3.6 第2课时 切线的判定与三角形的内切圆-【名校作业】2025-2026学年九年级下册数学同步教案（北师大版）

该初中数学教学设计聚焦切线的判定与三角形内切圆核心知识点，通过复习直线和圆位置关系的两种判定方法（交点个数、距离与半径关系），回顾相切条件，为新知切线判定定理搭建知识支架。 以动画观察与问题链驱动探究，通过直线运动动画引导学生用数学眼光发现切线条件，让学生用文字与符号语言表述定理培养数学语言表达能力，作内切圆时尺规作图发展空间观念与推理能力，助力教师高效教学，学生深化几何直观与逻辑推理。

第三章 圆 6 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与三角形的内切圆 【教学目标】 1.能判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线； 2.运用切线的判定定理构造直角三角形解决有关问题； 3.会作三角形的内切圆． 【教学重点】 探索圆的切线的判定方法，并能运用其进行推理． 【教学难点】 探索作三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆. 【教学过程】 1. 复习引入 上节课我们学习了直线和圆的位置关系，你知道怎么判断直线和圆的位置关系吗？(多媒体出示) 方法1：看直线与圆交点的个数 (1)当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆________. (2)当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆________．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点. (3)当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆________. 方法2：看直线到圆的距离d与圆的半径r的大小关系 (1)d＜r⇔直线l与⊙O相交； (2)d＝r⇔直线l与⊙O相切； (3)d＞r⇔直线l与⊙O相离． 处理方式：利用多媒体展示直线与圆的位置关系，让学生口答判断直线与圆的位置关系的两种方法，教师要特别强调直线与圆相切的判断． 2. 新课讲解 【探究1】 圆的切线的判定 问题1：观察两幅动画，分析直线l由初始位置运动到l1的位置过程中其与圆的位置关系，并说明理由． 问题2：如图，结合图中直线l运动的终止位置l1的位置特点，用一句话概括当直线具备怎样的特点时，会成为圆的切线． 图3－6－76 处理方式：学生在观察完两幅动画后，对于直线l运动到l1的位置时应该 比较易于得到它的特点：过半径的一个端点，而且与这条半径垂直．让学生回答直线l1此时是否是圆的切线，从而帮助学生认识到圆的切线应该满足两个条件：(1)过半径的外端；(2)垂直于这条半径．结合总结的结论趁热打铁引导学生完成问题3的任务． 问题3：请你用文字语言和符号语言将我们发现的结论表述出来. 处理方式：(处理流程)两位同学板演，一位写文字语言，另一位写符号语言．其余同学按照下面的处理流程完成问题的解决. (1)学生独立思考； (2)同位交流解题方法； (3)独立解答问题； (4)参与点评板演． 问题4：接着提出问题：若把定理中的“半径”改为“直径”可以吗？ 问题5：判定一条直线是圆的切线，我们有多少种方法呢？请将表格填充完整． 直线与圆的位置关系名称 公共点个数 判定方法 图示 问题6：请同学们利用刚才总结的方法，完成下面的问题解决. 图3－6－78 (1)已知：如图3－6－78，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. (2)已知：如图3－6－78，⊙O的直径为6 cm，OA＝OB＝5 cm，AB＝8 cm.求证：AB与⊙O相切. 处理方式：同学板演，其余同学按照下面的处理流程完成问题的解决. (1)学生独立思考； (2)同位交流解题方法； (3)独立解答问题； (4)参与点评板演； (5)方法归纳. 【探究2】 作圆的切线 导入语：如果告诉你⊙O上有一点A(如图3－6－79所示)，让你过点A作出⊙O的切线，你会作吗？(多媒体出示) 图3－6－79 图3－6－80 处理方式：教师引导学生分析，根据刚才讨论过的圆的切线的判定定理可知：图中已有经过半径的一端的点A，只要作出垂直于半径的直线就是圆的切线，而现在没有半径，所以需要连接OA，再作半径OA的垂线即可，学生动手作图，并展示学生作出的图形．作图后引导学生反思：要运用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，需要“连半径，证垂直”. 学生作图预设： (1)如图3－6－80，连接OA； (2)过点A作OA的垂线l，直线l即为所求的切线． 【探究3】 认识三角形的内切圆 如图3－6－81，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切． 处理方式：让学生在练习本上画草图进行分析，要明确此圆需在三角形的内部，且与三角形三边相切，然后重点 图3－6－81 探究确定圆心和半径的方法，并尝试画图，同时能口述画图过程，还要让学生说明这样做的道理． 教师多媒体展示作图过程： 解：1.作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I. 2．过点I作BC的垂线，垂足为D. 3．以点I为圆心，以ID为半径作⊙I. 图3－6－82 ⊙I就是所求作的圆． 想一想：类比前面我们学习过的外接圆，你能给这个圆和这个圆心起一个名字吗？它们与外接圆和外心有何不同？ 处理方式：根据圆与三角形的位置，引导学生大胆归纳内切圆和内心的概念，同时还要说明它们与外接圆、外心的不同． 教师强调：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 3.典例分析 例1 如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线． 例2　已知：如图3－6－84，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°.求证：直线AB是⊙O的切线． 例3　如图3－6－85，在△ABC中，∠A＝68°，点I是内心，求∠I的度数． 4.课堂练习 （1）等边三角形的边长为4，则此三角形内切圆的半径为________． （2）下列图形中不一定有内切圆的是(　　)　　 　　 　　　　　 　　 　　　　 　　 　　 A.任意三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （3）如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上的两点，且＝＝，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D. ①求证：CD是⊙O的切线； ②若CD＝2，求⊙O的半径． 5.课堂小结 6.课后作业 见课后习题 学科网（北京）股份有限公司 $