21.8 梯形-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（冀教版·新教材）

©21.8 ①基础在线 > 知识要点分类练 知识点梯形 1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠ADC= ( A.120° B.135° C.145° D.155° A459 60yB 第1题图 第2题图 2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC, ∠C=115°，则∠D= () A.55° B.65° C.115° D.165° 3.如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原 点，A,C的坐标分别是(1,2)，(3,0)，则点B 的坐标是 () A.(3,2) B.(2,3) C.(2,2) D.无法确定 4 012 第3题图 第4题图 4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,DE∥AB, DE=DC,∠C=80°，则∠A等于 () A.80° B.90° C.100° D.110° 5.(沧州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC, 且AD=DC=BC,E是BC的中点.下面是 甲、乙两名同学得到的结论，其中判断正确的 是 () 甲：若连接AE,则四边形ADCE是菱形； 乙：若连接AC,则△ABC是直角三角形. A.只有甲正确 B.只有乙正确 C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确 梯形 第5题图 第6题图 6.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB= DC,对角线AC,BD相交于点O,那么下列结 论一定成立的是 （) A.∠CAB=∠CBAB.∠DAB=∠ABC C.∠AOD=∠DABD.∠OAD=∠ODA 7.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=4, BC=6,CD=5,AD=3.求四边形ABCD的面积. 易错点考虑不周全而致错 8.在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB= 12,CD=13,AD=9,则BC的长为 21 能力在线》方法规律综合练。 9.(教材P157习题T4变式)如图，将一矩形纸 片沿着虚线剪成两个全等的梯形纸片.根据图 中标示的长度与角度，梯形纸片中较短的底边 长为 () 20 45° A.4 B.5 C.6 D.7 第二十-章78 10.如图，两个完全相同的直角梯形重叠在一起， 将其中一个直角梯形沿AB的方向平移，点 A,B的对应点分别为E,H,根据图中所标数 据，求得阴影部分的面积为 () A.75B.100 C.105 D.120 第10题图 第11题图 11.（教材P156习题T2变式)如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD,S△DM=1,SABNC=0.8,则 S四边形MFN= () A.1.6 B.1.8 C.2 D.3.6 12.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B= 30°，∠BCD=60°，AD=2,AC平分∠BCD, 则BC的长为 () A.4 B.6 C.43 D.3√3 第12题图 第13题图 13.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,E,F分别是 AB,DC的中点，EF交BD于点G,交AC于点 H,若AD=2,BC=5,则GH= 14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, AC=BC,∠ACB的平分线交DA的延长线 于点E,交AB于点F (1)求证：四边形AEBC是菱形； (2)连接BD,如果BD⊥BE,求证：∠ADB= 2∠ABD. 79探究在线八年级数学（下）·JJ ③拓展在线》培桃拔尖提升缘 15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, ∠B=∠C=60°，DE⊥BC于点E,且AD= 18,CD=8. (1)BC的长为 (2)若动点P从点D出发，速度为2个单位 长度/s,沿DA向点A运动，同时，动点Q从 点B出发，速度为3个单位长度/s,沿BC向 点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动 点同时停止运动.设运动时间为ts. ①当t= s时，四边形PQED是矩形； ②当t为何值时，线段PQ与四边形ABCD 的边构成平行四边形？又OE=OF,∴.四边形AECF是平行四边形. ∴∠AHG=60..∠ABH=30°.∴∠ABC=60° :CF平分∠DCA,CE平分∠BCA, AF⊥AB,∠BAP=90°.∠BPA=30° ∴∠BCF=∠EC0+∠0CF=号（∠BC0+∠OCD)= .PC=2FC.∴.PF=√PC2-FC=√3CF 如图，连接AC,:∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD, 号×180=902.四边形ABCF是矩形。 ∴.△ADC是等边三角形. 拓展在线 AF⊥CD,.CF=DF.∴.PF=√3DF 12.(1)选择条件①：∠ABC=∠CDA=90°； 第2课时菱形的判定 证明：，∠ABC=∠CDA=90°，AD∥BC, 基础在线 ∴.∠BAD=180°-∠ABC=90°. 1.,CE∥DB,CE=DB,.四边形BECD是平行四边形 ∴∠BAD=∠ABC=∠CDA=90. ,在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点， 四边形ABCD为矩形 BD=CD=AD=号AC 选择条件②证明略。 (2),四边形ABCD为矩形， .四边形BECD是菱形 ∴∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC,OC=OD=OB. 2.B DE平分∠ADC, 3.,四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AB∥CD ∠ADE=∠CDE=号∠ADC=45 AB⊥AC,.∠BAC=∠ACD=90° :E,F分别是边BC,AD的中点， ∴.∠ADE=∠CED=45°. ∴.∠CDE=∠CED=45°.∴.CE=CD. AE-7BC-EC.CF-7AD-AF. .∠BDE=15°，∴.∠CDO=∠CDE+∠BDE=60° .'AD=BC,..AE=EC=CF=AF. ∴△COD是等边三角形. .四边形AECF是菱形.，ACLEF .OD=OC=CD=CE,∠COD=∠OCD=60° 4.B ∴.∠OCE=∠BCD-∠OCD=30°. 5.DO=AO,EO=CO,.四边形AEDC是平行四边形 ∴∠C0E=∠CE0=2180°-∠0cE)=75 四边形ABCO是矩形，.∠AOC=90°，即AD⊥EC .平行四边形AEDC是菱形. ∴.∠DOE=∠COE+∠COD=135° 6.D 21.6菱形 能力在线 第1课时菱形的性质 7.B8.D9.B10.B11.A 基础在线 12.连接BF,:△EFD和△ABC关于点O 成中心对称， 1.C2.B3.A4.D5.D6.A7.48.1 9.,四边形ABCD是菱形，.AB=BC. ∴.B,O,F三点共线，OB=OF,OC= OD,OA=OE. .AE=CF,.'.AB-AE=BC-CF, 即BE=BF. ∴四边形BCFD是平行四边形，四边形 BF=BE. ABEF是平行四边形. 在△ABF和△CBE中，，'〈∠B=∠B, :∠BAC=∠DBC, BA=BC, ∴∠BAC+∠ABD=∠DBC+∠ABD, 即∠BDC=∠ABC. ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE. AB=AC,.∠ABC=∠ACB. 能力在线 10.C11.A12.A13.336cm2 ∴∠BDC=∠ACB..BD=BC 14.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 四边形BCFD是菱形.BF⊥CD. 又四边形ABEF是平行四边形， ∴.CB=CD,∠BCE=∠DCE 又.'CE=CE,∴.△CBE≌△CDE(SAS) .平行四边形ABEF是菱形 .∠CBE=∠CDE. 拓展在线 (2)·四边形ABCD是菱形， 13.(1)证明：，AF⊥AB,CE⊥CD, ∴.∠BAF=∠DCE=90° ·AB=AD,AC⊥BD,OA=OC,OB=2BD, AB∥CD,.∠ABF=∠CDE. :∠BAD=60°，∴.△BAD是等边三角形. .BE=EF=FD,.'.BF=DE, ∴.BD=AB=2..OB=1. ∴.△ABF≌△CDE(AAS). ∴OA=√AB2-OB=√3.∴.OC=√3， (2)四边形AECF是菱形.理由如下： .△ABF≌△CDE, BE⊥DE,且O为BD中点，OE=2BD=1. ∴.AF=CE,∠AFB=∠CED.∴.AF∥CE ∴CE=OC-OE-√3-1. ∴.四边形AECF是平行四边形， 拓展在线 在R△ABF中，：∠ABD=30,AF=合BR 15.(1)65 (2)证明：①，四边形ABCD是菱形， 在RADCE中，：EF=DF,CF=号DE, .AB=AD,AB∥CD,AD∥BC. BF=DE,.AF=CF..四边形AECF是菱形 .∠ABD=∠ADB, AE⊥BC,AF⊥CD,.AE⊥AD 21.7正方形 AF⊥AB. 第1课时正方形的性质 ∴.∠DAG=∠BAH=90° 基础在线 ∴.∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD 1.D2.B3.D4.A5.B6.B7.458.5 ..AG=AH. 9.四边形ABCD是正方形，.AB=AD,∠BAD=90. ②，BG=GH,.G是Rt△ABH斜边BH的中点. ∴·∠BAF+∠DAE=90°. ,.AG=BG=GH.由①知AH=AG. .DE⊥AG,BF⊥AG,'.∠DEA=∠AFB=90 .AG=AH=GH.∴△AGH是等边三角形. ∴∠DAE+∠ADE=90°.∠BAF=∠ADE 22 一探究在线·八 I∠AFB=∠DEA, :∠KPH=90°，.∠KPE+∠EPH=90. 在△ABF和△DAE中， ∠BAF=∠ADE, .PE⊥CP,∴.∠HPC+∠EPH=90° AB-=DA, ∴∠KPE=∠HPC ∴.△ABF≌△DAE..BF=AE.即AE=BF ∠PKE=∠PHC=90°， 能力在线 在△KPE和△HPC中，，PK=PH, 10.8W211.A12.A ∠KPE=∠HPC 13.·四边形ABCD是正方形，O为AC的中点， ∴△KPE≌△HPC(ASA).∴.PC=PE. ∴AB=BC=60em,∠ABC=90,0A=0C=号AC ,四边形PEFC是平行四边形，且PE⊥CP, ∴四边形PEFC是正方形 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB+BC= 拓展在线 √602+602=60√2(cm). 11.(1)= (2)证明：，四边形ABCD是矩形， ,△ACE为等边三角形，∴.AC=AE=CE=60√2cm ∴.AD∥BC,∠A=∠B=90°. ∴.OA=OC=OD=30√2cm,OE⊥AC.∴.∠AOE=90. :AE=BF,四边形ABFE是平行四边形 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE=√CE-OC= AE=AB,∴.四边形ABFE是菱形. √/(60√2)2-(30√2)2=30√6(cm). :∠A=90°，∴四边形ABFE为正方形 (3)如图③，连接NP并延长，交BF于点 答：点O到点E的距离是30√6cm. G,在PG上截取PO=NP, 拓展在线 ∴.四边形ANGB是矩形..NG=AB=4 14.(1)证明：四边形ABCD为正方形， ,四边形AEFB是正方形，AE=4, ∴.AD=BC,∠ADE=∠CBF=45°. ..EF=AE=4. 图③ 在△ADE和△CBF中， ,M,N分别为EF,AE的中点，P,Q分别为AM,BN的中 (AD=CB, :∠ADE=∠CBF, 点，∴PN=2EM=EF=1,AN=2AE=2,0N=2. DE-BF, ..BG=AN=2,0G=NG-NO=2. ∴.△ADE≌△CBF(SAS)」 在Rt△OGB中，BO=√BG+OG=2√2. (2)连接AC交BD于点O,如图 .四边形ABCD为正方形，BD=10 :P,Q分别为ON,BN的中点，PQ=B0=VE. .BD垂直平分AC,OA=OC=OB= 2BD 21.8梯形 基础在线 =5. ∴.AF=CF,AE=CE 1.B2.C3.C4.C5.C6.D 由(1)知△ADE≌△CBF,.AE=CF. 7.如图，过点D作DE∥AB,交CB于点E, .AD∥CB, AF=CF=AE=CE.∴.四边形AECF为菱形. .四边形ABED是平行四边形 ,四边形AECF的周长为4√34， ∴.EB=AD=3,DE=AB=4. ..AF=1 ×434=√34. CB=6,.EC=BC-BE=6-3=3. CD=5,∴.CD2=DE+CE 在Rt△AOF中，OF=√AF2-OA=3.∴.EF=2OF=6. .△DEC是直角三角形.∴∠DEC=∠ABC=90°. 第2课时正方形的判定 基础在线 四边形ABCD的面积是？(AD+CB)·AB=合×(3 1.D2.A3.B +6)×4=18. 4.:四边形ABCD为平行四边形，.AB∥CD,BD=2BO. 8.4或14 .∠ABD=∠CDB. 能力在线 .AC=2BO,∴.AC=BD 9.C10.C11.B12.B13.1.5 .平行四边形ABCD为矩形 14.(1).CE是∠ACB的平分线， :BD为∠ABC的平分线， .∠ACE=∠BCE. ∴∠ABD=∠DBC.∠CDB=∠DBC .AD∥BC,.∠AEC=∠BCE, .BC=CD.∴平行四边形ABCD为正方形 .∠ACE=∠AEC.∴AE=AC. 5.四边形DBEC是正方形.理由如下： .AC=BC,..AE=BC. .四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD. :AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. .'BE=AB,.'BE=CD. ,AC=BC,∴.平行四边形AEBC是菱形， .BE∥CD,.四边形DBEC是平行四边形 (2)如图，连接BD .CE=CD,.四边形DBEC是菱形 ,在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD, DA=DE,BE=AB,∴.DB⊥AE .∠ABC=∠DCB..△ABC≌△DCB..AC=DB .菱形DBEC是正方形. 由(1)可知，四边形AEBC是菱形， 6.C ∴.AC=BE=EA.∴.BE=BD,∠EAB=∠EBA. 能力在线 NBD⊥BE,∴∠BED=∠BDE=45°. 7.A8.D9.√/74 10.(1)正方形 ∠EAB=∠EBA=号×(180°-45)=67.5 (2)证明：过点P作PK⊥AB于点 ∠ABD=90°-67.5°=22.5. K,PH⊥BC于点H,如图所示， .∠ADB=2∠ABD. ∴∠PHB=∠PKE=∠PHC=9O 拓展在线 ,四边形ABCD是正方形， 15.(1)26 .∠ABC=90°，BD平分∠ABC. ∴.∠KPH=90° 20号 PK⊥AB,PH⊥BC,PK=PH ②有两种情况： 年级数学（下）·J小一 ⅰ)线段PQ与AB是平行四边形的对边 ∴.△PQE是等腰直角三角形， ,四边形ABQP是平行四边形， AP=BQ.3=18-2,解得=8， (3)当点F恰好落在边AB上时，的值为8-4V3或？ 5.(1)证明：过点E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,则 iⅱ)线段PQ与CD是平行四边形的对边， ∠EQF=∠EPD=90°. ,四边形PQCD是平行四边形， :四边形ABCD为正方形 PD=QC,521=26-3,解得1=29。 .∠DCA=∠BCA=45°，∠QEP=90°. ∴.EQ=EP,∠QEF+∠FEP=90° 综上所述，当1=S或时，线段PQ与四边形ABCD的 ,四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF=90°，则∠PED+∠FEP=90. 边构成平行四边形. ∴.∠QEF=∠PED 微专题6特殊四边形判定与性质的综合 '∠QEF=∠PED, 1.(1)证明：，O是AC的中点，.OA=OC 在△EQF和△EPD中，EQ=EP, OD=OB,.四边形ABCD是平行四边形 ∠EQF=∠EPD, ∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形. .△EQF≌△EPD(ASA)..EF=ED. (2).2-=BO++OC+BC-(BO+AB+AO)=2,AO=OC, ∴.矩形DEFG是正方形 ∴.BC-AB=b-a=2. (2)如图，过点G作GH⊥BC交BC的延长 四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=a,AD=BC=b. 线于点H, .a+a+b+b=28..a+b=14. 由正方形的性质，得EF=GF,∠EFG ÷白+81解得仔 90°，∠ACB=45°， 1b=8. .△CEQ是等腰直角三角形.∴.QE=QC. .∠ABC=90°，∴.AC=a2+b=10. .CE=√QE+QC=√2QC=3√2.∴QC=3. 2.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， .EQ⊥BC,GH⊥BC,∴.∠EQF=∠FHG=90 0C=0A=合AC ∴.∠QEF+∠QFE=∠QFE+∠HFG=90° .∠QEF=∠HFG.∴.△QEF≌△HFG(AAS). 1 ·DE∥AC,DE=zAC,DE∥OC且DE=OC. ..QF=GH,EQ=HF...CQ=HF. .CQ-CF=HF-CF,即FQ=CH.∴.CH=HG .四边形OCED是平行四边形 由(1)可得△EQF≌△EPD,.QF=DP (2)证明：由(1)知四边形OCED是平行四边形， EQ⊥BC,PC⊥BC,EP⊥CD, OE=CD,.四边形OCED是矩形 ∴.四边形EQCP是矩形..CP=QE=3. ∴.∠COD=90°.∴.AC⊥BD .DP=CD-CP=4-3=1..CH=HG=1. ∴.平行四边形ABCD为菱形， .CG=√CH+GHP=√2」 (3)在菱形ABCD中，BC=4,∠BAD=120°， (3)∠EFC的度数为130°或40° ∴.AB=BC=AD=4,∠ABC=60°. ∴△ABC是等边三角形. 微专题7与正方形有关的常考模型 1.(1)证明：四边形ABCD是正方形， AC=BC=4.∴A0=号AC=2. .AD=AB,∠DAE=∠ABF=90° ,在菱形ABCD中，AC⊥BD, AF⊥DE, ∴.OD=√AD-OA2=√2-22=2V3. .∠DAF+∠BAF=90°，∠DAF+∠ADE=90°. .∠ADE=/BAF. 由(2)知，四边形OCED是矩形， ∠ADE=∠BAF, .OD=CE=2√3，∠ACE=90° 在△DAE和△ABF中，.'AD=BA, ∴AE=W√AC+CE=√42+(2√3)2=2V7. N∠DAE=∠ABF, 3.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， ∴.△DAE≌△ABF(ASA). ∴.AO=CO,BO=DO,AC⊥EF, .DE-AF .BE=DF,.BO-BE=DO-DF..EO=FO. (2)√17 AO=CO,∴.四边形AECF是平行四边形. 2.(1),四边形ABCD是正方形，BD是对角线， 又AC=EF,AC⊥EF, .AB=BC,∠ABD=∠CBD=45° ∴.四边形AECF是正方形 (AB-CB. (2)'AB=√26，OB=3W2,AC⊥EF 在△ABF和△CBF中，：∠ABF=∠CBF=45°， ∴.AO=√JAB2-OB2=2√2 BF=BF, ,四边形AECF是正方形，∴.AO=OE=OF=OC .△ABF≌△CBF(SAS)..AF=CF. (2)如图，连接FC, .AE=√AO+OE2=4. 由(1)知，△ABF≌△CBF 4.(1)25 .AF=CF,∠BAF=∠BCF (2)△PQE是等腰直角三角形.理由如下： .FG⊥AE,∴.∠AFG=90° 如图②，过点P作PH⊥BC于点H, .∠BAF+∠AFG+∠FGB+∠GBA=360°， .∠PHE=∠ECQ=90° .∠BAF+∠FGB=180°. 图② ∴.∠HPE+∠HEP=90° .∠FGC+∠FGB=180°，.∠FGC=∠BAF ∠PEQ=90°，.∠QEC+∠HEP=90 图② .∠BCF=∠FGC..CF=GF ∴.∠HPE=∠QEC. .AF=CF=GF..∠FAG=∠FGA. .四边形ABCD是矩形，.∠A=∠B=90° ,∠AFG=90°，∴.∠FAG=∠FGA=45. ∴.∠A=∠B=∠BHP=90°. 即∠EAG=45° ∴.四边形ABHP是矩形..PH=AB=4. 3.①②③④ 又：EC=BC-BE=6-2=4,∴.PH=EC. ∴.△PHE≌△ECQ(ASA).∴.PE=EQ. 4.(1)MN=DM+BN (2)MN=BN-DM.理由如下： 一探究在线·八年 如图②，在BC上取点E,使BE=MD,连接AE. ,AF+CF≥AC, .AB=AD,∠B=∠ADM=90°， .当点F与菱形ABCD对角线的交点O重合时，AF+ ∴.△ABE≌△ADM(SAS) CF最小，即此时MN+NG最小. .AE=AM,∠BAE=∠DAM 菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°， :∠DAM+∠DAN=45°，.∠BAE+∠DAN=45. ∴.△ABC为等边三角形，AC=AB=1. ,∴.∠EAN=45°=∠MAN. AE-AM, :MN+NG的最小值为分 在△EAN和△MAN中， ∠EAN=∠MAN, 微专题9四边形的折叠问题 AN-AN, 1.(1)证明：把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落 ,',△EAN≌△MAN(SAS).,'.EN=MN 在点C处， .EN-BN-BE,.MN-BN-DM. ∴.∠CBD=∠EBD (3)MN=DM+BN.理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC. 如图③，将△ABN绕点A逆时针旋转120°，得△ADE, ∴.∠CBD=∠EDB.∴.∠EBD=∠EDB..EB=ED .∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE. (2)AC∥BD.证明：连接AC,如图. .∠B+∠ADC=180°， .AD=BC=BC',EB=ED, E ∴∠ADE+∠ADC=180°..E,D,C三点共线. ∴.AE=CE.∴.∠EAC=∠ECA 由(1)同理可得△EAM≌△NAM(SAS). :∠AEC=∠BED, .MN-ME-DM+DE-DM+BN. ∠EBD=∠EDB, ∴∠ACB=∠C'BD..AC∥BD 2.A 3.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC.∴.∠EPQ=∠PQB. ,将四边形APQB沿PQ翻折， 图② 3 ∴∠PQB=∠PQE,BQ=EQ..∠EPQ=∠PQE. 微专题8特殊四边形中的最值问题 ∴.PE=EQ..BQ=PE 1.1)242 (2).四边形ABCD是矩形 ∴.AD=BC=8,AB=CD=4,∠C=90° (2)EF存在最小值， 由(1)中的结论，得BQ=DQ=PD, :PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F, 设BQ=DQ=PD=x,则CQ=AP=8一x, ∴.∠PEC=∠PFC=90°. 在Rt△CDQ中，根据勾股定理，得CD2十CQ=DQ, 又∠ACB=90°，.四边形PECF为矩形..EF=PC. 即42十(8一x)2=x2,解得x=5. ∴.当PC⊥AB时，PC取得最小值，即EF取得最小值. ∴.AP=8-x=3. ∠ACB=90°，AC=6,BC=8, (3)如图，过点P作PH⊥BC于点H, .AB=√AC+BC=√62+8z=10. ,四边形ABCD是矩形 .AD=BC,AB=CD=4,∠A=∠B=∠C Sae=合AC.BC=AB·PC, =/ADC=90°」 6·8=10·PC,解得PC-4即EF-4 ∴.四边形APHB是矩形 ..AP-BH,PH=AB=4 图③ 八EF存在最小值，最小值为24 .E为CD的中点，∴.DE=CE=2 将四边形APQB沿PQ翻折， 2.√/13 .∠PFG=∠A=90°，EF=AB=4,AP=PF. 3.(1)如图，连接DE,交AC于点P,连接BP .∠FGD>90° 此时△BPE的周长最小. ,△DFG为等腰三角形，.FG=DG 理由：在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAC ,∠PFG=∠EDG=90°，∠FGP=∠EGD, =∠DAC, ∴.△PFG≌△EDG(ASA).∴.PF=DE=2,PG=EG AP=AP,∴.△ABP≌△ADP. ..AP=PF=BH=2,PD=EF=4. ∴.AD=AP+PD=6. .BP=DP,.BP+PE=DP+PE=DE 即AC与DE的交点为点P时，△BPE的周长PB十EP十 设BQ=EQ=y,则CQ=6一y, 在Rt△CEQ中，根据勾股定理，得CE十CQ=EQ,即2 BE最小. (2)由(1)得BP=DP,∴.PB+PE=DE 十(6-02=少解得y=号 .BE=2,AE=3BE,.'.AE=6. .AD=AB=8..DE=W√/62+82=10. 即BQ=9∴HQ=BQ-BH-寺 .PB+PE的最小值是10. '.△BPE周长的最小值为10+BE=10+2=12 “在R△PHQ中，PQ=√PF+HQ=√e+(号) 4.(1)证明：连接CF, ,FG垂直平分CE,CF=EF. ÷而 ,四边形ABCD为菱形， 4.D 点A和点C关于对角线BD对称. 5.(1)证明：如图，连接BD, ∴.CF=AF.∴.AF=EF. :四边形ABCD是菱形，∠A=60°， (2)连接AC交BD于点O, ∴.AB∥CD,△BCD是等边三角形. ,M和N分别是AE和EF的中点，G为CE的中点， G是CD的中点， MN-AF,NG-CF. .BG⊥CD,即∠CGB=90° .∠CGB=∠FBG=90° 即MN+NG=名(AF+CD. 即△FBG是直角三角形 级数学（下）·JJ一 23