第21章 一元二次方程 寒假作业 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年9年级数学寒假作业（1）一元二次方程 一．选择题（每小题4分，共40分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣x﹣6＝0 D．3x2﹣2xy+6＝0 2．已知x＝2是方程x2﹣x﹣m＝0的一个根，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．一元二次方程x2＝2x的根是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 4．下列关于x的一元二次方程中，两实数根的乘积等于3的是（　　） A．2x2﹣5x+3＝0 B．x2﹣5x﹣3＝0 C．2x2﹣5x﹣3＝0 D．x2﹣5x+3＝0 5．若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根，则α+β的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 6．如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为xm，所列方程是（　　） A．x（46﹣2x）＝300 B．x（48﹣2x）＝300 C． D．x（50﹣2x）＝300 7．利用判别式判断方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程有一个实数根 D．方程无实数根 8．关于x的一元二次方程x2+2x+t﹣1＝0有实数根，则实数t的取值范围是（　　） A．t＞2 B．t≤2 C．t≥2 D．t≤﹣2 9．生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（　　） A．9 B．10 C．﹣10 D．9或10 10．在元旦庆祝活动中，小组内的同学互赠新年贺卡，某小组共送贺卡56张，问该小组共有多少人？设该小组共有x个人，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝56 B．x（x+1）＝56 C． D． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11．将一元二次方程x（x﹣3）﹣1＝4化成一般形式为　 　 ． 12．为落实五育并举政策，某校要在边长为24m的正方形ABCD空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为484m2，设小路的宽度为xm，则根据题意可列方程为　 　 ． 13．若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ． 14．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，则m2﹣3m+4＝　 　 ． 15．关于x的方程x2﹣4x+k＝0的一个实数根是2，那么k的值为　 　 ． 16．关于x的方程x2+2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是　 　 ． 三．解答题（每小题6分，共36分） 17．解下列方程： （1）x（x+2）＝3x+6； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0． （1）当m＝3时，判断方程根的情况； （2）当m＝6时，求方程的根． 19．已知关于x的一元二次方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0（k≠0）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为0，求方程的另一个根． 20．某商店于一月底收购一批农产品，二月份销售120袋，三月份销售量比二月份增长20%，四、五月份该商品十分畅销，销售量持续增长，五月份的销售量已经达到225袋． （1）求该商店三月份的销量； （2）求该商店四、五两个月销售量的月平均增长率． 21．2023年在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． （1）设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为x（x＞40）元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式； （2）如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B出发沿边B﹣C﹣A向点A以2cm/s的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动的时间为ts，当t＝1时，点P，Q位置如图所示，回答下列问题： （Ⅰ）填空：当0＜t＜4时，AP＝　 　 ，BP＝　 　 ，BQ＝　 　 ，CQ＝　 　 ；（用含有t的代数式作答） （Ⅱ）当1＜t＜4时，t为何值时，可使AP＝CQ； （Ⅲ）当t为何值时，△BPQ的面积为5cm2． 参考答案 1．C． 2．B． 3．C． 4．D． 5．D． 6．D． 7．A． 8．B． 9．A． 10．A． 11．x2﹣3x﹣5＝0． 12．（24﹣2x）2＝484． 13．0． 14．8． 15．1． 16．1． 17．解：（1）x（x+2）＝3x+6， 整理得：x（x+2）﹣3（x+2）＝0， 因式分解得：（x+2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝3； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， 整理得：2x2﹣4x＝1， 即x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+11， 即（x﹣1）2， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1＝1，x2＝1． 18．解：（1）x2﹣mx+6＝0， 当m＝3时，方程可化为：x2﹣3x+6＝0， ∵a＝1，b＝﹣3，c＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×6＝9﹣24＝﹣15＜0， ∴方程没有实数根； （2）当m＝6时，方程可化为：x2﹣6x+6＝0， ∵a＝1，b＝﹣6，c＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×6＝36﹣24＝12＞0， ∴， ∴，． 19．（1）证明：a＝k，b＝2k﹣1，c＝k﹣1， ∵b2﹣4ac＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1） ＝4k2﹣4k+1﹣4k2+4k ＝1＞0， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为0， ∴将x＝0代入方程：kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0得： k×02+（2k﹣1）×0+k﹣1＝0， 解得：k＝1． ∴原方程为：x2+x＝0． 设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系：0+x1， ∴x1＝﹣1， ∴方程的另一个根为：x＝﹣1． 20．解：（1）由题意得：120×（1+20%）＝144（袋）， 答：该商店三月份的销量为144袋； （2）设该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得：144（1+x）2＝225， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该商店四、五两个月销售量的月平均增长率为25%． 21．解：（1）根据题意得：该商品销售量y与x之间的函数关系为y＝80﹣2（x﹣40）， 即y＝160﹣2x（x＞40）； （2）根据题意得：（x﹣30）（160﹣2x）＝1050， 整理得：x2﹣110x+2925＝0， 解得：x1＝45，x2＝65， 又∵要尽可能让利于顾客， ∴x＝45． 答：每个毛绒玩具售价应定为45元． 22．解：（Ⅰ）当0＜t＜4时，AP＝tcm，BQ＝2tcm， 则BP＝（6﹣t）cm，CQ＝（8﹣2t）cm， 故答案为：tcm，（6﹣t）cm，2tcm，（8﹣2t）cm； （Ⅱ）当1＜t＜4时，点Q在BC上，则AP＝tcm，（8﹣2t）cm， ∵AP＝CQ， ∴t＝8﹣2t， 解得：， 答：当时，AP＝CQ； （Ⅲ）分两种情况： ①当点Q在BC上时，则0＜t≤4，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm， 根据题意得：（6﹣t）•2t＝5， 整理得：t2﹣6t+5＝0， 解得：t1＝1，t2＝5（不符合题意，舍去）， ②当点Q在AC上时，如图， 则4＜t＜6，BP＝（6﹣t）cm，18﹣2t， 在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm， 由勾股定理得：AC10（cm）， 则AQ＝8+10﹣2t＝（18﹣2t）cm， 过点Q作QH⊥AB于点H， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由题意得：， 整理得：4t2﹣60t+191＝0， 解得：（不符合题意，舍去），， 综上所述，当t＝1或时，△BPQ的面积为5cm2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $