5.1.2 复数的几何意义 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．若复数z＝－1＋2i，则z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.复数z＝－1＋2i，则z在复平面内对应的点的坐标为(－1，2)，位于第二象限．故选B. 2．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　) A．3－i B．－3i C．＋2i D．－2i 解析：选D.设z＝＋bi(b＜0)，则|z|2＝()2＋b2＝32，解得b＝－2(正值已舍去)，所以z＝－2i.故选D. 3．已知复数z1＝6－5i，z2＝－2＋3i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则＝(　　) A．2＋i B．2－i C．1＋i D．1－i 解析：选A.由题意得A(6，－5)，B(－2，3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)，其对应的复数z＝2－i，则＝2＋i. 4．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即>A>－B>0，sin A>cos B，所以cos B－tan A＝cos B－<cos B－sin A<0，又tan B>0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限．故选B. 5．(多选)在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝.点Z与Z1关于实轴对称，则点Z表示的复数z＝(　　) A．1－i B．1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选CD.由于复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足||＝，所以||＝＝，所以a＝±1，Z1(1，1)或Z1(1，－1).又点Z与Z1关于实轴对称，所以点Z(1，－1)或Z(1，1)，所以复数z为1－i或1＋i.故选CD. 6．(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是(　　) A．|z|＝ B．复数z在复平面内对应的点在第四象限 C．z的共轭复数为－1＋2i D．复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x 上 解析：选AC.|z|＝＝，A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，D不正确．故选AC. 7．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的模|z|＝________． 解析：因为a＋2i＝1－bi，所以a＝1，－b＝2，即b＝－2，所以z＝a＋bi＝1－2i，|z|＝＝. 答案： 8．若复数z＝2＋2i，z与在复平面内对应的点分别为A和B，O为坐标原点，则△ABO的面积为________． 解析：因为复数z＝2＋2i，所以＝2－2i，所以点A(2，2)，B(2，－2)，所以△ABO的面积S＝×2×[2－(－2)]＝4. 答案：4 9．设复数z＝x＋yi，x，y∈R，且|x|＝|y|，则满足|z|＝1的复数z共有________个． 解析：方法一(代数运算)：由|z|＝1，得x2＋y2＝1.又|x|＝|y|，联立，解得z＝±±i，故满足题意的复数z共有4个． 方法二(几何意义)：由|z|＝1，知复数z在复平面内对应的点构成一个单位圆．又|x|＝|y|，故复数z在复平面内对应的点落在直线y＝±x上，显然直线y＝±x与单位圆有四个交点，故满足题意的复数z共有4个． 答案：4 10．已知复数z＝(m2＋2m)＋(m2－m－6)i，m∈R，i是虚数单位． (1)若复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，求m的值； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 解：(1)复数z在复平面内对应的点为(m2＋2m，m2－m－6)，所以m2－m－6＝－(m2＋2m)，整理得3m2－12＝0，解得m＝±2. (2)由题意得 解得0＜m＜3，即实数m的取值范围是(0，3). 11．已知复数z＝1－i，将复数z在复平面内对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　) A． B．i C．1 D．i 解析：选A.复数z＝1－i在复平面内对应的向量＝(1，－1)，则||＝，∠xOZ＝，所以将向量绕点O按逆时针方向旋转得到＝(，0)，其对应的复数为. 12．(多选)已知复数z＝cos α＋(sin α)i(α∈R，i为虚数单位)，则下列说法正确的有(　　) A．当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限 B．当α＝时，z为纯虚数 C．|z|的最大值为 D．z的共轭复数为＝－cos α＋(sin α)i 解析：选BC.对于A，当α＝－时，z＝cos (－)＋i＝－i，复平面内复数z对应的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos ＋(sin )i＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，|z|＝＝，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα－(sin α)i，故D错误．故选BC. 13．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|＝2，z2＝3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为________． 解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)， 因为|z1|＝2，所以a2＋b2＝4， 因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，z2＝3i，所以Z1(a，b)，Z2(0，3)， 所以|Z1Z2|＝＝，故当b＝－2时，|Z1Z2|取得最大值，为＝5. 答案：5 14．在①z＞0，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 问题：已知复数z＝m2－m－6＋(m2－9)i. (1)若________，求实数m的值； (2)若m为整数，且|z|＝10，求z在复平面内对应点的坐标． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)选择条件①. 因为z＞0，所以 解得m＝－3. 选择条件②. 因为z的实部与虚部互为相反数， 所以m2－m－6＋m2－9＝0， 解得m＝3或m＝－. 选择条件③. 因为z为纯虚数，所以 解得m＝－2. (2)因为|z|＝10， 所以(m2－m－6)2＋(m2－9)2＝100， 即(m－3)2(2m2＋10m＋13)＝100. 因为m为整数，所以(m－3)2为平方数，2m2＋10m＋13为奇数． 因为100＝(±10)2×1或100＝(±2)2×25，所以验证可得m－3＝－2，即m＝1. 因为m＝1，所以z＝－6－8i，其在复平面内对应点的坐标为(－6，－8). 15．已知复平面内的点A，B表示的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π).设对应的复数是z.若复数z对应的点Z在y＝x的图象上，则θ＝________． 解析：因为点A，B表示的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，所以点A，B的坐标分别是(sin2θ，1)，(－cos2θ，cos2θ)，所以＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i. 所以点Z的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sinθ＝±.又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或θ＝. 答案：或 16．如图，已知在复平面内的平行四边形ABCD中，点A表示的复数为－1，对应的复数为2＋2i，对应的复数为4－4i. (1)求点D表示的复数； (2)求平行四边形ABCD的面积． 解：(1)依题可知A(－1，0)，＝(2，2)，＝(4，－4)，可得B(1，2)，C(5，－2). 设点D表示的复数为x＋yi(x，y∈R)，得＝(x－5，y＋2)，＝(－2，－2). 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以＝，解得x＝3，y＝－4， 故点D表示的复数为3－4i. (2)＝(2，2)，＝(4，－4)， 可得·＝0， 所以⊥，所以平行四边形ABCD为矩形． 又因为||＝2，||＝4， 故平行四边形ABCD的面积为2×4＝16. 学科网（北京）股份有限公司 $