专题2.3 函数单调性讲义-2026届高考数学一轮复习

专题2.3 函数单调性 2.3.1 常见函数的单调性 知识点梳理 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间． 如果对于D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． 如果对于D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 2.常见函数的单调性 （1）一次函数：，定义域为∈R. ①当k>0时，函数在x∈R为增函数； ②当k<0时，函数在x∈R减函数. （2）反比例函数：,定义域为. ①当k>0时，函数在，为减函数； ②当k<0时，函数在，为增函数. （3）二次函数，定义域为∈R. ①当a>0时，函数在为减函数，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为增函数，函数在为减函数. （4）指数函数：，定义域为∈R. ①当0<a<1时，函数在x∈R为减函数；②当a>1时，函数在为增函数. （5）对数函数：，定义域为x∈. ①当0<a<1时，函数在x∈为减函数； ②当a>1时，函数在x∈为增函数. （6）幂函数：，当a>0时，定义为R；当a<0时，定义域为. ①当a>0时，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为减函数. （7）对勾函数：，定义域为. ①当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减； ②当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减. 3.复合函数的单调性：复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 4.判断函数单调性常用的结论： ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； ②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数； ③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数． 典型例题 例1.给定函数: ①; ②; ③; ④,其中在区间上单调递减的函数序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 解：① 为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选; ② 为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选; ③ ，在上为减函数，在上为增函数，故③可选; ④ 为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选; 综上所述，可选的序号为②③.故选：B. 例2.已知函数．求f（x）的单调增区间. 解：由，得2﹣x2＞0，解得， 又∵y＝log2x在（0，+∞）单调递增，y＝2﹣x2在单调递增， 在单调递减，∴的单调增区间为. 例3.设函数,都是上的单调函数, 有如下四个命题, 正确的是( ) ①若单调递增,单调递增, 则单调递增; ②若单调递增,单调递减, 则单调递增; ③若单调递减,单调递增, 则单调递减; ④若单调递减,单调递减, 则单调递减. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 解：对于命题，令，均为增函数，而为减函数，错误； 对于命题，设 ，则，，， 故单调递增，命题正确； 对于命题，设，则，，， 故单调递减，命题正确. 对于命题，令，均为减函数，而为增函数，故错误. 故选：C. 例4.已知“双勾函数” 为常数). （1）证明:函数在上是减函数,在上是增函数; （2）已知,利用(1)的结论, 求函数的单调区间和值域. 解: (1)证明:设,则, 又由 , 则 , , 则,即函数在上是减函数, 再设,则, 又由,则, ,则,即函数在上是增函数, 故函数在上是减函数, 在上是增函数. （2）根据题意,设, ,则; 则, ,在上为减函数,在上为增函数,又由在上为增函数, 当时, ;则在上为减函数,在上为增函数; , ;其最小值,最大值,则的值域为. 随堂演练 1.函数( ) A.在上单调递增 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递减 解：图像可由图像沿轴向右平移一个单位长度， 再向上平移一个单位长度得到，如图所示.故选：B. 2.下列函数中,在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 解：对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误; 对于B, 因为在上单调递增，在上单调递减, 所以在上单调递减, 故B错误; 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确; 对于D, 因为，，，显然在上不单调，D错误.故选：C. 3.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 解：函数的定义域为，由于外层函数为减函数， 由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间， 结合函数的定义域，得单调递增区间为.故选：D. 4.函数的单调增区间是( ) A. () B. () C. () D. () 解：由于在上递增，根据复合函数单调性同增异减，可知，函数在区间 上递增. 故选 A. 5.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 解：由得：,令, 则, 时,为减函数;时,为增函数; 为增函数,故函数的单调递增区间是,故选：D. 6.函数的单调增区间是 . 解：由函数，则， 即，故定义域为，令，为增函数，且也是增函数， 所以函数的单调增区间是.故答案为：. 7.函数的单调递减区间是 . 解：因为函数定义域为，所以当，单调减，函数单调减，当， 单调增，函数单调增，故函数的单调递减区间是. 8.设,函数有最小值,则不等式的解集为 . 解：函数的定义域是,设函数, . 因此函数仅有最小值,且函数有最小值. 因此函数是增函数,因此.由, 可得 , 因此 . 即不等式的解集是. 9.若函数的单调递增区间是,则 . 解：由题可知要使函数的单调递增区间是，则，解得. 2.3.2 已知函数的单调性求参数的取值范围 知识点梳理 已知函数表达式中含有参数 a（或其他字母），并且已知它在某个区间上具有某种单调性（递增/递减，严格或非严格），要求所有可能的参数取值集合. 一般解题过程：单调性条件→对任意符合条件的自变量大小关系，函数值的大小关系必须恒成立→转化为关于参数的不等式（组）→解这个不等式（组）得到参数范围. 典型例题 例1.已知函数在上单调递增, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：由得或，所以的定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增 所以，故选：D. 例2.如果函数在区间上单调递减,则的最大值为( ) A. 16 B. 18 C. 25 D. 解：时，抛物线的对称轴为.据题意：当时，即 . 由 且 得 . 当时，抛物线开口向下，据题意得， 即 . 由且 得，故应舍去.要使得取得最大值， 应有 (). 所以，所以最大值为.故选：B. 随堂演练 1.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________． （2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． 解：（1）f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]． （2）f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4. 2.已知函数. （1）若,则的定义域是 . （2）若在区间上是减函数,则实数的取值范围是 . 解：(1) 因为, ,所以,即, 故, 所以的定义域为. (2) 当,即时,要使在区间上是减函数,需要在上是减函数, 同时恒成立,即, 因为,即,所以在上是减函数显然成立, 此时,则,得 , 故; 当,即时,要使在区间上是减函数,需要在上是增函数, 同时恒成立,所以，即，此时显然成立.综上：或，即. 3.若函数在上的最大值为4,最小值为,且函数在 上是增函数,则 . 解：当时,有, ,此时,,此时为减函数,不合题意. 若,则, ,故, ,检验知符合题意. 4.若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：由题意， 当，即时，在上，满足要求； 当，即时，在上，不满足要求。 综上，. 故选: A. 5.若函数与在区间上都是减函数, 则的取值范围( ) A. B. C. D. 解：对于,开口向下,对称轴为, 若函数在区间上都是减函数,则区间在对称轴的右侧,所以可得:. 对于,其相当于将的图象向左平移1个单位, 得到如下函数图象: 此时我们可以判断, 当时,则函数在第一象限为单调递减,而在单调递减,故的取值范围是. 故选: D. 6.若函数在区间内恒有,则的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 解：由题意得：因为，则， 函数在区间内恒有，所以， 由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选 C. 7.设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是．故选：D. 8.若函数且在区间内单调递增, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：函数在区间内有意义,则， 设,则. ( 1 ) 当时,是增函数，要使函数 在区间 内单调递增, 需使在区间内内单调递增, 则需使, 对任意 恒成立,即对任意恒成立. 因为 时, 所以 与 矛盾,此时不成立. （2）当时, 是减函数,要使函数在区间 内单调递增,需使在区间内单调递减,则需使对任意 恒成立, 即对任意恒成立,因为时, ,所以， 又,所以.综上：的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 函数单调性 2.3.1 常见函数的单调性 知识点梳理 1.函数的单调性 （1）单调函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间． 如果对于D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． 如果对于D内的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． 2.常见函数的单调性 （1）一次函数：，定义域为∈R. ①当k>0时，函数在x∈R为增函数； ②当k<0时，函数在x∈R减函数. （2）反比例函数：,定义域为. ①当k>0时，函数在，为减函数； ②当k<0时，函数在，为增函数. （3）二次函数，定义域为∈R. ①当a>0时，函数在为减函数，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为增函数，函数在为减函数. （4）指数函数：，定义域为∈R. ①当0<a<1时，函数在x∈R为减函数；②当a>1时，函数在为增函数. （5）对数函数：，定义域为x∈. ①当0<a<1时，函数在x∈为减函数； ②当a>1时，函数在x∈为增函数. （6）幂函数：，当a>0时，定义为R；当a<0时，定义域为. ①当a>0时，函数在为增函数； ②当a<0时，函数在为减函数. （7）对勾函数：，定义域为. ①当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减； ②当时，函数在和上单调递增；在和上单调递减. 3.复合函数的单调性：复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 4.判断函数单调性常用的结论： ①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数； ②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数； ③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数为减函数，为增函数． 典型例题 例1.给定函数: ①; ②; ③; ④,其中在区间上单调递减的函数序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 例2.已知函数．求f（x）的单调增区间. 例3.设函数,都是上的单调函数, 有如下四个命题, 正确的是( ) ①若单调递增,单调递增, 则单调递增; ②若单调递增,单调递减, 则单调递增; ③若单调递减,单调递增, 则单调递减; ④若单调递减,单调递减, 则单调递减. A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 例4.已知“双勾函数” 为常数). （1）证明:函数在上是减函数,在上是增函数; （2）已知,利用(1)的结论, 求函数的单调区间和值域. 随堂演练 1.函数( ) A.在上单调递增 B.在上单调递增 C.在上单调递减 D.在上单调递减 2.下列函数中,在区间上单调递增的是( ) A. B. C. D. 3.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 4.函数的单调增区间是( ) A. () B. () C. () D. () 5.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 6.函数的单调增区间是 . 7.函数的单调递减区间是 . 8.设,函数有最小值,则不等式的解集为 . 9.若函数的单调递增区间是,则 . 2.3.2 已知函数的单调性求参数的取值范围 知识点梳理 已知函数表达式中含有参数 a（或其他字母），并且已知它在某个区间上具有某种单调性（递增/递减，严格或非严格），要求所有可能的参数取值集合. 一般解题过程：单调性条件→对任意符合条件的自变量大小关系，函数值的大小关系必须恒成立→转化为关于参数的不等式（组）→解这个不等式（组）得到参数范围. 典型例题 例1.已知函数在上单调递增, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 例2.如果函数在区间上单调递减,则的最大值为( ) A. 16 B. 18 C. 25 D. 随堂演练 1.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________． （2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________． 2.已知函数. （1）若,则的定义域是 . （2）若在区间上是减函数,则实数的取值范围是 . 3.若函数在上的最大值为4,最小值为,且函数在 上是增函数,则 . 4.若定义在区间内的函数满足，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.若函数与在区间上都是减函数, 则的取值范围( ) A. B. C. D. 6.若函数在区间内恒有,则的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 7.设函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若函数且在区间内单调递增, 则的取值范围是( ) A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $