7.4 宇宙航行（高效培优讲义）物理人教版必修第二册

本讲义聚焦“宇宙航行”核心知识点，以万有引力定律为基础，系统梳理宇宙速度、人造卫星参数规律、同步/极地/近地卫星特性、不同轨道卫星参数比较及变轨、双星系统等内容，构建完整知识脉络。 资料通过题型分类（典例+跟踪训练）、模型建构（卫星、双星系统）及科学推理（参数推导），培养学生物理观念与科学思维，结合高考真题强化应用。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识迁移能力。

7.4 宇宙航行 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 宇宙速度 1 题型2 人造卫星 4 题型3 同步卫星、极地卫星和近地卫星 6 题型4 不同轨道人造卫星的参数比较 10 题型5 的应用（、多星等问题） 13 【能力培优练】 18 【链接高考】 24 【重难题型讲解】 题型1 宇宙速度 1、第一宇宙速度（环绕速度） （1）大小：7.9km/s。 （2）意义：①卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度。②使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度。 2、第二宇宙速度（脱离速度） （1）大小：11.2 km/s。 （2）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度。 （3）在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v=11.2 km/s。 3、第三宇宙速度（逃逸速度） （1）大小：16.7km/s。 （2）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度。 （3）在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v=16.7km/s。 ★特别提醒 1、三个宇宙速度都有自身的物理意义，要准确记住其意义及具体的数值。 2、每个天体都有自己的宇宙速度，课本上介绍的只是地球的三大宇宙速度。 4、第一宇宙速度的计算：地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，地球半径R。（r=R）。 （1）方法一：由万有引力提供向心力得：（r=R）➯。 （2）方法二：由重力提供万有引力得：（r=R）➯。 ★特别提醒 1、第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，是最大的环绕速度，当卫星以该速度运行时，相当于在中心天体附近绕行，轨道半径近似等于中心天体的半径。 2、卫星绕天体做圆周运动时，如果已知环绕周期，也可以根据计算环绕速度。 3、第一宇宙速度的计算公式，应根据题目给出的条件选择恰当的公式来计算。 5、三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度 第二宇宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 【探究归纳】三个宇宙速度分别对应绕地圆周、脱离地引、脱离太阳引的最小发射速度，是万有引力定律在航天领域的具体应用。 【典例1-1】若火星质量是月球的N倍，火星半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（　　） A．火星的第一宇宙速度是月球的倍 B．火星的第一宇宙速度是月球的倍 C．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 D．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 【典例1-2】（多选）“格利泽 581 g”是太阳系外的一颗行星，由于该行星的温度可维持表面存在液态水，科学家推测这或将成为第一颗被发现的类似地球的星球，遗憾的是一直到现在科学家对该行星的研究仍未有突破性的进展。这颗行星距离地球约20 亿光年（189.21 万亿公里），公转周期约为37年，半径大约是地球的2倍，其星球表面的重力加速度可认为与地球几乎相等。则下列说法正确的是（　　） A．“格利泽581g”星的第一宇宙速度等于7.9 km/s B．该行星的平均密度约是地球平均密度的 C．该行星的质量约为地球质量的8倍 D．在地球上发射航天器前往“格利泽 581 g”星，其发射速度至少要达到 16.7km/s 【典例1-3】在某一球形匀质星球表面，一物体在赤道处的重力比它在两极处的重力少0.01%，已知该星球自转周期为T，半径为R，引力常量为G。求： (1)该星球第一宇宙速度速度v1； (2)该星球密度。 跟踪训练12025年2月11日17时30分，我国在文昌航天发射场成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，卫星（　　） A．发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度 B．发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度 C．发射速度大于第三宇宙速度 D．在工作轨道上运行速度大于7.9km/s 跟踪训练2（多选）如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c 为地球的静止卫星。下列关于 a、b、c 的说法中正确的是（    ） A．a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab ac aa B．b 卫星运行的线速度约等于7.9 km/s C．在a、 b、c 中，c 的线速度最大 D．a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为 跟踪训练3我国的航天事业取得了巨大成就，发射了不同用途的人造地球卫星，它们在不同的轨道上绕地球运行。若一颗质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星到地面的距离为h。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R。 (1)推导地球的第一宇宙速度； (2)推导该卫星运行时动能的表达式； (3)开普勒通过大量的观测数据得出所有行星椭圆轨道的半长轴a的立方跟它的公转周期T的平方之比等于一个常量，请你论证对于围绕地球做匀速圆周运动的卫星同样满足类似的规律。 题型2 人造卫星 1、人造卫星的加速度、周期和轨道的关系 （1）向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，即F＝，再根据牛顿第二定律可得，随着轨道半径的增加，卫星的向心力和向心加速度都减小。 （2）线速度v：由得，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。 （3）角速度ω：由得，随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小。 （4）周期T：由得，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。 ★特别提醒 上述讨论都是卫星做匀速圆周运动的情况，而非变轨时的情况。 2、卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律 ★特别提醒 在高中阶段，一般把卫星的运行看作匀速圆周运动，万有引力完全充当圆周运动的向心力。但是计算的公式比较多，需要根据题目给出的参数，选择恰当的公式进行计算。 【探究归纳】人造卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，轨道半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大，各物理量与卫星自身质量无关。 【典例2-1】目前，环绕地球运行的卫星有五千多颗，若卫星均绕地球做圆周运动，卫星与地球的张角为2θ，则下列判断正确的是（　　） A．卫星运行的线速度与sinθ成正比 B．卫星运行的线速度与sin2θ成正比 C．卫星运行的周期与sin3θ成反比 D．卫星运行的周期与成反比 【典例2-2】（多选）已知某围绕地球运行的卫星距离地面的高度为，卫星轨道处的重力加速度大小为，地球半径为，引力常量为，以下说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．该卫星的周期为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球的密度为 【典例2-3】一卫星绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为，卫星离地面的高度为，地球表面的重力加速度大小为，求： (1)卫星运动的加速度大小； (2)卫星运动的周期。 跟踪训练12025年5月29 日，天问二号探测器成功发射，将对小行星2016HO3开展探测并采样返回。小行星可视为质量分布均匀的球体，半径约为50m，密度约为地球的一半。已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为9.8m/s2。假设探测器仅在小行星万有引力作用下，贴近小行星表面做匀速圆周运动，探测器的环绕速度最接近（　　） A． B． C． D．4.4m /s 跟踪训练2（多选）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船成功返回地球，桂海潮航天员成为中国首位戴眼镜完成航天飞行任务的载荷专家，神舟十六号飞船与空间站对接以后，在距地球表面的太空绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为，地球表面的重力加速度，则关于桂海潮航天员在太空中的描述正确的有（   ） A．他在太空的重力加速度为0 B．他在太空的重力加速度约为 C．他在太空每天能看到约10次日出 D．他在太空每天能看到约16次日出 跟踪训练3某卫星沿椭圆轨道1运动，P点是轨道1的近地点，到地心的距离为r，卫星运动到椭圆轨道的远地点Q时变轨进入圆轨道2，到地心距离为3r，已知地球质量为M，引力常量为G，求： (1)卫星在轨道2上运行速度v； (2)卫星在P点的加速度大小a。 题型3 同步卫星、极地卫星和近地卫星 1、同步卫星：位于地面上方高度约36000km处，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103m/s，同步卫星又分为静止卫星和倾斜轨道“同步”卫星。 2、静止卫星：指相对于地面静止的人造卫星，它跟着地球做匀速圆周运动，周期T=24h。静止卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条；所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着。 3、静止卫星的几个定值 （1）轨道平面一定：赤道平面。 （2）周期与角速度一定：T=24h。 （3）轨道半径一定:r=6.6R。 （4）线速度大小一定:v=3.08km/s。 （5）运转方向一定:自西向东，与地球自转的角速度相同。 （6）向心加速度的大小一定:。 （7）绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 （8）同步卫星高度：同步卫星的高度约为36000千米，它们位于赤道上方，保持相对于地面静止。 ★特别提醒 同步卫星是相对地球静止的卫星，运行周期与地球自转周期一致，所以其轨道半径、线速度、角速度等都是确定数值。 4、静止卫星的用途：主要用于通信，故也称通信卫星。3颗同步卫星可实现全球覆盖,为了使同步卫星之间不相互干扰，大约3°左右才能放置一颗同步卫星，也就是说，地球上空只能放下120颗同步卫星。截止2012年，已发射100多颗。 5、倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 6、极地卫星和近地卫星 （1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。 线速度推断：由、（地球半径）；得 （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 ★特别提醒 近地卫星最大的特点就是轨道半径可以近似等于地球半径，既可以应用普通卫星受到的万有引力完全提供向心力的规律，也可以满足万有引力近似等于重力的黄金代换式，是联系“地”与“天”的桥梁。 【探究归纳】同步卫星定点赤道上空、周期与地球自转相同，极地卫星过地球两极、可全球覆盖，近地卫星贴近地表、轨道半径近似地球半径，三者均由万有引力提供向心力。 【典例3-1】北斗问天，国之夙愿，我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍，则该地球静止轨道卫星（　　） A．其发射速度一定大于11.2km/s B．在轨道上运动的线速度等于7.9km/s C．环绕地球运动的轨道是圆 D．它可以经过北京正上空，所以我国能利用它进行电视直播 【典例3-2】（多选）如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。下列说法中正确的是（　　） A．卫星B的速度大于地球的第一宇宙速度 B．A、B的线速度大小关系为vA<vB C．B、C的向心加速度大小关系为aB<aC D．A、B、C周期大小关系为TA=TC>TB 【典例3-3】我国“天问一号”探测器成功着陆火星，已知火星半径为，自转周期为，火星表面重力加速度为（忽略自转影响），引力常量为。 (1)求火星的质量； (2)若在火星表面发射一颗火星同步卫星，求该同步卫星距离火星表面的高度。 跟踪训练1如图所示，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动且轨道半径相等，卫星B为地球静止卫星，下列说法错误的是（　　） A．A、B运动的线速度大小相等 B．B是同步卫星，A不是同步卫星 C．B运动方向与地球自转方向相同 D．A是地球同步卫星，周期为24h 跟踪训练2（多选）太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，其基座固定在地球赤道上，用一根竖直的缆绳与距地面高度约3.6×107米的地球同步轨道上的太空站相连，如图所示，升降舱可以将乘客送入太空站内。设地球半径为R，同步轨道上的太空站离地面的高度为5.6R，当升降舱停在离地球表面高度为2.3R处时，它绕地心做圆周运动的线速度大小为v2，与它在相同高度绕地球做圆周运动的卫星线速度大小为v3，同步轨道上的太空站的线速度大小为v4，地球的第一宇宙速度为v1，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练3利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球的质量为M、半径为R、自转周期为T，引力常量为 (1)求地球同步卫星距地面的高度； (2)假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，求地球自转周期的最小值。 题型4 不同轨道人造卫星的参数比较 1、卫星运行的一般规律如下： ①→ ②→ ③→ ④→ 由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。 2、卫星的运行参数如何与赤道上物体运行的参数相比较？ 赤道上运行的物体与同步卫星处在同一个轨道平面，并且运行的角速度相等，所以比较赤道上物体与一般卫星的运行参数时，可以通过同步卫星建立联系。 ★特别提醒 对于不同轨道上的卫星（或物体），要想比较他们的运行参数，一般遵循的原则是，“天比天，直接比；天比地，要帮忙”，即卫星与卫星之间可以通过万有引力提供向心力直接进行分析比较，而卫星与赤道上物体的比较，则需要借助同步卫星进行分析。 3、三种不同轨道卫星的参数对比 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去重力 轨道半径 r2＞r3＝r1 角速度 由＝mω2r，得ω＝ ，故ω1＞ω2 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3 ω1＞ω2＝ω3 线速度 由＝，得v＝，故v1＞v2 由v＝rω，得v2＞v3 v1＞v2＞v3 向心加速度 由＝man，得an＝，故a1＞a2 由an＝ω2r，得a2＞a3 a1＞a2＞a3 4、人造卫星与月球参数对比 离地面距离（h） 离地心距离（r） 线速度（v） 公转周期（T） 月球 3.8×108m 约3.8×108m 1km/s 27.3天 同步卫星 3.6×107m 4.2×107m 3.08km/s 24h 近地卫星 约0 6.4×106m 7.9km/s 84分钟 【探究归纳】不同轨道人造卫星的核心参数由轨道半径决定，半径越大线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大，同步、极地、近地卫星因轨道差异呈现对应参数特征。 【典例4-1】某科学卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测发现，该卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的一半。则下列说法正确的是（　　） A．该科学卫星的速度小于地球同步卫星的速度 B．该科学卫星在轨运行周期为 C．该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍 D．该科学卫星和地球同步卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积相等 【典例4-2】（多选）我国低轨道卫星的发射与运行在国防建设和环境检测方面发挥了重要作用。其中有一颗低轨卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度为v、加速度为a，轨道半径为r。不考虑地球的自转影响，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，地球的第一宇宙速度为，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 跟踪训练1如图甲所示，两颗人造地球卫星1、2在同一平面内沿相同方向绕地球做匀速圆周运动，周期分别为、，轨道半径分别为、。某时刻开始计时，两卫星的间距随时间t变化的关系如图乙所示，已知。则等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 跟踪训练2（多选）A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系图像如图所示。已知地球的半径为0.9r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是（　　） A．卫星A的加速度小于卫星B的加速度 B．卫星A与B的周期之比为 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度为 · 题型5 的应用（、多星等问题） 1、卫星的发射及变轨问题 （1）卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。 （2）一般来说卫星的发射包括以下步骤： ①发射地球卫星，如下图 a、先进入近地轨道Ⅲ b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ ②发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例） a、先进入近地轨道 b、加速进入椭圆轨道 c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道 d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道 e、在近地点减速减小远地点高度 f、进入环月轨道 ★特别提醒 （1）对于卫星的变轨问题，常用的规律是“加速进高轨，减速进低轨”。意思就是如果卫星想要进入更高的轨道，需要向后喷气做加速运动；如果想要进入更低的轨道，需要向前喷气做减速运动。 （2）变轨的原理：离心作用。 ①当向后喷气时，卫星速度变大，做圆周运动所需的向心力变大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星就要做离心运动进入更高的轨道运行。 ②当向前喷气时，卫星速度变小，做圆周运动所需的向心力变小，万有引力大于卫星所需的向心力，卫星就要做近心运动进入较低的轨道运行。 （4）变轨前后的机械能变化：向后喷气时，相当于气体对卫星做了正功，卫星的机械能增大；向前喷气时，相当于气体对卫星做了负功，卫星的机械能减小。 2、航天器中的失重现象 （1）完全失重状态：人造地球卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后，其中的人和物将处于失重状态。航天器进入轨道后可以近似认为是绕地球做圆周运动，做圆周运动的物体的速度方向是时刻改变的，因而具有加速度，它的大小等于卫星所在高度处的重力加速度的大小。这跟在以重力加速度下降的升降机中发生的情况类似，航天器中的人和物都处于完全失重状态。 （3）在宇宙飞船中就会发生什么现象呢？ 物体将飘在空中，液滴呈绝对球形，气泡在液体中将不会上浮，食物要做成块状或牙膏似的糊状，以免食物的碎渣“漂浮”在空中，进入宇航员的眼睛、鼻孔等等。 （3）在太空中一切与力有关的仪器都将无法使用。比如弹簧测力计、电子秤等都将不能再使用了。 ★特别提醒 （1）航天器中的物体在万有引力的作用下做圆周运动，万有引力完全充当了物体所需的向心力，所以航天器中的物体都处于完全失重状态。 （2）很明显，完全失重状态并不是说物体不受到力的作用了，而是物体受到的力完全提供了它做圆周运动的向心力。物体的向心加速度等于所在轨道处的重力加速度。 3、卫星的追及相遇问题 （1）卫星的对接问题 ①在卫星运行的过程中，会遇到这样的一类问题，那就是处于低轨道的物体要和高轨道的物体相会和；或处于高轨道的物体要和低轨道的物体相会和。在现实中的应用比如卫星的对接。 ②卫星对接的原理可以简单概括为：加速进高轨，减速进低轨。本质上是近心和离心作用。 ③现实生活中的卫星对接常常一般采用从低轨加速进入高轨的方式完成对接。 （2）卫星角速度不同引起的共线问题 ①不同轨道的卫星运行的速度不同，如果某一个时刻两个卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧），一定时间后它们还会再次共线。这种情况也可以认为卫星发生了追及相遇现象。 ②这类问题的本质可以看成卫星运行的角速度不同引起的，根据角速度与角度的关系可以得出，每一次卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧）时有：（ω1-ω2）t=2nπ，n=1，2，3，... ★特别提醒 （1）卫星在万有引力的作用下做圆周运动，它们的追及相遇问题不再类似于常见的固定轨道的追及相遇问题。因为卫星的速度变化必定会带来轨道半径的变化。 （2）当处理卫星角速度不同引起的共线问题时，要先画出草图，找出角度关系，然后利用角速度之差求解相关物理量。 4、双星系统及相关计算 （1）模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。 （2）模型特点 ①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的运动周期、角速度相同。 ④两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2=L。 （3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。 （4）两个结论： ①运动半径：m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。 ②质量之和：由于，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和为。 ★特别提醒 解双星问题的两个关键点 （1）对于双星系统，要抓住三个相等，即向心力、角速度、周期相等。 （2）万有引力公式中L是两星球之间的距离，不是星球做圆周运动的轨道半径。 （3）对于多星问题（三星、四星），需要牢记任何一个天体运动的向心力是由其他天体的万有引力的合力提供的。 5、多星系统及相关计算 （1）定义：由多个天体组成的系统叫作多星系统。 （2）三星系统：由三个天体组成的系统叫作三星系统。常见的三星系统有两种： ①三颗恒星在一条直线上，一起绕着某个点运行 ②三个恒星不在一条直线上，一起绕着某个点运行 （3）研究多星系统的基本思路是，每一颗恒星都仅受到其它恒星的引力作用，这些引力的合力要么提供它做圆周运动的向心力，要么使它处于平衡状态。 【探究归纳】宇宙速度结合万有引力定律，可分析卫星变轨的加速减速操作、追及的轨道半径调整，及双星多星的引力向心力等效关系与参数求解。 【典例5-1】神舟二十一号发射前夕，中国空间站完成了一次“太空芭蕾”，空间站近地点从378.2 km抬升至，远地点从抬升至。空间站（　　） A．变轨后的运行周期较小 B．变轨前后的运行周期相同 C．在远地点减速可抬升近地点 D．在近地点加速可抬升远地点 【典例5-2】（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的星体，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，且，，万有引力常量为G。则（　　） A．星球A、B做圆周运动的线速度之比为1:3 B．星球A、B做圆周运动的角速度之比为3:1 C．星球B做圆周运动的周期为 D．若质量较大的A星球会“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而实现质量转移。则在“吸食”的最初阶段，A、B运动的周期变大 【典例5-3】如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 跟踪训练12025年5月29日凌晨1时31分，天问二号在西昌卫星发射中心成功发射，其主要任务之一是完成对小行星2016HO3的伴飞、取样并返回地球。如图所示，Ⅰ轨道和Ⅱ轨道为其中的两个轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问二号在Ⅰ轨道上运行时加速度可能为零 B．天问二号在Ⅱ轨道上运行的周期大于在Ⅰ轨道上运行的周期 C．天问二号在Ⅱ轨道上通过P点时的速度小于通过N点时的速度 D．天问二号在Ⅰ轨道上通过P点时的速度大于在Ⅱ轨道上通过P点时的速度 跟踪训练2（多选）如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（　　） A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为 C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同 跟踪训练3a、b两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试求： (1)a、b两颗卫星周期分别是多少？ (2)a、b两颗卫星速度之比是多少？ (3)某时刻两卫星正好同时通过赤道上同一点正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【能力培优练】 1．假设火星和地球绕太阳均做匀速圆周运动，火星公转周期约为687天。则火星（   ） A．轨道半径比地球的小 B．线速度比地球的大 C．加速度比地球的大 D．角速度比地球的小 2．如图所示某火星探测器从地球表面发射后，进入地火转移轨道，经过A 点时变轨进入距离火星表面2R高的圆形轨道I上做匀速圆周运动，经过B 点时再次变轨进入椭圆轨道II，之后在椭圆轨道的近火点C再次变轨到近火圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知火星半径为R。下列说法错误的是（　　） A．探测器在轨道I运行的周期比在轨道II时长 B．探测器在轨道Ⅱ、Ⅲ上经过C点时的加速度相等 C．探测器在轨道I上经过B点时应加速实施变轨 D．在轨道II上探测器经过C点的速率大于经过B点时的速率 3．飞船从圆轨道I，通过变轨后，沿椭圆轨道II由处运动到处，与沿圆轨道III运行的天和核心舱在B处对接，对接后的组合体继续在圆轨道III上运行。在上述过程中，下列说法正确的是（　　） A．飞船由轨道II变轨到轨道III，需在B处减速 B．飞船在轨道II上B处与在轨道III上B处的加速度相等 C．飞船在轨道I上A处的速度小于在轨道III上B处的速度 D．飞船在轨道II上由到的时间大于在轨道III上运行周期的一半 4．2025年6月26日，神舟二十号航天员乘组经过约6.5小时的出舱活动，顺利完成了舱外设备设施巡检及处置等任务。关于宇航员在舱外活动，下列判断正确的是（　　） A．研究宇航员的运动姿态时，可以把宇航员视为质点 B．宇航员与空间站相对静止时，宇航员受到的合力为零 C．宇航员随空间站一起运动时的速度大于第一宇宙速度 D．宇航员随空间站一起运动时的加速度小于地球表面的重力加速度 5．2025年7月15日天舟九号货运飞船在文昌航天发射场成功发射，据有关资料显示：天舟九号装载量创历史新高，并采用3小时快速交会对接模式，成功与轨道高度约为的天和核心舱实现对接，相比传统方案节省90%的时间，它不仅是我国航天工程的“太空快递员”，更是空间站常态化运营的“生命线”。以下关于天舟九号货运飞船的说法，正确的是（　　） A．天舟九号的发射速度应当超过第二宇宙速度而小于第三宇宙速度 B．成功对接并稳定运行后，天舟九号中的货物处于失重状态，不受地球吸引力 C．天舟九号为了与在较高轨道的天和核心舱对接，需在较低轨道加速后才能实现对接 D．天舟九号与天和核心舱对接后稳定运行的速度小于地球同步卫星的速度 6．2021年2月 25日从中国科学院云南天文台获悉，近期国内多个团队合作，利用清华大学一马化腾巡天望远镜(TMTS)，发现了一颗距离地球2761光年的致密双星系统-TMTSJ0526，已知组成某双星系统的两颗恒星A 和B，质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．A和B的角速度之比为 B．A和B的向心加速度大小之比为 C．A的轨道半径为 D．A和B的运动周期均 7．在电影《流浪地球2》中出现了太空电梯的科幻设想，有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资（如图所示）。已知地球半径为，地球自转周期为，地球北极表面重力加速度大小为，万有引力常量为。当太空电梯停在距地面的站点时，质量为的货物对太空电梯的压力大小为（　　） A．0 B． C． D． 8．中国空间站工程“巡天”望远镜（简称CSST）将于2024年前后投入运行，CSST以“天宫”空间站为太空母港，日常工作时与空间站共轨独立飞行，且与空间站保持适当距离，在需要补给或者维修升级时，主动与“天宫”交会对接，停靠太空母港。已知地球半径为，空间站圆形轨道距地球表面高度为，地球表面的重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．CSST停靠太空母港时，组合体运行的周期为 B．CSST日常工作时运行速度可能大于第一宇宙速度 C．CSST日常工作时线速度的大小为 D．若CSST工作时位于“天宫”前方，仅通过减速即可与“天宫”快速对接 9．某航天探测任务中，探测器抵达某未知行星后，t＝0时刻将一个小球从行星表面某高处由静止释放，通过遥感设备记录小球的运动状态，得到小球离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示。已知该行星半径为R＝45km，下列说法正确的是（　　） A．该行星表面重力加速度大小为8 B．该行星第一宇宙速度大小为m/s C．小球落到行星表面时的速度大小为16m/s D．该行星的“近地”卫星运行周期为s 10．两颗行星和的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度与轨道半径的关系图，图中两直线纵截距的差值，已知行星的半径是的3倍，忽略行星自转和其他星球影响，结合图像数据，下列说法正确的是（　　） A．行星A与B的质量之比为1：9 B．行星A与B表面的重力加速度之比为9：1 C．行星A与B的平均密度之比为1：3 D．行星B的第一宇宙速度是A的3倍 11．（多选）有关万有引力与宇宙航行部分的内容，下列说法中正确的是（　　） A．“月地检验”需要已知的数据有地球半径、月地距离、月球绕地球公转周期和地球表面重力加速度 B．地球自转周期变大后，其他条件不变，地球赤道上的物理所受地球万有引力的大小不变 C．开普勒第三定律是在万有引力定律基础上推导而来 D．绕月卫星的发射速度要大于第二宇宙速度 12．（多选）若把地球看作一个巨大的拱形桥，桥的半径就是地球的半径，地球表面上有一辆超级汽车在高速行驶，如图所示。忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．汽车处于失重状态 B．汽车的行驶速度越大，汽车对地球表面的压力越大 C．汽车做曲线运动，在某段时间内通过的位移的大小可能大于路程 D．若汽车的行驶速度达到地球的第一宇宙速度，则汽车对地球表面的压力为0 13．（多选）如图所示，飞船从预定轨道I的A点第一次变轨进入椭圆轨道II，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道III，与空间站实现对接。下列说法中正确的是（　　） A．在轨道I和轨道III上飞船与地心连线在相等的时间内扫过的面积相等 B．飞船在圆轨道I的速度不可能大于7.9km/s C．飞船在椭圆轨道II上经过A点时的机械能小于经过B点时的机械能 D．飞船在圆轨道III经过B点时的加速度大小等于飞船在椭圆轨道II经过B点时的加速度大小 14．（多选）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭送入预定轨道，历经地月转移、近月制动等阶段后，进入环月飞行阶段。其环月段轨道设计包含圆轨道和椭圆轨道，轨道示意图如图所示。嫦娥六号在环月飞行期间，不考虑地球和其他天体对嫦娥六号的影响，则（　　） A．若已知嫦娥六号环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可算出月球的质量 B．嫦娥六号由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速 C．嫦娥六号在环月段椭圆轨道上P点的加速度大于环月段圆轨道上P点的加速度 D．嫦娥六号在环月段椭圆轨道上Q点的速度大于环月段椭圆轨道上P点的速度 15．（多选）太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，其原理并不复杂，与生活中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，当空间站围绕地球运转时，绳索会系紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止，卫星与同步空间站的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间之后，第一次相距最远。已知地球半径，自转周期，下列说法正确的是（　　） A．太空电梯各点均处于完全失重状态 B．卫星的周期为 C．太空电梯停在距地球表面高度为的站点，该站点处的重力加速度 D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成正比 16．2026年前后我国将发射嫦娥七号探测器，是对月球的地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测任务的探测器。若在月球表面高度为处释放小球，测得小球经时间落到月球表面，已知月球半径为，引力常量为。求： (1)月球的质量； (2)月球的第一宇宙速度。 17．2025年1月17日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将巴基斯坦PRSC-EO1卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球的半径为R、地球表面的重力加速度大小为g，卫星入轨后在距地面高度为kR（k为大于1的常数）的轨道上做匀速圆周运动。引力常量为G，不计地球自转的影响。求： (1)地球的平均密度； (2)地球的第一宇宙速度； (3)卫星绕地球运行的周期T。 18．某次卫星发射任务中，卫星的变轨过程如图所示。先将卫星发射到半径为的近地圆轨道（停泊轨道），在轨道I的P点通过点火加速使卫星进入椭圆转移轨道II，卫星运行到轨道Ⅱ的远地点Q时再次点火加速，最终进入半径为的同步轨道III。 已知绕同一中心天体的所有卫星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等，卫星在轨道I、III的运行速率分别为和，两位同学对此展开讨论： 甲同学认为：“卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，动能增加，因此。” 乙同学认为：“根据万有引力提供向心力可得，轨道半径越大，运行速率v越小，所以。” (1)请判断哪位同学的说法正确（不需要说明理由）； (2)请分析另一位同学说法错误的原因； (3)已知卫星在同步轨道III的运行周期为，请计算卫星在轨道II由P第一次运行到Q所需的时间t。（为已知） 【链接高考】 1．（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 2．（2025·浙江·高考真题）2025年4月30日，“神舟十九号载人飞船”返回舱安全着陆，宇航员顺利出舱。在其返回过程中，下列说法正确的是（　　） A．研究返回舱运行轨迹时，可将其视为质点 B．随着返回舱不断靠近地面，地球对其引力逐渐减小 C．返回舱落地前，反推发动机点火减速，宇航员处于失重状态 D．用返回舱的轨迹长度和返回时间，可计算其平均速度的大小 3．（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 4．（2024·河北·高考真题）（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（   ） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 5．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    / 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.4 宇宙航行 【题型导航】 【重难题型讲解】 1 题型1 宇宙速度 1 题型2 人造卫星 6 题型3 同步卫星、极地卫星和近地卫星 11 题型4 不同轨道人造卫星的参数比较 16 题型5 的应用（、多星等问题） 21 【能力培优练】 29 【链接高考】 43 【重难题型讲解】 题型1 宇宙速度 1、第一宇宙速度（环绕速度） （1）大小：7.9km/s。 （2）意义：①卫星环绕地球表面运行的速度，也是绕地球做匀速圆周运动的最大速度。②使卫星绕地球做匀速圆周运动的最小地面发射速度。 2、第二宇宙速度（脱离速度） （1）大小：11.2 km/s。 （2）意义：使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度。 （3）在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v=11.2 km/s。 3、第三宇宙速度（逃逸速度） （1）大小：16.7km/s。 （2）意义：使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度。 （3）在地面上发射物体，使之最后能脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小速度，其大小为v=16.7km/s。 ★特别提醒 1、三个宇宙速度都有自身的物理意义，要准确记住其意义及具体的数值。 2、每个天体都有自己的宇宙速度，课本上介绍的只是地球的三大宇宙速度。 4、第一宇宙速度的计算：地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，地球半径R。（r=R）。 （1）方法一：由万有引力提供向心力得：（r=R）➯。 （2）方法二：由重力提供万有引力得：（r=R）➯。 ★特别提醒 1、第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，是最大的环绕速度，当卫星以该速度运行时，相当于在中心天体附近绕行，轨道半径近似等于中心天体的半径。 2、卫星绕天体做圆周运动时，如果已知环绕周期，也可以根据计算环绕速度。 3、第一宇宙速度的计算公式，应根据题目给出的条件选择恰当的公式来计算。 5、三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值（km/s） 意义 第一宇宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度 第二宇宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 【探究归纳】三个宇宙速度分别对应绕地圆周、脱离地引、脱离太阳引的最小发射速度，是万有引力定律在航天领域的具体应用。 【典例1-1】若火星质量是月球的N倍，火星半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（　　） A．火星的第一宇宙速度是月球的倍 B．火星的第一宇宙速度是月球的倍 C．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 D．火星表面的重力加速度大小是月球表面的倍 【答案】D 【详解】AB．根据牛顿第二定律得 解得 火星的第一宇宙速度是月球的倍，AB错误； CD．根据 解得 星表面的重力加速度大小是月球表面的倍，C错误，D正确。 故选D。 【典例1-2】（多选）“格利泽 581 g”是太阳系外的一颗行星，由于该行星的温度可维持表面存在液态水，科学家推测这或将成为第一颗被发现的类似地球的星球，遗憾的是一直到现在科学家对该行星的研究仍未有突破性的进展。这颗行星距离地球约20 亿光年（189.21 万亿公里），公转周期约为37年，半径大约是地球的2倍，其星球表面的重力加速度可认为与地球几乎相等。则下列说法正确的是（　　） A．“格利泽581g”星的第一宇宙速度等于7.9 km/s B．该行星的平均密度约是地球平均密度的 C．该行星的质量约为地球质量的8倍 D．在地球上发射航天器前往“格利泽 581 g”星，其发射速度至少要达到 16.7km/s 【答案】BD 【详解】A．由于物体在星球表面上飞行时有 解得 由于7.9km/s是地球表面的物体运行的速度，所以行星与地球的第一宇宙速度之比为 可知飞船在Gliese581g表面附近运行时的速度为，它大于7.9km/s，故A错误； B．由于物体在星球上受到万有引力，则有 则星球的质量 星球的密度 解得 可见，星球的密度与其半径成反比，由于行星的半径与地球的半径之比为2:1，所以它们的密度之比为1:2，故B正确； C．由上可知星球的质量 所以星球的质量与其半径的平方成正比，即该行星与地球的质量之比为4:1，故C错误； D．由于该行星是在太阳系之外的，故需要飞出太阳系，所以航天器的发射速度至少要达到第三宇宙速度，即16.7km/s，故D正确。 故选BD。 【典例1-3】在某一球形匀质星球表面，一物体在赤道处的重力比它在两极处的重力少0.01%，已知该星球自转周期为T，半径为R，引力常量为G。求： (1)该星球第一宇宙速度速度v1； (2)该星球密度。 【详解】（1）设两极处的重力加速度为，赤道处的重力加速度为 根据题意有 在两极处有 在赤道处有 解得 根据万有引力提供向心力，有 联立可得第一宇宙速度 （2）根据 解得 跟踪训练12025年2月11日17时30分，我国在文昌航天发射场成功将卫星互联网低轨02组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，卫星（　　） A．发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度 B．发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度 C．发射速度大于第三宇宙速度 D．在工作轨道上运行速度大于7.9km/s 【答案】A 【详解】ABC．卫星进入地球轨道需达到第一宇宙速度（7.9km/s），但未脱离地球引力，故发射速度介于第一和第二宇宙速度（11.2km/s）之间，故A正确，BC错误； D．第一宇宙速度是近地轨道的最大环绕速度，轨道半径越大，速度越小。低轨卫星轨道略高于近地轨道，运行速度略小于7.9km/s，故D错误。 故选A。 跟踪训练2（多选）如图所示，a 为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b 为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c 为地球的静止卫星。下列关于 a、b、c 的说法中正确的是（    ） A．a、b、c 做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab ac aa B．b 卫星运行的线速度约等于7.9 km/s C．在a、 b、c 中，c 的线速度最大 D．a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为 【答案】AB 【详解】A．a、c圆周运动的角速度相等，但a的半径小于c的速度，根据可知， 又根据得，故 故，故A正确； B．b 为地球的近地卫星，其运行的线速度约等于地球的第一宇宙速度，即，故B正确； C．a、c圆周运动的角速度相等，但a的半径小于c的速度，故c的线速度比a的大，又根据万有引力提供向心力有 得 故b的线速度比c的大，综合以上，b的线速度最大，故C错误； D．由题意可知， 根据万有引力提供向心力有 得 故 故a、b、c 做匀速圆周运动的周期关系为，故D错误。 故选AB。 跟踪训练3我国的航天事业取得了巨大成就，发射了不同用途的人造地球卫星，它们在不同的轨道上绕地球运行。若一颗质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星到地面的距离为h。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R。 (1)推导地球的第一宇宙速度； (2)推导该卫星运行时动能的表达式； (3)开普勒通过大量的观测数据得出所有行星椭圆轨道的半长轴a的立方跟它的公转周期T的平方之比等于一个常量，请你论证对于围绕地球做匀速圆周运动的卫星同样满足类似的规律。 【详解】（1）万有引力提供圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得 解得地球的第一宇宙速度 （2）根据万有引力提供圆周运动的向心力，则有 根据动能的公式 联立解得卫星的动能表达式 （3）根据万有引力提供向心力，则有 根据周期的公式 联立可得 解得 即围绕地球做匀速圆周运动的卫星同样满足类似的规律。 题型2 人造卫星 1、人造卫星的加速度、周期和轨道的关系 （1）向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，即F＝，再根据牛顿第二定律可得，随着轨道半径的增加，卫星的向心力和向心加速度都减小。 （2）线速度v：由得，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。 （3）角速度ω：由得，随着轨道半径的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小。 （4）周期T：由得，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。 ★特别提醒 上述讨论都是卫星做匀速圆周运动的情况，而非变轨时的情况。 2、卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律 ★特别提醒 在高中阶段，一般把卫星的运行看作匀速圆周运动，万有引力完全充当圆周运动的向心力。但是计算的公式比较多，需要根据题目给出的参数，选择恰当的公式进行计算。 【探究归纳】人造卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，轨道半径越大，线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大，各物理量与卫星自身质量无关。 【典例2-1】目前，环绕地球运行的卫星有五千多颗，若卫星均绕地球做圆周运动，卫星与地球的张角为2θ，则下列判断正确的是（　　） A．卫星运行的线速度与sinθ成正比 B．卫星运行的线速度与sin2θ成正比 C．卫星运行的周期与sin3θ成反比 D．卫星运行的周期与成反比 【答案】D 【详解】AB．设地球的半径为R，则卫星做圆周运动的轨道半径 由万有引力定律 解得 卫星运行的线速度与成正比，故AB错误； CD．由万有引力定律 解得 卫星运行的周期与成反比，故C错误，D正确。 故选D。 【典例2-2】（多选）已知某围绕地球运行的卫星距离地面的高度为，卫星轨道处的重力加速度大小为，地球半径为，引力常量为，以下说法正确的是（　　） A．地球的质量为 B．该卫星的周期为 C．地球的第一宇宙速度为 D．地球的密度为 【答案】BC 【详解】A．根据 解得地球的质量为，故A错误； B．根据 该卫星的周期为，故B正确； C．根据 代入A选项解得的地球质量，解得地球的第一宇宙速度为，故C正确； D．根据 解得地球的密度为，故D错误。 故选BC。 【典例2-3】一卫星绕地球做匀速圆周运动，已知地球半径为，卫星离地面的高度为，地球表面的重力加速度大小为，求： (1)卫星运动的加速度大小； (2)卫星运动的周期。 【详解】（1）在地球表面有 卫星绕地球做匀速圆周运动有 解得 （2）根据匀速圆周运动的加速度公式有 解得 跟踪训练12025年5月29 日，天问二号探测器成功发射，将对小行星2016HO3开展探测并采样返回。小行星可视为质量分布均匀的球体，半径约为50m，密度约为地球的一半。已知地球半径为6400km，地球表面的重力加速度为9.8m/s2。假设探测器仅在小行星万有引力作用下，贴近小行星表面做匀速圆周运动，探测器的环绕速度最接近（　　） A． B． C． D．4.4m /s 【答案】B 【详解】在星球表面有 又 联立可得 可得小行星表面重力加速度为 探测器贴近小行星表面做圆周运动时，则有 可得探测器的环绕速度为 故选B。 跟踪训练2（多选）2023年10月31日，神舟十六号载人飞船成功返回地球，桂海潮航天员成为中国首位戴眼镜完成航天飞行任务的载荷专家，神舟十六号飞船与空间站对接以后，在距地球表面的太空绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为，地球表面的重力加速度，则关于桂海潮航天员在太空中的描述正确的有（   ） A．他在太空的重力加速度为0 B．他在太空的重力加速度约为 C．他在太空每天能看到约10次日出 D．他在太空每天能看到约16次日出 【答案】BD 【详解】A．航天员在太空中处于完全失重状态，即飞船对航天员的支持力为0，但重力加速度不为0，A错误； B．由与黄金代换式得，B正确； CD．由与黄金代换式得，地球自转周期为 每天看到日出的次数 次，故D正确，C错误。 故选BD。 跟踪训练3某卫星沿椭圆轨道1运动，P点是轨道1的近地点，到地心的距离为r，卫星运动到椭圆轨道的远地点Q时变轨进入圆轨道2，到地心距离为3r，已知地球质量为M，引力常量为G，求： (1)卫星在轨道2上运行速度v； (2)卫星在P点的加速度大小a。 【详解】（1）卫星在轨道2上运行时由万有引力提供向心力得 解得 （2）卫星在P点由牛顿第二定律得 解得 题型3 同步卫星、极地卫星和近地卫星 1、同步卫星：位于地面上方高度约36000km处，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103m/s，同步卫星又分为静止卫星和倾斜轨道“同步”卫星。 2、静止卫星：指相对于地面静止的人造卫星，它跟着地球做匀速圆周运动，周期T=24h。静止卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条；所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着。 3、静止卫星的几个定值 （1）轨道平面一定：赤道平面。 （2）周期与角速度一定：T=24h。 （3）轨道半径一定:r=6.6R。 （4）线速度大小一定:v=3.08km/s。 （5）运转方向一定:自西向东，与地球自转的角速度相同。 （6）向心加速度的大小一定:。 （7）绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 （8）同步卫星高度：同步卫星的高度约为36000千米，它们位于赤道上方，保持相对于地面静止。 ★特别提醒 同步卫星是相对地球静止的卫星，运行周期与地球自转周期一致，所以其轨道半径、线速度、角速度等都是确定数值。 4、静止卫星的用途：主要用于通信，故也称通信卫星。3颗同步卫星可实现全球覆盖,为了使同步卫星之间不相互干扰，大约3°左右才能放置一颗同步卫星，也就是说，地球上空只能放下120颗同步卫星。截止2012年，已发射100多颗。 5、倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。 6、极地卫星和近地卫星 （1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。 线速度推断：由、（地球半径）；得 （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 ★特别提醒 近地卫星最大的特点就是轨道半径可以近似等于地球半径，既可以应用普通卫星受到的万有引力完全提供向心力的规律，也可以满足万有引力近似等于重力的黄金代换式，是联系“地”与“天”的桥梁。 【探究归纳】同步卫星定点赤道上空、周期与地球自转相同，极地卫星过地球两极、可全球覆盖，近地卫星贴近地表、轨道半径近似地球半径，三者均由万有引力提供向心力。 【典例3-1】北斗问天，国之夙愿，我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍，则该地球静止轨道卫星（　　） A．其发射速度一定大于11.2km/s B．在轨道上运动的线速度等于7.9km/s C．环绕地球运动的轨道是圆 D．它可以经过北京正上空，所以我国能利用它进行电视直播 【答案】C 【详解】A．地球静止轨道卫星其发射速度一定大于7.9km/s 且小于11.2km/s，故A错误； B．7.9km/s为近地卫星的最大环绕速度，地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，则地球静止轨道卫星的线速度一定小于7.9km/s，故B错误； C．地球静止轨道卫星环绕地球运动的轨道是圆，故C正确； D．地球静止轨道卫星在赤道平面，因此不经过北京上空，故D错误。 故选C。 【典例3-2】（多选）如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星。B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。下列说法中正确的是（　　） A．卫星B的速度大于地球的第一宇宙速度 B．A、B的线速度大小关系为vA<vB C．B、C的向心加速度大小关系为aB<aC D．A、B、C周期大小关系为TA=TC>TB 【答案】BD 【详解】A．第一宇宙速度是最大的环绕速度，则卫星B的速度小于地球的第一宇宙速度，故A错误； B．对AC角速度相等，根据v=ωr可知， 对BC根据 可得 则 可知A、B的线速度大小关系为vB>vA，故B正确； C．根据 可得 可知B、C的向心加速度大小关系为aB>aC，故C错误； D．对AC角速度相等，周期相等 对BC，根据开普勒第三定律可知 可知 即A、B、C周期大小关系为TA=TC>TB，故D正确。 故选BD。 【典例3-3】我国“天问一号”探测器成功着陆火星，已知火星半径为，自转周期为，火星表面重力加速度为（忽略自转影响），引力常量为。 (1)求火星的质量； (2)若在火星表面发射一颗火星同步卫星，求该同步卫星距离火星表面的高度。 【详解】（1）在天体表面（忽略自转影响），有 解得火星的质量 （2）对同步卫星，根据万有引力提供向心力有 联立解得 可得该同步卫星距离火星表面的高度为 跟踪训练1如图所示，人造地球卫星A、B均做匀速圆周运动且轨道半径相等，卫星B为地球静止卫星，下列说法错误的是（　　） A．A、B运动的线速度大小相等 B．B是同步卫星，A不是同步卫星 C．B运动方向与地球自转方向相同 D．A是地球同步卫星，周期为24h 【答案】B 【详解】A．根据万有引力提供向心力，则有 解得 由于卫星A、B均做匀速圆周运动且轨道半径相等，则A、B运动的线速度大小相等，故A正确，不符合题意； B．根据万有引力提供向心力，则有 解得 由于卫星A、B均做匀速圆周运动且轨道半径相等，则A、B运动的周期相等，卫星B为地球静止卫星，则A、B均是同步卫星，故B错误，符合题意； C．卫星B为地球静止卫星，则B运动方向与地球自转方向相同，故C正确，不符合题意； D．结合上述可知，A是地球同步卫星，周期为24h，故D正确，不符合题意。 故选B。 跟踪训练2（多选）太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，其基座固定在地球赤道上，用一根竖直的缆绳与距地面高度约3.6×107米的地球同步轨道上的太空站相连，如图所示，升降舱可以将乘客送入太空站内。设地球半径为R，同步轨道上的太空站离地面的高度为5.6R，当升降舱停在离地球表面高度为2.3R处时，它绕地心做圆周运动的线速度大小为v2，与它在相同高度绕地球做圆周运动的卫星线速度大小为v3，同步轨道上的太空站的线速度大小为v4，地球的第一宇宙速度为v1，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】B．根据得 ，B正确； D．根据牛顿第二定律得，解得 所以，D错误； C．根据得， 根据，得，，C正确； A．根据得， 根据，得，，A错误。 故选BC。 跟踪训练3利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。已知地球的质量为M、半径为R、自转周期为T，引力常量为 (1)求地球同步卫星距地面的高度； (2)假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，求地球自转周期的最小值。 【详解】（1）对于同步卫星，由万有引力提供向心力得 解得 （2）由几何关系可知三颗同步卫星的连线构成等边三角形且三边与地球相切，地球同步卫星的轨道半径变为 由万有引力提供向心力得 解得 题型4 不同轨道人造卫星的参数比较 1、卫星运行的一般规律如下： ①→ ②→ ③→ ④→ 由此可知，当运行半径r增大时，卫星运行的线速度v减小，角速度ω减小，加速度a减小，周期T变大。所以可总结出一条规律为“高轨低速长周期”。即轨道大时，速度（“所有的速度”：线速度、角速度、加速度）较小、周期较大。 2、卫星的运行参数如何与赤道上物体运行的参数相比较？ 赤道上运行的物体与同步卫星处在同一个轨道平面，并且运行的角速度相等，所以比较赤道上物体与一般卫星的运行参数时，可以通过同步卫星建立联系。 ★特别提醒 对于不同轨道上的卫星（或物体），要想比较他们的运行参数，一般遵循的原则是，“天比天，直接比；天比地，要帮忙”，即卫星与卫星之间可以通过万有引力提供向心力直接进行分析比较，而卫星与赤道上物体的比较，则需要借助同步卫星进行分析。 3、三种不同轨道卫星的参数对比 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去重力 轨道半径 r2＞r3＝r1 角速度 由＝mω2r，得ω＝ ，故ω1＞ω2 同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3 ω1＞ω2＝ω3 线速度 由＝，得v＝，故v1＞v2 由v＝rω，得v2＞v3 v1＞v2＞v3 向心加速度 由＝man，得an＝，故a1＞a2 由an＝ω2r，得a2＞a3 a1＞a2＞a3 4、人造卫星与月球参数对比 离地面距离（h） 离地心距离（r） 线速度（v） 公转周期（T） 月球 3.8×108m 约3.8×108m 1km/s 27.3天 同步卫星 3.6×107m 4.2×107m 3.08km/s 24h 近地卫星 约0 6.4×106m 7.9km/s 84分钟 【探究归纳】不同轨道人造卫星的核心参数由轨道半径决定，半径越大线速度、角速度、向心加速度越小，周期越大，同步、极地、近地卫星因轨道差异呈现对应参数特征。 【典例4-1】某科学卫星在赤道平面内自西向东绕地球做匀速圆周运动，对该卫星监测发现，该卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的一半。则下列说法正确的是（　　） A．该科学卫星的速度小于地球同步卫星的速度 B．该科学卫星在轨运行周期为 C．该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍 D．该科学卫星和地球同步卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积相等 【答案】B 【详解】AC．万有引力提供卫星圆周运动的向心力，由牛顿第二定律可得 解得 结合题意可知 因此科学卫星的速度与地球同步卫星的速度之比为 即该科学卫星在轨运行线速度是地球同步卫星在轨运行线速度的倍，故AC错误； B．根据开普勒第三定律可得 结合题意可知， 联立解得，故B正确； D．科学卫星与地心连线在时间内扫过的面积为 地球同步卫星与地心连线在时间内扫过的面积 二者之比为，故D错误。 故选B。 【典例4-2】（多选）我国低轨道卫星的发射与运行在国防建设和环境检测方面发挥了重要作用。其中有一颗低轨卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度为v、加速度为a，轨道半径为r。不考虑地球的自转影响，地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，地球的第一宇宙速度为，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】AB．根据， 可得，故A正确，B错误； CD．根据万有引力提供向心力得 可得 同理可得地球的第一宇宙速度为 则有，故C正确，D错误。 故选AC。 跟踪训练1如图甲所示，两颗人造地球卫星1、2在同一平面内沿相同方向绕地球做匀速圆周运动，周期分别为、，轨道半径分别为、。某时刻开始计时，两卫星的间距随时间t变化的关系如图乙所示，已知。则等于（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】根据图像可知，经过时间两卫星再次相距最近，则有 根据题意有，解得 根据开普勒第三定律 解得 故选A。 跟踪训练2（多选）A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动，它们之间的距离随时间变化的关系图像如图所示。已知地球的半径为0.9r，引力常量为G，卫星A的线速度大于卫星B的线速度，不考虑A、B之间的万有引力，则下列说法正确的是（　　） A．卫星A的加速度小于卫星B的加速度 B．卫星A与B的周期之比为 C．地球的质量为 D．地球的第一宇宙速度为 【答案】BD 【详解】A．卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设轨道半径为R，则有 解得 即半径越小，线速度越大，由题知卫星A的线速度大于卫星B的线速度，则，又根据 解得 所以，选项A错误； BC．由题图可知， 联立可得， 由题图可知每隔时间T两卫星距离最近，设A、B的周期分别为、，则有 由开普勒第三定律有 联立可得， 可知 由 解得地球质量，选项B正确，C错误； D．第一宇宙速度是最大的运行速度，由 可得，选项D正确。 故选BD。 · 题型5 的应用（、多星等问题） 1、卫星的发射及变轨问题 （1）卫星从发射到入轨运行不是一蹴而就的，要经过多次的轨道变化才能实现。 （2）一般来说卫星的发射包括以下步骤： ①发射地球卫星，如下图 a、先进入近地轨道Ⅲ b、在B点加速进入椭圆轨道Ⅱ c、在远地点A加速进入高轨道Ⅰ ②发射其他行星的卫星，如下图（以月球为例） a、先进入近地轨道 b、加速进入椭圆轨道 c、多次在近地点加速增加远地点高度，从而进入地月转移轨道 d、在地月转移轨道上的某点被月球引力俘获进入月球轨道 e、在近地点减速减小远地点高度 f、进入环月轨道 ★特别提醒 （1）对于卫星的变轨问题，常用的规律是“加速进高轨，减速进低轨”。意思就是如果卫星想要进入更高的轨道，需要向后喷气做加速运动；如果想要进入更低的轨道，需要向前喷气做减速运动。 （2）变轨的原理：离心作用。 ①当向后喷气时，卫星速度变大，做圆周运动所需的向心力变大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星就要做离心运动进入更高的轨道运行。 ②当向前喷气时，卫星速度变小，做圆周运动所需的向心力变小，万有引力大于卫星所需的向心力，卫星就要做近心运动进入较低的轨道运行。 （4）变轨前后的机械能变化：向后喷气时，相当于气体对卫星做了正功，卫星的机械能增大；向前喷气时，相当于气体对卫星做了负功，卫星的机械能减小。 2、航天器中的失重现象 （1）完全失重状态：人造地球卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后，其中的人和物将处于失重状态。航天器进入轨道后可以近似认为是绕地球做圆周运动，做圆周运动的物体的速度方向是时刻改变的，因而具有加速度，它的大小等于卫星所在高度处的重力加速度的大小。这跟在以重力加速度下降的升降机中发生的情况类似，航天器中的人和物都处于完全失重状态。 （3）在宇宙飞船中就会发生什么现象呢？ 物体将飘在空中，液滴呈绝对球形，气泡在液体中将不会上浮，食物要做成块状或牙膏似的糊状，以免食物的碎渣“漂浮”在空中，进入宇航员的眼睛、鼻孔等等。 （3）在太空中一切与力有关的仪器都将无法使用。比如弹簧测力计、电子秤等都将不能再使用了。 ★特别提醒 （1）航天器中的物体在万有引力的作用下做圆周运动，万有引力完全充当了物体所需的向心力，所以航天器中的物体都处于完全失重状态。 （2）很明显，完全失重状态并不是说物体不受到力的作用了，而是物体受到的力完全提供了它做圆周运动的向心力。物体的向心加速度等于所在轨道处的重力加速度。 3、卫星的追及相遇问题 （1）卫星的对接问题 ①在卫星运行的过程中，会遇到这样的一类问题，那就是处于低轨道的物体要和高轨道的物体相会和；或处于高轨道的物体要和低轨道的物体相会和。在现实中的应用比如卫星的对接。 ②卫星对接的原理可以简单概括为：加速进高轨，减速进低轨。本质上是近心和离心作用。 ③现实生活中的卫星对接常常一般采用从低轨加速进入高轨的方式完成对接。 （2）卫星角速度不同引起的共线问题 ①不同轨道的卫星运行的速度不同，如果某一个时刻两个卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧），一定时间后它们还会再次共线。这种情况也可以认为卫星发生了追及相遇现象。 ②这类问题的本质可以看成卫星运行的角速度不同引起的，根据角速度与角度的关系可以得出，每一次卫星与中心天体在一条直线上（卫星在天体同一侧）时有：（ω1-ω2）t=2nπ，n=1，2，3，... ★特别提醒 （1）卫星在万有引力的作用下做圆周运动，它们的追及相遇问题不再类似于常见的固定轨道的追及相遇问题。因为卫星的速度变化必定会带来轨道半径的变化。 （2）当处理卫星角速度不同引起的共线问题时，要先画出草图，找出角度关系，然后利用角速度之差求解相关物理量。 4、双星系统及相关计算 （1）模型特点：众多的天体中如果有两颗恒星，它们靠得较近，在万有引力作用下绕着它们连线上的某一点共同转动，这样的两颗恒星称为双星。 （2）模型特点 ①两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的运动周期、角速度相同。 ④两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r1+r2=L。 （3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即。 （4）两个结论： ①运动半径：m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。 ②质量之和：由于，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和为。 ★特别提醒 解双星问题的两个关键点 （1）对于双星系统，要抓住三个相等，即向心力、角速度、周期相等。 （2）万有引力公式中L是两星球之间的距离，不是星球做圆周运动的轨道半径。 （3）对于多星问题（三星、四星），需要牢记任何一个天体运动的向心力是由其他天体的万有引力的合力提供的。 5、多星系统及相关计算 （1）定义：由多个天体组成的系统叫作多星系统。 （2）三星系统：由三个天体组成的系统叫作三星系统。常见的三星系统有两种： ①三颗恒星在一条直线上，一起绕着某个点运行 ②三个恒星不在一条直线上，一起绕着某个点运行 （3）研究多星系统的基本思路是，每一颗恒星都仅受到其它恒星的引力作用，这些引力的合力要么提供它做圆周运动的向心力，要么使它处于平衡状态。 【探究归纳】宇宙速度结合万有引力定律，可分析卫星变轨的加速减速操作、追及的轨道半径调整，及双星多星的引力向心力等效关系与参数求解。 【典例5-1】神舟二十一号发射前夕，中国空间站完成了一次“太空芭蕾”，空间站近地点从378.2 km抬升至，远地点从抬升至。空间站（　　） A．变轨后的运行周期较小 B．变轨前后的运行周期相同 C．在远地点减速可抬升近地点 D．在近地点加速可抬升远地点 【答案】D 【详解】AB．根据开普勒第三定律，轨道周期的平方与半长轴的三次方成正比（）。变轨后，近地点和远地点的平均值（即半长轴）增大，因此周期应增大，故AB错误； C．在远地点减速会导致卫星动能减少，地球引力作用占优，轨道整体收缩，近地点反而可能降低，与题干中近地点抬升的现象矛盾，故C错误； D．根据霍曼转移原理，在近地点加速会使卫星进入更高椭圆轨道，远地点被抬升，与题干描述一致，故D正确。 故选D。 【典例5-2】（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的星体，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，且，，万有引力常量为G。则（　　） A．星球A、B做圆周运动的线速度之比为1:3 B．星球A、B做圆周运动的角速度之比为3:1 C．星球B做圆周运动的周期为 D．若质量较大的A星球会“吸食”质量较小的B星球的表面物质，从而实现质量转移。则在“吸食”的最初阶段，A、B运动的周期变大 【答案】AC 【详解】AB．对双星系统，彼此之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力，有， 可得 A、B做圆周运动的角速度相同，半径与质量成反比，由，知线速度之比为，故A正确、B错误； C．根据 又，则，故C正确； D．由于质量在两星球间转移，总质量不变，由，则周期不变，故D错误。 故选AC。 【典例5-3】如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 【详解】（1）在赤道表面上的物体，根据重力与万有引力之间的关系有 对探测卫星有 联立解得该星球赤道表面上的重力加速度大小 （2）根据开普勒第三定律可得 可得近地卫星的周期为 该星球的第一宇宙速度为 （用其他表达式求出也可） （3）由几何知识知，卫星与观测站能保持通信，则卫星、观测站和星球球心连线的夹角最大为，由 解得 跟踪训练12025年5月29日凌晨1时31分，天问二号在西昌卫星发射中心成功发射，其主要任务之一是完成对小行星2016HO3的伴飞、取样并返回地球。如图所示，Ⅰ轨道和Ⅱ轨道为其中的两个轨道，下列说法正确的是（　　） A．天问二号在Ⅰ轨道上运行时加速度可能为零 B．天问二号在Ⅱ轨道上运行的周期大于在Ⅰ轨道上运行的周期 C．天问二号在Ⅱ轨道上通过P点时的速度小于通过N点时的速度 D．天问二号在Ⅰ轨道上通过P点时的速度大于在Ⅱ轨道上通过P点时的速度 【答案】D 【详解】A．天问二号在Ⅰ轨道上运行时做曲线运动，加速度不可能为零，故A错误； B．天问二号在Ⅰ轨道上运行的半长轴大于在Ⅱ轨道上运行的半长轴，根据开普勒第三定律可知，天问二号在Ⅰ轨道上运行的周期大于在Ⅱ轨道上运行的周期，故B错误； C．天问二号从P点到N点做减速运动，在Ⅱ轨道上通过P点时的速度大于通过N点时的速度，故C错误； D．Ⅱ轨道相对于Ⅰ轨道是低轨道，由高轨道变轨到低轨道需要在切点位置减速，所以天问二号在Ⅱ轨道上通过P点时的速度小于在Ⅰ轨道上通过P点时的速度，故D正确。 故选D。 跟踪训练2（多选）如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M，万有引力常量为G，则（　　） A．甲星所受合外力为 B．乙星所受合外力为 C．甲星和丙星的线速度相同 D．甲星和丙星的角速度相同 【答案】AD 【详解】A．甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，则有 故A正确； B．根据对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合外力为零，故B错误； C．结合上述，根据牛顿第二定律有 解得 由于甲、丙的轨道半径相等，所以线速度大小相等，但方向不同，故线速度不同，故C错误； D．根据 可知，甲、丙角速度相同，故D正确。 故选AD。 跟踪训练3a、b两颗卫星均在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，a为近地卫星，b卫星离地面高度为3R，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，试求： (1)a、b两颗卫星周期分别是多少？ (2)a、b两颗卫星速度之比是多少？ (3)某时刻两卫星正好同时通过赤道上同一点正上方，则至少经过多长时间两卫星相距最远？ 【详解】（1）根据万有引力提供向心力，其中a为近地卫星，轨道半径为地球半径R，b卫星的轨道为4R 根据黄金代换 联立解得a卫星周期，b卫星周期 （2）根据万有引力提供向心力，解得 故二者速度之比是 （3）设经过时间两卫星第一次相距最远，此时a卫星比卫星b多走半圈，即 解得 【能力培优练】 1．假设火星和地球绕太阳均做匀速圆周运动，火星公转周期约为687天。则火星（   ） A．轨道半径比地球的小 B．线速度比地球的大 C．加速度比地球的大 D．角速度比地球的小 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律，轨道半径的三次方与公转周期的平方成正比，即 火星的周期（687天）大于地球的周期（365天），故火星的轨道半径比地球大，A错误； B．由 得 火星的轨道半径更大，因此线速度更小，B错误； C．由 得 火星的轨道半径更大，加速度更小，C错误； D．由，火星的周期更大，角速度更小，D正确。 故选D。 2．如图所示某火星探测器从地球表面发射后，进入地火转移轨道，经过A 点时变轨进入距离火星表面2R高的圆形轨道I上做匀速圆周运动，经过B 点时再次变轨进入椭圆轨道II，之后在椭圆轨道的近火点C再次变轨到近火圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。已知火星半径为R。下列说法错误的是（　　） A．探测器在轨道I运行的周期比在轨道II时长 B．探测器在轨道Ⅱ、Ⅲ上经过C点时的加速度相等 C．探测器在轨道I上经过B点时应加速实施变轨 D．在轨道II上探测器经过C点的速率大于经过B点时的速率 【答案】C 【详解】A．轨道I的轨道半径大于轨道II的半长轴，根据开普勒第三定律可知，探测器在轨道I运行的周期比在轨道II时长，故A正确，不符合题意； B．根据牛顿第二定律有 解得 可知，探测器在轨道Ⅱ、Ⅲ上经过C点时的加速度相等，故B正确，不符合题意； C．轨道I相对于轨道II是高轨道，由高轨道变轨到低轨道需要在切点位置减速，可知，探测器在轨道I上经过B点时应减速实施变轨，故C错误，符合题意； D．C为近火点，B为远火点，根据开普勒第二定律可知，在轨道II上探测器经过C点的速率大于经过B点时的速率，故D正确，不符合题意。 故选C。 3．飞船从圆轨道I，通过变轨后，沿椭圆轨道II由处运动到处，与沿圆轨道III运行的天和核心舱在B处对接，对接后的组合体继续在圆轨道III上运行。在上述过程中，下列说法正确的是（　　） A．飞船由轨道II变轨到轨道III，需在B处减速 B．飞船在轨道II上B处与在轨道III上B处的加速度相等 C．飞船在轨道I上A处的速度小于在轨道III上B处的速度 D．飞船在轨道II上由到的时间大于在轨道III上运行周期的一半 【答案】B 【详解】A．需在处加速离心，才能由轨道II变轨到轨道III，A错误； B．根据牛顿第二定律，飞船在轨道II上和轨道III上经过处时的加速度相等，加速度大小为，B正确； C．根据万有引力提供向心力 解得，轨道半径越小，速度越大，所以在轨道I上处的速度大于在轨道III上处的速度，C错误； D．根据开普勒第三定律，在轨道II上运行周期小于在轨道III上运行周期，所以在轨道II上由到的时间小于在轨道III上运行周期的一半，D错误。 故选B。 4．2025年6月26日，神舟二十号航天员乘组经过约6.5小时的出舱活动，顺利完成了舱外设备设施巡检及处置等任务。关于宇航员在舱外活动，下列判断正确的是（　　） A．研究宇航员的运动姿态时，可以把宇航员视为质点 B．宇航员与空间站相对静止时，宇航员受到的合力为零 C．宇航员随空间站一起运动时的速度大于第一宇宙速度 D．宇航员随空间站一起运动时的加速度小于地球表面的重力加速度 【答案】D 【详解】A．研究宇航员的运动姿态时，宇航员的形状大小不能忽略不计，不可以把宇航员视为质点，故A错误； B．宇航员与空间站相对静止时，宇航员受到的万有引力提供向心力，合力不为零，故B错误； C．由万有引力提供向心力得 可得 第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，所以宇航员随空间站一起运动时的速度小于第一宇宙速度，故C错误； D．根据牛顿第二定律可得 可得 可知宇航员随空间站一起运动时的加速度小于地球表面的重力加速度，故D正确。 故选D。 5．2025年7月15日天舟九号货运飞船在文昌航天发射场成功发射，据有关资料显示：天舟九号装载量创历史新高，并采用3小时快速交会对接模式，成功与轨道高度约为的天和核心舱实现对接，相比传统方案节省90%的时间，它不仅是我国航天工程的“太空快递员”，更是空间站常态化运营的“生命线”。以下关于天舟九号货运飞船的说法，正确的是（　　） A．天舟九号的发射速度应当超过第二宇宙速度而小于第三宇宙速度 B．成功对接并稳定运行后，天舟九号中的货物处于失重状态，不受地球吸引力 C．天舟九号为了与在较高轨道的天和核心舱对接，需在较低轨道加速后才能实现对接 D．天舟九号与天和核心舱对接后稳定运行的速度小于地球同步卫星的速度 【答案】C 【详解】A．天舟九号的发射速度应当超过第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故A错误； B．成功对接并稳定运行后，天舟九号中的货物处于失重状态，并不是不受地球吸引力，而是地球吸引力全部用来充当向心力，故B错误； C．从低轨道变轨到高轨道需要加速，故C正确； D．根据万有引力提供向心力有 解得 天舟九号与天和核心舱对接后稳定运行的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，运行速度比地球同步卫星的速度大，故D错误。 故选C。 6．2021年2月 25日从中国科学院云南天文台获悉，近期国内多个团队合作，利用清华大学一马化腾巡天望远镜(TMTS)，发现了一颗距离地球2761光年的致密双星系统-TMTSJ0526，已知组成某双星系统的两颗恒星A 和B，质量分别为m1和m2，相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点，在同一平面内做匀速圆周运动，运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．A和B的角速度之比为 B．A和B的向心加速度大小之比为 C．A的轨道半径为 D．A和B的运动周期均 【答案】D 【详解】A．双星系统中，两星体的角速度相同，故A和B的角速度之比为，故A错误； B．双星系统中，由相互作用的万有引力提供向心力，所以A和B的向心力大小相等，则有 可得A和B的轨道半径之比为 根据，可得A和B的向心加速度大小之比为，故B错误； C．根据， 可得A的轨道半径为，故C错误； D．根据万有引力提供向心力可得， 联立解得A和B的运动周期均，故D正确。 故选D。 7．在电影《流浪地球2》中出现了太空电梯的科幻设想，有人设想：用石墨烯制作超级缆绳连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，利用超级缆绳承载太空电梯从地球基地向空间站运送物资（如图所示）。已知地球半径为，地球自转周期为，地球北极表面重力加速度大小为，万有引力常量为。当太空电梯停在距地面的站点时，质量为的货物对太空电梯的压力大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】设质量为m0的物体在北极地面处于静止状态，则有 解得 货物质量为m，在距地面高3R站点受到的万有引力为 货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为N，则有 解得 根据牛顿第三定律可知，货物对太空电梯的压力大小为，故选D。 8．中国空间站工程“巡天”望远镜（简称CSST）将于2024年前后投入运行，CSST以“天宫”空间站为太空母港，日常工作时与空间站共轨独立飞行，且与空间站保持适当距离，在需要补给或者维修升级时，主动与“天宫”交会对接，停靠太空母港。已知地球半径为，空间站圆形轨道距地球表面高度为，地球表面的重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．CSST停靠太空母港时，组合体运行的周期为 B．CSST日常工作时运行速度可能大于第一宇宙速度 C．CSST日常工作时线速度的大小为 D．若CSST工作时位于“天宫”前方，仅通过减速即可与“天宫”快速对接 【答案】C 【详解】A．CSST停靠太空母港时，由万有引力提供向心力，则有 在地球表面，对质量为的物体有 联立解得，故 A 错误； B．根据万有引力提供向心力，则有 解得 由于CSST日常工作时轨道半径大于地球的半径,因此CSST日常工作时运行速度一定小于第一宇宙速度，故 B 错误； C．CSST 日常工作时，万有引力提供向心力 解得线速度 结合 解得，故C正确； D．若CSST 位于“天宫”前方时减速，速度减小导致所需向心力 小于万有引力，将做向心运动（轨道半径减小），无法直接与同轨道的“天宫”对接，故D错误。 故选C。 9．某航天探测任务中，探测器抵达某未知行星后，t＝0时刻将一个小球从行星表面某高处由静止释放，通过遥感设备记录小球的运动状态，得到小球离该行星表面的高度h随时间t变化的图像如图所示。已知该行星半径为R＝45km，下列说法正确的是（　　） A．该行星表面重力加速度大小为8 B．该行星第一宇宙速度大小为m/s C．小球落到行星表面时的速度大小为16m/s D．该行星的“近地”卫星运行周期为s 【答案】B 【详解】A．根据自由下落规律 代入图中数据有 解得行星表面重力加速度大小，故A错误； B．由第一宇宙速度表达式 可知行星第一宇宙速度大小为，故B正确； C．小球落到行星表面时的速度大小为，故C错误； D．该行星的“近地”卫星运行周期为，故D错误。 故选B。 10．两颗行星和的卫星绕各自行星做匀速圆周运动。如图为卫星的角速度与轨道半径的关系图，图中两直线纵截距的差值，已知行星的半径是的3倍，忽略行星自转和其他星球影响，结合图像数据，下列说法正确的是（　　） A．行星A与B的质量之比为1：9 B．行星A与B表面的重力加速度之比为9：1 C．行星A与B的平均密度之比为1：3 D．行星B的第一宇宙速度是A的3倍 【答案】C 【详解】A．根据万有引力提供向心力 整理可得 图中两直线的纵截距的差值b-a=lg9 即 即 行星B与A的质量之比为81：1，故A错误； B．行星B的半径是A的3倍，根据黄金代换 行星B与A表面的重力加速度之比为9：1，故B错误； C．根据体积公式，可得体积之比为27：1，根据密度公式 可知行星B与A的平均密度之比为3：1，故C正确； D．第一宇宙速度公式 解得 可知行星B的第一宇宙速度是A的倍，故D错误。 故选C。 11．（多选）有关万有引力与宇宙航行部分的内容，下列说法中正确的是（　　） A．“月地检验”需要已知的数据有地球半径、月地距离、月球绕地球公转周期和地球表面重力加速度 B．地球自转周期变大后，其他条件不变，地球赤道上的物理所受地球万有引力的大小不变 C．开普勒第三定律是在万有引力定律基础上推导而来 D．绕月卫星的发射速度要大于第二宇宙速度 【答案】AB 【详解】A．月地检验需要利用万有引力定律计算月球绕地球运动的向心加速度，并与地球表面重力加速度进行比较，因此需要已知地球半径、月地距离、月球绕地球公转周期和地球表面重力加速度，故A正确； B．地球自转周期变大不会影响地球质量、物体质量以及地球半径，因此地球赤道上的物体所受地球万有引力的大小不变，故B正确； C．开普勒第三定律是开普勒通过观测总结出来的行星运动规律，而万有引力定律是牛顿在开普勒定律的基础上推导出来的。故C错误； D．绕月卫星仍在地球引力范围内运行，其发射速度应小于第二宇宙速度，第二宇宙速度是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。故D错误。 故选AB。 12．（多选）若把地球看作一个巨大的拱形桥，桥的半径就是地球的半径，地球表面上有一辆超级汽车在高速行驶，如图所示。忽略地球自转，则下列说法正确的是（　　） A．汽车处于失重状态 B．汽车的行驶速度越大，汽车对地球表面的压力越大 C．汽车做曲线运动，在某段时间内通过的位移的大小可能大于路程 D．若汽车的行驶速度达到地球的第一宇宙速度，则汽车对地球表面的压力为0 【答案】AD 【详解】A．汽车具有向下的加速度，汽车处于失重状态，故A正确； B．根据牛顿第二定律可得 可知汽车的行驶速度越大，汽车受到的支持力越小，则汽车对地球表面的压力越小，故B错误； C．汽车做曲线运动，在某段时间内通过的位移的大小一定小于路程，故C错误； D．若汽车的行驶速度达到地球的第一宇宙速度，则有 可知此时汽车对地球表面的压力为0，故D正确。 故选AD。 13．（多选）如图所示，飞船从预定轨道I的A点第一次变轨进入椭圆轨道II，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道III，与空间站实现对接。下列说法中正确的是（　　） A．在轨道I和轨道III上飞船与地心连线在相等的时间内扫过的面积相等 B．飞船在圆轨道I的速度不可能大于7.9km/s C．飞船在椭圆轨道II上经过A点时的机械能小于经过B点时的机械能 D．飞船在圆轨道III经过B点时的加速度大小等于飞船在椭圆轨道II经过B点时的加速度大小 【答案】BD 【详解】A．设飞船轨道半径为r，根据万有引力提供向心力 相等的时间t内扫过的面积表达式 两者轨道半径不同，则在相等的时间内扫过的面积不相等，故A错误； B．根据万有引力提供向心力 飞船在圆轨道I的半径大于地球半径，所以速度不可能大于7.9km/s，故B正确； C．飞船在椭圆轨道II上运动时只受引力作用，机械能守恒，故C错误； D．根据 可知飞船在圆轨道III经过B点时的加速度大小等于飞船在椭圆轨道II经过B点时的加速度大小，故D正确。 故选BD。 14．（多选）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭送入预定轨道，历经地月转移、近月制动等阶段后，进入环月飞行阶段。其环月段轨道设计包含圆轨道和椭圆轨道，轨道示意图如图所示。嫦娥六号在环月飞行期间，不考虑地球和其他天体对嫦娥六号的影响，则（　　） A．若已知嫦娥六号环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可算出月球的质量 B．嫦娥六号由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速 C．嫦娥六号在环月段椭圆轨道上P点的加速度大于环月段圆轨道上P点的加速度 D．嫦娥六号在环月段椭圆轨道上Q点的速度大于环月段椭圆轨道上P点的速度 【答案】AD 【详解】A．若已知嫦娥六号环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，根据万有引力提供向心力 可以解出中心天体月球的质量 故A正确； B．嫦娥六号在环月段圆轨道上P点减速，使嫦娥六号做近心运动，才能进入环月段椭圆轨道，故B错误； C．根据万有引力提供向心力 可得加速度 所以嫦娥六号在环月段椭圆轨道上P点和环月段圆轨道上P点的加速度相同，故C错误； D．根据开普勒第二定律，单位时间内扫过的面积相同，所以嫦娥六号在环月段椭圆轨道上Q点的速度大于环月段椭圆轨道上P点的速度，故D正确。 故选AD。 15．（多选）太空电梯是人类构想的一种通往太空的设备，其原理并不复杂，与生活中的普通电梯十分相似。只需在地球同步轨道上建造一个空间站，并用某种足够长也足够结实的“绳索”将其与地面相连，当空间站围绕地球运转时，绳索会系紧，宇航员、乘客以及货物可以通过电梯轿厢一样的升降舱沿绳索直入太空，这样不需要依靠火箭、飞船这类复杂航天工具。如乙图所示，假设有一长度为的太空电梯连接地球赤道上的固定基地与同步空间站，相对地球静止，卫星与同步空间站的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间之后，第一次相距最远。已知地球半径，自转周期，下列说法正确的是（　　） A．太空电梯各点均处于完全失重状态 B．卫星的周期为 C．太空电梯停在距地球表面高度为的站点，该站点处的重力加速度 D．太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成正比 【答案】BCD 【详解】A．太空电梯各点随地球一起做匀速圆周运动，只有位置达到静止卫星的高度的点才处于完全失重状态，并不是各点均处于完全失重状态，故A错误； B．静止卫星的周期，当两卫星第一次相距最远时满足 解得，故B正确； C．太空电梯的长度即为静止卫星离地面的高度，由万有引力提供向心力有 太空电梯停在距地球表面高度为的站点，太空电梯上质量为的货物，受到的万有引力 货物绕地球做匀速圆周运动，设太空电梯对货物的支持力为，万有引力与支持力的合力提供向心力，有 在货梯内有，而 联立以上各式可得，故C正确； D．太空电梯与地球一起转动，相对地球静止，各点角速度相同，根据可知，太空电梯上各点线速度与该点离地球球心距离成正比，故D正确。 故选BCD。 16．2026年前后我国将发射嫦娥七号探测器，是对月球的地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测任务的探测器。若在月球表面高度为处释放小球，测得小球经时间落到月球表面，已知月球半径为，引力常量为。求： (1)月球的质量； (2)月球的第一宇宙速度。 【详解】（1）根据自由落体运动公式可知 解得 在月球表面，万有引力近似等于重力，即 解得 （2）由万有引力提供向心力得 解得 17．2025年1月17日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将巴基斯坦PRSC-EO1卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球的半径为R、地球表面的重力加速度大小为g，卫星入轨后在距地面高度为kR（k为大于1的常数）的轨道上做匀速圆周运动。引力常量为G，不计地球自转的影响。求： (1)地球的平均密度； (2)地球的第一宇宙速度； (3)卫星绕地球运行的周期T。 【详解】（1）设地球质量为M，由于忽略地球自转，在地球表面有 解得 地球的体积为 则地球的密度 （2）第一宇宙速度是卫星在地球表面附近做匀速圆周运动的速度。此时，卫星受到的万有引力近似等于重力，且万有引力提供向心力，则有 联立解得 （3）设该卫星的质量，对卫星，由牛顿第二定律有 在地球表面有 联立解得 18．某次卫星发射任务中，卫星的变轨过程如图所示。先将卫星发射到半径为的近地圆轨道（停泊轨道），在轨道I的P点通过点火加速使卫星进入椭圆转移轨道II，卫星运行到轨道Ⅱ的远地点Q时再次点火加速，最终进入半径为的同步轨道III。 已知绕同一中心天体的所有卫星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等，卫星在轨道I、III的运行速率分别为和，两位同学对此展开讨论： 甲同学认为：“卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，动能增加，因此。” 乙同学认为：“根据万有引力提供向心力可得，轨道半径越大，运行速率v越小，所以。” (1)请判断哪位同学的说法正确（不需要说明理由）； (2)请分析另一位同学说法错误的原因； (3)已知卫星在同步轨道III的运行周期为，请计算卫星在轨道II由P第一次运行到Q所需的时间t。（为已知） 【详解】（1）乙同学说的对 （2）卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，只是点火时动能增加；而卫星从低轨道进入高轨道，万有引做负功，势能增加，速度减小，故甲同学的说法不正确。 （3）由图可知，卫星在轨道II运行的半长轴为 设卫星在轨道II运行的周期为，根据题意可得 联立解得 则有 【链接高考】 1．（2025·天津·高考真题）2025年5月我国成功发射通信技术试验卫星十九号，若该系列试验卫星中A、B两颗卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动，轨道半径，则卫星A比B（　　） A．线速度小、角速度小 B．线速度小、运行周期小 C．加速度大、角速度大 D．加速度大、运行周期大 【答案】A 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 解得，，， 由于轨道半径 可得，，， 故选A。 2．（2025·浙江·高考真题）2025年4月30日，“神舟十九号载人飞船”返回舱安全着陆，宇航员顺利出舱。在其返回过程中，下列说法正确的是（　　） A．研究返回舱运行轨迹时，可将其视为质点 B．随着返回舱不断靠近地面，地球对其引力逐渐减小 C．返回舱落地前，反推发动机点火减速，宇航员处于失重状态 D．用返回舱的轨迹长度和返回时间，可计算其平均速度的大小 【答案】A 【详解】A．当物体的大小和形状对所研究的问题影响可忽略时可将其视为质点，研究返回舱的运行轨迹时，其尺寸远小于轨迹长度，形状和结构不影响轨迹分析，可将其视为质点，故A正确； B．地球对返回舱的引力由公式 决定，其中为返回舱到地心的距离，返回舱靠近地面时，减小，引力增大，故B错误； C．反推发动机点火减速时，返回舱的加速度方向向上。根据牛顿第二定律，宇航员受到的支持力大于重力，处于超重状态，而非失重状态，故C错误； D．平均速度的定义是位移与时间的比值，而轨迹长度为路程，轨迹长度与时间的比值是平均速率，而非平均速度的大小，故D错误。 故选A。 3．（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为，故A错误； BCD．根据万有引力提供向心力有 解得，， 故可得周期之比为； 线速度大小之比为； 向心加速度大小之比为； 故BC错误，D正确 故选D。 4．（2024·河北·高考真题）（多选）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（   ） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 【答案】BD 【详解】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误； B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 同理在B点有 带入题中数据联立解得 aA：aB = 81：1 故B正确； C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误； D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正确。 故选BD。 5．（2023·北京·高考真题）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星到星系中心的距离为r，引力常量为G。 （1）求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系； （3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随r的变化关系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（）存在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求内暗物质的质量。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有 解得 （2）在内部，星体质量 由万有引力定律和向心力公式有 解得 （3）对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 对处于r=nR处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $