以及，再根据求出两向量夹角的余弦值. 【详解】（1）已知为矩形，， 所以， 所以， 即，， 所以． （2）由（1）知：， 因为为矩形，则， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即向量与向量夹角的余弦值为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面向量在几何和物理中的应用 知识清单 知识点01：向量在几何中的应用 知识点02：向量在物理中的应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面几何中的向量方法 题型2：向量在物理中的应用举例 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 向量在几何中的应用 1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及到的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。 2、利用向量证明平面几何的两种经典方法 （1）线性运算法 第一步：选取合适的基底（一般选择夹角和模长已知的两个向量）； 第二步：利用基底表示相关向量； 第三步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第四步：把计算结果“翻译”为几何问题。 （2）坐标运算法 第一步：建立适当的直角坐标系（尽可能让更多的点在坐标系上）； 第二步：把相关向量坐标化； 第三步：用向量的坐标运算找到相应关系； 第四步：利用向量关系回答几何问题。 知识点2 向量在物理中的应用 1、向量在物理应用中的主要解题思路 （1）转化问题：将物理问题转化为数学问题； （2）建立模型：建立以向量为载体的数学模型； （3）求解参数：求向量的模长、夹角、数量积等； （4）回答问题：把所得到的数学结论回归到物理问题。 2、力学问题的向量处理方法 （1）解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象； （2）向量是既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段可以有共同的起点，也可以没有共同的起点，力是既有大小，又有方向的量，用向量知识解决共点力的问题，往往需要把向量平移到同一作用点上。 3、速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成与分解，实质是向量的加减运算，运动的叠加也用到了向量的合成 （1）向量在速度、加速度上的应用，实质是通过向量的线性运算解决物理问题，最后获得物理结论； （2）用向量解决速度、加速度和位移问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘，有时也可借助坐标来求解。 4、功、动量问题的向量处理方法 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力与位移的数量积，即（为与的夹角），功是一个标量，它可正，也可负。动量实际上是数乘向量。在解决问题时要注意数形结合。 题型1：平面几何中的向量方法 【例1-1】（2025高一·全国·专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ）. A．3 B． C．6 D． 【例1-2】（2025高一·全国·专题练习）已知向量满足，，，则的取值范围为 ． 【例1-3】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【变式1-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【变式1-2】（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【变式1-3】（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 题型2：向量在物理中的应用举例 【例2-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·广东佛山·期末）若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为 . 【例2-3】（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 【变式2-1】（24-25高一下·广东深圳·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式2-2】（24-25高一下·新疆喀什·月考）一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，则飞机飞行的路程为 ，位移为 . 【变式2-3】（24-25高一下·山东烟台·期中）一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流的速度为向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B（AB与河的方向垂直），B的正西方向且与B相距600m另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C航程最短时，合速度为. (1)求货船航行速度的大小； (2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间. 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 3．（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知非零平面向量，，是单位向量，，且，则（   ） A．4 B． C． D．1 6．（23-24高一下·安徽宿州·期中）若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为（    ） A．37 B． C．13 D． 7．（2025高一·全国·专题练习）设为非零不共线向量，若，，则（    ）. A． B． C． D． 8．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 二、多选题 9．（24-25高一下·广西河池·期末）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 10．（24-25高一下·广东东莞·期中）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 三、填空题 12．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 13．（24-25高一下·福建福州·期中）已知一个物体在三个力的作用下，处于静止状态，则 . 14．（24-25高一下·山西晋中·月考）如图，在平面四边形中，，当点为边的中点时，的值为 ，当点为边上的动点，的最小值为 ． 四、解答题 15．（2024高一下·全国·专题练习）一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中，方向为北偏东30°；，方向为北偏东60°；|，方向为北偏西30°．求这三个力的合力所做的功． 16．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 17．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 18．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 19．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $