6.1.3 两角和与差的正切公式（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第六章 三角计算 6.1.3 两角和与差的正切公式 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节内容是高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版）中三角函数章节的核心知识点之一，位于两角和与差的正弦、余弦公式之后，是对三角函数和差变换知识体系的完善与延伸。教材以我国古代《大衍历》中的“九服晷影算法”为背景导入，既体现了数学的文化底蕴，又自然引出正切函数的实际应用，符合职业教育数学教材“注重实用、贴合生活、衔接基础”的特点。 本节内容的编排遵循“背景导入—认知冲突—知识储备—公式推导—应用巩固”的逻辑，先通过实际情境和数据对比引发学生思考，再利用已学的正弦、余弦公式及同角三角函数关系推导正切和差公式，最后通过案例、练习强化应用，层层递进、循序渐进，既巩固了前期所学知识，又为后续二倍角公式、三角函数综合化简求值等内容的学习奠定了坚实基础，同时培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养，契合职业教育对学生数学应用能力的培养要求。 五、学情分析 本节课的授课对象为职业院校学生，结合学生的认知特点和知识基础，学情分析如下： 1.知识基础：学生已熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式，理解同角三角函数的商数关系式（），具备一定的三角函数化简和求值能力，这是推导两角和与差正切公式的核心基础；但部分学生对公式的灵活运用能力不足，在公式逆用、变形方面存在薄弱点。 2.认知特点：职业院校学生形象思维较强，抽象思维相对薄弱，对枯燥的公式推导兴趣不高，但对与实际生活、专业相关的数学情境关注度较高；同时，学生善于模仿练习，适合通过案例讲解、分层练习逐步掌握知识，但注意力集中时间有限，需要通过互动、提问、分层任务调动其学习积极性。 3.潜在困难：学生在推导公式时，容易忽略“cosα·cosβ≠0”这一前提条件；在应用公式解决非特殊角求值、公式逆用等问题时，难以快速将已知条件与公式结构对应，尤其是对“1=tan45°”的灵活替换掌握不够；部分学生计算粗心，容易在分式化简、根式运算中出现错误。 六、教学目标 知识层面 理解两角和与差的正切公式，掌握公式的结构。 能力层面 能运用两角和与差的正切公式解决三角函数的化简、求值和证明问题。 核心素养层面 通过公式的学习与应用，培养学生的数学抽象思维能力，提升数学建模的核心素养。 七、教学重点 1.两角和与差的正切公式的推导过程及公式的准确记忆（包括简记符号、结构特征、记忆口诀）； 2.运用两角和与差的正切公式解决三角函数的化简、求值和证明问题，掌握公式的正用、逆用方法。 八、教学难点 1.两角和与差正切公式的推导过程中，分子分母同除以cosα·cosβ的变形依据及“cosα·cosβ≠0”这一适用条件的理解； 2.公式的灵活逆用和变形应用，尤其是将非特殊角转化为特殊角的和与差，以及“1=tan45°”的灵活替换技巧. 九、教学方法 1.情境教学法：以《大衍历》“九服晷影算法”为背景导入，结合生活实例，激发学生的学习兴趣，体会数学的文化底蕴和实际应用价值； 2.启发探究法：在公式推导过程中，通过提问、引导、小组讨论等方式，启发学生自主思考，主动探究公式的推导思路，培养学生的逻辑推理能力； 3.讲练结合法：先通过案例讲解公式的正用、逆用方法，再安排分层练习（基础题、提升题），让学生在练习中巩固知识，提升应用能力，贴合职业院校学生“模仿练习—熟练掌握”的认知特点； 4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示公式推导过程、案例解析、练习答案，直观清晰，节省板书时间，同时通过动态演示帮助学生理解公式变形过程，突破教学难点。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 《大衍历》 播放视频 晷影长的数学模型 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即，由此得到，这是世界数学史上较早的一张正切函数表。 认知冲突 观察数据：，，两者相加约为，但。角度可以直接相加：，但正切值却不能直接相加。 储备知识 两角和与差的余弦公式 两角和与差的正弦公式 从“已知”到“未知” 同角三角函数的商数关系式 由此可得：， 提出问题 你能通过两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式吗？ 以《大衍历》“九服晷影算法” 为背景，搭配视频展示和晷影长数学模型的讲解，既充分挖掘了数学知识的文化底蕴，让学生感受古代数学的智慧。 通过呈现 “30°+15°=45°，但 tan30°+tan15°≠tan45°” 的认知冲突，打破学生 “角度相加则三角函数值相加” 的思维定势，引发学生对两角和与差正切值计算规律的思考，为新知学习埋下伏笔。 回顾两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数商数关系式，搭建 “已知知识” 与 “未知知识” 的桥梁，帮助学生唤醒已有知识储备，为后续公式推导做好铺垫。 新知讲授 推导公式 1.根据同角三角函数的商数关系式： 2.代入和角公式： 3.分子分母同除以（）： 分子： 分母： 4.得出最终公式： 推导公式 方法一： 1.根据同角三角函数的商数关系式： 2.代入差角公式： 3.分子分母同除以（）： 分子： 分母： 4.得出最终公式： 方法二： 1.根据公式： 2.将公式中的替换为： 3.根据诱导公式： 分子： 分母： 得出最终公式： 两角和与差的正切公式总结 1.两角和的正切公式（简记符号）： 2.两角差的正切公式（简记符号）： 口诀：和角正切，分子加、分母减；差角正切，分子减、分母加 公式说明 的公式并非对所有角和都成立，公式中、的取值应使分式有意义。 分步推导两角和与差的正切公式，从同角三角函数商数关系式切入，逐步代入正弦、余弦和差公式，再通过分子分母同除以 cosα・cosβ 完成变形，每一步推导都清晰呈现逻辑依据，重点突出 “cosα・cosβ≠0” 的适用条件，帮助学生理解公式的来龙去脉，突破 “变形依据” 和 “适用条件” 这一教学难点。 提供两种推导两角差正切公式的方法，既培养学生从不同角度思考问题的能力，又通过 “替换 β 为−β” 的方法，强化公式间的内在联系，帮助学生构建系统的知识体系。 总结公式的简记符号、结构特征和记忆口诀，采用简洁易懂的语言（如 “正切和差，分子加减，分母乘减”）帮助学生快速记忆公式，契合职业院校学生形象思维较强的认知特点，突出 “公式准确记忆” 这一教学重点。 案例分析 例1：求的值。 解： 对分母进行有理化（分子分母同乘 ）： 例2：求tan75°的值。 解： 例3：求下列各式的值. 解： (2)提示：灵活应用 可以达到简化解题的目的 例4：已知 求 解： 例5：已知 求 解： 公式强化记忆 选取典型案例，涵盖非特殊角求值（如 tan15°、tan75°）、公式正用与逆用（如例 3）、结合特殊角替换（如 “1=tan45°”）、已知单角正切值求复合角正切值（如例 4、例 5）等多种题型，全面覆盖教学重点，为学生提供清晰的解题示范。 详细展示解题步骤，包括非特殊角向特殊角的转化、分母有理化、公式逆用技巧等，针对学生潜在的困难点（如 “1=tan45°” 的灵活替换）进行重点讲解，帮助学生掌握公式应用的核心方法，提升数学运算能力。 案例解析后再次强化公式记忆，通过重复公式结构，加深学生对公式的印象，为后续自主练习奠定基础。 学以致用 小组合作 1已知 求 的值. 2若 求tanα的值. 练习 [答案]A 逆用两角差的正切公式可得： 2.若 则 [答案]A 由两角差的正切展开式计算可得： 3.若 则 [答案]B 由两角和的正切展开式计算可得： 4.若 则 A.-1 C.1 D.2 [答案]B 首先用已知求正切值，然后利用两角差正切公式求值即可： 因为 所以 即 5.若 则 [答案] 由两角和与差的正切公式即可求解： 6.已知 则 C.2 D.-2 [答案]C 由两角差的正切展开式计算可得： 知识回顾 设计小组合作任务，鼓励学生在互动交流中解决问题，既调动学生的学习积极性，又培养学生的合作意识和沟通能力，契合职业院校学生 “善于模仿练习” 的认知特点。 练习题设置分层，从基础的公式直接应用（如第 1、2 题）到需要灵活变形的题目（如第 4、5 题），逐步提升难度，满足不同层次学生的学习需求，帮助学生在练习中巩固公式的正用、逆用和变形应用能力。 每道练习题均提供详细解析，明确解题思路和公式应用依据，及时纠正学生的错误认知，强化易错点（如公式适用条件、计算步骤）的记忆，提升练习的有效性。 练习后回顾核心公式，帮助学生梳理知识脉络，形成完整的知识框架，强化本节课的核心内容。 课堂练习 1.求下列各式的值. 【解析】 (1)原式 (2)原式 (3)原式: =1 (4)原式 =1 2.已知 求 和 的值. 【解析】 3.证明: 【解析】 原式 4.已知tanα, tanβ是方程 的两个解，求 的值. 【解析】 由韦达定理，得 由韦达定理，得 因此 5.已知 求 的值. 【解析】 得 6.若 求tanα. 【解析】 练习题题型丰富，涵盖非特殊角求值、复合角正切值计算、公式证明、结合韦达定理的综合应用等，全面检验学生对公式的掌握程度，进一步强化公式的灵活应用能力。 证明题（如第 3 题）和综合题（如第 4、5 题）的设置，提升了知识应用的深度，培养学生的逻辑推理和数学抽象核心素养，契合教学目标中 “能力层面” 和 “核心素养层面” 的要求。 详细的解析过程为学生提供自主核对和纠错的依据，帮助学生查漏补缺，及时巩固所学知识，同时培养学生的自主学习能力。 课堂小结 名称 简记符号 公式 两角差的余弦公式 两角和的余弦公式 两角差的正弦公式 两角和的正弦公式 两角差的正切公式 两角和的正切公式 公式应用要点 和角公式应用 以清晰的逻辑结构梳理公式应用要点，明确公式正逆用的核心方法和非特殊角转化的技巧，帮助学生形成系统的解题思路，避免知识碎片化。 小结内容紧扣教学重点和难点，突出 “公式正逆用”“非特殊角转化” 等核心知识点，便于学生快速回顾本节课的关键内容，提升复习效率。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 两角和与差的正切公式总结 1.两角和的正切公式（简记符号）： 2.两角差的正切公式（简记符号）： 口诀：和角正切，分子加、分母减；差角正切，分子减、分母加 公式说明 的公式并非对所有角和都成立，公式中、的取值应使分式有意义。 板书布局合理，将核心公式、记忆口诀清晰呈现，便于学生跟随课堂节奏，快速掌握本节课的核心内容，同时便于课后复习 11、 教学反思 1.情境导入贴合教材，激发学习兴趣：以《大衍历》“九服晷影算法”为背景，既体现了数学的文化内涵，又自然引出正切函数的实际应用，贴合职业教育“注重实用、渗透文化”的理念，有效调动了学生的学习积极性。 2.公式推导注重启发引导，突出学生主体：在推导公式时，通过提问“如何利用已学公式推导正切和差公式？”“分子分母同除以cosα·cosβ的依据是什么？”，引导学生自主思考、小组讨论，避免了枯燥的灌输式教学，培养了学生的逻辑推理能力，符合新授课“探究新知”的核心要求。 3.讲练结合，贴合学情：结合学生“善于模仿、注意力集中时间有限”的特点，先通过典型案例讲解公式的正用、逆用技巧，再安排分层练习，从基础题到提升题，逐步巩固知识，同时针对易错点（如适用条件、计算错误）进行强调，有效提升了学生的公式应用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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