专题7.1 条件概率与全概率公式（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题7.1 条件概率与全概率公式 教学目标 1.结合古典概型，理解条件概率定义，掌握公式及乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)，能计算简单条件概率。 2.理解样本空间划分，掌握全概率公式推导与结构，会用公式计算复杂事件概率；了解贝叶斯公式及简单应用。 3.辨析条件概率与无条件概率、事件独立性的关联。 教学重难点 1.重点 全概率公式的结构、推导及在实际问题中的应用。 2.难点 理解条件概率中“条件限定”的本质（样本空间缩减），区分 P(A|B) 与 P(AB)。 知识点01 条件概率 1、条件概率的概念：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 【即学即练】 1．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 【答案】 【分析】根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】掷出点数是偶数记为事件，有3种情况：2，4，6，所以， 由于掷出点数为4记为事件，所以掷出点数是偶数且掷出点数为4的事件为， 所以，所以. 故答案为：. 2．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出和，再利用条件概率的计算公式计算即可. 【详解】两位游客从5个景点中任选，每人有5种选择，总事件数：种. 事件的对立事件为“两位游客都不选择葫芦古镇”，的事件数：种, 因此. 事件分为两种情况：甲选葫芦古镇，乙选其余4个景点，4种； 乙选葫芦古镇，甲选其余4个景点，4种；共种事件， 因此. 所以. 故选：C. 知识点02 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 【即学即练】 1．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据条件概率及全概率公式计算可得. 【详解】设“取到编号为1的工厂的产品”， “取到编号为2的工厂的产品”， “取到编号为3的工厂的产品”， 则. 设“取到产品是次品”，则. 由全概率公式 . 故选：C. 2．甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由条件概率公式和组合数可得A；由独立事件的乘法公式结合组合数可得B错误；利用条件概率公式和组合数可得C；由全概率公式结合组合数可得D 【详解】由题意可得，，则，A正确. ，B错误. ，C正确. ，D正确. 故选：ACD. 知识点03 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 【即学即练】 1．设，，为样本空间的一个划分，若，()，则 【答案】 2．袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”，利用全概率公式即可求解； （2）利用贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球＂，事件表示”“第一次摸到白球”，事件表示“第二次摸到红球”， 则 由全概率公式有． （2）由贝叶斯公式有． 题型01 利用定义求条件概率 【典例1】某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 【答案】(1)0.3 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”，根据题意，根据概率的加法公式，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，独立事件的判定方法，即可得证； （3）根据条件概率公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）解：设事件表示“员工完成工作”，事件表示“员工完成工作”， 则，， 因为两位员工必定至少有一位完成工作，即事件为必然事件， 所以.   根据概率的加法公式，，解得， 所以两位员工均能完成工作的概率为0.3. （2）证明：由（1）得，且.   因为， 所以事件“员工完成工作”与“员工完成工作”不相互独立. （3）解：由（1）知：， 根据条件概率公式，可得， 故在员工完成工作的前提下，员工也完成工作的概率为. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【变式1】袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是 . 【答案】/ 【分析】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，根据条件，利用古典概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解. 【详解】设事件为第一次摸出黑球，事件为第二次摸出黑球，从5个球中不放回地随机摸出2个球， 试验的样本空间，又两次均摸出黑球为， 所以，又易知， 由条件概率公式，知在第1次摸出黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率， 故答案为：. 【变式2】甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色相同的条件下，甲袋中取出黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】记事件为取出的两球颜色相同，事件为从甲袋中取出黄球，求出和的值，再由条件概率的公式计算即可. 【详解】记事件为取出的两球颜色相同，事件为从甲袋中取出黄球， 则， ， 所以. 故答案为： 【变式3】一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 题型02 条件概率的性质及应用 【典例1】随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率． 【变式1】已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据概率公式和条件概率公式进行求解即可. （2）先根据条件概率公式求出，进而可求出. （3）根据条件概率公式进行化简即可. 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 【变式2】下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【答案】BC 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 【变式3】已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 题型03 全概率公式 【典例1】某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设男性中有购买了新能源车，由全概率公式将购买新能源车的分为男性购买新能源车和女性购买新能源车列出关系求解即可. 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 【变式1】有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为， 故选：C. 【变式2】已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大 D．第二次抽到2号球的概率为 【答案】AC 【分析】利用隔板法求得将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子的方法数判断A；求得第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率判断B；分别求得两次都取到1号球的概率与两次都取到2号球的概率判断C；求得第二次抽到2号球的概率判断D. 【详解】若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有种，故A正确； 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为，故B错误； 两次都取到1号球的概率为， 两次都取到2号球的概率为，又 所以两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大，故C正确； 第二次抽到2号球的概率为，故D错误. 故选：AC. 【变式3】某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率及全概率公式可得. 【详解】记“抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，朝下的一面为点”为事件. 记“取出的卡片全是红色”为事件B. . 则. 故选：C. 题型04 贝叶斯公式 【典例1】某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】设他获得冠军为事件，他参加游泳比赛为事件， 则，故选：C. 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 【变式1】王刚是校足球队的替补球员，已知每场比赛王刚上场的概率为，校足球队获胜的概率为，若王刚上场的情况下校足球队获胜的概率为，则校足球队获胜的比赛中王刚上场的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设及条件概率公式求目标概率. 【详解】若表示王刚上场，表示足球队获胜，则，，， 所以. 故选：B 【变式2】有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 【答案】 【分析】由题意设出事件并写出其概率，根据条件概率公式以及全概率公式，可得答案. 【详解】设事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 则其对立事件“取出一个零件，它是第台车床生产的”， 设事件“取出一个零件，它是次品”， 由题意可得，，，， ，. 故答案为：. 【变式3】已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 题型05 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【典例1】已知事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】综合运用条件概率、全概率公式及对立事件的概率求法依次判断各项的正误. 【详解】由题设，A错； ，B对； ，所以，D对； ，C对. 故选：BCD P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 【变式1】某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 【答案】AC 【分析】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件，该生活用品为合格品为事件，得到，且，结合全概率公式阿赫条件概率的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】设该生活用品由机器生产为事件，该生活用品由机器生产为事件， 该生活用品为合格品为事件， 可得， 则， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，，所以C正确； 对于D中，，所以D错误. 故选：AC. 【变式2】某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 【变式3】有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 【答案】(1)； (2)2. 【分析】(1)利用全概率公式来求解即可； (2)利用贝叶斯公式来求解即可得到最大概率的判断. 【详解】（1）利用全概率公式可知，任取一个零件，它是次品的概率为： ； （2）利用贝叶斯公式可知， 如果取到的零件是次品，该次品来自第1台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率为： 如果取到的零件是次品，该次品来自第3台车床的概率为： 通过比较，如果取到的零件是次品，该次品来自第2台车床的概率最大. 1．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 2．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，再使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故 ， 则所求概率为. 故答案为： 3．若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知及概率的性质可得，根据独立事件的判定、全概率公式、条件概率公式依次判断各项的正误即可. 【详解】由题设，，，， 由，且， 所以，则，解得， 对于A选项，因为，所以A与B相互独立，A对； 对于B选项，由，则，B对； 对于C选项，由，C错； 对于D选项，由，则，D对. 故选：ABD. 4．某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件的乘法计算即可. （2）根据互斥事件的加法计算即可. （3）根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）记“部件甲合格”为事件，“部件乙合格”为事件. 由题意知，. 记“该电子元件能正常使用”为事件， 则. （2）记“该电子元件恰好只有一个部件不合格”为事件， 则. （3）根据题意，要求的是， 则. 5．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分别由对立事件、条件概率定义结合古典概型和全概率公式逐项进行分析计算即可得解. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于CD，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，， 故C正确，D不正确. 故选：ABC 6．现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得. 所以取到歌曲的概率为 7．在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【分析】由已知结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断. 【详解】用,分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 则,,, 抽到男生且喜欢体育锻炼的概率为：，故A正确； 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为：，故B正确； 抽到的学生不喜欢体育锻炼的概率为： , ; 抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为： ,故C错误； 抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为, ， 所以,故D正确； 故选：ABD. 8．现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张，方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（   ） A．第二次抽到黑桃的概率为 B．抽到黑桃的次数可能是0、1、2 C．在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为 D．若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为 【答案】BD 【分析】应用古典概型及排列组合数计算判断A，B，应用对立事件概率公式计算判断C，应用条件概率公式判断D. 【详解】抽到黑桃的次数可能为0、1、2，而第二次抽到黑桃的概率为，故A错误，B正确． 因为两次都抽到黑桃的概率为， 所以至少有一次抽到方块的概率为，故C错误； 第二次抽到方块的概率为，两次都抽到方块的概率为， 所以已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为，故D正确. 故选：BD. 9．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A项，1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可求解；对于B项，1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球即可求解；对于C项，先求，，再利用条件概率公式求解即可；对于D项，先求出，再利用并事件的概率公式求解即可. 【详解】因在操作前，甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白. 对于A项，要求，则1次操作后甲、乙两个口袋中各取一个红球或各取一个白球即可， 则，故A项正确； 对于B项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球且3次操作后甲口袋中恰有2个红球， 所以，故B项正确； 对于C项，要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有1个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 或1次操作后甲口袋中恰有2个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以， 要求，则1次操作后甲口袋中恰有0个红球且2次操作后甲口袋中恰有1个红球， 所以，则，故C错误； 对于D项，由，，， 所以，故D项正确． 故选：ABD． 10．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　） A．0.035 B．0.15 C．0.105 D．0.07 【答案】B 【分析】根据全概率公式列式求值. 【详解】抛掷两颗骰子，基本事件有个， 其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个. 所以学生回答第一、第二个问题的概率均为. 第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为. 设该地区中学生吸烟人数的比例约为， 由题意：，解得. 结合选项，最接近的是. 故选：B 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 条件概率与全概率公式 教学目标 1.结合古典概型，理解条件概率定义，掌握公式及乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B)，能计算简单条件概率。 2.理解样本空间划分，掌握全概率公式推导与结构，会用公式计算复杂事件概率；了解贝叶斯公式及简单应用。 3.辨析条件概率与无条件概率、事件独立性的关联。 教学重难点 1.重点 全概率公式的结构、推导及在实际问题中的应用。 2.难点 理解条件概率中“条件限定”的本质（样本空间缩减），区分 P(A|B) 与 P(AB)。 知识点01 条件概率 1、条件概率的概念：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2、概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3、条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝ ； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝ ． 【即学即练】 1．抛掷一枚均匀的骰子，掷出点数是偶数记为事件A，掷出点数为4记为事件B，则 . 2．两位游客准备分别从葫芦古镇、兴城古城、龙潭大峡谷、九门口水上长城、龙湾海滨风景区5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择葫芦古镇”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ . 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 【即学即练】 1．设某批产品中，编号为1，2，3的三家工厂生产的产品分别占，，，各厂产品的次品率分别为，，.现从中任取一件，则取到的是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 2．甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 【即学即练】 1．设，，为样本空间的一个划分，若，()，则 2．袋中有4个红球，6个白球，不放回地摸两次球，求： (1)第二次摸到红球的概率； (2)已知第二次摸到红球，求第一次也摸到红球的概率． 题型01 利用定义求条件概率 【典例1】某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8. (1)求A，B两位员工均能完成工作的概率； (2)证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立； (3)求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【变式1】袋中有大小、材质相同的2个黄球，3个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不放回，在第1次摸到黑球的条件下，第2次摸到黑球的概率是 . 【变式2】甲、乙两个袋子中各有10个除颜色外完全相同的小球，其中甲袋中有7个红球，3个黄球，乙袋中有8个红球，2个黄球．若从两个袋子中各任取1个球，两球颜色相同的条件下，甲袋中取出黄球的概率为 ． 【变式3】一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（ ） A． B． C． D． 题型02 条件概率的性质及应用 【典例1】随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率． 【变式1】已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【变式2】下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【变式3】已知两个随机事件，，若，，，则 ． 题型03 全概率公式 【典例1】某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用． 【变式1】有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【变式2】已知编号分别为1，2的两个盒子中，1号盒内装有两个1号球、一个2号球；2号盒内装有一个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（   ） A．若将6个相同的小球放入这两个盒子内，允许有空盒子，则不同的放法有7种 B．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 C．两次都取到1号球的概率要比两次都取到2号球的概率更大 D．第二次抽到2号球的概率为 【变式3】某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 题型04 贝叶斯公式 【典例1】某学校举行游泳和乒乓球比赛，某学生只能参加一项比赛，他参加游泳和乒乓球项目的概率分别为0.4，0.6，若他在游泳、乒乓球比赛中获得冠军的概率分别为0.3，0.7.已知他获得冠军，则他参加游泳比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小． 【变式1】王刚是校足球队的替补球员，已知每场比赛王刚上场的概率为，校足球队获胜的概率为，若王刚上场的情况下校足球队获胜的概率为，则校足球队获胜的比赛中王刚上场的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】有2台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第2台车床的概率是 ． 【变式3】已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 题型05 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【典例1】已知事件，则（    ） A． B． C． D． P(Ai)(i＝1，2，…，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化． 【变式1】某加工厂的某种生活用品由A和B两台机器生产，A机器生产该种生活用品的速度是B机器的3倍，且A机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为，B机器生产出来的该种生活用品不合格的概率为假设A，B机器每天同时开启和关闭，且两台机器生产出来的该种生活用品是否合格相互之间不影响．现随机抽出一件该种生活用品，下列结论正确的是（   ） A．这件生活用品合格的概率为 B．这件生活用品不合格的概率为 C．若这件生活用品不合格，则它来自A机器生产的概率为 D．若这件生活用品不合格，则它来自B机器生产的概率为 【变式2】某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3】有3台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率分别为加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的 (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，试问该次品来自第几台车床的概率最大？ 1．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 2．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 3．若是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A．A与B相互独立 B． C． D． 4．某工厂生产一种电子元件，该元件由两个相互独立的部件甲和乙组成.已知部件甲的合格率为95%，部件乙的合格率为90%，整个电子元件只有在两个部件都合格时才能正常使用.现从该工厂随机抽取一个电子元件进行检测. (1)求该电子元件能正常使用的概率； (2)求该电子元件恰好只有一个部件不合格的概率； (3)若已知该电子元件不能正常使用，求它恰好只有一个部件不合格的概率. 5．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 6．现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 7．在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（   ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生不喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是女生的概率为 8．现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张，方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（   ） A．第二次抽到黑桃的概率为 B．抽到黑桃的次数可能是0、1、2 C．在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为 D．若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为 9．甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复n次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则（   ） A． B． C． D． 10．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　） A．0.035 B．0.15 C．0.105 D．0.07 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $