精品解析：湖北省孝感市汉川市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度上学期期末质量监测八年级数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，9 C. 5，8，15 D. 6，8，9 3. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸．我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 将分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条垂直平分线的交点 D. 画出三角形三条中线的交点 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（ ） A. B. 垂直平分 C. 是等边三角形 D. 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 等腰三角形中一边长是，另一边长是，则它的周长为_______． 12. 如图，，若，，则的长为___________． 13. 若分式有意义，则的值可以是_______．（取一个符合条件即可） 14. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______． 15. 如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1） （2）． 17. 解方程：． 18. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得的长为． 根据测量数据求河的宽度． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为． （1）在网格中画出与关于直线对称的，并写出点的坐标； （2）点为轴上一点，若，则点的坐标为____． 20. 先化简，其中． 21. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）判断△OBC的形状，并说明理由． 22. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 【模拟练习】（1）如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式； 【解决问题】（2）如果，求的值； 【类比探究】（3）如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 23. 【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 24. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末质量监测八年级数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，9 C. 5，8，15 D. 6，8，9 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的三条边必须满足：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意． C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，能组成三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和最大的数就可以． 3. 碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸．我国某物理研究组已研制出直径为0.00000000052米的碳纳米管，将0.00000000052用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将0.00000000052用科学记数法表示是， 故选：C． 4. 将分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故选A． 5. 如何确定质地均匀的三角形薄板的重心（　　） A. 画出三角形三条角平分线的交点 B. 画出三角形三条高线的交点 C. 画出三角形三条垂直平分线的交点 D. 画出三角形三条中线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心的定义；对于质地均匀的三角形薄板，其重心与几何重心一致，而三角形的几何重心是三条中线的交点． 【详解】解：∵ 三角形的重心是三条中线的交点，且均匀薄板的重心即为几何重心， ∴ 应画出三角形三条中线的交点． 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法和幂的乘方，根据相关运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A、与指数不同，不能直接相加，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：是的平分线，且， ， ， ， ，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 8. 综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使：图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作一个角等于已知角，根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是， 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式除法，熟练掌握分式除法的计算方法是解题的关键．根据分式的除法计算即可． 【详解】解： 故选：A． 10. 如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（ ） A. B. 垂直平分 C. 是等边三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，则可得到，求出，，则可证明是等边三角形，再证明，得到，则可证明垂直平分，可证明，则可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵将折叠，使点落在点处，为折痕， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形，，故C结论正确，不符合题意； 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知折叠的性质是解题的关键． 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 等腰三角形中一边长是，另一边长是，则它的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形，正确分两种情况讨论是解题关键． 分两种情况：①腰长为和②腰长为，利用三角形的三边关系和等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当腰长为时， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为时， 此时，满足三角形的三边关系， 则这个等腰三角形的周长为， 故答案为：20． 12. 如图，，若，，则的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质；全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 13. 若分式有意义，则的值可以是_______．（取一个符合条件即可） 【答案】 2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 根据分式有意义的条件是分母不为零列式求解即可． 【详解】解：要使分式 有意义，则分母，即， 因此可以取（答案不唯一）， 故答案为：2（答案不唯一）． 14. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记，则的值是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知这列数满足，据此规律求解即可． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ， ， ， 故答案为：36． 15. 如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案； （2）在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可得到当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共9小题，满分75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）用平方差公式分解即可， （2）先提公因式，再用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，通过找最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，并检验根是否满足分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘 ，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当  时， 且 ， 所以  是原方程的解． 18. 某段河流的两岸是平行的，某数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就能测得河的宽度．他们是这样做的： ①在河流的岸边点B处，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直行处有一棵树C，继续前行到达点D处； ③从点D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时，停止行走； ④测得的长为． 根据测量数据求河的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】解：由题意知，， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， 答：河宽为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线上各点的纵坐标都为． （1）在网格中画出与关于直线对称的，并写出点的坐标； （2）点为轴上一点，若，则点的坐标为____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的特点找到点的位置，描出点，并顺次连接点，再写出对应点的坐标即可； （2）先求出的面积，进而得到的面积，根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵点为轴上一点， ∴， ∵ ∴， ∴点P的坐标为或． 20. 先化简，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）判断△OBC的形状，并说明理由． 【答案】（1）∵∠A＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）； （2）△OBC是等腰三角形， 理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB， ∴∠ACB＝∠DBC， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB； （2）由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DBC，可证OB＝OC，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 22. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 【模拟练习】（1）如图，通过不同的方法计算图形的面积，直接写出一个数学等式； 【解决问题】（2）如果，求的值； 【类比探究】（3）如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）图中最大的正方形的面积等于其边长的平方，图中最大的正方形的面积等于两个边长分别为a和b的正方形的面积加上两个长和宽分别为a和b的长方形的面积，据此用两种方法分别表示出图中最大的正方形的面积即可得到答案； （2）由（1）的结论可得，据此代值计算即可； （3）设，，则，，由（1）可得，据此求出得值即可得到答案． 【详解】解：（1）图中最大的正方形的边长为，其面积为， 图中最大的正方形的面积等于两个边长分别为a和b的正方形的面积加上两个长和宽分别为a和b的长方形的面积，则其面积为， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴； （3）设，，则， ∵， ∴， 由（1）可得 ， ∴， ∴这个长方形的面积为8． 23. 【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 【答案】 （1）①证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）8． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 24. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】（1）每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元； （2）商场最多购进乙商品25个； （3）共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【解析】 【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了． （2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式； （3）根据“使销售两种商品的总利润（利润=售价-进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案． 【小问1详解】 解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元， 根据题意，得， 解得：x=10， 经检验，x=10是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：10-2=8． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． 【小问2详解】 设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个． 由题意得：3y-5+y≤95． 解得y≤25． 答：商场最多购进乙商品25个； 【小问3详解】 由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380， 解得：y＞． ∵y为整数，y≤25， ∴y=24或25． ∴共有2种方案． 方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个； 方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $