8.2 立体图形的直观图讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.2 立体图形的直观图 ▉【知识点1 立体图形的直观图】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. ▉一．中心投影及中心投影作图法（共1小题） 1．下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯 中，所形成的投影是中心投影的是　①②⑤　 ．（填序号） 【答案】①②⑤ 【解答】解：探照灯、车灯、台灯的光线是由源发出的光线，是中心投影； 太阳、月亮距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影． 故答案为：①②⑤． ▉二．平行投影及平行投影作图法（共12小题） 2．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　） A．直线AC上 B．直线BC上 C．直线AB上 D．△ABC内部 【答案】C 【解答】解：连接AC1，如图所示． ∵∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC． ∵AB⊥AC，BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1， ∴AC⊥平面ABC1． 又AC⊂平面ABC， ∴平面ABC1⊥平面ABC． 又∵平面ABC1∩平面ABC＝AB， ∴点C1在底面ABC上的射影H必在直线AB上． 故选：C． 3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 【答案】C 【解答】解：∵各个截面都是圆， ∴这个几何体一定是球体， 故选：C． 4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 【答案】A 【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况； 从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况； 从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况； 故选：A． 5．两条不平行的直线，其平行投影不可能是（　　） A．两条平行直线 B．一点和一条直线 C．两条相交直线 D．两个点 【答案】D 【解答】解：∵有两条不平行的直线， ∴这两条直线是异面或相交， 其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点， 这两条直线需要同时与投影面垂直， 这样两条线就是平行关系． 与已知矛盾． 故选：D． 6．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（　　） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确； ②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的，EH不变，所以面积是改变的，②是不正确的； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EH，所以结论正确； ④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确． 故选：C． 7．下列命题中正确的是（　　） A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．两条相交直线的投影可能平行 D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 【答案】D 【解答】解：矩形的平行投影可以是线段、矩形或平行四边形，∴A错． 梯形的平行投影是梯形或线段，∴B不对； 平行投影把平行直线投射成平行直线或一条直线，把相交直线投射成相交直线或一条直线，把线段中点投射成投影的中点，∴C错，D对， 故选：D． 8．如图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是如图中的（　　） A．四个图形都正确 B．只有②③正确 C．只有④错误 D．只有①②正确 【答案】B 【解答】解：因为正方体是对称的几何体， 所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影， 也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影． 四边形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示； 四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示． 故②③正确 故选：B． 9．正四面体ABCD（六条棱长都相等）的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，1） 【答案】B 【解答】解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形， 由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为1×1 当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小， 此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1， 此三角形的高是AB，CD两线之间的距离， 取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA＝MB， 再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN， 此时投影面的面积是 1， 故投影面的取值范围是[，] 故选：B． （多选）10．如图所示，E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解答】解：根据正投影的定义可知，四边形BFD1E在面CC1D1D以及面ABCD上的正投影为图B， 四边形BFD1E在面BCC1B1上的正投影为图C， 故选：BC． 11．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是 　①③④⑤　 ．（写出所有正确结论的编号） ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． 【答案】①③④⑤ 【解答】解：如图：①正确，如图四边形A1D1BC为矩形 ②错误任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1BC为矩形； ③正确，如四面体A1ABD； ④正确，如四面体A1C1BD； ⑤正确，如四面体B1ABD； 则正确的说法是①③④⑤． 故答案为①③④⑤． 12．已知平面α及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）正四面体；（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，那么这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形的几何体是　（1）（2）（3）　 （只要填上序号）． 【答案】（1）（2）（3） 【解答】解：（1）长、宽、高皆不相等的长方体，放置在一定的角度上，可以得到正方形， （2）正四面体，光线与底面垂直时，可以得到正方形 （3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，放置在一定的角度上，可以得到正方形， 综上可知（1）（2）（3）都可以投影成正方形， 故答案为：（1）（2）（3） 13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则BD1在其六个面上的射影长的和＝　　 ． 【答案】 【解答】解：∵BD1是正方体的对角线， ∴它在每一个面上的投影都是面 的对角线， ∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， ∴面的对应角线的长度是， ∴BD1在其六个面上的射影长的和是6 故答案为：6 ▉三．平面图形的直观图（共12小题） 14．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积是（　　） A．3 B． C．8 D． 【答案】D 【解答】解：由题意可知，等腰梯形A′B′C′D′中，A′B′＝4，C′D′＝2， 所以等腰梯形A′B′C′D′的高为1， 所以等腰梯形A′B′C′D′的面积为S'3， 所以四边形ABCD的面积是S6． 故选：D． 15．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B′C′＝1，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：根据题意，矩形A'B'C'D'，A'O'＝O'B'＝1，B'C'＝1， 则O′C′， 如图：平面图形是平行四边形ABCD， AB＝AO+OB＝A'O'+O'B'＝2，OC＝2O′C′＝2， BC3， 则四边形ABCD的周长l＝2（AB+BC）＝10． 故选：D． 16．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在直观图中，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠ABC＝45°，AB＝1， ∴AE＝BE， ∴直角梯形ABCD的面积为， 又∵2， ∴S原图＝22， 即这块菜地的面积为2． 故选：B． 17．如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，∠A′C′B′＝30°且，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】由A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，∠A′C′B′＝30°且， 可得，在△A′B′C′中，A′B′C′＝90°， 所以有， 所以， 所以，△A′B′C′的面积为． 故△ABC的面积为． 故选：D． 18．如图，△A'B'C'是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A'C'∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A'B'＝B'C'＝2，则△ABC的面积是（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，ΔA'B'C'的面积为，则△ABC的面积是． 故选：C． 19．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（　　） A．1cm2 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题可得：原来的图形是平行四边形， 其在横轴上的边长为1，高为， 所以它的面积是． 故选：B． 20．已知正方形ABCD的边长为a，按照斜二测画法作出它的直观图A′B′C′D′，直观图面积为，则正方形ABCD的面积为（　　） A． B．16 C． D．8 【答案】B 【解答】解：以A为原点，以AB和AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图（1）所示， 根据斜二测画法的规则，得到边长为a的正方形的直观图，如图（2）所示， 利用斜二测画法得到直观图，则45°， 过点D′作D′E⊥x轴于点E，则， 所以平行四边形A′B′C′D′的面积为，解得a2＝16，正方形ABCD的面积为16． 故选：B． 21．如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝2 B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解答】解：四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，可知AB＝4，所以A不正确； 作D′E⊥A′B′于E，所以A′E＝1，可得A′D′，所以B不正确； 四边形ABCD是直角梯形，AB＝4，AD＝2，CD＝2，BC2， 四边形ABCD的周长为：6+2，所以C不正确； 四边形ABCD的面积为6． 故选：D． （多选）22．如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则以下说法正确的是（　　） A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC的周长是 【答案】CD 【解答】解：根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB， 因为O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，所以CO＝AO＝2，AC＝4，OB＝2， 则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示： 所以△ABC的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确． 由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A'B'C'的面积的倍，故B错误． 故选：CD． 23．如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是 　菱形　 ，其面积为 　　 ． 【答案】菱形，． 【解答】解：如图，在原图形OABC中， 由直观图中，O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm， 故应有，又CD＝C′D′＝2（cm）， 所以， 所以OA＝OC＝BC＝AB，故四边形OABC是菱形． ． 故答案为：菱形，． 24．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 　2　 ；原平面图形的周长是 　4　 ． 【答案】2；4． 【解答】解：根据题意，画出直观图，如图所示： 则梯形A'B'C'D'是底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，即∠B'A'D'＝45°，A'B'＝B'C'＝C'D'＝1， 过点B'作B'E'⊥A'D'，过点C'作C'F'⊥A'D'， 所以A'E'＝A'B'cos45°，同理D'F'， 所以A'D'＝1+21， 画出原平面图形，如图所示： 由斜二测画法的规则可知，AB＝2A'B'＝2，BC＝B'C'＝1，AD＝A'D'＝1， 所以CD， 所以原平面图形的面积是S2， 原平面图形的周长是AB+BC+CD+AD＝2+114． 故答案为：2；4． 25．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为　a2 ． 【答案】a2 【解答】解：正三角形ABC的边长为a，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系，故直观图△A′B′C′的面积为 故答案为： ▉四．空间几何体的直观图（共8小题） 26．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　） A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm 【答案】A 【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变， 正方形的对角线在y'轴上， 可求得其长度为 ，故在平面图中其在y轴上， 且其长度变为原来的2倍，长度为2 ，其原来的图形如图所示， 则原图形中的平行四边形中，一边长为1，另一边长为3，它的周长是8 观察四个选项，A选项符合题意． 故选：A． 27．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，AD＝2，则直角梯形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解答】解：易知直观图A′B′C′D′为梯形， 其高， C′D′＝CD＝2，A′B′＝AB＝6， 所以直观图A′B′C′D′的面积为． 故选：C． 28．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝2，那么原△ABO的面积是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，所以△ABO的底OB＝O′B′＝2． 腰A′O′＝2，在△ABO中为直角三角形，且高OA＝2A′O′＝2×24． 所以直角三角形△ABO的面积是． 故选：D． 29．如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二测直观图，若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1，A1B1C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是（　　） A．10 B．5 C．5 D．10 【答案】B 【解答】解：如图，根据直观图画法的规则， 直观图中A1D1∥O′y′，A1D1＝1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD＝2A1D1＝2， 直观图中A1B1∥C1D1，A1B1C1D1＝2，⇒原图中AB∥CD，ABCD＝2， 即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图． 故其面积S（2+3）×2＝5． 故选：B． 30．下列三视图所对应的直观图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高相等． 应该是C． 故选：C． 31．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（　　） A．南 B．北 C．西 D．下 【答案】B 【解答】解：如图所示． 故选：B． 32．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由已知中三视图的上部分有两个矩形，一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形 故该几何体下部分是一个四棱柱 故选：D． 33．如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）． （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （2）求这个几何体的表面积及体积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）这个几何体的直观图如图所示． （2）这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q﹣A1D1P的组合体． 由PA1＝PD1，A1D1＝AD＝2， 可得PA1⊥PD1． 故所求几何体的表面积 S＝5×22+22×1+22 ＝22+4（cm2）， 所求几何体的体积V＝23（）2×2＝10（cm3）． ▉五．斜二测法画直观图（共8小题） 34．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝2 B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【解答】解：如图过D'作DE⊥O'B'， 由等腰梯形A'B'C'D'可得：△A'D'E是等腰直角三角形， 即，即B错误； 还原平面图为下图， 即，即A错误； 过C作CF⊥AB，由勾股定理得， 故四边形ABCD的周长为：，即C错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确． 故选：D． 35．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，B′C＝1，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．8 【答案】B 【解答】解：根据题意，直观图为矩形A′B′C′D′，若A′B′＝2，B′C＝1，则其面积S′＝2×1＝2， 则原图四边形ABCD的面积S＝2S′＝4． 故选：B． 36．如图，已知△ABC用斜二测画法得到的水平放置的直观图为△A′B′C′，已知△A′B′C′是周长为6的正三角形，则△ABC的面积是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，△A′B′C′是周长为6的正三角形，其边长为2， 则直观图的面积S′2×2×sin60°， 故原图面积S＝2S′＝2． 故选：D． 37．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（　　） A． B． C． D．5 【答案】C 【解答】解：由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图， 由斜二测法则知AB＝2A′B′＝2，BC＝B′C′＝1，AB⊥BC， 所以． 故选：C． 38．如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），用斜二测画法画出它的直观图A'B'C'O'，则点B'到x'轴的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意，由斜二测画法作出直观图， 其中B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°， 则点B'到x'轴的距离d＝1×sin45°． 故选：C． 39．关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（　　） A．斜二测画法中，原图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中不一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，斜二测画法中，原图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A错误； 对于B，斜二测画法中，原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，故B错误； 对于C，用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中不一定平行，故C错误； 对于D，斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D正确． 故选：D． 40．已知正六边形的边长为2，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，则直观图的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：直观图的面积是原图形面积的， 根据题意可知，正六边形的边长为2， 则正六边形的直观图的面积为． 故选：B． 41．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4，4）在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为　（4，2）　 ． 【答案】（4，2） 【解答】解：斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4，4）， 在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为（4，2）． 故答案为：（4，2）． ▉六．由斜二测直观图还原图形（共5小题） 42．如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′＝1，B′C′＝3，则原四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．12 D． 【答案】C 【解答】解，根据题意，直观图中，A′B′＝1，B′C′＝3，∠A′O′B′＝45°， 则， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形ABCD的周长为12． 故选：C． 43．四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝2，O1C1＝1，则OABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【解答】解：根据题意，直观图中，设B1C1与y′轴交于点D1， 由于O1C1＝1，且∠D1O1C1＝45°， 易得D1O1，C1D1＝2﹣1＝1， 把四边形OABC的直观图还原为平面图形， 如图所示： 其中OA＝O1A1＝2，OD＝2D1O1＝2，CD＝C1D1＝1， 则OC3， 故OABC的周长l＝2（3+2）＝10． 故选：B． 44．如图，△ABC的斜二测直观图为等腰直角△A′B′C′，其中A′B′＝3，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．9 C． D． 【答案】D 【解答】解：由题可得：， 根据直观图面积和原图面积之间的关系式， 故． 故选：D． 45．如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形O'A'B'C'，已知O′A′＝2，O'C'＝B'C'＝1，则原四边形OABC的面积为，（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意，直观图直角梯形O'A'B'C'中，O′A′＝2，O'C'＝B'C'＝1， 则直观图的面积S′， 故原图的面积S＝2S′＝3． 故选：A． 46．某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形A'B'C'D'（如图所示），已知A'D'∥B'C'，∠A'B'C'＝45°，A'D'＝A'B'B'C'＝1，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 　3π　 ． 【答案】3π． 【解答】解：作出其平面图形， 则在平面图形中AD＝1，AB＝2，BC＝2，，， 则圆台的上底面半径r＝AD＝1，下底面半径R＝2，母线， 则由圆台的侧面积公式得：S＝π（r+R）l＝3π． 故答案为：3π． ▉七．简单空间图形的三视图（共4小题） 47．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，以面BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：从正面看，AA′，BB′重合，故几何体的正视图中没有棱被平面BCC1B1遮挡，排除B，C， 从上面看，几何体的俯视图为矩形，排除D， 故选：A． 48．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）． ∴其正视图和侧视图是一个圆， ∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上 ∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形， 故选：B． 49．一个水平放置的正方体的正视图不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于A：当正方体的每一个面与视线垂直时，正视图为A，故A正确； 对于B：当正方体的内一条棱与视线垂直时，正视图为B，故B正确； 对于D：当与B放置的方向差不多时，有一条棱是实线，有一条棱为虚线，故D正确； 对于C：无论怎样放置正方体，都不可能是有四条实线构成平行关系，故C错误． 故选：C． 50．一条线段长为5，其侧视图长这5，俯视图长为，则其正视图长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【解答】解：由题意知本题是一个简单的三视图问题， 实际上本题可以看作长方体的体对角线长是5， 两个面上的对角线分别长5和， 要求的正视图的长相当于第三个面上的对角线，设长度为x， ∴， ∴x， 故选：D． ▉八．由三视图还原实物图（共5小题） 51．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形， ∴直观图的面积是， ∵， ∴原三角形的面积为， 故选：D． 52．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　） A．长方体 B．圆柱 C．四棱锥 D．四棱台 【答案】A 【解答】解：∵该几何体的三视图都是矩形， ∴该几何体是长方体，如图所示． 故选：A． 53．如图的三视图所示的几何体是（　　） A．六棱台 B．六棱柱 C．六棱锥 D．六边形 【答案】C 【解答】解：由正视图和侧视图知是一个锥体，再由俯视图知，这个几何体是六棱锥， 故选：C． 54．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为（　　） A．上面为棱台，下面为棱柱 B．上面为圆台，下面为棱柱 C．上面为圆台，下面为圆柱 D．上面为棱台，下面为圆柱 【答案】C 【解答】解：结合图形分析知上为圆台，下为圆柱． 故选：C． 55．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 【答案】D 【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等； B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同； C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形； D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形． 故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱． 故选：D． ▉九．由三视图求面积、体积（共5小题） 56．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（　　） A．6 B．6π C． D． 【答案】C 【解答】解：由圆台的正视图可以看出圆台是一个下底面直径是4， 上底面直径是2，圆台的高是2， ∴根据这三个数据可以写出圆台的母线长是 ∴圆台的侧面积是s， 故选：C． 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B．3π C． D．6π 【答案】B 【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图 所求几何体的体积为：3π． 故选：B． 58．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：直观图为四棱锥，如图中黑粗线， 体积为， 故选：B． 59．如图是一个几何体的三视图，则此几何体是（　　） A．圆柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．球 【答案】C 【解答】解：由三视图可得几何体是圆锥． 故选：C． 60．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算： （1）求奖杯的体积；（尺寸如图，单位：cm，π取3） （2）求下部四棱台的侧面积． 【答案】（1）1344cm3； （2）cm2． 【解答】解：（1）由三视图可知，奖杯分三部分组成，最下部分是四棱台， 棱台上底面是边长为8cm，12cm的长方形，下底面是边长为16cm，24cm的长方形，高为3cm， 棱台的体积， 中间部分为长，宽，高分别为8cm，4cm，20cm的长方体，体积为8×4×20＝640cm3， 最上面一部分是球，直径为4cm，体积为， 所以奖杯的体积为672+640+32＝1344cm3； （2）如图，四棱台前后侧面全等，左右侧面全等，前面侧面的高， 右侧面的高， 所以四棱台侧面的面积cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 立体图形的直观图 ▉【知识点1 立体图形的直观图】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. (3)旋转体及其相关概念 斜二测画法画空间几何体的直观图的规则 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有 以下规则. ①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段. ②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原 来的一半. ③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 3．斜二测画法的常用结论： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.” (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：. ▉一．中心投影及中心投影作图法（共1小题） 1．下列物品：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯 中，所形成的投影是中心投影的是　 　 ．（填序号） ▉二．平行投影及平行投影作图法（共12小题） 2．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　） A．直线AC上 B．直线BC上 C．直线AB上 D．△ABC内部 3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 4．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（　　） A．①④ B．②③ C．②④ D．①② 5．两条不平行的直线，其平行投影不可能是（　　） A．两条平行直线 B．一点和一条直线 C．两条相交直线 D．两个点 6．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法的是（　　） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 7．下列命题中正确的是（　　） A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．两条相交直线的投影可能平行 D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 8．如图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是如图中的（　　） A．四个图形都正确 B．只有②③正确 C．只有④错误 D．只有①②正确 9．正四面体ABCD（六条棱长都相等）的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，1） （多选）10．如图所示，E，F分别为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是（　　） A． B． C． D． 11．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是 　 　 ．（写出所有正确结论的编号） ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． 12．已知平面α及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）正四面体；（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，那么这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形的几何体是　 　 （只要填上序号）． 13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则BD1在其六个面上的射影长的和＝　 　 ． ▉三．平面图形的直观图（共12小题） 14．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则四边形ABCD的面积是（　　） A．3 B． C．8 D． 15．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'＝O'B'＝1，B′C′＝1，则四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．8 D．10 16．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为（　　） A． B． C． D． 17．如图，△A′B′C′表示水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，∠A′C′B′＝30°且，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 18．如图，△A'B'C'是利用斜二测画法画出的△ABC的直观图，其中A'C'∥y′轴，A′B′∥x′轴，且A'B'＝B'C'＝2，则△ABC的面积是（　　） A． B．4 C． D．8 19．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（　　） A．1cm2 B． C． D． 20．已知正方形ABCD的边长为a，按照斜二测画法作出它的直观图A′B′C′D′，直观图面积为，则正方形ABCD的面积为（　　） A． B．16 C． D．8 21．如图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝4，C′D′＝2，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝2 B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 （多选）22．如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2，则以下说法正确的是（　　） A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC的周长是 23．如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是 　 　 ，其面积为 　 　 ． 24．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 　 　 ；原平面图形的周长是 　 　 ． 25．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为　 　 ． ▉四．空间几何体的直观图（共8小题） 26．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　） A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm 27．如图，直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝6，CD＝2，AD＝2，则直角梯形ABCD的直观图A′B′C′D′的面积为（　　） A．2 B． C．4 D． 28．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝2，那么原△ABO的面积是（　　） A．1 B． C． D． 29．如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二测直观图，若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1，A1B1C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是（　　） A．10 B．5 C．5 D．10 30．下列三视图所对应的直观图是（　　） A． B． C． D． 31．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（　　） A．南 B．北 C．西 D．下 32．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　） A． B． C． D． 33．如图，已知某几何体的三视图如下（单位：cm）． （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （2）求这个几何体的表面积及体积． ▉五．斜二测法画直观图（共8小题） 34．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝2 B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 35．已知水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′B′＝2，B′C＝1，则四边形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D．8 36．如图，已知△ABC用斜二测画法得到的水平放置的直观图为△A′B′C′，已知△A′B′C′是周长为6的正三角形，则△ABC的面积是（　　） A． B．4 C． D． 37．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（　　） A． B． C． D．5 38．如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），用斜二测画法画出它的直观图A'B'C'O'，则点B'到x'轴的距离为（　　） A． B． C． D． 39．关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（　　） A．斜二测画法中，原图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中不一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 40．已知正六边形的边长为2，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，则直观图的面积为（　　） A． B． C． D． 41．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M（4，4）在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为　 　 ． ▉六．由斜二测直观图还原图形（共5小题） 42．如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′＝1，B′C′＝3，则原四边形ABCD的周长为（　　） A． B． C．12 D． 43．四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1＝2，O1C1＝1，则OABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 44．如图，△ABC的斜二测直观图为等腰直角△A′B′C′，其中A′B′＝3，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．9 C． D． 45．如图，水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图为直角梯形O'A'B'C'，已知O′A′＝2，O'C'＝B'C'＝1，则原四边形OABC的面积为，（　　） A． B．3 C． D． 46．某水平放置的平面图形ABCD的斜二测直观图是梯形A'B'C'D'（如图所示），已知A'D'∥B'C'，∠A'B'C'＝45°，A'D'＝A'B'B'C'＝1，将该平面图形绕其直角腰AB边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 　 　 ． ▉七．简单空间图形的三视图（共4小题） 47．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，以面BCC1B1的前面为正前方画出的三视图，正确的是（　　） A． B． C． D． 48．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　） A． B． C． D． 49．一个水平放置的正方体的正视图不可能是（　　） A． B． C． D． 50．一条线段长为5，其侧视图长这5，俯视图长为，则其正视图长为（　　） A．5 B． C．6 D． ▉八．由三视图还原实物图（共5小题） 51．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 52．已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　） A．长方体 B．圆柱 C．四棱锥 D．四棱台 53．如图的三视图所示的几何体是（　　） A．六棱台 B．六棱柱 C．六棱锥 D．六边形 54．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为（　　） A．上面为棱台，下面为棱柱 B．上面为圆台，下面为棱柱 C．上面为圆台，下面为圆柱 D．上面为棱台，下面为圆柱 55．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（　　） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ▉九．由三视图求面积、体积（共5小题） 56．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于（　　） A．6 B．6π C． D． 57．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B．3π C． D．6π 58．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 59．如图是一个几何体的三视图，则此几何体是（　　） A．圆柱 B．三棱锥 C．圆锥 D．球 60．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算： （1）求奖杯的体积；（尺寸如图，单位：cm，π取3） （2）求下部四棱台的侧面积． 学科网（北京）股份有限公司 $