专题7.3 等比数列讲义-2026届广东省高三中职数学一轮复习

专题7.3 等比数列 【答案及解析】 考点一：求等比数列的公比 【例1】在等比数列中，1＝2，＝8，则＝（ ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【答案】A 【解析】因为等比数列中，， 则公比，所以， 故选：A 【2016年广东职教高考真题】在等比数列中,已知则该等比数列的公比是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为等比数列中， 则公比，所以， 所以 故选：A 【技巧总结】 等比数列中，最关键的核心是求出公比，而求公差有两个思路： 或者 考点二：等比数列的通项公式 【例1】在等比数列中，1＝1，＝2，则＝（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为等比数列中，， 则公比，所以， 故选：B. 【变式】在等比数列中，若，，则（ ） A．10 B．16 C．24 D．32 【答案】D 【解析】等比数列中，若，，则，， 故选：. 【技巧总结】 等比数列中，求出公比后，可通过通项公式进行代入求值： 或者 考点三：等比中项 【例1】方程的两根的等比中项是（ ） A． B．和 C．和 D． 【答案】B 【解析】由题意，两根之积为9，所以两根的等比中项为， 故选：B. 【变式】设为实数，若三个数成等比数列，则公比为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】由题意，， 当时，公比， 当时，公比， 所以． 故选：A． 【例2】等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的通项公式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，成等比数列， 则，即， 将代入计算可得或（舍）， 则通项公式为， 故选：A. 【变式】正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（     ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【解析】由题意可知，是与的等差中项， 所以，即， 所以，或（舍）， 所以，， 故选：D. 【例3】在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 【答案】A 【解析】设的公比为q，由， 则，解得（舍去）， 故，所以，. 故选：A. 【变式】正项等比数列满足，，则其通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是正项等比数列，所以， 又因为，，所以，故， 所以， 故选：B. 【技巧总结】 等比数列中，当题目条件中出现了两项以上时候，优先观察下标是否能找到中项，计算时候开根号是有两个结果的，需要进行分类讨论。 考点四：等比数列的前n项和公式 【例1】在等比数列中，为其前项和，且，则它的公比的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【解析】当q=1时，，满足. 当时，由已知可得，，显然，. 所以，有，解得，q=1（舍去）或， 综上可得，q=1或， 故选：C. 【变式】已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（     ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】因为等比数列的各项均为正数， 所以由， 当 时，，所以，不符合题意； 当时，由， 或， 因为等比数列的各项均为正数，所以， 故选：B 【2025年广东职教高考真题】已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为 . 【答案】31 【解析】由等比数列前n项和公式可知， 【例2】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设数列的公比为， 则，得，解得或（舍）， 所以， 故选：A. 【变式】设等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】等比数列的前项和为，由得：， 而，则有，解得， 所以. 故选：C. 【例3】在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， 故选：B. 【变式】数列，，，，，…的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为数列是以1为首项，以5为公比的等比数列， 所以S10＝＝， 故选：B. 【例4】记为等比数列的前项和．若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】∵为等比数列的前n项和， ∴，，等成比数列， ∴，， ∴，∴． 故选：C. 【变式】等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为且为等比数列， 故为等比数列， 故，解得， 故选：B. 【技巧总结】 等比数列中，最关键的核心是求出公比，而结合首项，可直接套用等比数列的前n项和公式。 考点五：等比数列的性质 【例1】在等比数列中，已知 ，则_____． 【答案】． 【解析】由等比数列的性质知成等比数列， 可得＝， 故答案为：． 【变式】等比数列中，，则__________． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为， 由，可得，可得， 故， 故答案为：. 【例2】在等比数列中，已知，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【解析】在等比数列中，， 解得，则. 故选：A. 【变式】正项等比数列中，，则（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【解析】因为是等比数列，所以， 故选：D. 【例3】已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________. 【答案】 【解析】设，因为为等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，解得或（舍去）. 所以，的等差中项为， 故答案为：. 【变式】设等比数列的前项和为，若，，则_______． 【答案】 【解析】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列， 则， 即，，解得， 故答案为：. 【例4】设是各项为正数的等比数列，且，则 . 【答案】1 【解析】，而， ∴， 故答案为：1. 【变式】递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则 ． 【答案】364 【解析】设等比数列的公比为，由得， 由，解得或， 因为数列为递增数列，所以，所以，得， 因为等比数列的每一项都是正数，所以，所以， 所以， 故答案为：364． 【技巧总结】 等比数列中，当题目条件中出现了三项时候，优先观察下标和是否相等，通常选择填空题中喜欢考查。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 等比数列 【前言】 重点围绕真题核心考点进行编制，包含高频考点、重难点、例题精讲、变式练习、真题精选、技巧总结，适合于中职生学习和备考使用 【考纲要求】 1.理解等比数列的定义. 2.掌握等比数列的通项公式、前n项和公式. 3.掌握等比中项的含义及运用 2.掌握等比数列性质及运用. 【考点预测】 1.【高频考点】通项公式、前n项和公式、等比中项 2.【重难点】等比数列下标和性质及运用 【知识梳理】 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为：或者 3．等比数列的前项和公式 4．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 5．等比数列的性质 设等比数列的公比为 (1) 若，且，则，特别地，当时，． (2)下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． (3) 若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； (4) 连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 【考点精讲】 考点一：求等比数列的公比 【例1】在等比数列中，1＝2，＝8，则＝（ ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【2016年广东职教高考真题】在等比数列中,已知则该等比数列的公比是( ) A. B. C. D. 【技巧总结】 等比数列中，最关键的核心是求出公比，而求公差有两个思路： 或者 考点二：等比数列的通项公式 【例1】在等比数列中，1＝1，＝2，则＝（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式】在等比数列中，若，，则（ ） A．10 B．16 C．24 D．32 【技巧总结】 等比数列中，求出公比后，可通过通项公式进行代入求值： 或者 考点三：等比中项 【例1】方程的两根的等比中项是（ ） A． B．和 C．和 D． 【变式】设为实数，若三个数成等比数列，则公比为（     ） A． B．2 C． D．4 【例2】等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的通项公式为（     ） A． B． C． D． 【变式】正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（     ） A．4 B．8 C．32 D．64 【例3】在等比数列中，，，则（     ） A．2 B．±2 C．2或 D． 【变式】正项等比数列满足，，则其通项公式（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 等比数列中，当题目条件中出现了两项以上时候，优先观察下标是否能找到中项，计算时候开根号是有两个结果的，需要进行分类讨论。 考点四：等比数列的前n项和公式 【例1】在等比数列中，为其前项和，且，则它的公比的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式】已知是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，，则（     ） A．2 B．3 C．6 D．9 【2025年广东职教高考真题】已知数列是等比数列，，公比，则数列的前5项和为 . 【例2】已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式】设等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 【例3】在正数等比数列中，若，，则该数列的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【变式】数列，，，，，…的前10项和为（ ） A． B． C． D． 【例4】记为等比数列的前项和．若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式】等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 等比数列中，最关键的核心是求出公比，而结合首项，可直接套用等比数列的前n项和公式。 考点五：等比数列的性质 【例1】在等比数列中，已知 ，则_____． 【变式】等比数列中，，则__________． 【例2】在等比数列中，已知，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式】正项等比数列中，，则（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【例3】已知正项等比数列的前项和为，若，，则，的等差中项为__________. 【变式】设等比数列的前项和为，若，，则_______． 【例4】设是各项为正数的等比数列，且，则 . 【变式】递增的等比数列的每一项都是正数，设其前项的和为，若 则 ． 【技巧总结】 等比数列中，当题目条件中出现了三项时候，优先观察下标和是否相等，通常选择填空题中喜欢考查。 学科网（北京）股份有限公司 $