6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例【六大题型】讲义--2025-2026学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.4.1&6.4.2　平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：用向量解决夹角问题 【例1】．（23-24高三上·山东德州·月考）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 【答案】B 【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角. 【详解】因为向量，， 所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：B. 【举一反三】 1．（23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 【答案】/ 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 3．（22-23高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 【答案】/ 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 题型二：用向量解决线段的长度问题 【例2】．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 【举一反三】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 2．（21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 【答案】/ 【分析】用表示出，两边同时平方，根据向量数量积即可求得答案. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 3．（22-23高一下·河北石家庄·月考）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 【答案】 【分析】设D为的中点，则，再由向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】设D为的中点，则， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 题型三：向量在物理中的应用 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【分析】根据平行四边形法则，结合合力与分力的关系、余弦函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则，即.对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 【举一反三】 1．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 3．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 题型四：向量与几何最值问题 【例4】．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意， ，则， 因为，所以，所以， 所以，因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】取的中点，的中点，连接，如下图所示： 易知， 所以． 因为，当且仅当三点共线时等号成立． 所以的最大值为2． 故选：B． 2．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 3．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】分析得到为的中点，⊥，，数形结合得到当重合时，取得最小值，求出最小值. 【详解】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 题型五：用向量证明线段垂直问题 【例5】．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【举一反三】 1．（22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 2．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算求解即可； （2）用基底表示两个向量，利用数量积的运算证明即可. 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 3．（22-23高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得. （2）以、为基底表示出向量，结合向量的数量积公式，可证得. 【详解】（1）. （2）， ，. 题型六：向量与几何的综合问题 【例6】．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知为矩形，，所以，结合图形显示关系得出，从而得出的值，进而求出. （2）由（1）知，因为为矩形，则，结合题给条件，，求出以及，再根据求出两向量夹角的余弦值. 【详解】（1）已知为矩形，， 所以， 所以， 即，， 所以． （2）由（1）知：， 因为为矩形，则， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即向量与向量夹角的余弦值为：． 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据所建直角坐标系，得到个点坐标，设点的坐标为，由向量夹角的余弦公式求解即可； （2）由（1）点坐标为，利用向量模公式可证明，由向量数量积公式可证. 【详解】（1）由题意有，，，． 设点的坐标为，则，，，． 由，得  ①， 又  ②， 由①②得，故点的坐标为． （2）由（1）点坐标为，则，，， 所以，，得，即． 又， 所以，即． 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，，由，则，即， 又，，，，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 3．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【详解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得对物体所做的功. 【详解】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据已知向量关系得四边形是平行四边形，为等边三角形，即可确定四边形形状. 【详解】由，则且，即四边形是平行四边形， 又，，则为等边三角形， 所以四边形是菱形. 故选：D 4．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 5．（24-25高一下·山东德州·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，首先表示出，，，再根据向量数量积运算列式求出得解. 【详解】设，可得，，，因为是的中点，所以米， 由，得， 由，得， 所以， ，解得， 所以该建筑的高度米. 故选：B. 6．（24-25高一下·重庆·期末）已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值. 【详解】因为，所以为中点， 又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，， 又，所以为等边三角形， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系：    则，，设，， 则，， 所以 ，（当时取“”）. 故选：C 二、多选题 7．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 8．（23-24高一下·四川南充·月考）已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABD 【详解】由正六边形的性质得：，则，， ， 而表示在上的投影，当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0， 所以的取值范围为，故A、B、D正确，C错误. 故选：ABD. 9．（23-24高一下·广东广州·月考）下列说法正确的是（    ） A．已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为 B．是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心； C．已知为的外心，边长为定值，则为定值； D．若点满足，则点是的垂心. 【答案】ABC 【分析】A选项，根据数量积的运算律得到，然后求投影向量即可；BCD选项，根据平面向量四心的结论判断即可. 【详解】A选项，，因为为单位向量，所以， 所以在上的投影向量为，故A正确； B选项，设中点为，则， 又，所以点三点共线，且点为射线上的动点，通过三角形的重心，故B正确； C选项，， 因为、为定值，所以为定值，故C正确； D选项，表示在、上的投影相等，即点到、的距离相等，所以点在角的角平分线上， 同理可得点在角的角平分线上，即点为内心，故D错. 故选：ABC. 10．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【分析】用向量表示三角形的四心. 【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；    选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线，则，同理， ，故B正确；   选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；   选项D：若点O为的内心，在的平分线上，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．（24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则 . 【答案】/ 【分析】根据平面向量的线性运算和已知条件即可化简求出结果. 【详解】根据题意结合图象可得： ，， ，， . 故答案为：. 12．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于， 所以且，其中, ， 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为； 的取值范围是． 故答案为：． 13．（24-25高一下·天津·月考）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为 . 【答案】/0.55 【分析】先设出线段再根据相似和勾股定理求出其他线段的长，然后把用表示即可用表示得值，最后结合二次函数的性质即可求最小值. 【详解】设，取的中点连接，易知， 易知，则，， 同理，， 因为所以，又因为，所以， 所以 又因为， 所以 当时有最小值. 故答案为：    14．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图，正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，设，根据向量的线性运算用，表示出，可得，然后结合三角函数的性质，即可求得结果． 【详解】如图所示： 连接，设，，连接，依题意得，，，， 则， 因为，所以， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 16．（24-25高一下·安徽·月考）在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示； （2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值. 【详解】（1）如图所示，连接，则四边形为平行四边形， 所以， 因为点在上，且，所以， 所以. （2）由（1）可知，， 在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以， 由题意知，且， . 17．（24-25高一下·江苏南通·月考）在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证，只需证. （2）由向量数量积的变形公式即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以， 因为，，所以， 所以， 即，所以. （2）由题意， ， 由勾股定理可得， 所以 18．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得，然后利用平方非负求解即可. 【详解】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 20．（24-25高一上·浙江湖州·月考）在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由三点共线，则存在使得，则，整理可得，由三点共线，则存在使得， 则，整理可得；根据平面向量基本定理可得，解得；因此； （2）由（1）可得， 又，由①可得；又，则,则， ， ；则， 所以的余弦值为. （3）由（1）可知，则，由共线，设， 又，可得，则，可得；所以，即， 因此，又，则， 则，解得，故的范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1&6.4.2　平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 知识点二　向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题. (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型. (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等. (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题. 技巧：(1)用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解. ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 【题型归纳】 题型一：用向量解决夹角问题 【例1】．（23-24高三上·山东德州·月考）已知向量，，则（    ） A．30° B．150° C．60° D．120° 【举一反三】 1．（23-24高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为 2．（23-24高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 3．（22-23高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 题型二：用向量解决线段的长度问题 【例2】．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【举一反三】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22高一·福建泉州·期中）在△ABC中，，，，， . 3．（22-23高一下·河北石家庄·月考）已知的夹角为，则三角形的边上中线的长为 . 题型三：向量在物理中的应用 【例3】．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【举一反三】 1．（2025·广东广州·模拟预测）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 题型四：向量与几何最值问题 【例4】．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，正方形的边长为1，点分别在轴，轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型五：用向量证明线段垂直问题 【例5】．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【举一反三】 1．（22-23高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 2．（22-23高一下·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 3．（22-23高一下·陕西西安·期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 题型六：向量与几何的综合问题 【例6】．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 【举一反三】 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，四边形是边长为1个单位长度的正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形．    (1)若，求点的坐标； (2)用向量法证明且． 2．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 3．（24-25高一下·广东茂名·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知四边形中，，，，则四边形一定是（    ） A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形 4．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东德州·期末）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了在同一水平面上的，，三处（垂直于平面），如图.已知在，，处测得该建筑顶部的仰角分别为，，，是的中点，米，则该建筑的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25高一下·重庆·期末）已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川南充·月考）已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 9．（23-24高一下·广东广州·月考）下列说法正确的是（    ） A．已知，均为单位向量．若，则在上的投影向量为 B．是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的重心； C．已知为的外心，边长为定值，则为定值； D．若点满足，则点是的垂心. 10．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 三、填空题 11．（24-25高一下·福建福州·期末）在矩形中，，，点满足，则 . 12．（24-25高一下·上海嘉定·期末）图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 13．（24-25高一下·天津·月考）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为 . 14．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图，正六边形的边长为2，对称中心为，以为圆心作半径为1的圆，点为圆上任意一点，则的最小值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 16．（24-25高一下·安徽·月考）在等腰梯形中，为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 17．（24-25高一下·江苏南通·月考）在中，，，，分别为边、上的点，且，. (1)用向量方法求证：； (2)求. 18．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 20．（24-25高一上·浙江湖州·月考）在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $