23.4 实际问题与一次函数-【学海风暴】2025-2026学年八年级下册数学同步备课（人教版 江西专版）

23.4实际问 知识要点扫描 1.一次函数的应用 一次函数的应用主要有下列类型：(1)给 出了一次函数解析式，直接利用一次函数的性 质解决问题；(2)问题只用语言叙述或用表格、 图象提供一次函数的情境，此时应先求出函数 解析式，再利用函数的性质解决问题；(3)建立 一次函数解析式，根据变量的取值范围选择方 案.常常会伴随利润最大、费用最省、路程最 短、效率最高等问题出现： “函数建模”可以把实际问题转化为函数 问题，它的关键是确定函数解析式，并确定实 际问题中自变量的取值范围. 2.分段函数 在自变量的不同取值范围内函数的解析 式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。 注意：(1)分段函数的出现是实际生活的 一种需要，对自变量的不同取值，用不同的解 析式表示同一个函数关系，所以分段函数是一 个函数而不是几个函数；(2)在写分段函数的 解析式时，必须注明自变量的取值范围 经典例题剖析 【例】李明骑自行车去上学，要经过一段先 上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s(单 位：m)与时间t(单位：min)之间的函数关系如 下图所示.根据图象，解答下列问题： s/m 2100… 900 0 6 10 t/min (1)求李明上坡时所走的路程s1与时间t 之间的函数关系式和下坡时所走的路程s2与 时间t之间的函数关系式. (2)若李明放学后按原路返回，且往返过 程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，则 题与一次函数 李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟？ 【点拨】(1)分别设s1=k1t(0≤t≤6)，s2= k2t十b(6<t≤10)，根据图象中已知点的坐标， 利用待定系数法可求得函数关系式； (2)分别求出上坡时间与下坡时间，相加 即可，注意上坡和下坡的路程和速度要根据图 象计算。 【解】(1)设s1=k1t(0≤t≤6).，图象经过 点(6,900)，∴.900=6k1,解得k1=150, .s1=150t(0≤t≤6). 设s2=k2t+b(6<t≤10). 图象经过点(6,900)，(10,2100)，.6k2 +b=900①，10k2+b=2100②， 解得k2=300,b=一900. ∴.s2=300t-900(6<t≤10). (2)李明返回时所用的时间为(2100 900)÷(900÷6)+900÷[(2100-900)÷(10 -6)]=8+3=11(min). 答：李明返回时走这段路所用的时间为 11 min. 基础对点训练 知识点①图象类 1.如图，折线A-B-C为视频通话需付的费 用y(单位：元)与通话时间t(单位：min)之 间的函数关系图象，则通话8min需付 元 y元1 4.4 FA 0123456t/mim 第1题图 2.跨物理学科科学家发现：一定质量的某气体 在体积不变的情况下，压强p(单位：kPa)随温 度t(单位：℃)变化的函数解析式是p=kt+ 下册第二十三章 714 b,其图象如图所示.当压强为170kPa时，上 述气体的温度是 ℃. p/kPat 150 140 130 120 1005 0 255075100125150175/℃ 第2题图 知识点②性质类 3.(2025德阳)中江挂面以“细如发丝、清如白 玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特 的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到 拉扯成型，需经十余道古法工序.数学兴趣 小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购 买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100 元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用 120元. (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决 定购买A,B两种型号挂面共40袋.在单价 不变，总费用不超过950元，且B型挂面不 少于10袋的条件下，共有几种购买方案？ 其中最低花费多少元？ 42 八年级数学RJ版 知识点③方案优化类 4.应用意识为丰富课后服务的内容，某学校 计划到甲、乙两个体育用品专卖店购买一批 新的体育用品.两个专卖店的优惠活动 如下： 甲：所有商品按原价八五折出售。 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原 价付费，超过300元的部分打七折。 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去 甲专卖店购买实付y甲元，去乙专卖店购买 实付y乙元，其函数图象如下图所示 (1)分别求y甲，yz关于x的函数解析式. (2)两图象交于点A,求点A的坐标. (3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个 专卖店购买体育用品合算 y/元t A一yz 300 0300x/元①当O是等腰三角形AOP的顶角顶点时，OP=OA =√2，∴点P的坐标为(-√2,0)或（√2,0）： ②当A是等腰三角形AOP的顶角顶点时，AO=AP, 点P与点O关于过点A且与x轴垂直的直线对称， 点P的坐标为(2,0)： ③当P是等腰三角形AOP的顶角顶点时，PO=PA. 设点P的坐标为(m,0). ,P02=PA2, .由勾股定理，得m2=(m一1)十1， 解得m=1,则点P的坐标为(1,0). 综上所述，满足条件的点P的坐标为（一√2,0）或（√2， 0)或(2,0)或(1,0). 4.解：(1)，四边形OABC为矩形，点B的坐标为(7,5)， 点A,C分别在x轴、y轴上， ∴.点C的坐标为(0,5)，点A的坐标为(7,0) .点D的坐标为(0,1)，CG=OD. .点G的坐标为(1,5).将D(0,1),G(1,5)代入y= 红+60伦6释份- .当CG=OD时，直线DG的函数解析式为y=4x +1. (2)在Rt△ODE中，OD=1,OE=5, ∴.DE=√OD+OE=√/26. :四边形DEFG为菱形，∴.DG=DE=√26， 在Rt△CDG中，DG=√26，CD=OC-OD=4, .CG=√DG-CD=√10，∴.点G的坐标为(10,5). 将D(0,1),G(√I0,5)代入y=kx+b,得 b=1 10k+b=5 解得= 2√10 5 b=1, ∴.当点E的坐标为(5,0)时，直线DG的函数解析式为 y=20 5 x+1. 5.解：(1)设平移后的直线的函数解析式为y=2x+6. :直线y=2x+b经过点A(5,3), 31 1 X5+b,解得6=2， 1 “平移后的直线的函数解析式为y=2x十2： 1 5 六m=2-（-2)=2 (2),在边长为2的正方形ABCD中，AD∥y轴，点A 的坐标为(5,3)， .B(3,3),.点E的横坐标为5一2=3 把=3代人y=2x+2得y=号×3+分=2， 1 1 1 ∴点E的坐标为(3,2)，.BE=1, :△ABE的面积为宁×2X1=1. 420 八年级数学RJ版 23.4实际问题与一次函数 1.7.4【解析】设射线BC的函数解析式为y=kt十b(t ≥3). 把(3,2.4)，(5,4.4)代入y=kt+b, 得3k十6=2.4解得k=1, 5k+b=4.4, b=-0.6, .射线BC的函数解析式为y=t一0.6(t≥3).当t=8 时，y=8一0.6=7.4. 故通话8min需付7.4元. 2.150【解析】，函数p=kt十b的图象过点(0,110)， 2 (25k+b=120, (25,120),. k= 解得 6 b=110, b=110, 6该函数解析式是力=1十110(1≥0) 2 当p=170时，即三t十110=170，解得t=150,∴.当压 强为170kPa时，气体的温度是150℃. 3.解：(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元. 则2x十2y二100'解得x一30. 13.x+2y=120, 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元. (2)设购买B型挂面a袋，总费用为心元，则购买A型 挂面的数量为(40一a)袋. 由题意，得(40一a)×20+30a≤950，解得a≤15. 又.a≥10，.10a15. 又a为正整数，∴.a=10,11,12,13,14,15. 由题意，得e=(40-a)×20+30a=10a+800. :10>0,∴.e随a的增大而增大. ∴.当a=10时，0取最小值，最小值为10×10+800= 900(元). 答：共有6种购买方案，其中最低费用为900元. 4.解：(1)由题意，得y甲=0.85x。 当0≤x≤300时，yz=x; 当x>300时，yz=300+0.7(x-300)=0.7x十90， (x(0≤x≤300)， 六yz={0.7x+90(x>300): (2)由图可知，点A的横坐标x>300, ∴联立得方程组y0.85n解得=600. y=0.7x+90, y=510, .点A的坐标为(600,510). (3)当x<600时，去甲专卖店购买体育用品合算； 当x=600时，两个专卖店购买体育用品一样合算； 当x>600时，去乙专卖店购买体育用品合算. 章末对点导练 1.C2.A3.B4.k<4 5解：：直线y=-专十8分别与x箱y箱交于点 A,B,∴.A(6,0),B(0,8).在Rt△OAB中，∠AOB= 90°，OA=6,OB=8,.AB=√62+8=10.△DAB 沿直线AD折叠后得到△DAC,∴.AC=AB=10, .OC=OA+AC=16.,'点C在x轴的正半轴上，