专题07一元一次不等式寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题07一元一次不等式寒假预习讲义(1) · 懂概念：分清不等式、一元一次不等式，吃透 “解” 与 “解集” · 记性质：加减不变号，乘除正数不变、负数必变号（核心考点！） · 会求解：五步搞定（去分母→去括号→移项→合并→化 1），避开变号坑 · 能表示：式子、数轴双掌握（空心不含、实心含，箭头跟紧不等号） · 善应用：列不等式解实际题（收费、打折、行程等），搞定整数解、最值 预习必备 知识点梳理 1.不等式 2.一元一次不等式的概念 3.解一元一次不等式 4.解一元一次不等式的步骤 5.用一元一次不等式解决问题 常考题型 精讲精炼 1.不等式的定义 2.不等式的解集 3.不等式的性质 4.一元一次不等式的定义 5.解一元一次不等式 6.求一元一次不等式的整数解 7.用数轴表示不等式的解集 8.求一元一次不等式解集的最值 9.一元一次不等式的列式方法 10.一元一次不等式的实际应用 11.一元一次不等式在几何中的应用 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.不等式】 1.不等式定义：用、、、、表示不等关系的数学式子。 2.不等号含义：≥（不小于 / 大于等于）、≤（不大于 / 小于等于），精准对应 “至少、最多、不超过、不低于” 等关键词。 3.列不等式：找准实际问题中的不等关系，设未知数后列式表示。 4.不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值，一般有无数个。 【知识点02.一元一次不等式的概念】 1.一元一次不等式定义：只含一个未知数、未知数的次数为 1、不等号两边都是整式的不等式 2.判断依据：同时满足 “一元、一次、整式、不等式” 四个条件，缺一不可。 3.不等式的解集：不等式所有解的全体（整体概念），区别于 “单个解”。 4.解集的表示方法 式子表示：如x>2、x≤−1； 数轴表示：空心圆圈（不含该点，对应>、<）、实心圆点（含该点，对应≥、≤），箭头指向不等号方向。 【知识点04.解一元一次不等式】 1.解不等式：求不等式解集的过程，核心依据为不等式的三条性质。 2.不等式的核心性质（易错点标注） 性质 1：a>b⇒a±c>b±c（加 / 减同一个数，不等号方向不变）； 性质 2：a>b且c>0⇒ac>bc、（乘 / 除正数，不等号方向不变）； 性质 3：a>b且c<0⇒ac<bc、（乘 / 除负数，不等号方向改变，核心易错点）。 【知识点05.解一元一次不等式的步骤】 1.去分母（乘负数时，不等号方向必须改变）； 2.去括号（遵循去括号法则，无特殊变化）； 3.移项（移项变号，同等式法则）； 4.合并同类项（将不等式化为ax>b或ax<b的形式）； 5.系数化为 1（除负数时，不等号方向改变，正数则不变）。 易错点：去分母、系数化为 1 时，忽略乘 / 除负数的变号规则。 【知识点06.用一元一次不等式解决问题】 1.解题核心：找准实际问题中的不等关系（而非等量关系），用不等式表示。 2.五步解题法（规范步骤） 审：审题，找不等关系关键词，设未知数； 列：根据不等关系，列一元一次不等式； 解：按步骤解不等式，求出解集； 验：检验解集是否符合实际意义（如人数、数量为正整数，长度、时间为正数）； 答：写出符合题意的答案（若为整数问题，需明确正整数解 / 非负整数解）。 【题型1.不等式的定义】 【典例】将“a与b的差是非正数”用不等式表示为 ． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【题型2.不等式的解集】 【典例】已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】写出一个解集为的不等式： ． 【跟踪专练2】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.不等式的性质】 【典例】若，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【跟踪专练1】若，下列运用不等式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若正整数，，满足，，则称 为“好数组”，好数组共有 个． 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【跟踪专练2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【题型5.解一元一次不等式】 【典例】不等式的解集是 ． 【跟踪专练1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【题型6.求一元一次不等式的整数解】 【典例】不等式的正整数解的个数是（   ） A．无数个 B．5 C．4 D．3 【跟踪专练1】不等式的正整数解的和为 ． 【跟踪专练2】对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7.用数轴表示不等式的解集】 【典例】下图中的数轴所表示的不等式的解集是 ． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在数轴上表示不等式的解集，这个不等式的正整数解是 ． 【题型8.求一元一次不等式解集的最值】 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【跟踪专练1】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【跟踪专练2】下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【题型9.一元一次不等式的列式方法】 【典例】“与的和的3倍与8的差是一个非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用不等式表示：是不小于的负数，可表示为 ． 【跟踪专练2】小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【题型10.一元一次不等式的实际应用】 【典例】某市地铁实行分段计价收费，其标准为：不超过公里收起步价元；超过公里时，每公里加收元，不足公里按公里计；刷学生卡可以折优惠．小湖乘坐地铁出站时刷学生卡花费元，则他乘坐地铁里程（公里）的范围是 ． 【跟踪专练1】某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润不低于160元，则至多可打（    ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【跟踪专练2】某化工厂现有甲种原料296千克，计划利用这种原料与另一种原料（足够多）配合生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料15千克，生产一件B产品需要甲种原料千克，若该化工厂现有的原料能保证生产，则至少需生产B产品 件． 【题型11.一元一次不等式在几何中的应用】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【跟踪专练1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    1．指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（1）解方程：； （2）求不等式的正整数解． 3．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 4．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 5．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 6．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 7．2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元． (1)每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07一元一次不等式寒假预习讲义(1) · 懂概念：分清不等式、一元一次不等式，吃透 “解” 与 “解集” · 记性质：加减不变号，乘除正数不变、负数必变号（核心考点！） · 会求解：五步搞定（去分母→去括号→移项→合并→化 1），避开变号坑 · 能表示：式子、数轴双掌握（空心不含、实心含，箭头跟紧不等号） · 善应用：列不等式解实际题（收费、打折、行程等），搞定整数解、最值 预习必备 知识点梳理 1.不等式 2.一元一次不等式的概念 3.解一元一次不等式 4.解一元一次不等式的步骤 5.用一元一次不等式解决问题 常考题型 精讲精炼 1.不等式的定义 2.不等式的解集 3.不等式的性质 4.一元一次不等式的定义 5.解一元一次不等式 6.求一元一次不等式的整数解 7.用数轴表示不等式的解集 8.求一元一次不等式解集的最值 9.一元一次不等式的列式方法 10.一元一次不等式的实际应用 11.一元一次不等式在几何中的应用 强化巩固 (解答题7题) 【知识点01.不等式】 1.不等式定义：用、、、、表示不等关系的数学式子。 2.不等号含义：≥（不小于 / 大于等于）、≤（不大于 / 小于等于），精准对应 “至少、最多、不超过、不低于” 等关键词。 3.列不等式：找准实际问题中的不等关系，设未知数后列式表示。 4.不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值，一般有无数个。 【知识点02.一元一次不等式的概念】 1.一元一次不等式定义：只含一个未知数、未知数的次数为 1、不等号两边都是整式的不等式 2.判断依据：同时满足 “一元、一次、整式、不等式” 四个条件，缺一不可。 3.不等式的解集：不等式所有解的全体（整体概念），区别于 “单个解”。 4.解集的表示方法 式子表示：如x>2、x≤−1； 数轴表示：空心圆圈（不含该点，对应>、<）、实心圆点（含该点，对应≥、≤），箭头指向不等号方向。 【知识点04.解一元一次不等式】 1.解不等式：求不等式解集的过程，核心依据为不等式的三条性质。 2.不等式的核心性质（易错点标注） 性质 1：a>b⇒a±c>b±c（加 / 减同一个数，不等号方向不变）； 性质 2：a>b且c>0⇒ac>bc、（乘 / 除正数，不等号方向不变）； 性质 3：a>b且c<0⇒ac<bc、（乘 / 除负数，不等号方向改变，核心易错点）。 【知识点05.解一元一次不等式的步骤】 1.去分母（乘负数时，不等号方向必须改变）； 2.去括号（遵循去括号法则，无特殊变化）； 3.移项（移项变号，同等式法则）； 4.合并同类项（将不等式化为ax>b或ax<b的形式）； 5.系数化为 1（除负数时，不等号方向改变，正数则不变）。 易错点：去分母、系数化为 1 时，忽略乘 / 除负数的变号规则。 【知识点06.用一元一次不等式解决问题】 1.解题核心：找准实际问题中的不等关系（而非等量关系），用不等式表示。 2.五步解题法（规范步骤） 审：审题，找不等关系关键词，设未知数； 列：根据不等关系，列一元一次不等式； 解：按步骤解不等式，求出解集； 验：检验解集是否符合实际意义（如人数、数量为正整数，长度、时间为正数）； 答：写出符合题意的答案（若为整数问题，需明确正整数解 / 非负整数解）。 【题型1.不等式的定义】 【典例】将“a与b的差是非正数”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解“a与b的差”的数学表达式，以及明确“非正数”所对应的不等关系． 先确定“a与b的差”对应的数学表达式为；再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足“”的关系；最后将两者结合，写出对应的不等式． 【详解】解：“a与b的差”表示为； “非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“”； 因此“a与b的差是非正数”用不等式表示为． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【跟踪专练2】小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【答案】 15 7 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 【题型2.不等式的解集】 【典例】已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 【跟踪专练1】写出一个解集为的不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的性质和解法，要构造解集为 的不等式，可以逆向思考：从结果出发，通过合理的变形得到不等式． 【详解】解：∵， 解得：， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【题型3.不等式的性质】 【典例】若，则 ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】根据不等式的基本性质，分析与的大小关系，再结合已知条件，利用不等式的传递性得出结论． 【详解】解：∵， ∴． 已知，根据不等式的传递性，可得． 故答案为：>． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的传递性，以及通过作差法比较两个代数式的大小． 【跟踪专练1】若，下列运用不等式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，包括不等式的可加性和传递性，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析每个选项的变形是否符合性质；对不符合性质的选项，可代入具体数值验证其错误． 【详解】解：A、，但A为，错误，不符合题意． B、例如，则，此时，不满足小于，错误，不符合题意． C、例如，则不成立，错误，不符合题意． D、， ． 又， ． 根据不等式的传递性，可得． 故D正确，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】若正整数，，满足，，则称 为“好数组”，好数组共有 个． 【答案】3 【分析】此题考查了不等式的性质和解一元一次方程． 求出或2，分两种情况：①当时，或2或3或4或5或6，②当时，或3，分别进行解答即可． 【详解】解：，， ， ，，为正整数， ， 又， 或2 ①当时，或2或3或4或5或6， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，整理得：，故不存在； 当，时，，解得：， 故得“好数组”为； 当，时，， 解得：， 故得“好数组”为， 当，时，，解得：，不合题意，舍去； 当，时，，解得：，不合题意，舍去； ②当时，或3，当，时，， 解得：，故得“好数组”为． 当，时，， 解得：，不合题意，舍去． 综上所述：“好数组”，，为，，，共3个． 故答案为：3 【题型4.一元一次不等式的定义】 【典例】下列不等式中，一元一次不等式有（   ）个 （1），（2），（3），（4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式，据此判断即可． 【详解】解：（1）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （2）是一元一次不等式； （3）是一元一次不等式； （4）不等式的左边是分式，不是整式，不是一元一次不等式， 综上所述：一元一次不等式有2个 故选：B． 【跟踪专练1】若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 【跟踪专练2】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 【题型5.解一元一次不等式】 【典例】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．根据不等式的性质计算即可． 【详解】解：， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，移项，合并，系数化为1，解不等式即可． 【详解】解：， ， 即， 解得； 故选D． 【跟踪专练2】若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求的值，然后根据解是正数，求出的取值范围即可． 【详解】解：解原方程得． ∵原方程的解是正数，即， ， 解得． 故答案为：． 【题型6.求一元一次不等式的整数解】 【典例】不等式的正整数解的个数是（   ） A．无数个 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了写出不等式的整数解；求不等式的正整数解的个数，需明确正整数范围及不等式条件． 【详解】解： 解：正整数解为1、2、3、4，共4个． 故选：C． 【跟踪专练1】不等式的正整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 先解不等式求出解集，然后求出整数解，再求和即可． 【详解】解： ， ∴， ∴正整数解为， ∴正整数解的和为， 故答案为：． 【跟踪专练2】对于任意实数，，定义一种新运算，其运算法则为，例如：，请根据上述定义解决问题：求不等式的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解新运算法则是解题的关键． 根据新运算法则可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 该不等式的正整数解为1，2共2个， 故选：B． 【题型7.用数轴表示不等式的解集】 【典例】下图中的数轴所表示的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法． 根据数轴所示写出不等式即可． 【详解】解：数轴所表示的不等式的解集是， 故答案为：． 【跟踪专练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 【跟踪专练2】在数轴上表示不等式的解集，这个不等式的正整数解是 ． 【答案】数轴见解析；， 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，通过解不等式得到，小于3的正整数是1、2，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 不等式的正整数解是或； 故答案为：或； 【题型8.求一元一次不等式解集的最值】 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则 ． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 【跟踪专练1】已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键． 【题型9.一元一次不等式的列式方法】 【典例】“与的和的3倍与8的差是一个非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列不等式，读懂题意，找出不等关系是解题的关键．与的和的3倍与8的差表示为，非负数即大于等于0的数，进一步即可解题． 【详解】解：“与的和的3倍与8的差是一个非负数”，用不等式表示为． 故选D． 【跟踪专练1】用不等式表示：是不小于的负数，可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：是不小于的负数，可表示为， 故答案为：． 【跟踪专练2】小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 【题型10.一元一次不等式的实际应用】 【典例】某市地铁实行分段计价收费，其标准为：不超过公里收起步价元；超过公里时，每公里加收元，不足公里按公里计；刷学生卡可以折优惠．小湖乘坐地铁出站时刷学生卡花费元，则他乘坐地铁里程（公里）的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，找出每段收费即可求解． 【详解】解：刷学生卡可以折优惠．小湖乘坐地铁出站时刷学生卡花费元， ∴原价为：（元）， ∵不超过公里收起步价元， ∴小湖乘坐地铁里程超过公里， ∵超过公里时，每公里加收元，不足公里按公里计， ∴当时，原价为（元）， 当时，原价为（元）， ∴他乘坐地铁里程（公里）的范围是， 故答案为： ． 【跟踪专练1】某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润不低于160元，则至多可打（    ） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，计算折扣时注意要除以10．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润不低于160，列不等式求解．设可打x折，根据售价标价折扣和利润售价进价列出不等式求解即可． 【详解】解：设可打x折，则有， 解得：， 即至多可打8折． 故选：C． 【跟踪专练2】某化工厂现有甲种原料296千克，计划利用这种原料与另一种原料（足够多）配合生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料15千克，生产一件B产品需要甲种原料千克，若该化工厂现有的原料能保证生产，则至少需生产B产品 件． 【答案】37 【分析】本题考查了一元一次不等式解实际问题的运用，根据提议列出方程组是关键．根据“生产A，B两种产品所需的甲种原料不超过296千克”列出不等式，解不等式，取其中的最小整数值即可． 【详解】解：设该化工厂生产B产品x件，则生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． 因为为整数，所以的最小整数值为37． 至少需生产B产品37件， 故答案为：37． 【题型11.一元一次不等式在几何中的应用】 【典例】中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，计算p的值，代入中，利用不等式求出它的最大值． 【详解】∵a=3，b+c=5， ∴p=； =4（bc-4）==9， 当且仅当b=c=2.5时取等号， ∴, ∴这个三角形的面积的最大值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式和基本不等式的应用问题，也考查了运算求解能力，解题的关键是列出不等式． 【跟踪专练1】如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 【跟踪专练2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 1．指出下列不等式中的一元一次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知一元一次不等式的定义是解题的关键． （1）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （2）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （3）根据一元一次不等式的定义进行判断即可； （4）根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：因为该不等式中含有， 所以不是一元一次不等式； （2）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式； （3）解：因为该不等式中含有x，y两种未知数， 所以不是一元一次不等式； （4）解：因为该不等式中只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1， 所以是一元一次不等式． 2．（1）解方程：； （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1）；（2）正整数解为1，2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，求不等式的正整数解，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可． 【详解】解：（1）去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴此不等式的正整数解为：1，2． 3．李老师在黑板上出示了如图1的一个算式，但是老师用手遮挡了其中的一个数． (1)若被手遮挡的数是，求这个算式的值； (2)若这个算式的结果落在图2所示的范围内，求被遮挡的数的最小值． 【答案】(1)这个算式的值为 (2)被遮挡的数的最小值为 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题关键． （1）将直接代入算式即可求解； （2）设被遮挡的数为，根据题意得，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：若被手遮挡的数是，则， 这个算式的值为． （2）解：设被遮挡的数为， 由题意得：， 解得：， 被遮挡的数的最小值为． 4．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质． （2）解：第⑤步系数化为时，不等式两边同时乘以时，忘记改变不等号方向， 故答案为：⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． （3）解：不等式解集为， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：空心圆点向右画射线，实心圆点向右画射线，空心圆点向左画射线，实心圆点向左画射线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． 5．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意系数为负时不等号方向改变； （2）先去分母，再按上述步骤求解，同样注意不等号方向的变化． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． 6．（1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：（）根据题意得，， ， ∴； （）根据题意得， ， ∴； （）根据题意得，， ， ， ， ， ∴． 7．2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元． (1)每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？ 【答案】(1)每个“岳小楼”玩偶的进价是20元，每个“江小豚”玩偶的进价是15元 (2)20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据题意列方程即可求解； （2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，根据单个利润售价进价，总利润单个利润销售量，将所有玩偶全部售出，且利润不得低于元，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． 根据题意可得 解得 答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． （2）解：设购进个“岳小楼”玩偶，则， 解得． 答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $