6.2.2向量的减法运算导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.2向量的减法运算 导学案(详解版) 教材知识提炼 【1】向量的减法 定义 ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点O，作，，则向量.如图所示 几何意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.（共起点，连终点，箭头指向被减点） 【2】相反向量 定义 如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量 性质 ①对于相反向量有： ②若、互为相反向量，则， ③零向量的相反向量仍是零向量 推论 ①，； ②如果与互为相反向量，那么，，． 【3】求作两个向量的差的两种思路 (1)直接用向量加法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可．　 【4】向量减法运算的常用方法 【5】．与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有； (2)当，共线，且同向时，有或； (3)当，共线，且反向时，有． 说明：由三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得 ，当，共线时取等号. 当，共线，且同向时，有或.（模大的减模小的） 当，共线，且反向时，有. 基于教材的训练 一、单选题 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 【答案】B 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量减法的法则、向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】向量的加法、减法法则计算即可. 【详解】由向量的加法、减法法则，得， ． 故选：B. 2.（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 3．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，，根据平行四边形的性质，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意，， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以，即， 整理得. 故选：B 4．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的运算律、向量减法的法则、向量加法的运算律、向量加法的法则 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 5．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】向量的模、向量减法的法则 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 6．设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【知识点】速度、位移的合成、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量表示的几何意义画出图形，利用向量加法的交换律和向量减法的几何意义，可得，根据方向角和模长即可判断选项. 【详解】 如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走. 故选：C. 7．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用、向量的模 【分析】由题意可得，再结合从而可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以， 则，故C正确. 故选：C. 8．已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【知识点】相反向量、向量减法法则的几何应用 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 二、多选题 9．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 10．对于任意三个向量，下列命题中错误的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】向量减法的运算律、向量加法的运算律、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量线性运算性质判断AB，根据向量不能比较大小判断C，根据向量共线性质判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因为向量不能比较大小可得C错误， 对于D，取，则对与任意的向量都有，故不一定成立，D错误. 故选：ACD. 11．已知，，，四点不共线，下列等式能判断为平行四边形的是（    ） A． B．（为平面内任意一点） C． D．（为平面内任意一点） 【答案】ABC 【知识点】相等向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据平面向量线性运算法则及相等向量的定义判断即可. 【详解】因为，，，四点不共线， 对于A：，所以且，所以为平行四边形，故A正确； 对于B：因为，所以，所以且， 所以为平行四边形，故B正确； 对于C：因为，即， 所以，所以且， 所以为平行四边形，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，所以四边形为平行四边形，故D错误； 故选：ABC 三、填空题 12．化简 ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】应用向量的加减法则化简即可. 【详解】. 故答案为： 13.如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，    则：（1）与向量相等的向量有 ； （2）与向量相反的向量有 ； （3）与向量的模相等的向量有 .（填图中所画出的向量） 【答案】 ， ，，，， 【知识点】相反向量、相等向量、向量的模 【分析】根据已知，结合图象以及向量的概念，即可得出答案. 【详解】因为O是正三角形ABC的中心，所以. 因为四边形AOCD为平行四边形，所以，且. 根据图象可知，与向量相等的向量有； 由已知可得，，且，且. 所以，与向量相反的向量有，； 因为，， 所以与向量的模相等的向量有，，，，. 故答案为：；，；，，，，. 14．已知非零向量满足，则 . 【答案】 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量减法的三角形法则得三角形为等边三角形，根据等边三角形的几何特征进行计算即可. 【详解】如图当时，为等边三角形， 则为线段的长度， 所以. 故答案为：.    四、解答题 15．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则化简即可. 【详解】（1）； （2） . 16．已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量的模、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）利用平面向量的加法法则运算求解； （2）（3）利用平面向量的加法和减法法则运算求解. 【详解】（1） 如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （2）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. （3）如图所示：因为正方形ABCD的边长为1， 所以. 17．如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 【答案】，． 【知识点】向量减法的法则 【分析】利用向量减法的意义求解即可. 【详解】，． 18.如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则即可作图． 【详解】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则．    （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则．    19．已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】（1）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； （2）由向量运算的三角形法则即可求解，注意等号成立的条件； 【详解】（1）因为， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，； 所以的取值范围为． （2）由， 且，所以， 当与同向时，； 当与反向时，． 所以的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2向量的减法运算 导学案 教材知识提炼 【1】向量的减法 定义 ，即减去一个向量相当于加上这个向量的 作法 在平面内任取一点O，作，，则向量 .如图所示 几何意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则可以表示为从向量b的 指向向量a的 的向量（共起点，连终点，箭头指向被减点） 【2】相反向量 定义 如果两个向量长度 ，而方向 ，那么称这两个向量是相反向量 性质 ①对于相反向量有： ②若、互为相反向量，则 ， ③零向量的相反向量仍是零向量 推论 ①，； ②如果与互为相反向量，那么，，． 【3】求作两个向量的差的两种思路 (1)直接用向量加法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如，可以先作，然后作即可．　 【4】向量减法运算的常用方法 【5】．与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 基于教材的训练 一、单选题 1．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（    ） A．＋和－ B．＋和－ C．－和－ D．－和＋ 2.（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 5．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 6．设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 7．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 二、多选题 9．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 10．对于任意三个向量，下列命题中错误的是（    ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 11．已知，，，四点不共线，下列等式能判断为平行四边形的是（    ） A． B．（为平面内任意一点） C． D．（为平面内任意一点） 三、填空题 12.化简 ． 13．如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，    则：（1）与向量相等的向量有 ； （2）与向量相反的向量有 ； （3）与向量的模相等的向量有 .（填图中所画出的向量） 14．已知非零向量满足，则 . 四、解答题 15．化简： (1)； (2) 16．已知正方形ABCD的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 17．如图所示，四边形是平行四边形，B是该平行四边形内一点，且，，，试用向量，，表示与． 18.如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 19．已知，，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $