7.3.2正弦型函数的性质与图像（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

7.3.2 正弦型函数的性质与图像 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 掌握正弦型函数 (,)的定义域、值域、周期性. 能准确表述振幅、初相、周期、频率的定义及几何与实际意义. 通过对、、到的逐步探究，提升归纳概括与逻辑推理能力. 新课导入 视频中展示的是物理中常见的弹簧振子实验，如果我们用函数来刻画小球位移随时间的变化规律，这个函数关系式是什么？ ①由物理学知识可知，的关系为 （其中A,, 都是常数） ②交变电流i与时间t的关系可以写成 （其中 都是常数） 显然上述和 都是关于函数的性质，怎样研究这种类型的函数的性质？ 新知探究 一般地，形如 这种类型的函数称为正弦型函数.其中都是常数，且. 正弦型函数有什么性质？我们怎么研究它的呢？ 下面我们将通过以下几个活动探究它的性质： 探究一：参数 的作用 探究二：参数 的作用 探究三：参数 的作用 探究四：综合应用与变换顺序 探究一：参数 的作用 新知探究 先以为对象进行研究，进而由特殊到一般，总结的相关性质. 例1 探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图像。 解：可以看出，函数的定义域为。 因为，所以 因此的值域为. 函数是周期函数，周期是 新知探究 下面我们用五点法作出在上的图像. 0 ​ 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0 ②描点作图： ①取点列表如下： 的图像可由的图像上的点通过以下变换的到： 横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍 知识小结 参数A的作用及的性质 1.参数 控制纵向伸缩，影响函数的值域. 2.的性质： ①定义域为R ②值域为 ③周期是 点击下列图标，观看不同A值对应的图像变化 即时训练 1.函数 与 的图像相比，在形状和位置上分别有什么异同? 【分析】参数 控制纵向伸缩，影响函数的值域. 解：形状上相同点：两者的周期相同，均为 不同点：振幅不同.的振幅为1，的振幅为3； 位置上的异同相同点：两者的图像无左右平移或上下平移，对称轴、对称中心的横坐标完全一致，仅纵坐标范围因振幅变化而扩大。 不同点：无位置上的平移差异 新知探究 探究二：参数 的作用 先以为对象进行研究，进而由特殊到一般，总结的相关性质. 例2 探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图像. 解：令，则可以化成y。 则的定义域为，值域为 由的周期为可知的周期也为 当时，即时，有 新知探究 下面我们用五点法作出在上的图像. ①取点列表如下：   ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 0 0 1 0 -1 0 ②描点作图： 的图像可由的图像向左平移个单位得到. 知识小结 参数 的作用及的性质 1.参数 （初相）控制左右平移 2.的性质： ①定义域为R ②值域为 ③周期是 点击下列图标，观看不同参数 对应的图像变化 即时训练 2.已知函数若求的一个可能的值. 解：将代入函数，得： 由题知时，因此有： 根据正弦函数的特殊值，满足的角为： 或 () 结合条件（即），取，得： 或 【分析】参数 （初相）控制左右平移 新知探究 探究三：参数 的作用 先以为对象进行研究，进而由特殊到一般，总结的相关性质. 例3 探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图像. 解：令，则可以化成 的定义域为，值域为的定义域为，值域为. 的周期为，则对任意，与的函数值一致 新知探究 由于 因此，在中，对任意 与的函数值一致， 则的周期为. 当时，即时，我们有 ，即 新知探究 下面我们用五点法作出图像. ①取点列表如下： ②描点作图：   0 ​ 0 ​ ​ 0 ​ 0 1 0 -1 0 的图像可由 的图像经过以下变换得到： 纵坐标不变，横坐标变为原来的 得到 知识小结 参数 的作用及的性质 1.参数 ω控制横向伸缩，影响函数的周期 2.的性质： ①定义域为R ②值域为 ③周期是 点击下列图标，观看不同参数 对应的图像变化 即时训练 3.若正弦型函数 的周期为 8π ，求参数 ω的值 ()。 【分析】参数 ω控制横向伸缩，影响函数的周期 解：已知周期 T=8π ，根据正弦型函数的周期公式： T= 将 代入公式得: 整理得 : 新知探究 探究四：综合应用与变换顺序 先以为对象进行研究，进而由特殊到一般，总结的相关性质. 例4 探究函数的定义域、值域和周期性，并作出它在一个周期内的图像。 解：令，则可以化成。 在该式子中，A=3，故定义域为，值域为， 由以上探究可知 故该函数的周期为 下面我们用五点法作出图像. 新知探究 当时，即时，我们有 即 ①取点列表如下：   ​ ​ ​ ​ ​ ​ 0 ​ ​ 0 1 0 -1 0 0 3 0 -3 0 新知探究 ②描点作图： 变换得到？ ①的图像，纵坐标不变，横坐标变为原来的 ② 的图像， 横坐标不变，纵坐标变为原来的 3 倍 ③= 的图像，向左平移个单位 . =3. 知识小结 的性质 的性质： ①定义域为R ②值域为 ③周期是 ④函数的图像可通过对正弦曲线进 行平移、伸缩得到 点击下列图标，各个参数 对应的图像变化 新知探究 正弦型函数中的常数都具有一定的实际意义 . 在弹簧振子实验中，每隔一小段时间（比如0.01s）给弹簧和小球拍一张照片，并将这些照片按时间顺序排成一列. 图中小球的中心在的图像上. ①表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； ②决定时小球的位置，称为初相 ③周期表示小球完成一次运动所需要的时间. ④= 为单位时间内完成的运动次数 , 称为频率 . 22 即时训练 3.若正弦型函数 的周期为 ，求参数 的值 ()。 【分析】最小正周期；最大值、最小值由振幅 |A| 决定；频率是周期的倒数. 解：由周期公式，代入，得： 因为，结合振幅，得： 最大值为； 最小值为 频率是周期的倒数，即，代入，得： 巩固提升 重点题型一：正弦型函数的周期性 1.函数的最小正周期是，则________． 【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可. 【详解】1.因为函数的最小正周期是 所以可得，解得 2.函数的最小正周期为________. 2.函数的最小正周期为. 巩固提升 重点题型二：求正弦型函数的解析式 3．函数 的部分图像如图所示，求函数的表达式.   【分析】根据图像得到周期，再根据五点作图法得到即可. 【详解】由题意可知，函数的周期为： 所以 由五点法作图可知： ，即 又因为，所以 函数的表达式为 巩固提升 重点题型三：正弦型函数的值域与最值 所以. 4.求函数在的值域. 【分析】根据求出，进而利用正弦函数图像即可求出结果. 解：因为，所以， 则由正弦函数图像可知 巩固提升 重点题型四：正弦型函数的单调性 5.已知函数，写出的单调区间． 解：由，得： 由，得： 【分析】由可求出其增区间 由可求出其减区间. 所以的增区间为 减区间为. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 📈 函数振幅变换演示 人教B版高中数学必修三 基准: $y=\sin x$ 变换: $y=A\sin x$ 🎛️ 参数控制 振幅系数 A 1.0 -3 0 3 ↺ 复原初始 ▶ 自动演示 📊 实时数据 最大值 (Max) 1.0 最小值 (Min) -1.0 当前振幅 1.0 周期 $2\pi$ 关键点坐标 (五点法) $x=0$ (0, 0) $x=\frac{\pi}{2}$ (1.57, 1.0) $x=\pi$ (3.14, 0) $x=\frac{3\pi}{2}$ (4.71, -1.0) $x=2\pi$ (6.28, 0) sin 三角函数相位变换演示 人教B版 高中数学必修三 函数公式 基准函数 $$y = \sin(x)$$ 变换函数 $$y = \sin(x + \varphi)$$ 参数控制 相位 φ (phi) 0 -2π -π 0 π 2π 自动演示 重置 变换规律 当 φ = 0 时，图像重合。 y = sin(x) y = sin(x + φ) 拖动滑块或点击播放观察图像变换 函数 y = sinωx 图像变换演示 人教B版高中必修三 · 三角函数图像伸缩变换 y = sinx (基准) y = sinωx (变换) 当前属性 周期 T: 2π 频率 f: 1/2π 参数控制 ω = 1.0 -3 0 3 拖动滑块改变 ω 值 (ω ≠ 0) ▶ 自动演示 ↺ 典型值预设 ω = 2 ω = 0.5 ω = -1 💡 规律总结 • |ω| > 1: 图像在 x 轴方向压缩，周期变小。 • 0 < |ω| < 1: 图像在 x 轴方向伸长，周期变大。 • ω < 0: 图像关于 y 轴对称变换。 函数图像变换 y = Asin(ωx + φ) 播放介绍 观察引导 $$ y = \sin(x) $$ 振幅 A 1.0 影响图像的纵向伸缩（及翻转） 频率 ω 1.0 影响图像的横向伸缩（周期 T = 2π/ω） 初相 φ 0.00π 影响图像的左右平移 重置参数 (y = sin x) 振幅变换 周期变换 相位变换 综合变换 y = sin x y = Asin(ωx + φ) 课堂小结 正弦型函数的性质与图像 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 人教B版 · 必修三 知识点回顾 函数解析式 y = Asin(ωx + φ) + k 其中 A > 0, ω > 0 参数的物理意义 A 表示 振幅 决定函数的最大值与最小值 ω 决定 周期/频率 周期 T = 2πω φ 称为 初相 决定 x=0 时的函数状态 ωx + φ 称为 相位 整体决定函数的周期性变化 核心性质 1 值域： [-A, A] 2 对称轴： 令 ωx + φ = kπ + π2 (k ∈ Z) 3 对称中心： 令 ωx + φ = kπ (k ∈ Z) 易错点警示 图像变换的顺序陷阱 由 y = sinx 变换得到 y = sin(ωx + φ) 时，注意平移量与 ω 的关系。 错误认知： 先缩短到原来的 1ω，再向左平移 φ 个单位。 正确做法： 若先周期变换（伸缩），后平移变换，应向左平移 φω 个单位。 单调区间的求解 当 ω < 0 时，必须先利用诱导公式将 ω 化为正数，再求单调区间。 例如：求 y = sin(-2x + π3) 的单调递增区间。 第一步：化为 y = -sin(2x - π3) 第二步：求 u = 2x - π3 的减区间（因为前面有负号）。 解题技巧 整体代换法 将 ωx + φ 看作一个整体 u。 求对称轴：令 u = kπ + π2 求零点：令 u = kπ 求单调区间：令 2kπ - π2 ≤ u ≤ 2kπ + π2 五点法作图 取一个周期内的五个关键点，令 ωx + φ 分别等于： 0 π2 π 3π2 2π 分别求出对应的 x 值和 y 值，描点连线。 数形结合思想 解决方程根的个数、不等式解集等问题时，将问题转化为两个函数图像的交点问题。 例：求方程 x = 2sinx 的实根个数。 思路：转化为函数 y = sinx 与 y = x2 图像的交点个数。 $