第六章 平面向量及其应用 章末检测卷-【金试卷】2025-2026学年高一数学必修第二册同步单元双测卷（人教A版）

13.解（1)由品BsiC及c=2 es B,.得snC=2 2sin Beos B.. 国为∠C=5,所以s血2B=又周为0<∠B<受，所以∠B=吾 (2)选条件②：△ABC的周长为4十2√3. 由1)加，∠A=x警-吾=看 所以△ABC是顶角为否，底角为吾的等腰三角形. 所以a=b,c=√3a. 由题设，(2+√3)a=4+2√3，所以a=2. 设BC边上中线的长为d. 由余弦定理得d2-(号）/+a2-2×号×csC. 所以2=1+4-2X1×2×(←）：故d=万 选条件⑤：△ABC的面积为3y5 4 由如，乙A=经吾-音 所以△ABC是顶角为经，底角为否的等腰三角形，所以a一6， 由题镜，分0号-识所以=8 设BC边上中线的长为d. 由余孩定理得=(g）}°+a2-2×号×acsC 所以a=是+8-2x9××(-）故d= 2 14.解(I)由acos C叶停：=b,得sin Acos C叶9inC=sinB, 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C+--co Aain C,所以5sinC=co Asin C. 因为如C≠0，所以c0sA-因为0<A<,所以A-晋 (2)由正孩定显，得mB-bA-,所以B=晋或要 a 2 当B=号时，由A=音，得C=受，所以c=2, 当B-5时，由A=吾，得C=晋，所以c=a=1. 综上可得c=1或2. 第六章章末检测卷 1.A易知Di=C方-Ci=-e1+2e2=-(e1-2e2),又A,B,D三点共线，则DB∥ AB,则k=2.故选A. 2.Ba∥bb1c,-2x-1=0,2-2y=0,x=-7y=1,2a-b=2 （-3,1）-(2,1)=(-3,1D,2a-b1=-3)2+1=1o.故选B. 3.A由题意可知点P是△ABC的重心，PA十PB+PC=0,.PA·(PB+PC)= -P=-(号MA)=-年.故选A. 4.C由cosB=1及余弦定理得a2+c2-P=2ac-6,所以(a=0)2=0,所以a c.故△ABC是等腰三角形.故选C. 5.DOA=Aa+ub,OB=3a-2b,OC=2a+3b, ∴.AB=OB-OA=3a-2b-(a+b)=(3-A)a-(2+)b, BC=0C-OB=2a+3b-(3a-2b)=-a+5b, :A,B,C三点共线，AB∥BC,.5(3-)-(2十)=0，化简可得μ=13-5入.故 选D. 6.D设AB=k,AC=m,BC=n,可得k2十m2=n2, :BH∥CL,∴.∠BHC=∠HCL, 又△ABE≌△HBC,∴.∠BHC=∠BAE,∴∠HCL=∠BAE, m∠HCL=之脚g车nm-合m=,ia=, 在△ABE中，tan∠BAE=号， 名，得sin∠BAE= 5 在AABE中，mem2克E甲n看 BE 5 可得血∠BEA=故逸D, 7.B由3 acos C=4 csin A,得a sinA3cosC由正弦定理得，c 4c 4c sin C3cos C' anC=,∴simC=是.又S=absin C=10,b=4,所以a=5,故选B 8.D由△ABC是直角三角形，AB=20m,AC=10m,可得∠B=30°，CB=10V3m. 设∠CED=B,DE=xm,因为△DEF是等边三角形， 所以∠BFE=30°+0，CE=xcos0(m), a0109好x 在△BFE中，由x 105 10√3 3sin 0+2cos 0 7sin (0+a) 共中tma=2,以≥0所以△DE的面你S=合如四≥月效 7 选D. 9.CD因为AB+AC=3AP,所以(AB-AP)+(AC-AP)=AP,即PB+P心=AP, 所以PA+PB+PC=0,易知PA+AB=PB,所以选CD. 10.ABC:a=(3,-1),b=(1,-2),.a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,故A正确； 多知a=仔+(=而，与a月肉的单位肉量是（品局），脚 (色6-得）故B正确：场知=个+（一刀-后asa,6=8治 a·b 5 70X5号a,b)∈[0，，Ka,b>=无，故C正确：≠2a 不平行，故D错误.故选ABC 1AB由医孩究理得品BC中=C所以如C=停 又0°<C<180°，所以C=60°或120°. 当C=60°时，A=90°，a2=32+(√3)2，a=2√3，当C=120°时，A=30°，a=b=√3.故 选AB. 12.AD由题意得AC-中A户，AQ=m+1AD,B破=AQ心， 所以à-店=-，即à=产·A花+中·A, 动史市+恋 m 所以ò-中如骨市+中， 又因为B,D,P三点共线， 所以中泽+市n行10D显确， 1 1 当显3时义声麻将m骨 2 B驴，B心-0，A市P心， 所以丽威=成，即成·成+中，威。 励=脑+中威， 所以励-卉并脑+中年威 因为A,DQ三点共战，济以2中片十片1@， 1 1 当=合且A3时1 1十2 解得μ=9，故A正确. 当2且m-1时，0成得·中+市20， 由@线%千史+中20： 由@④得=74=号故B维民 ②式度彩为餐十中，=1+回， u 当员-是=1时4-2以-，代入回式得女计：1， 复强是=1成立，则十一吕解得=-2北时-0，显然无条，做假说不成 立，故C错误.故选AD. 13.答案4 解析a十b=(3,2+A),a-2b=(-3,2-2λ)，(a十b)∥(a-2b),.3(2-2λ)+3 (2+入)=0，解得1=4. 4.答案 解析由题意知(3a+5b)·(ma一b)=3ma2十(5m一3)a·b-5b2=0, 即3m+(5m-3)X2·c0s60°-5×4=0，解得m=23 8 15.答案号 解析由题意，A-AC+C市-AC+号C市-AC+号（破-AG -+号破-号+号×号=号+号应， m-g 4 又A成，AC不共线，所以1 7 故m十n=9 n=3’ 16.答案(1)①②③(2)30√3 解析(1)这三个条件为①②③，理由如下： 若△ABC同时满足D@,则在锐商三角形ABC中，由于smC-号<号，放0<C< 吾，又因为A=号，所以号<A十C<受，故B>受，与三角形ABC为锐角三角形矛 盾，故不能同时满足①④，所以△ABC一定同时满足②③ 由于c>a,所以C>A,若满足④，则A<C<吾，故B>受， 与三角形ABC为锐角三角形矛盾， 故满足的条件为①②③. (2)由于G2=P十c2-2msA,故169=+25-2XbX15×号，解得6=8或b=7. 、当b=7时，03C7义}5之0，故C为钝角，不合题意，舍去. 故b-&.则SAABC=2 csinA=30V3. .1 17.解(1)因为e1,e2是两个单位向量，其夹角为60°，则e=1,e2=1,e1·e2=之 又a2=(2e1+e2)2=4e1+4e1·e2+e3=7,所以a=√7， 同理b2=(-3e1+2e2)2=9e-12e1·e2+4e3=7,所以|b=√7. 参考答案57 （2)由题得，ab=(2e:十e）(-30+2e,)=-6f+白·+2经=-子 7 设a与b的夹角为0，则c0s0=a:b= 一2 .1 1a·b7X72 因为0∈[0，]，所以0=红，则向量a与b的夹角为号元 18.解(1)AE-AB+BE=2e1十e2+(-e1十e2)=e1+(1+)e2, 因为A、E、C三点共线，所以存在实数k,使得AE=kEC, 即e1+(1+)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-入)e2, 因为e1,e2是平面内两个不共线的非零向量， 所以银释=一子以=一号 (2元-i+-30-74=(-6,-3)+(-1,D=(-1,-2》. (3)因为A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以AD=BC, 设A(x,y),则AD=(3-x,5-y), 又因为B元=(-7，-2》，所以3二1-7解得x=10, 5-y=-2, y=7, 即点A的坐标为(10,7). 19.解(1)因为b2-c2=a2-√2ac,所以b2=a2+c2-√2ac,又b2=a2+c2-2 accos B, 所以e0sB=号，又B∈(0，m,所以B=子 (2)证明：选①， 因为C-2B,B=晋，所以C-受A=-受-誓-至=B, 所以tanA=tanB,即sinA-=sinB、 'cos A cos B' 结合正弦定理得bcos A=acos B. 选②，因为bcos A=acos B, 所以结合正弦定理得sin Bcos A=sin Acos B, 所以sin Bcos A-sin Acos B=sin(B-A)=0. 因为A,B∈(0，π)，所以B-A∈(-π，π)， 所以B-A=0,即A=B=平，所以C=受=2B, (3)由1)得∠BCD=之∠B=骨，则∠BDC=元-答-子-爱，已知CD=4,在 △BCD中，由正张定理得n2G9DC所以BC=4sn餐 CD SaD=号BC.CD·sn∠BCD-8V2Xsin晋Xsin晋-82Xcos吾Xsin音- 4W2sin于=4，所以△BCD的面积为4. 20.解(1)，cosC+(cosA-3sinA)·cosB=0,.-cos(A+B)+cos Acos B-√3 sin Acos B=0.则sin Asin B-√3 sin Acos B=0,因为sinA≠0，所以sinB一√3cos B=0,即tanB=尽，又B为三角形的内角，则B=子 (2)因为a十c=1,即c=1-a,所以由余弦定理得b2=a2十c2-2ac·cosB, 即8=a2+2-ac=(a+e)2-3ac=1-3a1-a)=3(a-）+是， 因为0a<1,所以}<62<1，则<<1.即6的取值范周为[合1) 21.解(1)AB=CB-CA,且CB2=4,CA2=1,CB.CA=2X1Xcos60°=1， .|AB=ICB-CAI=√J(CB-CA)2=√CB2-2CB·CA+CA2=3. (2)0A=号时，Ai=2A店，B酝-号B元， D,E分别是AB,BC的中点，∴A正=AC+C花=A心+号C第，Ci=号(Ci+C商， 58参考答案 :A正.ci=(Ac+2c)·2ci+c -AC.CA+2AC.CB+1CB.CA+C =-2×12+2×1×2×c0s120+4×2x1×cos60+号×2= ②假设存在非零实数入，使得AE⊥CD, 由AD=入AB,得AD=λ(CB-CA), ..CD=CA+AD=CA+(CB-CA)=ACB+(1-)CA, .BE=A BC, ∴.AE-AB+BE=(CB-CA)+A(-CB)=(1-λ)CB-CA. ..AE.CD=A(1-A)CB2-ACB CA+(1-)2 CB.CA-(1-A)CA2 =4λ(1-)-1+(1-1)2-(1-λ)=-3入2+2λ=0， 解得X=号或入=0（不合题意，合去）， 即存在肆零实数X=号，使得A1ò， 2屏@在△ACP中m∠PAC-器-后号 所以∠PAC=30°，AP=8km,所以∠PAB=180°-30°-30°=120°， 设∠APB=0,则∠ABP=180°-120°-0=60°-0， 在△PAB中，由正孩定理知，n2P历nBP即。 AB AP 8 sin0sin(60°-0)' 化简得5V3cos0=13sin9,即tan9=55, 13 故在P处观察金岛所旅视角∠APB的正切位为 (2)如图，以C为坐标原点，CP所在直线为x轴，CA 个y B 所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 过点B作BD⊥CP于D,设CP=xkm, 由AB=10km,∠yAB=30°，可得CD=5km,BD=9 √3km, A ①当x>5时，点P在点D的右侧，PD=(x一5)km, 所以am∠BPC-0-2, D ②当0<x<5时，点P在D的左侧，PD=(5-x)km, 所以an∠BPC=B-2 易知m∠APC-部-，所以当>0，且≠5时， tan0=tan(∠BPC-∠APC) 9543 tan∠BPC-tan∠APC x-5 x 5W3(x+4) =1+tan ZBPC,tan乙APC= 1+93.43 x2-5.x+1081 x-5 x @当x-5时，点P与点D重合，m0am∠CAD-肥-5语，满足上式， 所以tan05308其中z∈(0，十o∞)，令x十4=，则∈(4，+∞)， 所以tan0=53(x十4) 53t 53t 53 z25x+108-(4-4)2-5(t-4)+1082-13+14t+144-13 t 53 二=53，当且仅当仁，，即=12时等号成立， 2.44-13 t 的最大值为，此时x=t一4=12-4=8km,即C 故若要求在P处观察全岛所张的视角最大，点P应选在，点C正东方向8km处. 第七章 章末检测卷 1.A因为2=a2-a十a一1Di为纯虚数，所以02二a0解得a=0.故选A a-1≠0， 2.A由产i,得x=（1-i)i=i计1.心z=1-i故选A i(-3+4i) 3.C因为x=-3-4(-3-40(-3+4D=25 所以之在复平面内所对应的点在第三象限，故选C 4.A 名动+0-5-名+2 1 此复数在复平面内对应点的坐标为（合，），诚点位于第一象限，故选A 5.B因为向量OA,OB对应的复数分别为2-3i,-3十2i, 所以向量0A=(2,-3),0B=(-3,2), 所以向量BA=OA一OB=(5,一5)， 所以向量BA对应的复数是5一5i,故选B. 6.c国为吉=aD=中=所以（信白》===-1k故 2 选C. 7.C设之1=a+bi,之2=c十di,a,b,c,d∈R, a+c+(b+d)i=6, a=c=3,|a=c=3, 由题易知 解得b=1,或b=-1, ac-bd+(ad+bc)i=10; d=-1d=1, ∴.x1+2z2=9+i或z1+2z2=9-i..x1十2z2|=√82.故选C. 8.A依题意，21=(1-i)2=-2i,22=(-2i)2=-4,z3=(-4)2=24， 当n≥3时，之n>0,由名+1=号，得1og2m+1=210g2n,易知log2n≠0，则lo23n1=2, log2zn 当n≥4时，l0g2=10g2X83×8eXos2又6 log225 1og22m=4X2m-3= 22m-1,又10g23=4=23-1也满足上式， .当n≥3时，log2之n=2m-1,∴之n=22m-1.故选A. 9.ABC依题意， {十30，÷3<m<1,因此m的取值可以为-2，一1,0，故 选ABC. 10.BC根据题意，在M={mlm=i”,n∈N}中， n=4k(k∈N)时，i=1; n=4k十1(k∈N)时，in=i n=4k+2(k∈N)时，im=一1； n=4k+3(k∈N)时，i=-i. .M={-1,1,i,-i. 选项A中，(1-i)(1+)=2M; 逸项B中，a (1-i)2 =-i∈M; 速项c中，告aDiM (1+i)2 选项D中，(1-i)2=-2≠M. 故选BC. 11.BCD对于A,因为1=2-i,所以之1=√22+(-1)z=√5， 又12=|1|·|22=5，所以|z2=5,此时复数2有无数多个，故A错误； 对于B,国为1=2-i12=5,所以2=马=2是=2号2=2+i,故B 5 5(2+i) 正确； 对于C,因为1=2-i,1十2=4，所以x2=4-x1=4-(2-i)=2十i,故C正确； 对于D,因为名1=2-i,12十1十2=9，所以2=9=92（2=生= z1+1-2-i+13-i (7+iD(3+D_21+7i+3i+=2十i,故D正确.故选BCD. (3-i)(3+i) 10第六章 章末检测卷 建议用时：120分钟满分150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设e1,e2为基底向量，已知向量AB=e,-e2,CB=2e,一e2,CD= 3e1一3e2,若A,B,D三点共线，则k的值是 () A.2 B.-3 C.-2 D.3 2.已知向量a=(x,1),b=(2,y),c=(1,-2),且a∥c,b⊥c,则|2a 密 -b|= () A.3 B.√10 C.√11 D.23 封 3.在△ABC中，点M是BC的中点，AM=1,点P在AM上，且满 足AP=2PM,则PA·(PB+PC)等于 () 孕 A.-4 B.3 c台 D.g 4.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cosB=1 昂 打 内 ,则△ABC一定是 2ac A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 5.已知a,b是不共线的向量，OA=a+b,OB=3a-2b,OC=2a 十3b,若A,B,C三点共线，则实数入.4满足 設 A.λ=-1 B.λ=+5 C.λ=5-4 D.4=13-5λ 答 6.欧几里得在《几何原本》中，以基本定义、 公设和公理作为全书推理的出发点.其 中第I卷命题47是著名的毕达哥拉斯 茶 题 定理（勾股定理），书中给出了一种证明 思路：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°， 四边形ABHL、ACFG、BCDE都是正方 形，AN⊥DE于点N,交BC于点M.先 证明△ABE与△HBC全等，继而得到矩形BENM与正方形 ABHL面积相等；同理可得到矩形CDNM与正方形ACFG面 丝 部 ,则sin 积相等；进一步定理得证.在该图中，若tan∠BAE=】 ∠BEA= ( ) A将 B.30 C.6 D.10 10 10 7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3 acos C= 4 csin A,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为 () 入等 B背 c D 8.某小区打算对如图所示的直角三角形ABC 区域进行改建，在三边上各选一点连成等边 三角形DEF,在其内建造文化景观.已知AB =20m,AC=10m,则△DEF区域的面积 (单位：m)的最小值为 A.25√3 B.753 C.1003 D.753 14 7 7 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 9.设P是△ABC所在平面内的一点，AB+AC=3AP,则() A.PA+PB-0 B.PB+PC-0 C.PA+AB=PB D.PA+PB+PG-0 10.已知a=(3,一1)，b=(1,一2)，则正确的有 ( ) A.a·b=5 B与a同向的单位向量是(30，-巴） 10 C.(a6)- D.a与b平行 11.在△ABC中，若b=√3，c=3,B=30°，则a的值可以等于() A.3 B.2√3 C.33 D.4√3 12.在△ABC中，P,Q分别为边AC,BC上一 点，BP,AQ交于点D.且满足AP=tPC,BQ =入QC,BD=uDP,AD=mDQ.则下列结 论正确的为 A.若=号且A=8,则m=号=9 B.若4=2且m-1,则X=34=司 1 C.若}-2=1，则1-2=1 λt 以t D产·中市‘ 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量a=(1,2),b=(2,),若(a+b)∥(a-2b),则实数λ= 14.若|a=1,b|=2,a与b的夹角为60°，若(3a+5b)⊥(ma-b), 则m的值为 15.在△ABC中，AR=2RB,CP=2PR,若AP=mAB十nAC,则 m十n= 16.已知锐角△ABC同时满足下列四个条件中的三个： ①A=3;②a=13,③c=15,④sinC=3 (1)这三个条件为 (填序号)； (2)△ABC的面积为 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10分)已知e1,e2是两个单位向量，其夹角为60°，a=2e1十e2,b =-3e1+2e2 (1)求a,|b|; (2)求a与b的夹角. 第一部分单元、阶段检测卷7 18.(12分)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e, 十e2,BE=-e1十e2,EC=-2e1十e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数入的值； (2)若e1=(2,1),e2=(2,-2),求BC的坐标； (3)已知D(3,5),在(2)的条件下，若A,B,C,D四点按逆时针 顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 19.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b2 -c2=a2-√2ac. (1)求角B; (2)从①C=2B,②bcos A=acos B中选取一个作为条件，证明 另外一个成立； (3)若D为线段AB上一点，且∠BCD=∠B,CD=4,求 △BCD的面积. 8第一部分单元、阶段检测卷 20.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 cos C+(cos A-3sin A)cos B=0. (1)求角B的大小； (2)若a十c=1,求b的取值范围. 21.(12分)如图，在△ABC中，已知CA=1, CB=2,∠ACB=60°. (1)求|AB; E (2)已知点D是AB上一点，满足AD=λ AB,点E是边CB上一点，满足BE=B1 ABC. ①当入=2时，求A正.CD; ②是否存在非零实数λ，使得AE⊥CD?若存在，求出λ的值；若 不存在，请说明理由. 22.(12分)如图，在一条东西方向的海岸线 上的点C处有一个原子能研究所，海岸 东 线北侧有一个小岛，岛上建有一个核电 站.该岛的一个端点A位于点C的正北 方向，距点C4√3km,另一个端点B位C P海岸线 于点A北偏东30°方向，且与点A相距10km,研究所拟在点C 正东方向海岸线上的P处建立一个核辐射监测站， (1)若CP=4km,求此时在P处观察全岛所张视角∠APB的 正切值； (2)若要求在P处观察全岛所张的视角最大，问点P应选址 何处？