2.5.2 向量数量积的坐标表示&2.5.3 利用数量积计算长度与角度 课后达标 检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

1．已知向量a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A．5 B．14 C．－6 D．2 解析：选B.方法一：因为a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，所以b＝a－(a－b)＝(2，2)，所以a·b＝3×2＋4×2＝14.故选B. 方法二：a·(a－b)＝3×1＋4×2＝11.又a·(a－b)＝|a|2－a·b，所以a·b＝|a|2－11＝32＋42－11＝14.故选B. 2．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D．10 解析：选B.由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，可得|a＋b|＝.故选B. 3．向量a＝(－1，1)在向量b＝(－3，－4)方向上的投影数量为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：选D.向量a＝(－1，1)在向量b＝(－3，－4)方向上的投影数量为＝＝－.故选D. 4．已知菱形ABCD，AC＝2，BD＝4，且＝2，则∠DEC的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：选D.在菱形ABCD中，设BD，AC交于点O，以O为坐标原点，分别以BD，AC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由AC＝2，BD＝4，得A(0，1)，B(－2，0)，C(0，－1)，D(2，0)， 因为＝2，则点B为AE的中点， 所以E(－4，－1)，则＝(6，1)，＝(4，0)， 所以cos∠DEC＝＝＝＝.故选D. 5．(多选)已知向量m＝(1，0)，n＝，则(　　) A．|m|＝|n| B．(m－n)∥n C．(m－n)⊥n D．m与n的夹角为 解析：选ACD.对于A，因为m＝(1，0)，n＝，所以|m|＝1，|n|＝，故A正确； 对于B，m－n＝与n＝不平行，故B不正确； 对于C，(m－n)·n＝－＝0，所以(m－n)⊥n，故C正确； 对于D，m·n＝，所以cos〈m，n〉＝＝＝，因为〈m，n〉∈[0，π]， 所以〈m，n〉＝，故D正确，故选ACD. 6．(多选)已知点A(1，2)，B(5，2)，C(k，4)，若△ABC为直角三角形，则k的可能取值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 解析：选ACD.由题意得，＝(4，0)，＝(k－1，2)，＝(k－5，2)，因为△ABC为直角三角形，所以⊥，或⊥，或⊥，所以·＝4(k－1)＝0，解得k＝1；或·＝4(k－5)＝0，解得k＝5；或·＝(k－1)(k－5)＋4＝0，解得k＝3.故选ACD. 7．已知向量a＝(4，3)，向量b是垂直于a的单位向量，则b＝____________． 解析：设b＝(x，y)，因为向量a＝(4，3)，且向量b是垂直于a的单位向量， 所以解得或 所以b＝(－，)或b＝(，－)． 答案：(－，)或(，－) 8．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________． 解析：以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝m，P(0，t)，t∈[0，m]，由题意可知，A(2，0)，B(1，m)，则＝(2，－t)，＝(1，m－t)，＋3＝(5，3m－4t)，则|＋3|＝≥5，当且仅当t＝m时等号成立，即|＋3|的最小值为5. 答案：5 9．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________________． 解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)． 设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b. 由⇒ 又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0， 解得λ＝或λ＝－， 当λ＝时，x＝0，y＝； 当λ＝－时，x＝，y＝0. 所以点B的坐标为(0，)或(，0)． 答案：(0，)或(，0) 10．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)． (1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值； (2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b的夹角的大小． 解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)，由a⊥(a＋b)，可得a·(a＋b)＝6＋1－x＝0，解得x＝7，即b＝(1，7)，所以|b|＝＝5. (2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)， 故x＝－3，所以b＝(1，－3)，所以cos〈a，b〉＝＝＝， 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角是. 11．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[2，14] B．[0，12] C．[0，6] D．[2，8] 解析：选A.如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，A(0，0)，E(2，1)， 设F(x，2)(0≤x≤2)， 所以＝(2，1)，＝(x，2)， 因此·＝2x＋2， 设f(x)＝2x＋2(0≤x≤2)，易知f(x)为增函数，且f(0)＝2，f(2)＝14， 故2≤f(x)≤14，即·的取值范围是[2，14]．故选A. 12．(多选)已知向量＝(1，3)，＝(－2，4)，＝λ＋(1－λ)，其中λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A.在方向上的投影向量为(－1，2) B．||的最小值是 C．若·>0，则λ(1－λ)>0 D．若·<0，则λ(1－λ)<0 解析：选ABD.cos∠AOB＝＝＝，在方向上的投影向量为||cos∠AOB＝××＝(－1，2)，A正确； ＝λ＋(1－λ)＝(λ，3λ)＋(－2＋2λ，4－4λ)＝(－2＋3λ，4－λ)， 则||＝ ＝， 所以λ＝1时，||取得最小值，B正确； 当·＝4－6λ＋16－4λ＝20－10λ>0时，λ<2，无法判断λ(1－λ)的符号，C错误； 当·<0时，λ>2，则λ(1－λ)<0，D正确．故选ABD. 13．若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知 2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是____________． 解析：由a＝(k，3)，b＝(1，4)，得2a－3b＝(2k－3，－6)．又2a－3b与c的夹角为钝角，所以2(2k－3)－6<0，得k<3，若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－.当k＝－时，2a－3b与c共线且反向，不合题意．综上，实数k的取值范围是(－∞，－)∪(－，3)． 答案：(－∞，－)∪(－，3) 14．已知△OAB的顶点坐标为O(0，0)，A(2，9)，B(6，－3)，点P的横坐标为14，且＝λ，点Q是边AB上一点，且·＝0. (1)求实数λ的值与点P的坐标； (2)求点Q的坐标； (3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点，试求·(＋)的取值范围． 解：(1)设P(14，y)，则＝(14，y)，＝(－8，－3－y)，由＝λ，得(14，y)＝λ(－8，－3－y)，解得λ＝－，y＝－7，所以实数λ的值为－，点P的坐标为(14，－7)． (2)设Q(a，b)，则＝(a，b)， 由(1)得＝(12，－16)，因为·＝0， 所以12a－16b＝0，即3a－4b＝0.① 因为点Q在边AB上，所以∥， 又＝(4，－12)，＝(a－2，b－9)， 所以4(b－9)＋12(a－2)＝0， 即3a＋b－15＝0.② 联立①②，解得a＝4，b＝3， 所以Q点坐标为(4，3)． (3)由(2)得＝(4，3)， 因为R为线段OQ(含端点)上的一个动点， 所以设＝t＝(4t，3t)，且0≤t≤1， 则R(4t，3t)，＝(－4t，－3t)， ＝(2－4t，9－3t)，＝(6－4t，－3－3t)， 所以＋＝(8－8t，6－6t)， 所以·(＋)＝－4t·(8－8t)－3t·(6－6t)＝50t2－50t＝50－(0≤t≤1)， 当t＝0或1时，可取得最大值0； 当t＝时，可取得最小值－.故·(＋)的取值范围为. 15．已知A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p＝(sin A，1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是(　　) A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定 解析：选A.因为△ABC是锐角三角形， 所以A＋B>，即>A>－B>0. 又因为函数y＝sin x在上单调递增，所以sin A>sin＝cos B， 所以p·q＝sin A－cos B>0， 设p与q的夹角为θ，所以cos θ＝>0， 又因为p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角．故选A. 16.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M. (1)求∠EMF的余弦值； (2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动直至回到A点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出||的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 则D(0，6)，E(3，0)，A(0，0)，F(6，2)，所以＝(3，－6)，＝(6，2)． 由于∠EMF就是与的夹角， 所以cos∠EMF＝＝. 所以∠EMF的余弦值为. (2)存在点P，使得EF⊥MP.设M(x，y)，所以＝(x，y－6)，因为∥，所以3(y－6)＋6x＝0，所以2x＋y－6＝0. 因为＝(x，y)，＝(6，2)，∥，所以2x－6y＝0，所以x＝3y，所以7y＝6，所以y＝，x＝，所以M(，)．由(1)得＝(3，2)． ①当点P在AB上时，设P(a，0)(0≤a≤6)，所以＝(a－，－)，因为EF⊥MP， 所以3a－－＝0，所以a＝，所以P(，0)，所以||＝ ＝； ②当点P在BC上时，设P(6，b)(0<b≤6)，所以＝(，b－)，因为EF⊥MP， 所以＋2b－＝0，所以b＝－，舍去； ③当点P在CD上时，设P(c，6)(0≤c<6)，所以＝(c－，)，因为EF⊥MP， 所以3c－＋＝0，所以c＝－，舍去； ④当点P在DA上时，设P(0，d)(0<d<6)，所以＝(－，d－)，因为EF⊥MP， 所以－＋2d－＝0，所以d＝， 所以P(0，)，所以|| ＝＝. 综上，存在P(，0)，||＝或者P(0，)，||＝. 学科网（北京）股份有限公司 $