重点强化1 数列的递推公式和通项公式&重点强化2 数列的求和-【金试卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册&选择性必修第三册同步单元双测卷（人教A版）

第二部分 重点强化卷 重点强化1数列的递推公式和通项公式 1.已知函数{an}满足a1=1,对任意的n∈N*都有a+1=am十n十1， h 则a1o= A.36 B.45 C.55 D.66 2.给出以下通项公式： 密 ①an= [1-(-1)];②a,=1-(-1)；③a.= 2 h √2，n是奇数， 其中可以作为数列，√2,0,2,0，√2,0，…的通项公 封 0,n是偶数， 樊 式的是 1 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3.已知数列{an}满足a1=1,a+2=an+1一an,则a1o= ( A.2 B.-2 C.1 D.-1 内 4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个 递推公式可以是 不 如 准 A.an+1=an+n,n∈N B.an=am-1+n,n∈N*,n≥2 答 C.am+1=am+(n+1),n∈N*,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N*,n≥2 茶 题 5.数列{an}满足nam+1=(n十1)a,十1(n∈N*),且a1=1,则a2o22= A.4043 B.4044 C.2021 D.2022 6.在数列{an}中，若a1=2,a+1=3an十2+1，则an= ( A.n·2" B. 丝 北 C.2X3"-2+1 D.4X3"-1-2n+1 7.在数列{an}中，a1=3,an=2an-1-n十2(n≥2，n∈N*),若an> 980,则n的最小值是 A.8 B.9 C.10 D.11 8.若数列{am}对任意正整数n都有a1十2a2+3a3十…十nan=2”一 1,则2a2十5a5= () A.17 B.18 C.34 D.84 9.（多选)已知数列{xn}满足x1=a,x2=b,xm+1=xm一x-1(n≥2)， 则下列结论正确的是 ( A.x2022=a B.x2023=a-b C.x13=x2023 D.x1十x2十…十x2023=a 10.（多选)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,a+2一a,=2,n∈N,则 A.(a1十a2),(a3十a4),(a5十a6),…为等差数列 B.(a2-a1),(a4-a3),(a6一a),…为常数列 C.a2m-1=4n-3 D.若数列{bn}满足bn=(一1)”·am,则数列{bn}的前100项和 为100 11.(（多选)已知正项数列{an}中，a1=1,a2=2,2a元=a1十a+1(n ≥2)，bn= 一，数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn)的前n an十an 项和为Tn,则 ( A.ag=5 B.bn=√J3n十1-√3n-2 C.T33=3 D.S,=n(3n-1) 2 12.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=4,2Sn=(n十1)a, (n∈N*),则an= 13.已知数列{a,)的各项均为正数a1=2,a+1一a,一a+1十a 4 ,则 a,= 4.设数列【a,}满足a=2,a+1三。，a13n∈N),则a,= 15.数列{an}中，a1=1,am+1=3a十12an十10，则am= 16.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,a2-(2a+1-1)an一 2au+1=0,则an= 17.已知数列{an}的前n项和Sm=nan+1一n2,且a1=1,则a2o22 a2021= 18.已知数列{am}的前n项和为Sn,求数列{a,n}的通项公式. (1)Sn=3”+2;(2)Sn=n2-n. 19.已知数列{an}满足：a1=1,a2=3,am+2=6an+1一8am,求数列 {a,}的通项公式. 选择性必修第二册13 重点强化2数列的求和 1.数列{an}满足a1=1,a2=2且an+2=an十（-1)”，n∈N°，则该数 列的前40项之和为 () A.-170 B.80 C.60 D.230 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=一2021，S6一2S3= 18,则S202%= () A.-2021 B.2021 C.2022 D.2023 3.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时， 对1+2+3十+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理， 该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因 此，该原理也称之为高斯算法.现有函数()=2则 f22)+23)+/2)+…+g82器)等于（） A.1010 B.1011 C.2022 D.2023 4.等差数列{am}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为 210,则此数列的项数为 () A.5 B.6 C.7 D.8 5.已知数列{an}的前n项和为S,且满足a,十a+1十a+2=cos3， a1=1,则S2023= A.0 C.1 6.已知正项数列{an}中，a1=1,a+1一a=l,则数列 1—的 am+1十an 前99项和为 A.4950 B.10 1 C.9 D.4950 7.若数列{an}满足an=(一1)"-1·（ 2n-1十2n+1,S,为其前n 1 1 项和，则下列命题正确的是 A.S <1 B.S,>1 C.Sn有最小值 D.S,无最大值 14选择性必修第二册 8设数列a,}满足a4京0：…a,a,则a,}的前n 项和为 ( A.(n-1)2"-1 B.(n-1)2"+1 C.(n+1)2m+1-1 D.(n+1)2m+1+1 9.(多选)已知数列{an}满足a1=1,a2=6,nam+1=入(n十1)an,n∈ N*,Sn是数列 的前n项和，则下列结论正确的有（) n A.λ=2 B.数列 an 是等比数列 C.数列 是等差数列 13” D.S,= 23-10 10.（多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Su+1=S.十2am十 1,数列{ 2” 的前n项和为Tm,n∈N”,则下列选择正确的 am·am+1 是 A.数列{a,十1}是等比数列 B.数列{am十1}是等差数列 C.数列{an}的通项公式为an=2”-1 D.T,>1 11.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=4,Sn=an+1(n∈ N*),数列 n+2 n(n+1)an+1 的前n项和为Tn,n∈N,则下列选项 正确的是 A.a2=4 B.Sn=2” cT≥ nT<号 12.数列123}5名76…(2a-10十…的前n项和s,的 值等于 1.设)=2若s=f202)+(++f层8》 则S= 14.若函数f()=n2sin(m∈N“),且an=f(n)+f(n+1),则a1 2 十a2十a3十…十a202= 15.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且a1=1,S3+S4=S. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn=(一1)”-an,求数列{bn}的前2n项和T2m· 16.已知数列(u,的前n项和S,满足S。-号(3+1-3)（∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知 ,求数列{bn}的前n项和Tm 从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后进 行解答. 2·3” 条件：06，=(2m+1Du.n∈N):②6，a.-a.1-Dn∈ N*);③bn=(-1)”·log3a2m+1(n∈N*). 注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分，(2)依题意有x≥0时，f(x)min≥g(x)max,由(1)知当x≥0时，f(x)min=f(1)=a 2,因为g'(x)=cosx-1≤0，所以g(x)在[0，十∞)上为减函数， 故当x≥0时，g(x)mmx=g(0)=0,则a-2≥0，即a≥2，故a的取值范围为[2，十∞). 18,解(1)S#5AcD=2os9+2sin0=sn0cos0叶sin0,0c(0,受）】 2 体积V=10(sin0cos0+sin0),0e(o,受)片 (2)V'=10(2cos20+cos0-1)=10(2cos0-1)(cos0+1). 令V=0,得c0s0=号或c0s0=-1. 又9e(o,受)0=子 当6∈(0，号)时，2<c0s01,V>0,V为增函数： 当0e(骨，)时，0Kcos0<号V<0,V为减函数， ·当体积V最大时，0=子 19.解(1)：f(x)=a(z-5)2+6lnx(x>0),f(x)=2a(x-5)+6(c>0). 令x=1,得f(1)=16a,f(1)=6-8a,.f(x)的图象在，点(1，f(1)处的切线方程 为y-16a=(6-8a)(x-1). :初线与y轴相交于点(0,6,6-16a=8a-6a=之 (2)由(1)知，f(x)=合(x-5)2+6nx(x>0),f(x)=(x-5)+9= (x-2)(x-32(x>0). 令f(x)=0,得x=2或x=3. 当0<x<2或x>3时，f(x)>0,f(x)在区间(0,2)，(3，十∞)上为增函数； 当2<x<3时，f(x)<0,f(x)在区间(2,3)上为减函数 所以f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3，十∞)，单调递减区间为(2,3). 故f)在x=2处取得板大值f2)=号+6ln2, 在x=3处取得极小值f(3)=2十6ln3. 20,解（①当a=时，f)=x(-1）-分2，f)=e-1+xe-x=(e-1+1D. 令f(x)=0,则x=一1或0，当x∈（一∞，一1）U(0,+∞)时，f(x)>0; 当x∈(-1,0)时，f(x)<0,故f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，(0，十∞)，单 调递减区间为（一1,0）. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令g(x)=e2-l-ax,则g(x)=e2-a. 若a1,则当x∈(0，十∞)时，g'(x)>0,g(x)为增函数，而g(0)=0,从而当x≥0 时，g(x)≥0，即f(x)≥0. 若a>l,则当x∈(0，lna)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，而g(0)=0,从而当x∈ (0,lna)时，g(x)<0,即f(x)<0,不符合题意. 综上，实数a的取值范围为（一o,1]. 21.解(1)当a=1时，)=e-x2-x-1,所以了(x)=e-x-1,令x) f(x),则t'(x)=e2一1， 因为t'(x)在R上单调递增，且t‘(0)=0,所以当x<0时，t(x)<0,所以f'(x)单调 递减，当x>0时，t(x)>0,所以f(x)单调递增，所以f(x)≥f(0)=0,所以f(x) 在R上单调递增. (2)证明：f(x)=e2-ax-l,设h(x)=e2-ax-l,则h'(x)=e-a,当x∈(0，ln a)时，h'(x)<0,则h(x)=f(x)在(0，lna)上为减函数，当x∈(lna,+∞)时，h (x)>0,则h(x)=f(x)在(lna,十∞)上为增函数， 所以h(lna)<h(0)=0,又当x→十∞时，h(x)→+∞，所以存在x'o∈(lna,十∞)， 使得h(x0')f(x0)=0,又x0为f(x)的极值点，所以x0'=x0,则e。-ax0-1=0, 所以a=-三，所以f()在(0，x0)上为减函数，在(0，十0)上为增函数， 又f(0)=0,当x→十∞时，f(x)→十∞，所以f(x)在区间(x0,十∞)内必存在一个 零点x1 f2x)=e24-2a(22-2-1=e4-221(2)2-26-1=e24-2ze4 2x0 66参考答案 -1,设g(x)=e2x-2xe2-1(x>0),则g'(x)=2e2x-2(x+1)e=2e2(ez-x-1) >0,所以g(x)在(0，十∞)上为增函数，所以g(x)>g(0)=0,所以f(2x0)=e2x。 2xoe。-1>0=f(x1),又f(x)在(x0,十o∞)上单调递增，所以x1<2x0,即x1-2x0 <0. 2.解(1)fx)的定义域为(0，+∞)，f(x)=2ax-1=2ar2-1 当a≤0时，f(x)<0,f(x)在(0，十∞)上单调递减，无极值，点. 当a>0时个f)-0,得z=要 当x(o,会)时，f(x)<0,f(x)在(0，)上单调递减，当x (绥，+)时f)>0,f)在（经+）上单调适增 故x=2时，f()取得极小值. 2a 综上，当α≤0时，f(x)无极值点，当a>0时，f(x)有一个极小值点，无极大值点. (2)①由题意得，方程ax2一lnx十1=0在(0，十∞)上有两个不等实根，即a= 血x1在(0，十∞)上有两个不等实根. 设g()=n1,x(0,+oo),则g(x)=3-2n工，令g(x)=0,得x=e,x∈ x2 x3 (0,e是)时，g(x)>0,g(x)单调递增，x∈(e是，十o∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 且当x→0时，g(x)→-o∞，当x→十∞时，g(x)→0，且g(x)>0,x=e登时，g(e)= .1 2e3, 故实教a的取值范离为(0，记）厂 ②证明：不妨设0<x1<x2,由已知得，a.x-lnx1+1=0,ax号-lnx2十1=0，两式相 减得，a= 血血，要证十2>y②@，只需证(1十22>2，只需证西1十> x1-x吃 a 2(x1-x2） 2(-1） 2-2》,即证1n4< In x1-In x2 ,只需证lnx1-lnx2< x1十x2 ”x2 1十1 令t=(0<t<1),上述不等式变形为(t+1)lnt<2(t-1),令h(t)=(t+1)lnt-2 x2 (t-1),0<t<1, 则@=ln+}-1,令m0=0,则ma)=是-是-=学<0，所以m0= h'(t)在(0,1)上单调递减，又h'(1)=0,所以h'(t)>0在(0,1)上恒成立，所以h(t) 在(0,1)上单调递增. 又因为h(1)=0,所以h(t)<0, 即(t+1)nt<2(t-1),原不等式得证. 第二部分重点强化卷 重点强化1数列的递推公式和通项公式 1.C由am+1=an十n+1得an+1-an=n+1,…an-an-1=n,an-1-an-2=n-1, am-2一am-3=n一2，…，a2一a1=2,各式相加得an-a1=2十3十…十n= a=,m+2,又a1=1a,=1+m-1)m+2,a0=1+9X12-55.故选C 2 2.D代入验证，可知①②③均可以作为√2,0，W2,0,√2,0，…的通项公式.故选D 3.D由条件an+2=an+1一an,可知an+3=an+2一an+1,两式相加可得an+3=一an,即 am+6=一an+3=an,所以数列{an}是周期为6的周期数列，所以a1o0=a16x6+4=a4 =一a1=一1.故选D. 4.B结合图象易知，a1=1,a2=3=a1十2，a3=6=a2+3,a4=10=a3十4，.am=an-1 十n,n∈N,n≥2.故选B 5.A因为m0+1=(n十1)an十1(n∈N*),所以2=0十1=0+1-1 ina(+D1' 所以十十+日脚会+日}为常数列.又1=1，所以会+是-9+号 =2,将以空器+记2=2，解骨阳=40g,放选A 6.C令b=“+2,则+1=20十20，+2+1 2m+1十2 bn a +2 2n 2+2 是又=号+23，所以 6,}是以3为首项，号为公比的等比数列，所以6，-+2=3×(2）》”，得a,=2 2n X3-2n+1.故选C. 7.C因为an=2am-1-n+2(n≥2，n∈N*),所以an-n=2[an-1-(n-1)](n≥2，n∈N*). 因为a1=3,所以a1一1=2，所以数列{am一n}是首项和公比都是2的等比数列，则an -n=2”,即an=2十n,n∈N*,因为an-a-1=2m-1十1>0(n≥2，n∈N*),所以数 列{an}是递增数列，又因为ag=521<980,a10=1034>980,所以满足am>980的n 的最小值是10，故选C. 8.B因为a1+2a2+3a3+…十an=2m-1,所以n≥2时，a1+2a2十3a3十…+(n-1) ag-1=2-1-1,两式相减，得na=20-20-1=2=1,即a,=2,(n≥2，n∈N*),又 1时.得a-2-1=1也符合a-2号，所以aEN”时a=2 ,所以2a2+ 5a5=22-1+25-1=18.故选B. 9.CDx1=a,x2=b,x3=x2-x1=b-a,x4=x3-x2=-a,x5=x4-x3=-b,x6= x5一x4=a一b,x7=x6一x5=a=x1,x8=x7-x6=b=x2,∴.{xn}是周期数列，周期 为6，x2022=x6=a-b,A不正确；x2023=x1=a,B不正确； x2023=x1=x13,C正确；x1十x2十…十x2023=x1=a,D正确.故选CD 10.ABD 'an+2-an=2①，.当n≥2时，an+1-an-1=2②，①+②得(am+2+an+1) -(am一am-1)=4,则(a1十a2),(a3十a4),(a5十a6),…是公差为4的等差数列，故 A正确； ①-②得(an+2-a+1)-(an-a-1)=0,则(a2-a1),(a4一a3),(a6一a5),…为常 数列，故B正确； a1=1,am+2-am=2,.数列{a2m-1}是首项为1，公差为2的等差数列，即a2m-1= 1+(n一1)×2=2一1，故C不正确； b1o0=-a1十a2-a3十a4-…-agg+a1o0=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a1o0 ag9),又(a2-a1),(a4-a3),(a6-a5),…是常数列，a2-a1=2,.b1o0=50X2= 100,故D正确.故选ABD. 1l.AC因为2a品=a层-1十a品+1(n≥2)，a1=1,a2=2.所以数列{a品}是首项为1，公差 为22-12=3的等差数列，所以a品=1十3(n-1)=3n-2,又{am}为正项数列，所以 an=√3n-2,则ag=5,故A正确； 1 60+a1y3m2+y3m千3(3n+-√3n-2),故B错晟： T,=号×[4-1)+(w7-④++(3m+I-V3m-2]=号(8m+I-1, 则T8=号×10-1)=3，故C正确： 因为教数列{口》是首项为1，公差为3的等差数列，所以其前n项和为n(③-1)，易知 2 {a品}的前n项和不等于Sm,故D错误，故选AC. 12.解析由2Sn=(n十1)an(n∈N*),得当n≥2时，2Sn-1=nan-1,两式相减，整理得 2am=(n+1)an-nan-1,即(n-1)an=an-1(n≥2，n∈N*). 易如a0,所以产2a∈N) 又a2=4,所以当=2时，2S2=2(a1十a2)=3a2=12,即2·(a1+4)=12,所以a1 2所以4品…号a号…音导2 a2 al =2n(n≥2，n∈N*),经验证，当n=1时也符合上式，所以数列{an}的通项公式an =2n(n∈N*). 答案2n 13.解析由题意可得a品+1一a员=4，a=4,所以数列{a品}是以4为首项，4为公差的等 差数列，所以a员=4十4(n一1)=4n,又{an}的各项均为正数，所以am=2√m. 答案2√n 14.解析易知a≠0，：a+1=,3 B国为e)=2所以a+1-年e千2年e十+2x 41-x 42 4 (侵十号)又十-1十}是首项为1，公此为3的等比数时…十 a an -1,今s=f(02s)+f(2)+(282)++f(38器)则s=f(号8器)+ an 20n1 =3-1=3-1- 2 3w-1-12X3m-1-1 f(号82）+f(号82）)+…+f(2023),所以两式相加得2S=1×202,解得s= 2 1011,故选B. 答案 2 2X3"-7-1 4.B由题意知a1十a2十a3十a4=124,an十an-1十an-2十an-3=156,.4(a1十an)= 280,∴.a1+am=70. 15.解析因为am+1=3a号十12an十10，所以an+1十2=3(am十2)2，易知an十2>0，所以 log3(am+1十2)=21og3(an+2)+1=2[log3(an+2)+1],所以{log3(an+2)+1}是 又5，n@la2-号·70=210，a=6.故达B 2 以log33十1=2为首项，2为公比的等比数列，所以1og3(an十2)十1=2”，所以an= 5.CS2023=a1十(a2十ag十a4)+(a5十a6十a7)+…+(a2021+a22+a2023) 32°-1-2. 1+cso0co 3 3 答案32-1-2 16.解析由a号-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an十1)=am·(an十1). =1+37×(eos号+cos）=1.故选C 又7a,>02=日又a1=1a,}是首项为1，公比为号的等比发别， 6.C因为a品+1-a品=1且a=l,所以数列{a品}是以1为首项，1为公差的等差数列， an 所以a员=1十n-1=n,又因为数列{an}为正项数列，所以an=√元，所以 1 n+1十an .aw-20可 1 1 n+I-n 答案2n可 1 V+T+厉-(+（√-而=一历+干百，所以数列 {，1}的前99项和为-1+2-2+5--√9g+V100=10-1=9.故 7.解析由题意可知aa1S士，因此u1一a号+1m≥2mEN),所 选C. 以a+1-a-1=g-S=a-15-ns=a-1a,-S1 7.C当a为奇条时8=1+日号号+日+片+十2中7=1十2 1 n n-l n(n-1) n(n-1) n-1Da,-[a=1Da,-(n-1D]_n-l≥2，m∈N*),因此at1-an=2-（n >1,此时当=1时8取得最大位，为号当为%数时，S=1十宁一号吉十号 n(n-1) n n 1 ≥2，n∈N*),则a2022-a2021=2-2021-202i 14041 十号1<1，此时当-2时8取得最小值，为告 答案号8淵 综上，S。的最大值为号最小值为告故选C 1 2z0十十2a,=,当n≥2时a1十742十20 1 8.Ba1+2a2 1 18.解(1)当n=1时，a1=S1=5; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3m+2)-(3m-1+2)=2·3m-1,a1=5不满足上式， 装a-gg22 a1=n-1,两式相减，誉理得2a.=1(n≥2，n∈N)a,=21(n≥2，m∈ N*).当n=1时，a1=1,也满足am=2m-1. (2)当n=1时，a1=S1=12-1=0,当n≥2时，an=Sn-Sm-1=(n2-n)-[(n-1)2 综上所述，an=2m-1,.nan=n·2n-1. -(n-1)]=2n-2,又a1=0满足am=2n-2,故am=2n-2. 设数列{nam}的前n项和为Sm,则Sn=1×20+2×21十3×22+…+(n-1)·2m-2十 19.解由an+2=6an+1-8an,得an+2-2an+1=4an+1-8an=4(an+1-2an),又a1= n·2m-1,2Sn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)·2m-1+n·2m,.-Sm=1-n· 1,a2=3,∴.an+1-2an=4(an-2an-1)=42(an-1-2an-2）=…=4"-1(a2-2a1)= 2+(21+2+…+2-1)=1-n·2m+21-2g）=1-0.20-1,5.=0m-1） 4m-1,即an+1-2an=4-1.① 1-2 由an+2=6an+1-8an,得an+2-4an+1=2an+1-8an=2(an+1-4an）,又a1=1, ·2m+1.故选B. a2=3,.an+1-4an=2(an-4an-1)=22(am-1-4an-2）=…=2m-1(a2-4a1）= 9.BCD由题可知当n=1时，a2=2λa1,又a1=1,a2=6,.λ=3，故A选项错误； -2m-1,即an+1-4an=-2m-1.② 0+1=30m十1)a,中-30≠0，又号-1≠0，B追项正骑： n+1 n ①-②，得2an=4m-1十2m-1,∴.an=2X4n-2+2m-2. 重点强化2数列的求和 6.=a2,器…2兰=1xX2×3×X-…8,-号，易 al az an-1 1 2 知C选项正确； 1.C法-：由an+2=an十(-1)"，n∈N*得a2+2=a2+1,a2+1=a2-1-1,k∈N*, 所以a2k+1十a2k+2=a2k-1十a2k=…=a1十a2=3,所以数列{an}的前40项之和为 S.-1十3十9十…十g1X3-合(g-1》,截D接项正晚故造CD. 1-3 20(a1+a2)=60. 10.AC因为Sn+1=Sn+2an十1，所以an+1=Sn+1-Sn=2an+1,所以an+1十1=2an 法二：易知数列{αn}的奇数项是公差为一1的等差数列，偶数项是公差为1的等差数 列，前40项中奇数项有20个，其和为20a1+2019X(-1),偶数项有20个，其和 十22十1，易知a>0,所以-2，又a1十1=2，所以数列{a.+1》是清 2 项为2，公比为2的等比数列，故A正确，B错误； 为20a2+20X19X1,数列{a,}的前40项之和为20(a1十a2)=60.故选C. am十1=2m,即an=2-1,故C正确； 因为2” 2n 2.D(1)设等差数列{an}的公差为d. ana+1-(20-1D(2+1-D20-12+-,所以Tn-2-12- :a1=-2021,56-2S,=18,6a1+6X5.d-6a1-2×32.d=18,整理可得 11 2 22-123-1 +…+20一2+-=1一2+-1<1，故D错误. 9d=18,解得d=2. 故选AC. 则52023=2023X(-2021)+2023X202×2=2023.故选D. 11.ACD由a1=4,Sm=am+1(n∈N*),得a2=S1=a1=4,故A正确；S2=a1十a2=8 2 =23≠22，故B错误； 由Sm=an+1,得n≥2时，Sm-1=a,所以n≥2时，an=Sn-Sn-1=an+1-an,易知 所以+2所以m≥2时a,=4×22=2,令b。☑%月 an 1+2=3 n+2 n+21 1 0+ag-8m≥2时6，=n十an+1nm+1D27-n·2m+1D·20T' T-a一音≥2时，=景+2中议82十+2 1 1 1 n·2n +2号a+m<分且≥合-32-贵骨所以a 1 1 N'时，≤I,<合故CD正骑，故选ACD 12.解析记教列的第n项为a依题意得a,=(2n一1)十只S。=[1+3十5十…十 2-+号++++》-g-少- 1一2 =+1- 答案+1 41-x2 13.解析fx)=4+2心f1-)=4-:+22十4 2 心fx)+f1=x)二4+2+24 =1. s=(2dz)+(品)++r22),0 s=f(282a)+(292器)++f(22),@ ./2022、 1 ①+@得2s-[(22)+/(382)】+[r(g2)+f(38)] …十 [(g8)+f(204】-202as-29 2 答案2023 2 14.解析f(m)=n2sin罗(n∈N),∴f1)=1,f(2)=0,f(3)=-32,f(4)=0,…, 可得f(2-1)=4k2sinkπ=0，k∈N·,f(2-1)=(2k-1)2sin(2k,1)π=（2克- 2 1D2(-1）-1,f(2k+1）=(2k+1)2sin2k,1)x=(2k+1)2(-1),又a.=f()+ f(n+1),.a2k-1=f(2k-1)+f(2k)=(2k-1)2(-1)k-1,a2k=f(2k)+f(2k+1) =(2k+1)2(一1). a2-1+a2%=(2k-1)2(-1)-1+(2k+1)2(-1)=(-1)k·8. 则a+a2十a3+…+a2022=8×(-1+2-3+4+…+-1009+1010-1011)=-4048. 答案一4048 l5.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由S3十S4=S5可得a1十a2十a3=a5,即3a2= a5,∴.3(1+d)=1+4d,解得d=2..am=1+(n-1)×2=2n-1. (2)由(1)可得bn=(-1)”-1·(2n-1). .T2m=1-3+5-7+…+(2n-3)-(2n-1)=(1-3)+(5-7)+…+[(2n-3) -(2n-1)]=(-2)×n=-2m. 16.解1)因为S。=合(3+1-3)，所以当m=1时，a1=3. 当≥2时，0，=S,-S。1=号（8+1-3)）=3，又因为a1=3也满足a,=3,所以 数列{an}的通项公式为an=3”. (2)选择条件①：由bn=(2n+1)·an=(2n十1)×3”，可得Tm=3×31+5×32+7× 33+…+(2n十1)×3”，3Tn=3X32+5×33+7×34+…+(2n十1)×3m+1,两式相 减得-2Tm=9+2×(32+33+…+3m)-(2n十1)X3m+1 =9+2×321-3-)-(2十1）·3+1=9-(9-3m+1)-（2m十1）X30+1=-2m 1-3 ×3m+1,故Tm=n·3+1. 选择条件②：由(1)知an=3”, 2·3m 2·3m 1 所以6，-a.-@+1-D3-(3+1-3n13+i- 参考答案67 所以工.=6+g++…+6.=(13)+(313-）+…十 (1-1）=11 3n1一3m+1-1)=2一3m+1-1 选择条件③：bn=(-1)n·log3a2m+1=(-1)”·(2n十1)，当n为偶数时，Tm=(b1十 b2)+(b3十b4)+…+(bn-1+bn)=(-3+5)+(-7+9)+…+[-(2n-1)+(2n +1)]=2×号=元 当n为奇数时，Tm=b1+(b2十b3)+(b4+b5)+…+(bn-1+bn)=-3+(5-7)+ (9-11)+…+[(2m-1)-(2m+1)]=-3+(-2)×"2号=-n-2. 2 岭上清递，数列6，的简n项和T。一巴为药寺数 重点强化3利用导数研究不等式 l.B存在x∈[-3,3]，使得f(x)≤a成立，等价于f(x)min≤a. f)=-32-4红+4=-3(e-号)x+2),令f()=0,得z=号或=-2，当 x<-2或>号时，x)0,当-2<<号时，fx)>0,所以当x=-2时，fx) 取得板小值，为f(-2)-8,当x=号时，f()取得模大值，为f(号）=铝当x= 一3时，f(一3)=一3，当x=3时，f(3)=一33，所以f(x)的最小值为一33，所以a≥ 一33，故选B. 2.A令g(x)=x-f(x),则g(x)=e2-(a-1)x. 若a=1,则g(x)=e>0,f(x)≤x成立. 若1<a1十e,则g(x)=e一(a-1). :当x<ln(a-1)时，g'(x)<0;当x>ln(a-1)时，g'(x)>0. .g(x)在(-o∞，ln(a-l)上单调递减；在(ln(a-1),十∞)上单调递增. ∴.g(x)≥g(ln(a-1)=ena-1D-(a-1)ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)]. 又1<a≤1+e→e≥a-1>0,ln(a-1)≤lne=1,∴.(a-1)[1-ln(a-1)]≥0. .g(x)≥0，即f(x)≤x恒成立. 综上，当l≤a≤1+e时，f(x)≤x.故选A 3.A令g)=f四(x>0),则go=tf)-2afd=f)2fm(>0. xf(x)>2f(x),∴.g'(x)>0,.g(x)在(0，+o∞)上单调递增，g(2021)<g(2 022),即f202<f2022,20212f(2022)>2022f(2021).故选A. 20212 20222 4.D对于A,令f(x)=x-sinx,x∈(0，)，由f(x)=1-cosx>0,则f(x)在 (0,)上单调递增，则f(x)>f(0)=0→x-sinx>0→x>sinx,不等式成立， 对于B,令f)=x1-1nx,xe0,十∞)，则fx)=1--,当xE(0,D x 时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(1，十o∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，则f(x) ≥f(1)=0→x-1-lnx≥0→x-1≥lnx,不等式成立； 对于C,令f(x)=ex一x一1，x∈R,由f(x)=ex一1，当x∈（一∞，0）时，f(x)<0, f(x)单调递减，当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增，则f(x)≥f(0)=0→ ex-x-1≥0，不等式成立； 对于D,令f(x)=lnx+1-e2,x∈(0，+∞)，当x=1时，f(1)=1-e<0,所以不等 式不成立.故选D 5.B3x1,x2∈R,使得f(x2)≥g(x1)成立，则f(x)max≥g(x)min,由题得f(x)= -e-1+(1-x)ex-1=-xex-1,当x>0时，f(x)<0,当x<0时，(x)>0,所以 函数f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减，所以f(x)max=f(0)= 是，易知gxm=g-1D=a,a≤故选B 6.A由题意，函数f(x)=2x+sinx的定义域为R,关于原点对称，且f(一x)= 一f(x),所以函数f(x)为奇函数，因为f(x)=2十cosx>0,所以函数f(x)为R上 的增函数，若f(血x+是)+f-1D≥0时任意x(0,2]恒成立，则f(血x+是)≥ f(1)对任意x∈(0,2]恒成立，即lnx十2≥1对任意x∈(0,2]恒成立，即a≥x xlnx对任意x∈(0,2]恒成立，设h(x)=x-xlnx,x∈(0,2]可得h'(x)=一lnx,当 0<x<1时，h'(x)>0;当1<x≤2时，h'(x)<0,所以h(x)在(0,1)上单调递增，在 68参考答案 (1,2]上单调递减，所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1，即实数a的取值范围为 [1,十∞).故选A. 7.Dxa=ehr=ealn,.原不等式即为er-x≤eamx-alnx,a>0且x>l, .alnx>0,设y=e2-x(x>0),则y'=e-1>0,故y=e2-x在(0，十o∞)上是增 函旅alh,中≥会中存在1，十e),使≥2a≥（后）设 fx)=2>10,则f)=h,当x∈(1，e时，f(x)<0,当r∈(e,十o) In2x 时，f(x)>0,.f(x)在(1，e)上单调递减，在(e,十o)上单调递增，·f(x)min= f(e)=e,∴.a≥e..a的最小值为e.故选D. 8.A当a≤0时，f(2)=ae2一1<0，不满足题意，舍去，所以a>0. 令fe)-ae-la-1D-1>1D,则f）-ae-六片[ax-) ex],令g(x)=a(x-1)-ex,则g(x)=a十ex>0,则g(x)在(1，十o∞)上单调 递增，易知g1)=-日<0，g(1+)>0,所以存在唯-o∈(1,1+)使得8 （a）-0,pa。-1D-则a0当ze1)时，ge)0.则了a 0,f(x)单调递减，当x∈(x0,十∞)时，g(x)>0,则f(x)>0,f(x)单调递增，所以 fm=fa)=ae6-a(。-1)-1=la(,-1D-1≥0恒成立. 金h()h(红=D-l,zE1,+o）,则h)D20,所以h 在(1，十∞)上单调递减，又h(2)=0,所以f(x0)≥0台h(x0)≥h(2),所以1<xo≤2. 又因为a=,0-D,且p(x）=D在1,2]上单调递成，所以a∈ [3+o)故选A 9.ADA递项，周为>-1，令1=十1>0，/)=n+1,周了=日月 =号，所以室0心1时)=分<0，中单是减 2 当>1时，f(0)-学>0，即了)单调遥增，所以f0)m=f1)=0,即f0) 1n叶-1≥0，即n≥月，即1n(+1D≥千>-1海成立，故A正璃： B选项，令fx)=1nx-(e-）,x>0,则f(x)=-合(1+)= 2z=-1=-x21)<0显然恒成立，所以f(x)=lnx-2(x-）在x>0上 2x2 2x2 单调运减，又f1)=0,所以当x∈(0,1)时，f(x)>寸(1)=0，即mt>号 (2-),故B错， C选项，令f(x)=ex一x一1，则f(x)=ex-1,当x>0时，f(x)=ex一1>0，所以 ∫(x)单调递增； 当x<0时，f(x)=e-1<0,所以f(x)单调递减，则f(x)≥f(0)=0,即e≥x 十1恒成立，故C正确； D选项，令f(x)=cosx-1+号2，则f(x)=-sinx十x,令h(x)=f()=-8in x十x,则h'(x)=-cosx十1≥0恒成立，即函数f(x)=-sinx十x单调递增，又 f(0)=0,所以当>0时，f(x)>0,即f(x)=c0sx-1十7：2单调递增， 当z<0时，f(x)<0,即f(x)=c0sx-1+号2单调递减，所以f(x)n=f(0) =0,因此c0s≥1-号2恒成立，故D正魔.故选ACD l0.CD易知函数f(x)=ex-1在(0，e)上单调递增，又0<x1<x2<e,所以f(x1)< f(x2),(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,A不正确； 取x1=1,x2=2,则x2f(x1)-x1f(x2)=2(e-1)-(e2-1)=e(2-e)-1<0,即 x2f(x1)<x1f(x2),B不正确； 令g(x)=f(x)-x,x∈(0，e),则g'(x)=e2一1>0，所以g(x)在(0，e)上单调递 增，又0<x1<x2<e,所以g(x1)<g(x2),即f(x2)-x2>f(x1)-x1,即f(x2)- f(x1)>x2-x1,C正确； 1)f-单-1>·e-1=e中-1-f(色)D正确，故 2 2 选CD. 11.BCD由题意，x2>1>0,得2-1>0，则1l血2二2l血西<2 x2一1 等价于x1lnx2-x2lnx1<2(x2-x1),即x1lnx2+2x1<x2lnx1+2x2,所以 m+2)<m1十2》，则血+2n+2,令f0)=n+2(x>0),可 2x1 得f(x2)<f(x1),又x2>x1>m,所以f(x)在(m,十o∞)上是减函数，所以f(x)= -n<0(x>m）,解得x≥，则m≥是，故选BCD, x2 12.AB对于A,令g(x)=xf(x),则g'(x)=f(x)十xf(x)>0,故g(x)在R上单调 递增，所以1X了<2X2,即四<2，故A中说法候误， 对于B,令A(x)=fD,则hK()=f)f,因为当x>0时，zf()-fx) <0,所以K()=工f)f)<0,即h(z)=fe在(0，十0)上单调递减，所以 hIn2)>h(e),即fn,2>f@,故ef(n2)>1n2·f(e),故B中说法错误； In 2 e 对于C,令M(x)=x2f(x),则M(x)=2xf(x)+x2f(x)=x[2f(x)十xf(x)],所 以当x>1时，M(x)>0,故M(x)在(1，+∞)上单调递增，又M(1)=12×f(1)= 0,所以M(x)>M(1)=0,即x2f(x)>0,所以f(x)>0,故C中说法正确； 对于D,令t(x)=f)+2,则t(x)=Lfx)+2]'e2-c2)yLf)+2] (e2x)2 f(x)-2fx)-4>0,所以t(r)在R上单调递增，因为f(0)=-1,所以t(0)=1, 所以当>0时，t)>1,即f)+2>1,所以fx)+2>e2,故fx)+2>e2:的 解集为(0，十∞)，故D中说法正确.故选AB. 13.解析令x=1,则f(1)=f(-1)十f(1)一1，得f(一1)=1，令x=-1,则f(-1) =f(-1)-f(1)-1,得f(1)=一1，所以f(x)=x2x一1，该函数图象的对称轴为 直线x=合，且该画数图象开口向上，所以当z[0,2]时，f)的最大值为f2)=4 一2-1=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（一∞，1]. 答案(-∞，1] l4.解析由f(x)=aex-1-lnx十lna≥1得aer-1+lna≥lnx+1,两边同时加 (x-l),得elna+x-1+x+lna-1≥lnx十x,即eha+x-1+(x+lna-l)≥lnx 十emr. 设g(x)=x十e,则g'(x)=1十e>0,所以g(x)单调递增，所以lna十x-l>lnx, 即x-lnx+lna-1≥0. 设A()=x-1hx+lna-1,则W()=1-士，所以A(x)在(0,1D上单调递减，在 (1,十o∞)上单调递增，所以h(x)min=h(1)=lna≥0，所以a≥1，所以a的取值范围 是[1，+∞). 答案[1，十∞) 15,解析设f)=nx一2+2剥f)=是吕=，因为a>0,所以当z (0,a)时，f(x)<0,则函数f(x)单调递减，当x∈(a,十∞)时，f(x)>0,则函数 f(x)单调通增，所以f(x)m=f(a)=lna-1≥b,则≤na,令g(a)= a na-1,则g(a)=1-na+1-2-na.由g(a)=0可得a=c2,所以当a∈ a a2 (0,e2)时，g'(a)>0,则函数g(a)单调递增，当a∈(e2+∞)时，g'(a)<a,则函数g @单丙是或所以8ago-血=·即台的展大雀为 e2 1 答案2 16.解析①当x=1时，原不等式不成立 ②当>1时，由x2一a(x-De心<0恰有一个整教解，得e<a怡有一个整 数解