作业(四)一元二次函数与一元二次方程、不等式-【假期作业】2026年高一数学寒假假期作业（北师大版·新教材）

[每日格言]恐惧自己受苦的人，已经因为自己的恐惧 作亚（四） 一元二次函数与一元二次 1知识整合 设一元二次方程a.x2十bx+c=0(a>0) 的两根为x1,x2,且x1≤x2,△=b2-4ac,则 不等式ax2十bx+c>0或ax2+bx十c<0 (a>0)的解集的各种情况如下表： △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx +c(a>0) 的图象 0x1=x2 ax2+bx+ 有两个不相等 有两个相等的 c=0(a>0) 的实数根x1, 实数根x1= 没有实数根 的根 x2(x1<x2） b x2=- ax2+bx+ {x|x<x1或 c>0(a>0) {≠会》 R x>x2} 的解集 ax2+bx+ {x|x1<x< <0(a>0)〉 财 g x2} 的解集 2基础演练 1.使y=√一x十2x十3有意义的x的取值范 围是 () A.{x|-1≤x≤3} B.{x|x≤-1或x≥3} C.{x-3≤x≤1} D.{x|x≤-3或x≥1} 2.不等式x(x一2)<0成立的一个充分不必 要条件是 ( A.{x|0<x≤2} B.{x|0<x<2} C.{x|0<x<1} D.{x|x≤0} 在受苦。 高一数学（配BSD版） 今 月 日 方程、不等式 星期 天气 3.(2025·马鞍山二中高一期中)已知不等式 x2+bx+c<0的解集为{x3<x<4},则 cx2+bx+1>0的解集为 A.{a-3<<-》 B<引 C.{z<,或x> D.t<-3,或x>- 4.(多选)已知关于x的不等式a.x2+bx+ c>0的解集为{x|x<一2或x>4},则 ( A.a>0 B.不等式bx十c>0的解集为{xx<一4} C.a+b+c>0 D.不等式cx2一bx+a<0的解集为 {z<-或>号 3综合演练 1.(2025·泸州市合江县中学高一期中)若函 数y=x2十(2a-1)x十1在区间 (一∞，2]上单调递减，则实数a的取值范 围是 A(-多+∞ B(-0,引 C.(3,+∞) D.(-∞，-3] 2.（多选)已知a∈R,关于x的不等式 a(x一1)>0的解集可能是 x一a A.{x|1<x<a} B.{x|x<1或x>a} C.{xx<a或x>1} D.0 寒假作业人生的价值，并不是用时间，而是用深度去 3.已知命题：“存在1≤x≤5，x2-ax-5>0” 为真命题，则实数a的取值范围是( A.{aa<4} B.{aa<-4} C.{aa>4} D.{aa>-4} 4.(2025·芜湖市高一期中)已知不等式。十 会≥2-2x+号对满足2a十61-a)=0 的所有正实数a,b都成立，则正数x的最 大值为 B.1 c D.2 5.某连锁酒店共有500间客房，若每间客房 每天的定价是200元，则均可被租出；若每 间客房每天的定价在200元的基础上提高 10x元(1≤x≤10，x∈Z),则被租出的客 房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天 租赁客房的收入超过106600元，则该连 锁酒店每间客房每天的定价应为() A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 6.若实数a,b满足a=b一1，则使得0<ab<2 成立的一个a的值可以是 4真题体验 1.(2025·全国二卷)不等式二≥2的解 集是 A.{x|-2≤x≤1} B.{xlx≤-2} C.{x|-2≤x<1}D.{xlx>1} 2.(2025·上海卷)不等式兰<0的解架为 3.(2024·上海卷)不等式x2一2x一3<0的 解集为 衡量的。 [每日格言] 4.(2024·上海卷)已知函数f(x)=x2, 1f(x),x≥0， g(x)= 若g(x)满足 -f(-x),x<0, g(x)≤2一x,则x的取值范围为 5易误警示 易错一忽视二次项系数可能为零而致误 [示例1]已知不等式(a-2)x2十2(a-2)x 2<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取 值范围是 名师叮嘱 对于最高次数为二次的一元二次方程或不等 式，当其系数为字母参数时，若题目条件指定为二 次方程或不等式，则二次项系数一定不为零，否则 需讨论二次系数是否为零。 易错二忽视一元二次不等式对应的一元 二次方程根的大小关系而致误 [示例2]解关于x的不等式(a+1)x2 (2a+3)x+2<0. 名师叮嘱 形如ax2十bx十c>0(或<0)的不等式，引起 讨论的因素有： (1)二次项系数是否为零； (2)对应方程的判别式； (3)对应方程而根的大小[每日格言]成功的信念在人脑中的作用就如闹钟，会 3(a十b)=ab(元/千克)，小港两次均购买50元葡 2 葡，则平均价格为500650=22（元/千克).因为 2(a十b)>0,所以小港 a+b2ab_(a+6)2-4ab(a-6)2 2a+b2(a+b) 两次购买葡萄的平均价格比小海低.故选B. 5.解析设AE=x(x>0),,DE⊥EC, ∴.∠AED+∠BEC=90°， 又，∠ECB+∠BEC=90°， ∠AED=∠ECB,又，∠A=∠B=90°， △AED△BCE,能-铝， 即管品得B= x (2+3)(x+6) ∴.△DEC的面积S= x .6 22 x =号+≥2受×夏=2X3=6,当且仅当受- 2 即x=2时等号成立， ∴△DBC面积的最小值为6，此时AB=2十号-5， 答案65 [真题体验] 1.C对于A,当a=b时，a2+b2=2ab,故A错误； 对于B.D,取a=日6=子此时日十名=2+4=6< 品 1 1 +6-2+4=6> 2 11 =4V2=2 √ab 故B、D错误； 对于C,由基本不等式可得a+b≥2√Jab>√Jab, 故C正确.故选C 2.B解法一当b>c≥0时，b>c2,当c<b≤0时，b2<c2, 所以a十b2>a十c2不一定成立，故A错误；因为b>c, a2≥0，所以a2+b>a2十c成立，故B正确；当a>0,c< b≤0时，ab2<ac2,当a<0,b>c≥0时，ab2<ac2,当a= 0时，ab2=ac2,这三种情况下ab2>ac2都不成立，故C 错误；当a=0时，a2b>a2c不成立，故D错误.综上， 选B. 解法二令a=0,b=一1，c=一2，分别代入选项A、B、 C、D可知只有a2十b>a2十c成立.故选B. 3.B因为(x1y1),(x2y2)为函数y=2的图象上两个 不同的点，所以1=25y2=2,且x1≠x2,则25≠22， (易错警示：这是一个极易忽略的点)所以y1十y2= 25+25>2√25·25=2√25+，所以十> 2 √24+3>0，所以1og2h2>1og2√24+3- 2 x十x2故选B. 2 在你需要时将你唤醒。 高一数学（配BSD版） .解析易知6+日=(+日)(a+名)=a6+话+2≥ 2函：6+2=4，当且4仅当a的=1，即a=名b=2时 取得最小值.故答案为4. 答案4 [易误警示] [示例1][解析]设t=x(a十b)十y(a-b), 2a+3b=(x+y)a+(x-y)b, 5 x十y=2解得 . =2’ x-y=3, 1 y=一2 =a+b)-a-b, .-1<a十b<3,2<a-b<4, <a+60<-2Ka0-1 [答案] 川<<劉 [示例2][解析]对于选项A,当x>22时，2√2-x<0, 此时y<0,不符合题意； 对于造项B,当>0时，=生=z十士≥2× √2X王=2，当里仅当x=子即x=1时，等号成立， “y=十1的最小值为2，符合题意； 对于选项Cy=2十年21=2+2+42一3≥ 2x,2+20×+-3=1,且仅当2+2 2+2即x=0时，等号成立，不符合题意： 4 对于选项D,y=√x2+2十 1≥ x2+2 2×W2+2X1 =2 x2+2 当且仅当2+2=1，即√2+2=1时等号成 √x2+2 立，又√x2+2=1时x不存在， .等号不成立，y的最小值不是2，不符合题意 [答案]B 作业（四）一元二次函数与 一元二次方程、不等式 [基础演练] 1.A由y=√一x2+2x十3有意义可知，-x2+2x十3≥0， 即x2-2x-3≤0，解得一1≤x≤3.故选A. 2.C由x(x-2)<0,解得0<x<2,即不等式x(x-2)<0 的解集为{x0<x<2}.由題意可得不等式x(x一2)<0 成立的一个充分不必要条件应为{x0<x<2}的真子 集，故选C 寒假作业坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得 3.C因为不等式x2+bx+c<0的解集为{x3<x<4}, 所以方程x2十bx十c=0的两个根分别为3和4， 则3十4=一解得67， 3×4=c, c=12, 所以cx2+bx+1>0,即12x2-7x+1>0, 即(3x-1)4红-1)>0，即x<或>3 所以cr+bz+1>0的解集为✉<分或>日} 4.ABD因为关于x的不等式ax2+bx十c>0的解集为 {xx<-2或x>4},所以a>0,A选项正确； 由题知一2和4是关于x的方程ax2十bx十c=0的两 根，由根与系数的关系，得 -2+4=- a'则6=-2a,c=-8a, -24= 则a十b十c=-9a<0,C选项错误； 不等式bx十c>0即-2ax一8a>0,解得x<-4,B选 项正确； 不等式cx2-bx十a<0即-8a.x2十2ax十a<0,即 8x2-2z-1>0,解得<-或x>号，D选项正确， 故选ABD. [综合演练] 1.B函数y=x2十(2a-1)x十1的对称轴为x= -242,由题毫可知-2≥2，解得a≤-号，所以 实数a的取位花周是（一四，一昌]，故选B 2.BCD当a<0时，不等式等价于(x-l)(x-a)<0,解 得a<x<1;当a=0时，不等式的解集是☑；当0<a<1 时，不等式等价于(x-1)(x-a)>0,解得x>1或 x<a;当a=1时，不等式的解集为{xx≠1}；当a>1 时，不等式等价于(x-l)(x一a)>0,解得x>a或x<l.故 选BCD. 3.A由题意，当1≤x≤5时，不等式x2-ax-5>0有 解，所以25-5a-5>0或1-a-5>0,解得a<4.故选A. 4D由题如（位+是）≥-2+宁 因为a,b为正实数，所以由2a十b(1一a)=0得2a+ b=6,即+日-1 所以2（停+）=2[（日）》°+（层）门≥（合）+ (号+2x号×。-（层+°=1 当且仅当号-，且2a十b=ab,即a=2,6=4时，学号 成立， 所以2（侵+）≥1，+≥ 所以2≥x2-2z+日，整理得2-2z<0,则0≤x≤2， 结合x为正数，得0<x≤2，所以正数x的最大值为2. 故选D. 够久够大声，终会把人唤醒的。 [每日格言] 5.C依题意，每天有(500一15x)间客房被租出，该连锁 酒店每天租赁客房的收入为(500一15x)· (200+10x)=-150x2+2000x+100000.因为要使 该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以 -150.x2+2000x+100000>106600,即3x2-40.x+ 132<0,解得6<r<婴.因为1<x<10且x∈Z,所以 x=7,即该连锁酒店每间客房每天的定价应为270元. 故选C. 6.解析由a=b-1,得b=a十1，所以0<a(a十1)<2，解 得-2<a<-1或0<a<1,故可取a=合 答案合（答案不唯-） [真题体验] 1.C>2,即为当≤0， (x+2)(x-1)≤0故-2≤x<1, 即 1x-1≠0， 故解集为{x|-2≤x<1},故选C. 2.解析原不等式转化为(x一1)(x一3)<0， 解得1<x<3,则其解集为(1,3). 故答案为(1,3). 答案(1,3) 3.解析由x2一2x一3=(x一3)(x十1)<0，得一1< x<3. 答案{x|-1<x<3》 (x2,x≥0， 4.解析由已知得g(x)= -x2,x<0, 当x≥0时，x2≤ 2-x,解得-2≤x≤1，因此0≤x≤1；当x<0时， 一x2≤2一x,不等式恒成立，因此x<0.综上，x的取值 范围为{xx≤1}. 答案{x|x≤1} [易误警示] [示例1][解析]当a一2=0，即a=2时，不等式恒成 立，符合题意.当a一2≠0，即a≠2时」 (1)若a-2>0,即a>2时，不合题意 (2)若a-2<0,即a<2时，由题意， 得不等式(2-a)x2十2(2-a)x十2>0对任意x∈R恒 成立，所以△=4(2-a)2-8(2-a)<0,即(2-a)2 2(2-a)<0,令t=2-a>0,则t2-2t<0,.0<t<2. 即0<2-a<2,∴.0<a<2.综上，a的取值范围是(0,2]. [答案](0,2] [示例2][解析]①当a十1=0，即a=一1时，原不等 式变为-x十2<0，即x>2. ②当a十1>0，即a>-1时，原不等式可化为(x-2)· (e-a)0, 若-1a<-合则，中1>2，解得2 a+1 若a=-,则2十1=2，无解： 1 若>-则十12，解得a十 ra+1<x<2. [每日格言]凡事要三思，但比三思更重要的是三思而 ③当a十1<0，即a<一1时，原不等式可化为(x-2)· (a)小>0， a<-1a<2,解得x<或>2 能上，当。心>吉时，原不等式的解桌为口品2小： 当a=一合时，原不等式的解桌为心； 当一1a<-号时，原不等式的解集为{z2<a}: 当a=一1时，原不等式的解集为{xx>2}； 当a1时，原不等式的解集为<计成>2。 作业（五）函数的概念及其表示 [基础演练] 1.C由表可知g(2)=2,则f(g(2)=f(2)=3.故选C. 2B依题意，x十2≠0，解得z<一2或-2<x≤1 或x≥1， 所以原函数定义域为（一∞，一2）U(-2,一1]U[1,+∞). 故选B. 3.C对于A,函数y=x°一1的定义域为{xx≠0}，函数 y=0的定义域为R,两个函数的定义域不同，A不正确； 对于B,函数y=√x一2·√十2的定义域为{x|x≥2}， 函数y=√x2-4的定义域为{xx≤-2或x≥2}，两个 函数的定义域不同，B不正确；对于C,函数y=x的定 义城为R,函数之=的定义城为R,且z==y, 两个函数的定义域相同，对应法则也相同，C正确；对于 D,函数y=x2十x的定义战为R,函数y=十父的定 义域为{xx≠0}，两个函数的定义域不同，D不正确 故选C. 4.B令t=3-2x,则x=3', 21 +(2)日-+24， 可得f(t)= 3-t 2(3-t), 2 所以儿)玩燕选B [综合演练] 1.AD因为f(一3)=2，所以f(f(一3))=f(2)=1,故 A正确；由题图不能得出f(一1)的确定值，故B错误； 函数的定义域是[-3,0]U[2,3],故C错误；函数的值 域是[1,5]，故D正确.故选AD. 2.C由题唐得-8≤2x+1长1，解得-号≤<0， 由x十2≠0，解得x≠一2， 故函数gx)的定义战是[-号，-2)U(一2,0]， 故选C. 3.Af(x)+2f(1-x)=x2+1, ∴.当x=0时，f(0)+2f(1)=1①， 当x=1时，f(1)+2f(0)=2②， ②×2-①，得3f(0)=3,解得f(0)=1.故选A. 行。 高一数学（配BSD版） 4.ABC当3<x<10时，甲对应的函数值小于乙对应的 函数值，故当路程为8km时，乘客选择甲方案省钱， A正确；当路程为10km时，由题图可知，选择甲、乙方 案的车费均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，B正 确；当路程大于3km时，甲方案每千米增加的费用为 1品二月-1（元），乙方案每千来增加的贵周为}品二 号（元），故每千未增加的费用甲方案比乙方案多，C正 确；由题图可知，甲方案路程3km内（含3km)车费为 5元，路程大于3km每增加1km车费增加1元，D错 误.故选ABC. 5.解析令y=x,则f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x一 x+1)=1,所以f(x)=x2+x+1. 答案x2+x十1 6.解析f(f(0)=f(1)=4.当a<1时，f(a)=(a+1)2≥4a, 得到a<1;当a≥1时，f(a)=4-Wa-I≥4a,得到 a=1,所以a≤1. 答案4(-0∞，1] [真题体验] 1.A若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存 在x1∈D,使得f(x1)=M+1, 取xo=x1,则|f(xo)川=|M川+1>M,充分性成立； 取f(x)=2r,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1∈ D,使得f(x1)=M+1, 取xo=x1,则|f(xo)|=|M+1>M,但此时函数f(x) 的值域为(0，十∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在 xo∈D,使得引f(xo)>M”的充分不必要条件.故选A. 2.B(赋值法)因为当x<3时，f(x)=x,所以f(1)=1, f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得 f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令x=4,得f(4)>f(3) +f(2)>3+2=5;依次类推，得f(5)>f(4)+f(3)> 5+3=8;f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13;f(7)>f(6) +f(5)>13+8=21;f(8)>f(7)+f(6)>21+13= 34;f(9)>f(8)+f(7)>34+21=55;f(10)>f(9)+ f(8)>55+34=89;f(11)>f(10)+f(9)>89+55= 144;f(12)>f(11)+f(10)>144+89=233;f(13)> f(12)+f(11)>233+144=377;f(14)>f(13)+ f(12)>377+233=610;f(15)>f(14)+f13)>610 +377=987…显然f(16)>1000,所以f(20)>1000. 故选B. 3.C函教f(x)的定义城为R,∫(-x)=1+2三 1 平所以1(-)+f)=车+中2=1.故 选C. 4.解析 f(合)=-（合）+2=>1， ∴（合）)=（好）子+号-1-器 |x≤1， 由 1≤-x2+2≤3， 解得一1x1, 1x>1, 1≤x+1-1≤3，解得1<x≤2+3， 由