1.3.2 直角三角形全等的判定-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（北师大版）

第2课时 直角 课内基础闯关 知识点①直角三角形全等的判定 1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等 的是 A.两个锐角对应相等 B.两条直角边对应相等 C.一个锐角和斜边对应相等 D.斜边和一条直角边对应相等 2.(教材变式)如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥ BC,垂足分别为E,F.要根据“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△DCF,还需要添加的一个 条件是 A.AE=DF B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AB=DC D 第2题图 第3题图 3.如图，已知AD⊥BD,BC⊥AC,AD=BC, 则△CAB≌△DBA的依据是 () A.HL B.SAS C.AAS D.ASA 4.(2025吉安青原区期中)如下图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，E是AB上的点，且AE=AC, DE⊥AB交BC于点D,∠B=30°，CD=3. (1)求DE的长 (2)求△ADB的面积： 三角形全等的判定 知识点②直角三角形全等的判定的应用 5.(教材变式)如图，有两个长度相同的滑梯靠 在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右 边滑梯的水平长度DF相等，那么判定 △ABC与△DEF全等的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 第5题图 第6题图 6.如图，公路上A,B两站相距25km,C,D为 两所学校，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点 B.已知在公路AB上有一座报亭H,且C, D两所学校到报亭H的距离相等，DA= BH=15km,则BC= km. 7.在课堂上，老师发给每人一张印有 Rt△A'B'C'的卡片（如图①），然后要同学们 尝试画一个Rt△ABC,使得Rt△ABC≌ Rt△A'B'C'.小海同学先画出了∠MBN= 90°，后续画图的主要过程如图②所示 N⊙ M B M 图① 图② 老师评价：他的做法是正确的.请你说出其 画图依据. 下册第一章 已课外拓展提高 8.在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B'=30°， AB=A'B'=6,AC=A'C'=4.若∠C=n°， 则∠C'的度数为 A.30° B.n° C.n或180°-n° D.30°或150° 9.我们知道“已知两边和一角分别相等的两个 三角形不一定全等”，但下列两种情形还是 成立的。 B C 图① 图② (1)第一种情形（如图①）：在△ABC和 △DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF,AB =DE.求证：△ABC≌△DEF. (2)第二种情形（如图②）：在△ABC和△DEF 中，∠C=∠F(∠C和∠F均为钝角)，AC= DF,AB=DE.求证：△ABC≌△DEF. 18 八年级数学BS版 已综合能力提升 10.如下图，在四边形ABCD中，∠B=90°，连 接对角线AC,且AC=AD,点E在边BC 上，连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为 F,AB=AF. (1)求证：①∠DAC=∠FAB; ②DF=CE+EF (2)若AB=BC,∠CDE=20°，求∠CAF 的度数. 知识要点归纳 直角三角形全等的判定(HL):斜边和一条直角 边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜 边、直角边”或“匹”)3.解：(1)如图①，△ABC即为所求（答案不唯一） (2)如图②，△ABD即为所求. 图① 图② 4.解：(1)如图，△ABC即为所求 C (2)Sm=6X4-号×6x2-号×4X2- 2 ×4×2 =10. 5.解：（答案不唯一）(1)如图①，△ABD即为所求. (2)如图②，△ADF即为所求. 图① 图② 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.A2.C3.64.D 5.解：根据题意可得，AB=√22十4=2√5， AC=√2+1下=√5，BC=√/4+3=5， ∴.AB2+AC2=BC2, ∴.△ABC为直角三角形，∠BAC=90°， 六△ABC的面积为2AB·AC=5. 6.B 7.解：(1)证明：，∠1=∠2，.AB∥CD. ,∠3=∠4，∴.EFCD,.EF∥AB,.∠1=∠F (2)应用了“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行 同位角相等”这两个互逆的真命题. 8.C 9.69°【解析】.∠ACB=90°，∠A=24°， ∠B=90°-∠A=66. 由折叠的性质，得∠CED=∠B=66°，∠ECD= ∠ACB=45,·∠EDC=180°-∠ECD-∠CED 1 =69°. 10.解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°， ∴.∠ACB=180°-30°-60°=90°. :CE平分∠ACB, 1 ∴∠ACE=∠BCE=2∠ACB=459, (2)证明：，CD⊥AB,∠B=60°， ∴.∠BCD=90°-60°=30°， ∴.∠DCF=∠BCE-∠BCD=15. ∠CDF=75°，∴∠CFD=180°-75°-15°=90°， .△CFD是直角三角形. 11.解：(1)证明：∠ACB=90°， ∴.∠CAE+∠CEF=90°. ,CD是AB边上的高，.CD⊥AB ∴.∠BAE+∠AFD=90°. :AE平分∠BAC,∠CAE=∠BAE, ∴∠CEF=∠AFD. :∠CFE=∠AFD,∴∠CFE=∠CEF. (2)相等.理由如下： AE平分∠BAC,∴.∠CAE=∠BAE. I∠CFE=∠ACD+∠CAE,∠CEF=∠B+ ∠BAE,∠ACD=∠B, ∴.∠CFE=∠CEF (3)∠M+∠CFE=90°.理由如下： :AE,AN分别平分∠BAC,∠BAG,∠BAC+∠BAG =180.∠EAN=2(∠BAC+∠BAG)=90, ∴.∠EAM=90°，.∠M+∠CEF=90. 由(2)，得∠CEF=∠CFE,∴.∠M+∠CFE=90°. 第2课时直角三角形全等的判定 1.A2.D3.A 4.解：)在R△ACD和Rt△AED中，AD=AD .∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴.DC=DE=3. (2)∠B=30°，∴.∠BAC=60°. 由(1)知，Rt△ACD≌Rt△AED, ∠CAD=∠EAD=3∠BAC=30, .∴.AD=2CD=6. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=√JAD一CD= 3√5，∴.AB=2AC=63, 1 1 S△Am=2AB·DE=2X65X3=95. 5.D6.10 7.解：由画图可知，∠ABC=∠A'B'C'=90°，BC=B'C', AC=A'C',∴.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 8.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D,过点A' 作A'D'⊥B'C'于点D' ∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6,AD=A'D'=3. 依题意，可分以下四种情况讨论： D' 图① 图② B C'D' 图③ 图④ ①当点B,C在点D的两侧，点B',C‘在点D'的两侧 时，如图①②. ,AC=A'C'=4,AD=A'D'=3, .Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL),.∠C'=∠C=n°： ②当点B,C在点D的两侧，点B',C'在点D'的同侧 时，如图①③. 下册参考答案 .AC=A'C=4,AD=A'D'=3. ∴.Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL), ∠A'C'D'=∠C=n°，.∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'= 180°-n°； ③当点B,C在点D的同侧，点B',C'在点D'的两侧 时，如图④② 同理可得，Rt△ACD≌Rt△A'C'D',∴.∠C'=∠ACD =180°-∠ACB=180°-n°： ④当点B,C在点D的同侧，点B',C'在点D'的同侧 时，如图④③. 同理可得，Rt△ACD≌Rt△A'C'D',∴.∠A'C'B'= ∠ACB=n°. 综上所述，∠C'的度数为n°或180°-n. 9,证明：ID)在R△ABC和R△DEF中，AC=DF, AB=DE, .∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). (2)如图，过点A作AG⊥BC,交BC的延长线于点G, 过点D作DH⊥EF,交EF的延长线于点H,则∠G =∠H=90°. :∠BCA=∠EFD,.∠ACG=∠DFH. ∠G=∠H, 在△ACG和△DFH中，∠ACG=∠DFH, AC=DF. .△ACG≌△DFH(AAS),∴.AG=DH. (AB=DE, 在R△ABG和R△DEH中，AG=DH, ∴.Rt△ABG≌Rt△DEH(HL),∴.∠B=∠E ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE, AB=DE, .△ABC≌△DEF(AAS). B C G 10.解：(1)证明：①∠B=90°，AF⊥DE, .∠AFD=∠B=90. 在R△ADF和R△ACB中，AF=AB. (AD=AC, .Rt△ADF≌Rt△ACB(HL),.∠DAF=∠CAB, .∠DAF+∠FAC=∠CAB+∠FAC, 即∠DAC=∠FAB. ②连接AE,如图. :∠B=90°，AF⊥DE, .∠AFE=∠B=90°. 在Rt△AFE和Rt△ABE中， /AE=AE, AF=AB, ∴.Rt△AFE≌Rt△ABE(HL),∴.EF=EB 由①可知，Rt△ADF≌Rt△ACB, .DF=CB,.DF=CB=CE十EB=CE十EF. (2)AB=BC,∠B=90°，∴.∠BAC=∠BCA=45°. 由(1)①可知，∠DAF=∠CAB=45°， 8 八年级数学BS版 .∠ADF=90°-∠DAF=45°. ∠CDE=20°，∴.∠CDA=20°+45°=65. 又：AC=AD,.∠DCA=∠CDA=65°， .∠DAC=180°-∠CDA-∠DCA=50°， .∠CAF=∠DAC-∠DAF=50°-45°=5°. 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.C 2.6【解析】如图，连接AM,AN ,在△ABC中，AB=AC,∠BAC =120°， ·∠B=∠C=180°-∠BAC =30° 2 :ME是AB的垂直平分线， .BM=AM,∴.∠B=∠BAM=30°， ∴.∠AMN=∠B+∠BAM=60°. 同理可得，AN=CN,∠CAN=∠C=30°， ∴.∠ANM=∠C+∠CAN=60°， .△AMN为等边三角形， ..MN=AM=AN=BM=CN. .BC=BM+MN+CN=18 cm, MN=3 BC=6 em. 3.B 4.证明：，AB=AC,.点A在线段BC的垂直平分 线上 ,OB=OC,∴.点O在线段BC的垂直平分线上. 两点确定一条直线，，直线AO是线段BC的垂直 平分线，即直线AO⊥BC,∴.AO平分∠BAC 5.证明：：∠BAC=90°，∴.∠ABC+∠C=90. ,AM⊥BC,.∠AMB=90°， ∴.∠ABC+∠BAM=90°，∴.∠C=∠BAM. ,AD平分∠MAC,∴.∠DAM=∠CAD, ∴.∠BAM+∠DAM=∠C+∠CAD, .∠BAD=∠ADB,.AB=BD. :BE平分∠ABC,.BF⊥AD,AF=FD, 即线段BF垂直平分线段AD. 6.证明：(1)：ED⊥AB,.∠EDB=90 (EB=EB. 在R△BCE和Rt△BDE中，BC=BD, .Rt△BCE≌Rt△BDE(HL),∴.CE=DE. (2)'.EC=ED,BC=BD, .BE是CD的垂直平分线，.BE⊥CD. (3)'EC=ED,BE⊥CD, .∠ECD=∠EDC,∠DFB=90°， ∴.∠FDB十∠DBE=90°. ∠EDB=90°，∴∠EDC+∠FDB=90°， .∠EDC=∠DBE,∴.∠ABE=∠ACD. 7.C 变式题58°【解析】：BD,CD的垂直平分线分别交 AB,AC于点E,F,BE=DE,DF=FC,∠B= ∠EDB,∠FDC=∠C.:∠EDB+∠FDC+∠EDF =180°，∠B+∠C+∠A=180°，∠A=58°，.∠EDF