专题02 离散型随机变量的11大题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

专题02 离散型随机变量的11大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、随机变量分布列的性质 1 题型二、随机变量分布列与概率综合 3 题型三、重复随机事件 4 题型四、分配问题 6 题型五、竞赛问题 9 题型六、摸球问题 17 题型七、两点分布 20 题型八、图表型 22 题型九、函数型 25 题型十、数列型 29 题型十一、离散型随机变量数字特征及其应用 33 B综合攻坚・能力跃升 题型一、随机变量分布列的性质 1．设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，解得.故选：B. 2．已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3，所以， 因此.故选：C. 3．（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意知，解得或，当时，，所以舍去， 故，AB错误，计算可得，C错误，D正确，故选:ABC． 4．设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 【答案】 【解析】由已知可得，解得，则， 故答案为：. 5．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【解析】由分布列的性质可知： 解得 ，由 ， 等价于 ，由表可知，故答案为： 6．已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，故，所以.故答案为：. 题型二、随机变量分布列与概率综合 7．一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件， 这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥， 则. （2）第一次取出的4件，费用400元； 如果，再取4件，费用800元； 如果，再取1件，费用500； 其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元， ， . 8．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 解：（1）设事件“发射器第一次发送“0指向”的光子”， 事件“第二次发送“1指向”的光子”， 则， 由条件概率公式，； （2）由题意：， ， 所以的分布列为： 0 1 2 9．小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 解：（1）由题意，的所有可能取值为1，2，3. ； ； . 因此，的分布列为 1 2 3 0.5 0.3 0.2 （2）设“小华在门锁被锁定前成功打开门”为事件， 则， 所以. （3）设“小华第3次尝试才猜对密码”为事件， 则， 所以. 题型三、重复随机事件 10．甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种，所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，所以．故选：D. 11．小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 解：（1）由题意可得，， . （2）由题意可得的所有可能取值为1，，，，. （3）， ， ， 故的分布列为 1 2 3 4 5 12．为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为，恰好有2个黑球的概率为，恰好有1个黑球的概率为. (1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率； (2)求的概率分布和数学期望. 解：（1）由题意知，，两次后甲盒子没有黑球时，必须第一次甲盒子中取出一个黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一个黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一个白球，则 （2），，由题意，的取值为，则，， 所以的分布列为 所以 题型四、分配问题 13．今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人 (1)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的分布列； (2)若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列. 解：（1）由题意易知的可能取值为：0，1，2，3， 则，，， 则X的分布列为： 0 1 2 3 （2）由题意易知的可能取值为：0，1，2，3，4， 则，，，， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 14．2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立． (1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率； (2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？ (3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列． 解：（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”， 故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率. （2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢场、黄政/孙艺组合赢场，用表示比赛结果， 若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有：， 故共有种不同的情况. （3）若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元； 若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元； 若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元； 若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元； 即奖金数X的可能取值有，则有 ， 故奖金数X的分布列为： 0 2500 7500 10000 15．已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康. （1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率； （2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者. （i）采取逐一化验，求所需检验次数的数学期望； （ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案. 解：（1）从这6名密切接触者中随机抽取3名，共有种， 抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有 故抽到感染者的概率 （2）（i）的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下： 1 2 3 4 5 （ii）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3， ， 分布列如下： 2 3 再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3， ， 分布列如下： 2 3 ，所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可. 题型五、竞赛问题 16．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为． (1)采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束） （ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率； （ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率； (2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由． 解：（1）（ⅰ）前4局甲乙各胜2局，最后1局甲胜．； （ii）甲赢得比赛分三种情况： ①，； ②，； ③，由（1）已得； 所以甲赢得比赛的概率为． （2）由（1）可知在“五局三胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率为； 而在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛分两种情况： ①，；②，； 所以在“三局两胜制”比赛中，乙赢得比赛的概率， 因为，所以选择“三局两胜制”对乙赢得比赛更有利 17．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 解：（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为， ，， 记甲进入决赛为事件， 则甲进入决赛的概率为． （2）由题可知的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下： （元）， 即甲获得奖金的数学期望为元． 18．甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率． (2)若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为， （ⅰ）求的分布列（用字母表示）； （ⅱ）求的最大值． 解：（1）若比赛中甲胜，记比赛结果为甲；比赛中乙胜，记比赛结果为乙；比赛平局，记比赛结果为平． 若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲， 对应概率为； 若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲， 对应概率为． 综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为． （2）若，则比赛结果只有甲乙两种，且． 又比赛最多进行5局，则的值可能为2，4，5. 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙，则； 时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙， 则； 时，说明前4局没有结束比赛，即前4局甲乙打平， 则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙， 则． 则的分布列为 2 4 5 （ⅱ）． 注意到 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立． 因为函数在上单调递增， 所以，故的最大值为． 19．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 解：（1）由题意可得所有可能的取值为2，3， ，， 所以的分布列为： 2 3 （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5局比赛”， 则， ， 故. 故在甲最终获胜了的条件下进行了5局比赛的概率是. 20．如图，甲、乙准备玩跳格子游戏，规则如下：每一轮游戏先进行成语接龙，获胜的人等可能地前进1格或2格，失败的人原地不动，一轮游戏结束．在成语接龙中，甲获胜的概率为，没有平局，且每轮比赛的结果都相互独立．    (1)求第1轮游戏结束，甲前进2格的概率； (2)求第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率； (3)若第3轮游戏结束，甲前进的格数与乙前进的格数之和为，求的分布列与数学期望． 解：（1）第1轮游戏结束，甲前进2格的概率为． （2）当乙前进0格时，即2轮中甲均获胜， ①每轮均前进2格的概率为； ②仅有1轮前进2格的概率为； ③每轮均前进1格的概率为； 当乙前进1格时，即2轮中甲、乙各获胜1轮， 甲获胜前进2格，乙获胜前进1格的概率为； 综上，第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率为． （3）在一轮游戏中，甲获胜前进1格、2格的概率均为，乙获胜前进1格、2格的概率均为， 所以每轮游戏甲前进的格数与乙前进的格数之和为1的概率为，为2的概率为． 的取值可能为3，4，5，6． ， ， ， ， 的分布列为 3 4 5 6 故． 21．2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． (1)求甲队员通过测试的概率； (2)若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 解：（1）由条件知甲同学通过测试的概率为． （2）由（1）可知甲同学没有通过测试的概率为， 根据题意乙同学通过测试的概率为， 所以乙同学没有通过测试的概率为， 则，10，20， 因， ， . 22．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 解：（1）根据题意得X的可能取值为， 则， ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.180 0.234 0.334 0.140 0.112 （2）由（1）可知，若先回答A类问题，则“梦幻”队能进入决赛的概率为：； 若先回答B类问题，记“梦幻”队答对问题的个数为Y， 则，， 则“梦幻”队能进入决赛的概率为， 所以，所以为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答B类问题． 23．如果随机变量全部可能取到的值是有限的或者可列无限多对的，那么我们就称是二维离散型的随机变量.甲、乙两人参加一次知识竞赛，竞赛过程有一轮抢答环节，共有三题供甲、乙二人抢答.已知甲、乙抢到每题的概率相等，且抢到每题与否相互独立.在抢到任意一题后，甲、乙答对的概率分别为和.对于每一个题，抢到题并回答正确的得1分，没抢到题的得0分，抢到题但回答错误的扣1分（即得分），三题抢答结束后，得分高者获胜（每题都有人抢答）.记这次比赛中，甲、乙得分数分别为，，是二维离散型随机变量.把所有可能的取值，和取这些值的概率画在一张表中，这张表为二维离散型随机变量的分布列. 0 1 2 3 0 1 2 3 其中. (1)求，； (2)求； (3)已知随机事件发生了，求随机变量的分布列. 解：（1），的情况有，甲抢到2题并答对2题，乙未抢到题，不符合题意； 甲抢到2题并答对2题，乙抢到2题并答对1题答错1题，不符合题意，所以， ，的情况有，甲抢到2题并答对2题，乙抢到1题并答错1题， 所以. （2），故. （3）表示：甲抢到2题并答对1题答错1题，或甲抢到0题， 故， 已知，则的可能取值有，，1，3， ， ， ， ， 因此，随机事件发生了，随机变量的分布列如下： 1 3 题型六、摸球问题 24．一个不透明的口袋中装有3个红球､3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列. 解：（1）由摸出的白球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为2个白球和1个黄球（或1个红球），可能为1个白球和2个红球， 其中摸出2个白球和1个黄球（或1个红球）的概率为， 摸出1个白球和2个红球的概率为， 故摸出的白球个数比黄球个数多的概率为. （2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，， ， 则的分布列为 1 2 3 25．已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 解：（1）（i）由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为. （ii）根据游戏规则，的取值可能为1，2，3，4， ； ； ； ； 所以的分布列为 1 2 3 4 （2）整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄—黄黄—黄黄”，“黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况. 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上. 所以“黄黄—黄黄—黄黄”有种排法； “黄黄黄—黄黄黄”，“黄黄—黄黄黄黄”，“黄黄黄黄—黄黄”均有种排法，总共种； “黄黄黄黄黄黄”有种排法. 不超过3个黄球排在一起的情况只能为“黄黄—黄黄—黄黄”与“黄黄黄—黄黄黄”两种情况， 所以，即有， 解得或（舍去），所以x的最小值为6. 26．一个抽奖箱中有10个球，其中3个红球，4个黄球，3个蓝球．从箱中随机摸出一个球，根据颜色获得相应奖金：红球10元，黄球5元，蓝球1元．定义随机变量W为获得的奖金数额． (1)求随机变量W的概率分布列． (2)求W的累积分布函数，并画出其图象． (3)计算和． 解：（1）随机变量W的可能取值为1元、5元、10元， 则，，， 所以W的概率分布列为： w 1 5 10 0.3 0.4 0.3 （2）累积分布函数，我们分段讨论： 当时，（因为W最小为1）； 当时，； 当时，； 当时，； 因此，的表达式为：， 其图象是一条阶梯状的曲线，在处发生跳跃； 如图： （3）等价于， 因为W是离散的，没有值在5和6之间，所以 ：满足条件的W的取值是5和10． ， 这也可以用累积分布函数表示为． 由于2在区间内，所以． 27．一口袋中装有10个小球，其中标有数字的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同. (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A “摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设表示摸球的次数（，求随机变量的期望，并比较期望与1的大小. 解：（1）从中一次性摸出4个球有种方法， 所以； （2）的取值可能为， 当时， 当时，， 1 2 3 所以 令， 则， 相减得 ， 所以. 为递增数列，故. 题型七、两点分布 28．已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 【答案】A 【解析】由题意可得，故选：A. 29．若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，解得.故选：C 30．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于 服从两点分布，且 ，因此.由全概率公式得，即，所以，由条件概率计算公式得.故选：D 31．已知随机变量服从两点分布，且，若，则 . 【答案】0.6 【解析】随机变量服从两点分布，且，则，若，可知，则.故答案为：0.6. 32．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则 ． 【答案】 【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，因为， 所以．故答案为：. 33．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 解：由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 题型八、图表型 34．某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 解：（1）强化训练后跳水队成绩有所提高，理由如下： 强化训练前：平均数约为， 由题中图1知频率最大的一组是，所以众数约为； 强化训练后：平均数约为， 由题中图2知频率最大的一组是，所以众数约为. 所以强化训练后的平均数与众数均大于强化训练前，即强化训练后跳水队成绩有所提高. (也可以比较中位数，强化训练前的中位数位于区间，强化训练后的中位数位于区间，前者小于后者) （2）由题中图2可知强化训练后的跳水队中优秀学员（得分80分以上（含80分））的频率为， 则非优秀学员的频率为， 从强化训练后的跳水队中共抽取5名，则这5名学员中优秀学员的人数为，非优秀学员的人数为， 从这5名学员中随机选出3人，这3名队员中优秀人数的可能取值为， 且，，， 所以的分布列如下. 1 2 3 35．某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 解：（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； （2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计， 由题意可知X可能取值为0，1，2，3， 分布列如下： X 0 1 2 3 p （3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为； 利用全概率公式可得： 所以 36．在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 解：（1）由两个班级的成绩箱型图可知，A班的上四分位数与B班的中位数均为120. （2）依题意的可能取值为，，， 所以， ，， 所以的分布列如下 0 1 2 3 （3）设事件表示该同学来自班，事件表示该同学的分数高于120分， 由成绩箱型图可得，，，， 由全概率公式， ， 故由贝叶斯公式，， 即该同学来自班的概率为，来自班的概率为． 题型九、函数型 37．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为 ． 【答案】 【解析】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是． ，，所以．故答案为： 38．某大学开设甲､乙､丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用表示小张选修的课程数量和没有选修的课程数量的乘积. (1)求学生小张选修甲的概率. (2)记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率. (3)求的分布列. 解：（1）设学生小张选修甲､乙､丙的概率分别为x，y，z， 则解得 所以学生小张选修甲的概率为0.4. （2）若函数为R上的偶函数，则. 当时，表示小张选修三门课或三门课都不选， 所以， 即事件A的概率为0.24. （3）根据题意，知可能的取值为0，2，. 根据分布列的性质，知， 所以的分布列为 0 2 P 0.24 0.76 39．已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者. (1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05. ①求检测结果显示患有该疾病的概率； ②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字） (2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？ 说明：函数先减后增. 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 解：（1）设A表示患病，B表示检测结果显示患病，则 ， （2）设总居民人数为M，每小组检验次数为X，X的可能取值为1， ，，则， 总化验次数为， 根据附表计算，时，化验次数最少. 40．一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. (1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； (2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； (3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 解：（1）由函数解析式可知，偶函数有，，； 奇函数有，，，； 非奇非偶函数有，，； 所以的可能取值为、、、、、、， 则，，， ，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 （2）因为为奇函数，， 令定义域为，且， 所以为奇函数，即为奇函数， 其余只能由奇函数奇函数得到奇函数； 所以现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，所得函数是奇函数的概率； （3）游戏公平，理由如下： 记甲赢为事件，乙赢为事件， 则， 所以，则，故游戏公平. 41．某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验次； 方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为. (1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率； (2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为. 若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为. (i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式; (ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值. 参考数据： 解：（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件， 则，且互斥， 所以 （2）， 的取值为， ， 所以， 由得， 所以； （ii）,所以， 所以，所以 设， ， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减 又， 所以的最大值为8 【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记.. 题型十、数列型 42．设离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且，则（   ） A．当数列为等差数列时， B．数列的通项公式可能为 C．当数列满足时， D．当数列满足时， 【答案】ABD 【解析】对A，若为等差数列，设公差为d，前n项和为，因为离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且，所以，故，故A正确.对B，由可知，可变形为，所以 ，故B正确.对C，由题意得数列的前项是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故C错误.对D，令，2，…，99，则，整理得，2，…，98，即，化简可得，又，即，故，故D正确．故选：ABD 43．某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 解：（1）由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量X的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式， 所以. 44．2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. (1)从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求. 解：（1）由题意知，每个家庭“只有电动车”的概率为，“既有电动车又有其他交通工具”的概率为.则X的可能取值为3，4，5，6. ，， ，， 所以X的分布列为 x 3 4 5 6 P 所以. （2）因为这户的合计得分为分，所以其中恰有户为“既有电动车又有其他交通工具”，其余户均为“只有电动车”. 所以， 设， 即 ①， 则 ②， ①②得， 即，所以， 即. 45．投掷一枚均匀的股子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分. (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)记次抛掷得分恰为分的概率为，求的前项和； 解：（1）得2分的概率为，得1分的概率为的可能取值为，， 的分布列为 2 3 4 数学期望. （2）因为次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分， 于是，则， 于是， 两式相减，得 ， 所以. 题型十一、离散型随机变量数字特征及其应用 46．已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A． 47．已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，，解得，所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以.故选：D. 48．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知的可能取值为1，2，3，按一次输出数字0，；按两次输出数字0，有两种情况，依次输出2，0或者1，0，故；按三次出现数字0，即依次输出2，1，0，故.所以，故选：A. 49．在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为 ． 【答案】3 【解析】因为，，2，3，4，所以， 由，得，令，则在时单调递减， 又，，，故m的最小值为3．故答案为：3 50．在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立. (1)求某人病毒检测结果呈阴性的概率； (2)现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值. 解：（1）设某人感染病毒为事件，某人病毒检测结果呈阴性为事件，则： 依题意有：，. . （2）因为，又，所以，2，， 设“这4个人中有人EB病毒检测结果呈阴性”为事件 由于与互斥，与互斥，故 . . 0 2 4 所以 51．甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得分，对方得2分，对方发下一次球．已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立． (1)在前两个球发完后，求甲共得1分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为X，求X的分布列与期望． 解：（1）设“第i（，2，3）个球甲发球成功”，“‘第i（，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得1分”， 则，且与相互独立，与相互独立，与互斥， 所以． （2）X的可能取值为，0，3，6． ， ， ， ． X的分布列为 X 0 3 6 P 故． 52．某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 解：（1）设事件表示“甲被该企业正式录取”，事件表示“乙被该企业正式录取”，事件表示“丙被该企业正式录取”. 则由题可知. 事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被该企业正式录取”， 则， 所以甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率． （2）X的所有可能取值为，对应事件分别为“三人均未通过笔试”，“三人中恰有一人通过笔试”，“三人中恰有两人通过笔试”，“三人均通过笔试”. ，， ，． 所以X的分布列为 X 300 450 600 750 P 数学期望． 1．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得.故选：C. 2．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数为，方差为．故选：D． 3．已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立.故选:A. 4．现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】A.由条件可知，3人错位排列有2种方法，所以，解得，故A错误；B.表示4人全部坐错，4人全部坐错有种方法，4人的全部坐法有种坐法， 所以，故B正确；C.，，，,所以，故C错误；D.，故D正确.故选：BD 5．现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为，则 ． 【答案】 【解析】依题意，的可能值为0，1，2，的事件是第1次操作甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为，第2次操作是甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，其概率为，因此；的事件是甲取黑球放入乙，乙取黑球放入甲，再重复上次操作的事件，与甲取黑球放入乙，乙取白球放入甲，甲取白球放入乙，乙取黑球放入甲的事件的和，因此，，，所以.故答案为： 6．一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 解：（1）当时，，且， ∴， ∴ （2）令，则， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 7．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 解：（1）， ，， ，所以A，B不独立； （2）记外观与内饰均同色为事件，外观与内饰都异色为事件，仅外观或仅内饰同色为事件， 则， ， ， ， ∴一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色， 三等奖为两个汽车模型仅外观或仅内饰同色． X的分布列： X 800 500 300 P ． 8．人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 解：（1）令事件表示“小明以获得比赛胜利”， 所以； （2）令事件表示“在第二局比赛中小明获胜”， 所以， 所以； （3）由题意有的可能取值为， 所以， ， ， 所以的分布列为： 9．2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； (2)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 解：（1）设第1次抽到优级品为事件，第2次抽到一级品为事件， 则， 所以. 故在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率为. （2）根据题意可知的取值可能为2，3，4，5. 则， 则的分布列为 2 3 4 5 P 所以. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 离散型随机变量的11大题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、随机变量分布列的性质 1 题型二、随机变量分布列与概率综合 2 题型三、重复随机事件 4 题型四、分配问题 5 题型五、竞赛问题 6 题型六、摸球问题 10 题型七、两点分布 11 题型八、图表型 11 题型九、函数型 13 题型十、数列型 15 题型十一、离散型随机变量数字特征及其应用 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、随机变量分布列的性质 1．设随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法错误的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 4．设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则 . 5．已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则 X 0 1 2 3 P a 5a 6．已知随机变量X的概率分布规律为，其中a为常数，则 ． 题型二、随机变量分布列与概率综合 7．一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率： (2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和. 8．某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都有A､B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，否则检测出相异的指向信息.现发射器以A模式，从两个“1指向”､两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为和每次发送和接收相互独立. (1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率； (2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列. 9．小华忘记了自家的智能门锁的数字密码，但记得大致范围，他决定尝试输入密码解锁.该门锁允许最多尝试3次，一旦输入正确，门立即打开；若连续3次都错误，门锁将自动锁定一段时间，不再接受输入.根据小华的记忆，他每次猜对密码的概率依次为0.5，0.6，0.7，且每次尝试是否成功相互独立. (1)设随机变量表示小华实际尝试输入密码的次数，求的分布列； (2)求小华在门锁被锁定前成功打开门的概率； (3)若已知小华在门锁被锁定前成功打开门，求他第3次尝试才猜对密码的概率. 题型三、重复随机事件 10．甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（   ） A． B． C． D． 11．小明设计了一款虚拟电子射击游戏，游戏规则如下：参与者手持一把弹槽数为5的左轮手枪来射击目标，在任意一个弹槽内装填一颗子弹，然后随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口开枪射击，规定：若该弹槽有子弹则一定能击中目标，若该弹槽为空槽则子弹射击不出去，从而无法击中目标.一次射击结束后，若未能击中目标，则随机在剩余的任意一个空弹槽内装填一颗子弹，并随机转动左轮使其中一个弹槽对准枪口重复射击，直至击中目标为止.已知转动到任意槽位的概率均相等，且在所有弹槽内填满子弹就一定能击中目标，记参与者击中目标共需要射击次. (1)求和的值； (2)求的所有可能取值； (3)求的分布列. 12．为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为，恰好有2个黑球的概率为，恰好有1个黑球的概率为. (1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率； (2)求的概率分布和数学期望. 题型四、分配问题 13．今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人 (1)若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的分布列； (2)若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列. 14．2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立． (1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率； (2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？ (3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列． 15．已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康. （1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率； （2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者. （i）采取逐一化验，求所需检验次数的数学期望； （ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案. 题型五、竞赛问题 16．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛中甲胜乙的概率为． (1)采取五局三胜制（在不超过5局比赛中先累计胜3局者赢得比赛，比赛结束） （ⅰ）求一场比赛中，甲以的比分赢得比赛的概率； （ⅱ）求一场比赛中（不一定打满5局），甲最终赢得比赛的概率； (2)判断“五局三胜制”和“三局两胜制”哪一种赛制对乙赢得比赛更有利？说明理由． 17．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． (1)若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； (2)已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 18．甲、乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，双方平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． (1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率． (2)若，且比赛最多进行5局，比赛结束时的比赛局数为， （ⅰ）求的分布列（用字母表示）； （ⅱ）求的最大值． 19．甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，已知每局比赛相互独立，且每局比赛甲获胜的概率均为，乙获胜的概率均为. (1)若比赛为三局两胜制，设比赛结束时比赛场次为.求的分布列； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率. 20．如图，甲、乙准备玩跳格子游戏，规则如下：每一轮游戏先进行成语接龙，获胜的人等可能地前进1格或2格，失败的人原地不动，一轮游戏结束．在成语接龙中，甲获胜的概率为，没有平局，且每轮比赛的结果都相互独立．    (1)求第1轮游戏结束，甲前进2格的概率； (2)求第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率； (3)若第3轮游戏结束，甲前进的格数与乙前进的格数之和为，求的分布列与数学期望． 21．2025年9月20日川超联赛正式开幕，现在凉山好医生队主教练已经圈定50人大名单，在进一步选拔队员时就规定：每位队员有3次发直接任意球机会，若发中2次或3次，则测试通过，若没有通过测试，则需进行加发任意球训练，每人发10次．已知甲队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立． (1)求甲队员通过测试的概率； (2)若乙队员每次发中的概率为且每次是否发中相互独立．设经过测试后，甲、乙两位队员需要进行任意球训练的次数之和为，求的所有情况及对应的概率． 22．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年月日至月日在法国巴黎举行．为举行这场体育盛会，某社区决定举办一次奥林匹克运动会知识竞赛，要求每组参赛队伍由两人组成，竞赛分为预赛和决赛，其中预赛规则如下： ①每组队伍先从两类问题中选择一类，并由两位选手从各随机抽取一个问题回答，答错的选手本轮竞赛结束；答对的选手再从另一类问题中随机抽取一个问题进行回答，无论答对与否，该选手本轮竞赛结束； ②若在本轮竞赛中每组队伍的两名选手合计答对问题的个数不少于3个，则可进入决赛． 市民甲与乙组成“梦幻”队参加了这次竞赛，已知甲答对A类中每个问题的概率均为0.7，答对B类中每个问题的概率均为0.5，乙答对A类中每个问题的概率均为0.4，答对B类中每个问题的概率均为0.8． (1)若“梦幻”队先回答A类问题，记X为“梦幻”队答对问题的个数，求X的分布列； (2)为使“梦幻”队进入决赛的概率最大，“梦幻”队应选择先回答哪类问题？并说明理由． 23．如果随机变量全部可能取到的值是有限的或者可列无限多对的，那么我们就称是二维离散型的随机变量.甲、乙两人参加一次知识竞赛，竞赛过程有一轮抢答环节，共有三题供甲、乙二人抢答.已知甲、乙抢到每题的概率相等，且抢到每题与否相互独立.在抢到任意一题后，甲、乙答对的概率分别为和.对于每一个题，抢到题并回答正确的得1分，没抢到题的得0分，抢到题但回答错误的扣1分（即得分），三题抢答结束后，得分高者获胜（每题都有人抢答）.记这次比赛中，甲、乙得分数分别为，，是二维离散型随机变量.把所有可能的取值，和取这些值的概率画在一张表中，这张表为二维离散型随机变量的分布列. 0 1 2 3 0 1 2 3 其中. (1)求，； (2)求； (3)已知随机事件发生了，求随机变量的分布列. 题型六、摸球问题 24．一个不透明的口袋中装有3个红球､3个黄球和2个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列. 25．已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，个白乒乓球． (1)甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时， （ⅰ）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率； （ⅱ）记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列． (2)整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值． 26．一个抽奖箱中有10个球，其中3个红球，4个黄球，3个蓝球．从箱中随机摸出一个球，根据颜色获得相应奖金：红球10元，黄球5元，蓝球1元．定义随机变量W为获得的奖金数额． (1)求随机变量W的概率分布列． (2)求W的累积分布函数，并画出其图象． (3)计算和． 27．一口袋中装有10个小球，其中标有数字的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同. (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A “摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设表示摸球的次数（，求随机变量的期望，并比较期望与1的大小. 题型七、两点分布 28．已知随机变量服从两点分布，且，设，则＝（    ） A．0.72 B．0.28 C．0.16 D．0.84 29．若服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 30．已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 31．已知随机变量服从两点分布，且，若，则 . 32．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则 ． 33．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 题型八、图表型 34．某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图. (1)根据图中数据，能否判断强化训练后跳水队成绩有提高？试选用两种数字特征加以比较并说明理由. (2)规定学员得分80分以上（含80分）的为“优秀学员”，低于80分的为“非优秀学员”，现采取分层随机抽样的方式，从强化训练后的跳水队中优秀与非优秀学员中共抽取5名，从这5名学员中随机选出3人，求选出这3名队员中优秀人数的分布列. 35．某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率. (1)在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p； (2)从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望； (3)若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为,试比较p和的大小. 36．在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数；箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知两个班级人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．      (1)求班成绩的上四分位数和班成绩的中位数； (2)据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列． (3)在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？ 题型九、函数型 37．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为 ． 38．某大学开设甲､乙､丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用表示小张选修的课程数量和没有选修的课程数量的乘积. (1)求学生小张选修甲的概率. (2)记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率. (3)求的分布列. 39．已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检验，筛查出该种疾病携带者. (1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为0.05. ①求检测结果显示患有该疾病的概率； ②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字） (2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次（每一小组都要按要求独立完成），取何值时，总化验次数最少？ 说明：函数先减后增. 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 40．一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数：，，，，，，，，，. (1)现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列； (2)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； (3)甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则. 41．某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验次； 方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为. (1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率； (2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为. 若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为. (i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式; (ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值. 参考数据： 题型十、数列型 42．设离散型随机变量的取值为1，2，3，…，99，且，则（   ） A．当数列为等差数列时， B．数列的通项公式可能为 C．当数列满足时， D．当数列满足时， 43．某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 44．2025年12月1日全面实施电动车新国标的相关规定，全面禁售旧国标车，聚焦车辆安全性能升级.据调查拥有电动车的家庭中，的家庭只拥有电动车，的家庭既有电动车也有其他交通工具.对于每个家庭，若只拥有电动车则记1分，若同时拥有其他交通工具则记2分.假设各家庭是否拥有其他交通工具相互独立，且视调查频率为概率. (1)从被调查家庭中随机抽取3户，记这3户的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从被调查家庭中随机抽取n（）户，记这n户的合计得分恰为的概率为，求. 45．投掷一枚均匀的股子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分. (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)记次抛掷得分恰为分的概率为，求的前项和； 题型十一、离散型随机变量数字特征及其应用 46．已知随机变量X的方差为，则（   ） A．18 B．17 C．6 D．5 47．已知随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 1 2 P 则随机变量X的数学期望等于（    ） A． B． C． D． 48．一个将输入计算机的正整数“归零”的程序执行规则如下：按回车键，计算机等可能地用中的任意一个整数替换的值并输出替换后的值，重复以上操作，直到输出0后终止操作.若输入的初始值为3，终止操作时按回车键的次数为，则的数学期望为（    ） A． B． C． D． 49．在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取m次卡片，每次仅抽取1张，记这m次抽取的卡片的最大编号为X，则使得成立的最小的m的值为 ． 50．在临床上，病毒的感染十分常见.假设某人感染病毒的概率为.若感染病毒，检测结果呈阳性的概率为；若未感染病毒，检测结果呈阴性的概率为.检测结果相互独立. (1)求某人病毒检测结果呈阴性的概率； (2)现有4人参加此项病毒检测，用，分别表示这4个人中病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，记，求随机变量的分布列及均值. 51．甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得分，对方得2分，对方发下一次球．已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立． (1)在前两个球发完后，求甲共得1分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为X，求X的分布列与期望． 52．某企业招聘方式分笔试、面试两个环节进行，先进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这两个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生参加了该企业的招聘，假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙、丙通过笔试的概率均为，通过面试的概率均为． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被该企业正式录取的概率； (2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，该企业决定给报名参加应聘的大学生一定的补贴，补贴标准如下表： 参与环节 笔试 面试 补贴（元） 100 150 记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望． 1．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．现有编号的个学生，入座编号的个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生数为，已知时共8种坐法，则（   ） A． B． C． D． 5．现有甲、乙两个箱子，甲中有2个黑球，乙中有2个白球．每次从甲箱中随机取出一球放入乙箱，摇匀后再从乙箱中随机取出一球放入甲箱，称为“一次操作”．连续进行2次操作后，记甲箱中黑球的数量为，则 ． 6．一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 7．21世纪某次机器人展览会上，已知某公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰 外观 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 10 10 米色内饰 2 3 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求和，并判断事件A和事件B是否独立. (2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰都异色，以及仅外观或内饰同色. 假设2：按抽奖的可能性大小，概率越小奖项越高 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖800元，二等奖500元，三等奖300元 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望. 8．人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词､解答难题､到人机比赛，它的身影无处不在.小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束），已知小明第一局获胜的概率为.从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. (1)求小明以获得比赛胜利的概率； (2)在小明以获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率； (3)记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列. 9．2025年9月19日～21日，第10届中国国际食品餐饮博览会在长沙举行.自2025年9月1日起，某市市场监管部门规定：在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于为优级品，固形物含量低于且不低于为一级品，固形物含量低于为二级品或不合格品.现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品. (1)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次抽到一级品的概率； (2)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的品级时终止检验，记检验次数为，求随机变量的分布列与期望. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $