期末重难点提升4 矩形、菱形与正方形-【探究在线】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

©期末重难点提升4 重难点1矩形的性质与判定 1.如图，直线EF∥MN,直线l交EF、MN于A、 C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、∠ACN、∠CAF的平分线，则四边形 ABCD是 形. 第1题图 第2题图 2.如图，口ABCD的对角线AC、BC相交于点 O,若AB=AO=BO=2,则BC= 3.如图，两条平行线过矩形的两个顶点，若∠1= a,则∠2= () A.90°-a B.90°+a C.180°-a D.180°+a Ay A E H GXD B 第3题图 第4题图 4.(商丘期末)如图，在矩形AOBC中，对角线 AB、OC相交于点D,以点D为圆心，任意长为 半径画弧，分别交AD、OD于点E、F,再分别以 点E、F为圆心，大于号EF的长为半径画弧，两 弧交于点G,连结DG并延长，交AO于点H,已 知A(0,6),B(8,0),则HD的长为 () A.3√3 B.4 C.5 D.6 5.(周口期中)如图，在△ABC中，点E在AB边 上（不与点A、B重合），点D、F分别是AC、 AE的中点，作EG∥AC,交DF的延长线于 点G,连结AG、ED (1)求证：四边形ADEG是平行四边形： (2)若∠C=90°，点E恰好是AB边的中点时， 判断四边形ADEG的形状，并说明理由. 117探究在线八年级数学（下）·HD 矩形、菱形与正方形 重难点2直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 6.（开封一模)用刻度尺（单位：cm)测量某三角 形部件的尺寸.如图，∠ACB=90°，点D为边 AB的中点，点A、B对应的刻度分别为1,6， 则CD的长为 () A.3.5 cm B.3 cm C.2.5 cm D.2 cm C 01cm23456 第6题图 第7题图 7.(郑州期中)如图，在Rt△ABC和Rt△ABD 中，∠ACB=∠ADB=90°.点O是AB的中 点，连结CO、DO,若∠COD=90°，则∠CBD 的度数为 () A.30° B.35° C.45° D.60° 重难点3菱形的性质与判定 8.(郑州期中)如图，在△ABO中，AO=BO,∠O =120°，点C是AB的中点，若将△ABO绕点 C逆时针旋转180°，则旋转前后两个三角形组 成的图形是 ) A.等腰梯形 B.菱形 C.正五边形 D.正三角形 9.已知□ABCD的两条对角线AC、BD相交于 点O,AB=5,AC=6,BD=8,则四边形ABCD 的周长是 () A.18 B.20 C.24 D.26 10.(南阳期未)如图，菱形ABCD的对角线的长 分别为6和8，G是对角线AC上的任意一点 (点G不与点A、C重合)，且GE∥BC交AB 于点E,GF∥CD交AD于点F,连结EF,则 阴影部分的面积是 () A.24 B.20 C.12 D.10 11.(中考·新疆)如图，在四边形ABCD中，AD ∥BC,BD是对角线. (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作 线段BD的垂直平分线，垂足为点O,与边 AD、BC分别交于点E、F(要求：不写作法， 保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，连结BE、DF,求证：四边 形BFDE为菱形. 重难点4正方形的性质与判定 12.四边形添加一定的条件可以得到正方形，如 图，老师给出了以下四个条件：a.两组对边分 别相等；b.一组对边平行且相等；c.一组邻边 相等；d.一个角是直角.有三位同学给出了不 同的组合方式：①a、c、d;②b、c、d;③a、b、c. 你认为能得到正方形的是 添加条件 四边形 正方形 A.仅①B.仅③ C.①② D.②③ 13.（鹤壁期末)如图所示，已知 正方形ABCD的面积为2， 点E、F在对角线AC上且 AE=CF,若四边形BEDF 的面积为1，则EF= 14.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，过点A作 AD⊥BC于点D.线段AD关于直线AB的 对称线段为AE,线段AD关于直线AC的对 称线段为AF,分别连结EB、FC,并延长交于 点G. (1)试判断四边形AEGF的形状，并说明理由. (2)若AE=6,CD=3,求△ABC的面积. 期末复习11819.3借助箱线图描述数据的分布 解这个整式方程，得x=一 基础在线 1.B2.C 检验：把x= -子代入x(z+1D,得 能力在线 3.15184.① ×(+)0, 拓展在线 5.(1)把甲的成绩从小到大排列为60,70,70,80,89,91,92， 所以，x=一 是原方程的解。 96,98,100,故m=90,a=70,b=96, (2)方程两边都乘以(x一3)，约去分母，得 (2)如图所示. 2-x=x-3-1, 100 解这个整式方程，得x=3. 检验：把x=3代入x一3，得3一3=0， ( ∴.x=3是分式方程的增根. .分式方程无解 7.方程两边都乘以(x一1)，约去分母，得 0 甲组 x+2-a=3(x-1), 乙组 (3)根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩比较分散，乙组 解这个整式方程，得x5 成绩比较集中.（答案不唯一） 单元综合复习（五）数据的分析 ~关于x的分式方程号十巴。=3的解为非负数， 热门考点突破 1.B2.B3.乙4.1 52≥0且1， 5.(1)77 解得a≤5且a≠3. (2)5×3+6×4+7X58X3+9×4+10×1=7.2(件)， 8.设机器人A每小时搬运xkg化工原料，则机器人B每小 20 时搬运(x十20)kg化工原料，由题意，得 .这20个班级本次征集到的作品的平均数量为7.2件. 800_1000 6.甲 x=r十20，解得x=80. 7.(1)12.5(2)<(3)乙、丁、甲、丙 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意 8.A9.B .x+20=100. 核心素养提升 答：机器人A每小时搬运80kg化工原料，机器人B每小 10.(1)5020% 补全条形统计图如图所示 时搬运100kg化工原料. 4得票数 9.设人工送货的平均速度为vkm/h,则无人机送货的平均 速度为2vkm/h.根据题意，得 58-器解得=30 检验：当0=30时，符合题意. (2)898 答：人工送货的平均速度为30km/h. (3)应该选择“科技畅想”.因为给“科技畅想”活动打高分 10.(1)设每套唐三彩x元，则每套玉雕(x十300)元，根据题 的人数最多，表示其更受欢迎（答案不唯一） 意，得 期末复习 3600=1800,解得x=300. x+300 x 期末重难点提升1分式 经检验，x=300是所列分式方程的解，且符合题意. 1.D2.C 8a3b5 x+300=600. 3.(1)原式= (a+b)2(a-b)2 1 (a+b)3 a2b5 2(a-b) 答：每套唐三彩300元，每套玉雕600元. 4a2-Aab (2)设该旅行团购买了y套唐三彩和(20一y)套玉雕，根 a+b 据题意，得 (2)原式=La+1 a2(a+1)(a-1)7 +a+1)(a-1) 300y+600(20-y)≥8400， a+1 (a+1)2 解得10≤y≤12 300y+600(20-y)≤9000， 中+ ∴.方案一：该旅行团购买10套唐三彩和10套玉雕； 4.原式=m-4牛4.3(m-2）=m。.3(m2》=3m 方案二：该旅行团购买11套唐三彩和9套玉雕； m-2 m m-2 m 方案三：该旅行团购买12套唐三彩和8套玉雕。 ,m=(-1)2025=-1, 答：共有三种购买方案 .原式=3×（一1）=-3 11.A12.4 5.C 期末重难点提升2函数及其图象 6.(1)方程两边都乘以x(x十1)，约去分母，得 1.C2.C3.B4.C5.C6.B x2-3(x+1)=x(x+1), 7.(1)a=-3. 28 一探究在线·八年 (2)当x=一2时，y=-9; CH=BF=1,..DH=4. 当x=-6时，y=-3. :AB∥CD,FH⊥AB,∴EH⊥DH. 18>0,.当x<0时，y随x的增大而减小， 在Rt△DEH中，由勾股定理，得DE=√D+E严= 当-6<x<-2时，-9<y<-3. √42+(3)=√19. 8.(1)反比例函数的表达式为y= 4.B(4,1D. 7.(1)B(14,6) 一次函数的表达式为y=合一1. (2)(8,6)或(5,6) (3)如图，连结AC、OB交于点E, (2②)不等式兰-<0的解集为-2<<0或x>2. 四边形OABC是平行四边形， .'.AE=CE. (3)当∠BAP=90时，AB2+AP=BP2, :点A的坐标是(10,0)，点C的坐标是(4,6)， 即(4+2)2+(1+2)2+(-2-0)2+(-2-b)2=(4-0)2 ∴.E(7,3). +(1-b)2, ,y=x十b正好将平行四边形OABC分成面积相等的两 整理，得一6b=36,.b=一6； 部分，∴直线y=kx十b过点E(7,3). 当∠ABP=90时，AB2+BP2=AP, 即(4+2)2+(1+2)2+(4-0)2+(1-b)2=(-2-0)2+ 3=7k+6k=39 (-2-b)2, 即k与b的函数关系式为k=一 3 整理，得6b=54,.b=9. 综上，b的值为-6或9. 8.D9.C 9.B 10.,四边形ABCD是平行四边形， 10.(1)反比例函数的表达式为y-192(x>≥16). ..AD-CB,/A=/C. 在△ADE和△CBF中， .A(16,12) AD=CB,∠A=∠C,AE=CF, “正比例函数的表达式为y=是(0<<16. ∴.△ADE≌△CBF(SAS). ∴DE-BF,∠AED=∠CFB. （20将y=3代人y=12得3=12，部得=64 :M、N分别是DE和FB的中点， 由图可知，当0<x<16时，室内空气中每立方米的含药 EM=合DE,FN=合BF,∴EM=FN. 量随时间的增加而增加； AB∥CD,∠ABF=∠CFB. 当x≥16时，室内空气中每立方米的含药量随时间的增 .∠AED=∠ABF.∴.EM∥FN. 加而减少， .四边形ENFM是平行四边形. .至少需要经过64min后，学生才能回到教室， 11.(1)四边形ABCD是平行四边形， (3)此次消毒有效.理由如下： .AD∥BC,AB=CD. 将y=4代入y=至，得4=是，懈得x=9, ∴.∠DAE=∠AEB=65°. 将y=4代入y12得41解得=48 .BE=CD,.'.AB=BE. .∠BAE=∠AEB=65° :48-9-1号8>40，∴此次消毒有数。 ∠BAD=∠BAE+∠DAE=65°+65°=130°. (2)证明：AB=BE,BF⊥AE,∴.AF=EF, 期末重难点提升3平行四边形 在△ADF和△ECF中， 1.B2.A3.A4.C5.C ∠DAE=∠AEB,AF=EF,∠AFD=∠EFC, 6.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形.∴.AB∥CD ∴.△ADF≌△ECF(ASA)...DF=CF. .∠B=∠ECH. 又AF=EF, ·点E是BC的中点， .四边形ACED是平行四边形， .BE=CE. 12.B13.1 在△BEF和△CEH中， 期末重难点提升4矩形、菱形与正方形 :∠B=∠ECH,BE=CE,∠BEF=∠CEH, 1.矩2.√123.B4.B .△BEF≌△CEH(ASA). 5.(1)证明：：点F是AE的中点，∴.AF=EF. (2),四边形ABCD是平行四边形， :EG∥AC, ∴.AD=BC=4,AB=CD=3,AB∥CD. ∴∠ADF=∠EGF “点E为BC的中点，BE=CE=2BC=2 又，∠AFD=∠EFG, .'AF=BE,.'.AF=2...BF=1. .△AFD≌△EFG.∴.GF=DF. 在Rt△BEF中，由勾股定理，得EF=√BE一BF= ∴.四边形ADEG是平行四边形. (2)四边形ADEG是矩形.理由如下： √22-1平=√3. 点D是AC的中点，点E是AB边的中点， ,△BEF≌△CEH,,EF=EH=√3. ∴.DE是△ABC的中位线.∴.DE∥BC. 及数学（下）·HD一 又.∠C=90°，.∠ADE=∠C=90°. ∴.四边形ADEG是矩形 6.C7.C8.B9.B10.C 11.(1)如图所示，直线EF即为所求. (2)证明：如图所示， :EF垂直平分BD, .BE=DE,∠BOE= ∠BOF=90°，OB=OD. ∴.∠EBD=∠EDB. :AD∥BC,∠EDB=∠CBD. .∴.∠EBO=∠FBO. 又.OB=OB,∴.△EBO≌△FBO(ASA). ,OE=OF..四边形BEDF是平行四边形 又BE=DE, .四边形BEDF是菱形 12.C13.1 14.(1)四边形AEGF是正方形.理由如下： :AD⊥BC于点D, .∠ADB=∠ADC=90°. :AE与AD关于直线AB对称， .AE=AD,∠EAB=∠BAD, ∠E=∠ADB=90. :AF与AD关于直线AC对称， .AF=AD,∠FAC=∠DAC,∠F=∠ADC=90° .'.AE=AF :∠BAC=45°，即∠BAD+∠CAD=45. ∴.∠EAB+∠FAC=45°. .∠EAF=∠EAB+∠FAC+∠BAC=9O°， .∠E=∠EAF=∠F=90° .四边形AEGF是矩形. 又AE=AF,.矩形AEGF是正方形. (2):四边形AEGF是正方形，AE=6, .EG=FG=AE=6,∠G=90 设BE=x,则BD=x.∴.BG=EG-BE=6-x CD=3,..CF=CD=3,BC=BD+CD=3+x. ∴.CG=FG-CF=3. 在Rt△BCG中，BC2=BG+CG,即 (x十3)2=(6一x)2十32.解得x=2. .BC=3+x=5.AD=AE=6, ∴SAe=2AD:BC=号×6X5=l5. 期末重难点提升5数据的分析 1.C2.C3.A 4.(1)848630 (2)该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为 该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩的平均数相同，都 是82，但七年级学生竞赛成绩的中位数(84)大于八年级学 生竞赛成绩的中位数(83)，所以该校七年级学生航天知识 竞赛的成绩较好.[或该校八年级学生航天知识竞赛的成 绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛成绩 的平均数都是82，但八年级学生竞赛成绩的众数(86)大 于七年级学生竞赛成绩的众数(84)，所以该校八年级学生 航天知识竞赛的成绩较好.] 5.B ,(1)2=8.2,即a=8.2. 因为x甲=85，xz=85,=58.4, 所以xm=x2,系>2. 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定。 (2)获奖分数线的平均数x=89.6, 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获 奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获 奖的可能性更大，故选甲参加更合适· (3)选甲更合适.理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲 呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能 的角度考虑，选甲更合适， (1)3.6354.125 (2)补全B团队的箱线图，如图所示. 收益率/% 6 5 14.89 444 4.440 3.915 3.195 3.18 -2.02 21 团队A 团队B 通过箱线图可知，A团队产品收益率的中位数与B团队的 几乎相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但A团 队的产品收益率比B团队的收益率的波动性大，即B团 队的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择B团 队的理财产品更合适. 新课标·新情境 2(答案不唯一) (任选其中两个即可)命题1是真命题.证明如下： 连结DE,交AC于点O,如图所示。 .'CD是Rt△ABC斜边AB上 的中线，CD=DA=DB=号AB. .AE∥DC,CE∥AB, ∴四边形ADCE是平行四边形. DA=DC,.四边形ADCE是菱形 ∴.AC⊥DE,且OA=OC,OE=OD. 点D为AB的中点，∴DO是△ABC的中位线. .OD-BC. -CF BC.560-CF OE, SACFB=2SACEF 命题2是真命题.证明如下： 连结DE,交AC于点O,如图所示 ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD=DA=DB=2AB, ,AE∥DC,CE∥AB, .四边形ADCE是平行四边形， DA=DC,.四边形ADCE是菱形..AC⊥DE; 命题3是真命题，证明如下： 连结DE,交AC于点O,如图所示 ,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， :.CD-DA-DB-7AB. .AE∥DC,CE∥AB, 一探究在线·八年 .四边形ADCE是平行四边形. ..CE=DA...CE=DB. -(x+1(x-D=x- :CE∥BA,∴四边形BCED是平行四边形. 2)原式=，士y-=-1 ∴.ED=BC. x+y 3.A4.D y-x-y=-+2 x十y x十y 5.设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 18.(1)方程两边都乘以(x一1)，约去分母，得 根据题意，得9一少-2解得一2 2-x=x.解得x=1. 经检验，x=2是原方程的根，且符合题意， 检验：当x=1时，x一1=0，因此x=1不是原分式方程的解. 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里。 所以，原分式方程无解. 6.C7.C (2)方程两边都乘以x(x一2)，约去分母，得 8.(1)7.5822% (2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2, (2)八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为 解得x=一分 八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级.（答案 不唯一，合理即可) 检验：当x=一时xx-2)≠0， 9.(1)点A(2,6)的“2级关联点”是(2×2+6,2+2×6)，即点 B的坐标为(10,14). “原方程的解为=一 (2)点P(2,-1)的“a级关联点”为(2a-1,2-a), 则2a-1=9,2-a=b,解得a=5,b=-3. 1原式[》+]号 ∴.a+b=5-3=2. x(x-1)+2x-D×-=x+2)xD× (x-1) x2-4 (x-1)2 (3)点N的坐标为(90)或0，-16). (x+1)(x-1)_x+1 (x+2)(x-2)x-2 10.12001020兔子在距离起点400m的地方开始睡 :x2-1≠0，x-2≠0，x十2≠0， 觉，睡了40min200 11.(1)设这种草莓的单价为x元/kg.根据题意，得 x≠士1，±2. 120+3=10解得x=20, 放把=3代人号得号4 20.设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉 经检验，x=20是原分式方程的解，且符合实际 米(x十2)筐.根据题意，得 答：这种草莓的单价为20元/kg. (2)第二次购买该草莓时的单价为20一5=15（元/kg), 票-2解得=10 甲第二次购买该草莓的数量为120÷15=8(kg). 经检验，x=10是原方程的根且符合题意. 乙第二次购买该草莓的总价为(180÷20)×15=135（元）. 所以小李平均每小时掰玉米10筐. 甲两次购买这种草莓的平均单价为120×2÷（绍+ 1 1 21.(106×7X2=6×27×2 8）=19(元/kg, n+2 1 (2)nX(m十iX2=nX2-(m+1)×2币 乙两次购买这种草莓的平均单价为(180+135)÷ /180 1 2(n+1) 20 证明：右边=nX2一(m+1)×2-n×(+1)×2 ×2）-(元/ke). n+2 n×(n+1)×2币-n×(m十1)X2+=左边， 答：甲两次购买这种草莓的平均单价是元/kg,乙两次 等式成立 22.(1)设每套B型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套A 购买这种草莓的平均单价是元kg 型号的“文房四宝”的标价为(1十40%)x=1.4x(元).根 (3)金额 据题意，得 第15章学情评估 5400-4000+4000=50,解得x=100. 1.4x 1.C2.B3.B4.A5.B6.B7.A8.C 经检验，x=100是分式方程的解，且符合题意. 9.A10.B 答：每套B型号的“文房四宝”的标价为100元 1.x≠312.00009213.-2 (2)由题意，得 14.2y一 x2n-1 x (5400-4000)×0.9+4000×0.8=4460(元). 15.30 答：购买A、B型号“文房四宝”共需花费4460元. 16,(①)原式=-1+4+1×号=-1+4+子=号 23.(1)增大.理由如下： n+1-n=m(n+1)-m(m+1)=m-n (2)原式=x9y5·x-8y4=xy0. m+1 m m(m+1) m(m+1) 1a原式=二影×名二2+易·红-成+D “m>m>0,心原式的值为正数.2+>” m+1>m 级数学（下）·HD一 29