圆锥曲线单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

南京市励志高级中学创新班 圆锥曲线单元测试卷 命题人：蒋恒峰 审核人：蒋恒峰 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 2．已知抛物线方程为则焦点到准线的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，准线为，点与点关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，则当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 6．抛物线与直线相交于两点，线段 AB 的中点横坐标为5，又抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离为，则（    ） A．或1 B．或3 C．或 D．或1 7．已知抛物线的焦点为F，，点P在抛物线上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点N．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则平分 C．若，则 D．若，延长AO交直线于点D，则D，B，N三点共线 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 10．已知抛物线：的焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，且A在x轴上方，过A、B分别作的准线的垂线，垂足分别为、，则（    ） A． B．若，则A的纵坐标为4 C．若，则直线AB的斜率为 D．以为直径的圆与直线AB相切于F 11．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线，则下列命题中，可能成立的是（   ） A．曲线上所有的点到点的距离大于2 B．曲线上有两点到点与的距离之和为6 C．曲线上有两点到点与的距离之差为2 D．曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．抛物线上的动点到点的距离之和的最小值为 ． 13．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 . 14．已知抛物线.其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形面积的最小值为 . 四、解答题（本题共6小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．求适合下列条件的曲线的标准方程. (1)实轴长为，焦点坐标为，求双曲线的标准方程； (2)焦点在轴正半轴上，且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程. 16．已知抛物线：的焦点坐标为． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线：与抛物线交于，两点，求弦长． 17．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 18．在平面直角坐标系中，曲线上的点均满足到点的距离等于到直线的距离． (1)请说明曲线是什么曲线，求曲线的标准方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，证明：为钝角三角形． 19．证明抛物线的焦点在切线上的投影的轨迹为过顶点的切线． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A D C D AC BCD 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 2．D 【分析】根据抛物线的方程，分别求出焦点与准线，进而求出它们的距离；或根据抛物线的几何意义可知焦点到准线的距离为，亦可解之. 【详解】因为抛物线方程为，故，即，， 法一：所以抛物线的焦点为，准线为， 所以焦点到准线的距离为； 法二：根据抛物线的几何意义，可知焦点到准线的距离为. 故选：D. 3．B 【分析】由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，根据弦长公式即得. 【详解】由题可知，由，可得， 所以，所以以为直径的圆的半径是，圆心为， 所以，， 解得， 所以抛物线方程. 故选：B. 4．C 【分析】根据点与点关于直线对称列出方程，求解即可． 【详解】由题意知，准线方程为， 根据对称性得，因此， 故的方程为， 故选：C． 5．A 【分析】利用坐标法去表达焦半径然后由方程组可得一元二次方程韦达定理，然后把转化为根与系数关系，然后消去系数，利用这个定值，可求出最小值，从而可得成立条件，即可求出面积. 【详解】    由过点的直线可设为，与抛物线，联立消去得： ， 设交点，则 由 ， 取等号条件是， 此时. 故选：A. 6．D 【分析】由题可得，利用点到直线的距离可得，进而即得． 【详解】抛物线，焦点． 由，联立两个方程得：． ， ∴，∴， 由题设可知，， ∴， 又焦点到直线的距离为．可得， ∴， 所以或. 故选：D． 7．C 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可求解． 【详解】过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为Q，则， 当且仅当A，P，N三点共线时，等号成立. 故选：C.    8．D 【分析】根据求出焦点为、点坐标，可得直线的方程与抛物线方程联立得点坐标，由两点间的距离公式求出可判断AC； 时可得，．由可判断B； 求出点坐标可判断D. 【详解】如图，若，则，C的焦点为，因为，所以， 直线的方程为，整理得，与抛物线方程联立得 ，解得或，所以， 所以，选项A错误； 时，因为，所以．又， ，所以不平分，选项B不正确； 若，则，C的焦点为，因为，所以， 直线的方程为，所以， 所以，选项C错误； 若，则，C的焦点为，因为，所以， 直线的方程为，所以，直线的方程为，延长交直线于点D，所以则， 所以D，B，N三点共线，选项D正确； 故选： D. 9．AC 【分析】根据抛物线的定义和几何性质求解即可. 【详解】由题可知,由，， 所以，. 故选：AC． 10．BCD 【分析】设直线AB为及交点坐标，利用韦达定理可得，对A：结合向量垂直的坐标表示分析判断；对B：根据抛物线的定义运算求解；对称：结合向量的坐标运算求解；对D：根据直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】由题意可得：抛物线：的焦点，准线， 设直线AB为，则， 联立方程，消去y可得：, 则， 对A：∵， ∴， ∴不相互垂直，A错误； 对B：∵，则或（舍去）， ∴A的纵坐标为4，B正确； 对C：∵，且， ∴，则，解得或（舍去）， 故直线AB的斜率，C正确； 对D：∵， ∴的中点到直线AB的距离， 又∵， 故以为直径的圆与直线AB相切于F，D正确； 故选：BCD. 11．BD 【分析】根据已知条件得出点的轨迹方程为直线，应用点到直线的距离判断A，应用椭圆定义及双曲线定义计算判断B，C，应用抛物线的定义，联立方程组应用判别式判断D. 【详解】设，则由已知可得， ， 所以，点的轨迹方程为直线：． 对于A，点到直线的距离，故A错误； 对于B，根据椭圆的定义可知，到点与的距离之和为6的点在椭圆上，设椭圆方程为， 则，，所以，， 所以，椭圆方程为． 当时，直线方程为，显然与椭圆有两个交点， 即曲线上有两点到点与的距离之和为6，故B正确； 对于C，根据双曲线的定义可知，到点与的距离之差为2的点的轨迹为双曲线的一支． 设双曲线的方程为， 则，，所以，， 所以，双曲线的方程为． 因为双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为2， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行或重合， 所以，直线与双曲线一支最多有一个交点，故C错误； 对于D，当时，根据抛物线的定义可知，到点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹为抛物线． 由已知可设抛物线的方程为， 联立可得，， ， 所以，当时，直线与抛物线有两个交点， 即曲线上有两点到点的距离与到直线的距离相等，故D正确． 综上所述，可能成立的为BD． 故选：BD． 12． 【分析】结合抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设是抛物线上的任意一点，则题目所求为的最小值， 过作，垂足为， 根据抛物线的定义可知， 所以题意所求为的最小值， 根据图象可知，当三点共线时，的值最小， 故最小值为. 故答案为： 13．5 【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，， 由消去得，则，由，得， 联立解得或，因此，所以. 故答案为：5 14．32 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，设其两根为，求出，由抛物线的定义求出，同理求出，据此即可求解. 【详解】 依题意知,直线的斜率存在且不为0, 设直线的方程为, 与抛物线方程联立,得， 消去,整理得, 设其两根为,则. 由抛物线的定义可知，, 同理可得,四边形的面积. 当且仅当时等号成立,此时所求四边形面积的最小值为32. 故答案为：32 15．(1) (2) 【分析】（1）由实轴长得到，由焦点坐标得到焦点位置和，再由，即可求出双曲线的标准方程； （2）由抛物线标准方程相关概念求解即可. 【详解】（1）∵双曲线的一个焦点坐标为，为轴上一点， ∴设双曲线标准方程为（，），且， 又∵双曲线实轴长为，∴，， ∴， ∴双曲线的标准方程为. （2）∵抛物线焦点在轴正半轴上， ∴设抛物线的标准方程为（）， 又∵抛物线焦点到准线的距离是，∴， ∴抛物线的标准方程为. 16．(1)； (2). 【分析】（1）由焦点坐标确定参数，即可得抛物线方程； （2）联立直线与抛物线消去y，应用韦达定理和弦长公式求. 【详解】（1）由题设，即:. （2）联立与，消去y整理得，显然， 所以，，故.    17．(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程为，,，,，利用韦达定理及可得，，，进一步求出的中点坐标，然后求出直线的方程即可求解． 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． 18．(1)曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，标准方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的概念判断曲线的形状，并确定其标准方程. （2）先判断直线斜率存在，设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到与的值，利用的符号判断的形状. 【详解】（1）设是曲线上任意一点，点到直线的距离为． 由题意，得点不在直线上，且． 由抛物线的定义知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线． 因为，直线，所以曲线是开口向上的抛物线． 设抛物线的标准方程为，则， 所以抛物线的标准方程为． （2）证明：因为直线与抛物线交于，两点，所以直线的斜率存在，设为． 因为直线过点，所以直线的方程为． 设，． 由消去，整理得， ，则，． 因为， 所以． 因为点，，不共线，所以和的夹角为钝角， 所以为钝角三角形． 19．证明见解析 【分析】设点，求出切线的方程，再利用垂直关系，可得，即可得证； 【详解】如图，设点， 切线的方程为． 因为 故， ，即， 即，即，得． 即为抛物线过顶点的切线． 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $