1.5.2 数量积的坐标表示及其计算同步练习 -2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 一、必备知识基础练 1.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论不正确的是(　　) A.|a|=|b| B.a·b= C.a∥b D.a-b与b垂直 2.(2025甘肃甘南高一模拟预测)已知向量a=(2,m-1),b=(m,),若|a|=|b|,则实数m=(　　) A.-1 B.- C.-或1 D.-1或 3.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 4.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,E为线段BC的中点,F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　) A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8] 5.已知向量a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2,则向量a+b与b的夹角为　　　　　.  6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y=　　　　.  7.已知向量a=(-1,2),b=(3,-1). (1)求a+2b的坐标与|a-b|; (2)求向量a与a-b的夹角的余弦值. 8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两条对角线所夹的锐角的余弦值. 二、关键能力提升练 9.已知向量a=(2,n),b=(-1,2),c=(n,n),若a∥b,则a·(2b+c)=(　　) A.-12 B.24 C.-24 D.12 10.(2025甘肃兰州高一月考)已知=(2,4),=(m,2),=(n,0),且A,B,C三点共线,则||的最小值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 11.已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点,则的最小值为　　　　　.  12.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于点D的任意一点. (1)求的值; (2)判断的值是否为一个常数,并说明理由. 13.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R). (1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值. (2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由. 三、学科素养创新练 14.已知△ABC中,AB=AC,BC=4,∠BAC=90°,=3,若P是边BC上的动点,则 的取值范围是　　　　　.  15.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=(,-),n=(sin x,cos x).若m⊥n,求tan x的值. 参考答案 1.ABC　A项,|a|=1,|b|=,故|a|≠|b|; B项,a·b=1×+0×; C项,1×≠0×; D项,a-b=,(a-b)·b==0,故a-b与b垂直. 2.D　由|a|=|b|,得a2=b2.因为a=(2,m-1),b=(m,), 所以4+(m-1)2=6m2+2,化简得5m2+2m-3=0, 解得m=-1或m=.故选D. 3.A　如图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2). 故=(1,2)·(0,2)=0+4=4. 4.A　建立平面直角坐标系,如图,A(0,0),E(2,1), 设F(x,2)(0≤x≤2), 所以=(2,1),=(x,2),因此=2x+2, 设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数, 则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14]. 5.　a=(x+1,),b=(1,0),a·b=-2, 则x+1=-2,解得x=-3, 故a+b=(-1,), 则cos<a+b,b>==-, 又<a+b,b>∈[0,π],则<a+b,b>=. 6.2　a·b=-1+3y,|a|=,|b|=, ∵a与b的夹角为45°, ∴cos 45°=. 解得y=2或y=-(舍去). 7.解(1)a=(-1,2),b=(3,-1), 则a+2b=(5,0),a-b=(-4,3), 所以|a-b|==5. (2)a=(-1,2),a-b=(-4,3), 则a·(a-b)=10,|a|=, 故cos<a,a-b>=. 8.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴=(1,1),=(-3,3). 又=1×(-3)+1×3=0, ∴,∴AB⊥AD. (2)解∵,四边形ABCD为矩形,∴. 设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4). 又=(1,1),∴解得 ∴点C的坐标为(0,5). ∴=(-2,4),=(-4,2), ∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,则cos θ=. 故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为. 9.A　因为a∥b,所以2×2-(-1)×n=0,故n=-4, 故a=(2,-4),c=(-4,-4),2b+c=(-6,0), 故a·(2b+c)=(2,-4)·(-6,0)=-12. 故选A. 10.C　∵=(2,4),=(m,2),=(n,0),∴=(m-2,-2),=(n-2,-4). 又A,B,C三点共线,∴,-4(m-2)+2(n-2)=0,∴n=2m-2. 又=(m+n,2), ∴||=≥2,当m=时取等号, 即||的最小值为2.故选C. 11.2　已知点P(cos θ,sin θ),点A(-2,0),O为原点,则·()=4+2cos θ,又cos θ∈[-1,1],则∈[2,6],即的最小值为2. 12.解(1)以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A, 此时=(-10,0), 所以=-×(-10)+×0=14. (2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时, 所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数. 13.解(1)当α=时,b=,a·b=, ∴|m|=,∴当t=-时,|m|取得最小值. (2)存在.假设存在满足条件的实数t. 由条件得cos, ∵a⊥b,∴|a-b|=, |a+tb|=, (a-b)·(a+tb)=5-t,∴. ∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=. ∴存在t=满足条件. 14.[2,6]　 以边AB所在直线为x轴,边AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示, ∵AB=AC,BC=4,∠BAC=90°, ∴AB=AC=2,∴B(2,0),C(0,2). ∵=3,∴=3(), ∴=. 设P(x,y),则x+y=2,0≤y≤2. 则x+y=(x+3y)=(2y+2)=(y+)∈[2,6]. 15.解∵m=,n=(sin x,cos x),m⊥n, ∴m·n=sin x-cos x=0, 即sin x=cos x,∴tan x==1. 4 学科网（北京）股份有限公司 $