单元培优讲义：探索图形（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 探索图形 考点梳理 1 考点一、正方体特征回顾 1 考点二、涂色小正方体分类（按位置特征） 1 考点三、规律总结 2 考点四、数学思想方法 2 例题讲解 3 题型一、表面涂色的正方体 3 考点练习 4 练习一、表面涂色的正方体 4 考点梳理 考点一、正方体特征回顾 1.基本构成：正方体有6个面、12条棱、8个顶点，所有棱长都相等。 2.分割前提：若将大正方体的每条棱平均分成n份（n为大于或等于2的整数），则可分割成n×n×n个棱长为1的小正方体（即总小正方体数量为n³）。这里的n表示大正方体每条棱上小正方体的个数，是后续规律推导的关键参数。 考点二、涂色小正方体分类（按位置特征） 1. 三面涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体的顶点处。因为正方体有8个顶点，每个顶点处的小正方体有3个面暴露在外（即与大正方体的3个面重合），所以会被涂色3个面。 (2)数量规律：无论n取何值（n≥2），三面涂色的小正方体数量固定为8个。 2. 两面涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体的棱上，但不包括顶点处的小正方体（顶点处已归为三面涂色）。每条棱上除去两端的2个顶点小正方体，中间部分的小正方体仅有2个面暴露在外，故被涂色2个面。 (2)数量规律：大正方体有12条棱，每条棱上两面涂色的小正方体个数为（n-2）个，因此总数量为12×(n-2)个。 3. 一面涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体每个面的中间区域，既不在棱上也不在顶点处。每个面是一个边长为n的正方形，除去最外层一圈（棱上的小正方体），中间部分是一个边长为（n-2）的正方形，该区域的小正方体仅有1个面暴露在外，故被涂色1个面。 (2)数量规律：大正方体有6个面，每个面上一面涂色的小正方体个数为（n-2）×(n-2) = (n-2)²个，因此总数量为6×(n-2)²个。 4. 没有涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体的内部，完全不暴露在表面，所有面均未被涂色。这部分小正方体构成一个新的正方体，其棱长为大正方体棱长减去2（即每条棱上除去外层的2个小正方体）。 (2)数量规律：内部未涂色小正方体组成的正方体棱长为（n-2），因此数量为(n-2)×(n-2)×(n-2) = (n-2)³个。 考点三、规律总结 当大正方体每条棱上小正方体的个数为n（n≥2，且n为整数）时，不同涂色情况的小正方体数量如下： 1.三面涂色：8个（固定值）； 2.两面涂色：12×(n-2)个； 3.一面涂色：6×(n-2)²个； 4.没有涂色：(n-2)³个。 且上述四类小正方体数量之和等于总小正方体数量n³，即8 + 12×(n-2) + 6×(n-2)² + (n-2)³ = n³，可用于验证规律的正确性。 考点四、数学思想方法 1.空间观念与几何直观：通过想象正方体的立体结构，理解不同位置小正方体的空间分布，培养从二维到三维的转化能力。 2.分类讨论思想：按小正方体在大正方体中的位置（顶点、棱、面、内部）分类研究，使复杂问题条理化。 3.归纳推理思想：从具体实例（如n=2、n=3、n=4时的涂色情况）入手，观察数据特征，总结出一般规律，体现从特殊到一般的认知过程。 4.模型思想：将实际问题抽象为数学模型（用n表示棱长份数，用公式表达数量关系），提升问题解决的普适性。 例题讲解 题型一、表面涂色的正方体 【例题1】（23-24五年级下·湖北黄石·期末）左图大正方体中，三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 【答案】 8 12 6 1 【分析】三面涂色的在顶点处，正方体有几个顶点，就有几个三面涂色的小正方体；两面涂色的在每条棱上，除去顶点处，每条棱上有几个正方体，就用几乘12，得到的积就是两面涂色的小正方体的个数；一面涂色的在每面的中间处，由图可知每面的中间处只有1个小正方体，即1乘6就得到一面涂色的小正方体的个数；没有涂色的小正方体在大正方体的中心位置，可利用棱长×棱长×棱长算出总个数，再依次减去有涂色的个数，即可解答。 【详解】三面涂色：（个） 两面涂色：（个） 一面涂色：（个） 没有涂色： （个） 三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有12个，一面涂色的小正方体有6个，没有涂色的小正方体有1个。 【练习1】（23-24五年级下·河南安阳·期末）用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，把这个大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】A 【分析】根据小正方体涂色面的位置：三面涂色的小正方体在顶点处；由此得出三面涂色的小正方体的个数。 【详解】如图： 把这个大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有8个。 故答案为：A 考点练习 练习一、表面涂色的正方体 1．（23-24五年级下·北京丰台·期末）有一个棱长5分米的正方体，它的6个面都涂有红色，把它切成棱长为1分米的小正方体。1面涂红色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．36 D．54 【答案】D 【分析】棱长为5分米的正方体，可以分成（5×5×5）个棱长为1分米的小正方体。1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间位置，每个面有（5－2）×（5－2）个，再乘6，即可求出一共有多少个。 【详解】（5－2）×（5－2）×6 ＝3×3×6 ＝54（个） 所以，1面涂红色的小正方体有54个。 故答案为：D 2．（24-25五年级下·福建莆田·期中）把一个表面涂有颜色的大正方体切成64个小正方体，有两面涂色的小正方体有（    ）块。 A．8 B．12 C．24 D．32 【答案】C 【分析】大正方体切成64个小正方体，因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱上有4个小正方体。两面涂色的小正方体在每条棱除两端顶点外的位置（依据正方体表面涂色规律：顶点处是三面涂色，棱中间是两面涂色，面中间是一面涂色，内部是没涂色）。每条棱上有（4－2）个两面涂色的小正方体，再乘12条棱（正方体有12条棱），就能算出数量。据此解答。 【详解】每条棱上两面涂色的小正方体个数：4－2＝2（个） 两面涂色的小正方体总个数：2×12＝24（个） 故答案为：C 3．（24-25五年级下·云南昭通·期中）在一个正方体木块的表面涂上红色，再切成27个同样的小正方体，如下图。 (1)两个面涂红色的小正方体有( )个。 (2)一个面涂红色的小正方体有( )个。 【答案】(1)12 (2)6 【分析】根据题意，把一个大正方体切成27个同样的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，大正方体的每条棱上有3个小正方体； 根据正方体表面涂色的特点，分别得出小正方体涂色面的位置：三面涂色的小正方体在顶点处；两面涂色的小正方体在每条棱上；一面涂色的小正方体在每个面上；据此解答。 【详解】（1）因为27＝3×3×3，所以大正方体每条棱上有3个小正方体。 两个面涂红色的小正方体在每条棱上，每条棱上有（3－2）个这样的小正方体，一共有： （3－2）×12 ＝1×12 ＝12（个） 两个面涂红色的小正方体有12个。 （2）一个面涂红色的小正方体在每个面上，每个面上有（3－2）个这样的小正方体，一共有： （3－2）2×6 ＝12×6 ＝1×6 ＝6（个） 一个面涂红色的小正方体有6个。 4．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有( )个。 【答案】8 【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。 【详解】每个顶点处的小正方体会露出三个面，共有8个顶点，即8个。 所以3个面涂红色的小正方体有8个。 5．（23-24五年级下·河北邢台·期末）用棱长1cm的小正方体拼成长方体（如图），把它的表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )块，三面涂色的小正方体有( )块。 【答案】 16 8 【分析】同探索表面涂色的正方体可以得出一面涂色的正方体是和面有关，三面涂色的和顶点有关。从拼成的长方体中，发现一面涂色的小正方体是在长方体每一个面的中间的正方体，前面和后面是有2个正方体1面涂色，左面和右面也是2个正方体，上面和下面4个正方体。通过计算得出一面涂色的正方体。三面涂色的正方体是8个顶点的位置。 【详解】2×2＋2×2＋4×2 ＝4＋4＋8 ＝16（个） 一面涂色的小正方体有16个块，三面涂色的小正方体有8个。 6．（24-25五年级下·天津南开·期中）如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )个。 【答案】54 【分析】如图所示，一面涂色的小正方体位于大正方体每个面的中心，大正方体每个面中一面涂色的小正方体有9个，再乘大正方体的面数求出一面涂色的小正方体的总个数，据此解答。 【详解】 分析可知，大正方体的每个面上有9个小正方体一面涂色，大正方体一共有6个面。 9×6＝54（个） 所以，一面涂色的小正方体有54个。 7．（24-25五年级下·河南信阳·期中）下图是由8个相同小正方体拼成的，每个小正方体的棱长为2厘米。这个立体图形的体积是( )立方厘米，占地面积是( )平方厘米。如果把这个图形的所有面（包括底面）涂上红色，那么5个面涂红色的小正方体有( )个。 【答案】 64 28 2 【分析】（1）已知每个小正方体的棱长为2厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出每个小正方体的体积，再乘8，即是这个图形的体积； （2）求这个图形的占地面积，就是求这个图形的底面面积，底面共有7个小正方形，先根据正方形的面积＝边长×边长求出一个小正方形的面积，最后用每个小正方形的面积乘7即可； （3）5个面涂红色的小正方体是图形上层的一个，以及图形的下层最前面的一个，据此解答。 【详解】2×2×2×8 ＝4×2×8 ＝8×8 ＝64（立方厘米） 2×2×7 ＝4×7 ＝28（平方厘米） 1＋1＝2（个） 下图是由8个相同小正方体拼成的，每个小正方体的棱长为2厘米。这个立体图形的体积是64立方厘米，占地面积是28平方厘米。如果把这个图形的所有面（包括底面）涂上红色，那么5个面涂红色的小正方体有2个。 8．（22-23五年级下·广东东莞·期末）用27个同样的小正方体拼成一个大正方体，从四个顶点处各拿走一个小正方体后，剩下23个，把剩下部分的表面涂上颜色，如图。剩下的小正方体中，两面涂色的小正方体有( )个。 【答案】4 【分析】因为底面不涂色，所以剩下正方体两面涂色的是最下面一层位于四个顶点处的那四个小正方体。 【详解】27个同样的小正方体拼成一个大正方体，从四个顶点处各拿走一个小正方体后，剩下23个，把剩下部分的表面涂上颜色，如图。剩下的小正方体中，两面涂色的小正方体有4个。 【点睛】本题考查涂色问题，解答本题的关键是掌握两面涂色的正方体在顶点处。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年五年级下册数学人教版单元培优讲义 探索图形 考点梳理 1 考点一、正方体特征回顾 1 考点二、涂色小正方体分类（按位置特征） 1 考点三、规律总结 2 考点四、数学思想方法 2 例题讲解 3 题型一、表面涂色的正方体 3 考点练习 4 练习一、表面涂色的正方体 4 考点梳理 考点一、正方体特征回顾 1.基本构成：正方体有6个面、12条棱、8个顶点，所有棱长都相等。 2.分割前提：若将大正方体的每条棱平均分成n份（n为大于或等于2的整数），则可分割成n×n×n个棱长为1的小正方体（即总小正方体数量为n³）。这里的n表示大正方体每条棱上小正方体的个数，是后续规律推导的关键参数。 考点二、涂色小正方体分类（按位置特征） 1. 三面涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体的顶点处。因为正方体有8个顶点，每个顶点处的小正方体有3个面暴露在外（即与大正方体的3个面重合），所以会被涂色3个面。 (2)数量规律：无论n取何值（n≥2），三面涂色的小正方体数量固定为8个。 2. 两面涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体的棱上，但不包括顶点处的小正方体（顶点处已归为三面涂色）。每条棱上除去两端的2个顶点小正方体，中间部分的小正方体仅有2个面暴露在外，故被涂色2个面。 (2)数量规律：大正方体有12条棱，每条棱上两面涂色的小正方体个数为（n-2）个，因此总数量为12×(n-2)个。 3. 一面涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体每个面的中间区域，既不在棱上也不在顶点处。每个面是一个边长为n的正方形，除去最外层一圈（棱上的小正方体），中间部分是一个边长为（n-2）的正方形，该区域的小正方体仅有1个面暴露在外，故被涂色1个面。 (2)数量规律：大正方体有6个面，每个面上一面涂色的小正方体个数为（n-2）×(n-2) = (n-2)²个，因此总数量为6×(n-2)²个。 4. 没有涂色的小正方体 (1)位置特征：位于大正方体的内部，完全不暴露在表面，所有面均未被涂色。这部分小正方体构成一个新的正方体，其棱长为大正方体棱长减去2（即每条棱上除去外层的2个小正方体）。 (2)数量规律：内部未涂色小正方体组成的正方体棱长为（n-2），因此数量为(n-2)×(n-2)×(n-2) = (n-2)³个。 考点三、规律总结 当大正方体每条棱上小正方体的个数为n（n≥2，且n为整数）时，不同涂色情况的小正方体数量如下： 1.三面涂色：8个（固定值）； 2.两面涂色：12×(n-2)个； 3.一面涂色：6×(n-2)²个； 4.没有涂色：(n-2)³个。 且上述四类小正方体数量之和等于总小正方体数量n³，即8 + 12×(n-2) + 6×(n-2)² + (n-2)³ = n³，可用于验证规律的正确性。 考点四、数学思想方法 1.空间观念与几何直观：通过想象正方体的立体结构，理解不同位置小正方体的空间分布，培养从二维到三维的转化能力。 2.分类讨论思想：按小正方体在大正方体中的位置（顶点、棱、面、内部）分类研究，使复杂问题条理化。 3.归纳推理思想：从具体实例（如n=2、n=3、n=4时的涂色情况）入手，观察数据特征，总结出一般规律，体现从特殊到一般的认知过程。 4.模型思想：将实际问题抽象为数学模型（用n表示棱长份数，用公式表达数量关系），提升问题解决的普适性。 例题讲解 题型一、表面涂色的正方体 【例题1】（23-24五年级下·湖北黄石·期末）左图大正方体中，三面涂色的小正方体有( )个，两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个，没有涂色的小正方体有( )个。 【练习1】（23-24五年级下·河南安阳·期末）用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长为4cm的大正方体，把这个大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有（    ）个。 A．8 B．12 C．24 D．48 考点练习 练习一、表面涂色的正方体 1．（23-24五年级下·北京丰台·期末）有一个棱长5分米的正方体，它的6个面都涂有红色，把它切成棱长为1分米的小正方体。1面涂红色的小正方体有（    ）个。 A．6 B．8 C．36 D．54 2．（24-25五年级下·福建莆田·期中）把一个表面涂有颜色的大正方体切成64个小正方体，有两面涂色的小正方体有（    ）块。 A．8 B．12 C．24 D．32 3．（24-25五年级下·云南昭通·期中）在一个正方体木块的表面涂上红色，再切成27个同样的小正方体，如下图。 (1)两个面涂红色的小正方体有( )个。 (2)一个面涂红色的小正方体有( )个。 4．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）把一个正方体木块表面涂满红色，平均切成27个大小相等的小正方体。切成的小正方体中，3个面涂红色的小正方体有( )个。 5．（23-24五年级下·河北邢台·期末）用棱长1cm的小正方体拼成长方体（如图），把它的表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )块，三面涂色的小正方体有( )块。 6．（24-25五年级下·天津南开·期中）如图是由125个大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色，一面涂色的小正方体有( )个。 7．（24-25五年级下·河南信阳·期中）下图是由8个相同小正方体拼成的，每个小正方体的棱长为2厘米。这个立体图形的体积是( )立方厘米，占地面积是( )平方厘米。如果把这个图形的所有面（包括底面）涂上红色，那么5个面涂红色的小正方体有( )个。 8．（22-23五年级下·广东东莞·期末）用27个同样的小正方体拼成一个大正方体，从四个顶点处各拿走一个小正方体后，剩下23个，把剩下部分的表面涂上颜色，如图。剩下的小正方体中，两面涂色的小正方体有( )个。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $