1-2 平面汇交力系《机械基础》安徽省（分类招生和对口招生）装备制造类 知识点讲解

安徽省装备制造大类对口高考机械基础复习讲义 模块 1 构件的静力分析 1-2平面汇交力系 考点5 平面汇交力系的平衡方程及其应用（综合运用） 【考纲要求】 （1）识记平面汇交力系的概念。 （2）能用平面汇交力系的几何法求合力。 （3）掌握平面汇交力系的解析法，能用合理投影定理求合力。 （4）能综合应用平面汇交力系的平衡方程求解实际问题。 【知识网络】 【知识和技能要点】 平面力系：各力作用线均在同一平面内的力系称为平面力系。 平面汇交力系：若平面力系中各力的作用线都汇交于一点，则称为平面汇交力系。 一、平面汇交力系合成的几何法 1.用力的三角形求合力 几何法求平面汇交力系的合力可连续应用力的三角形,将力依次合成。 2.用力多边形求合力 将已知力平移，使它们首尾相连,从起始点出发，将该多边形封闭的矢量就是该平面汇交力系的合力。 3.提示 连接力多边形的封闭边时,应从第一个力的始端指向最后一个力的末端。 4.结论 ① 平面汇交力系的合力等于各力的矢量和,合力的作用线通过各力的汇交点。合力的矢量式为 FR =F1+F2+F3+……+Fn=∑F ② 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是该力系的合力等于零。用矢量式表示,即 FR =F1+F2+F3+……+Fn =0 ③ 平面汇交力系平衡的充分和必要几何条件是该力系的力多边形是自行封闭的。 二、平面汇交力系合成的解析法 1.力在坐标轴上的投影 （1）力的投影方法 设直角坐标系 oxy 中，α为力F与x轴的夹角。从力 F起点A和终点B分别作x轴、y 轴的垂线，得线段 ab、a′b′，其中ab 为力F在x轴上的投影，用 Fx表示。a′b′为力F在y轴上的投影，用Fy表示。 Fx=F·cosα Fy=F·sinα F的大小和它与x轴所夹的锐角α分别为： （2）力的投影的正负号规定 当a到b(a′到b′)的指向与x 轴(y轴)的正方向一致时，取正值，反之取负值。 （3）力沿坐标轴的分解与合成 如果把力F沿X轴、Y轴分解,则得到两个正交力Fx、Fy，如下图所示。 2.合力投影定理 （1）合力投影方法 设作用于刚体的平面汇交力系F1、F2、F3，汇交于A点，如图所示。 用力多边形可求出合力FR。 在直角坐标系 oxy 中将合力FR及各分F1、F2、F3投影到x轴和y轴上。它们在x轴上的投影分别为FRx=ad，F1x=ab，F2x=bc，F3x=cd，由图可见，ad=ab+bc+cd，即 FRx=F1x+F2x-F3x 同理 FRy=-F1y+F2y+F3y （2）合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影等于所有分力在该轴上的投影的代数和。 3.平面汇交力系合成的解析法 设有F1、F2、……、Fn组成的平面汇交力系，各力在x、y轴上的投影分别为 F1x、F2x、……、Fnx及F1y、F2y、……、Fny，合力的投影分别为FRx、FRy，由合力投影定理可知: FRx=F1x+F2x+……+Fnx=∑Fx FRy=F1y+F2y+……+Fny=∑Fy 并且 α为合力 FR与x轴所夹的锐角, FR 的指向要分别根据∑Fx、和∑Fy的正负号决定，合力的作用线必定通过汇交点。 三、平面汇交力系的平衡方程及其应用 （1）平面汇交力系平衡的充分和必要条件 力系的合力等于零,即 FR=∑F =0,此时必须满足： ∑Fx=0 ∑Fy=O （2）平面汇交力系平衡的解析条件 力系中各力在两直角坐标轴上投影的代数和分别等于零。 应用平面汇交力系的平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题时,可解出两个独立的未知量。 （3）用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤： (1)确定研究对象,单独画出其简图。 (2)进行受力分析,画出研究对象的全部已知力和未知力，并设定未知力的方向。 (3)选取合适的坐标系,计算各力的投影。 (4)列平衡方程解出未知量。 【练习题】 一、单项选择题 1.用几何法连接力多边形的封闭边时，应从 力的始端指向 力的末端。( ) A. 第一个、第二个 B. 第二个、第一个 C. 第一个、最后一个 D. 最后一个、第一个 2.平面汇交力系等效于( )。 A．一个合力和一个合力偶 B．一个合力 C．一个合力偶 D．平衡力 3.力F在x轴上的分力的大小等于( )。 A. 力F在x轴上的长度 B. 力F在x轴上的投影长 C. 力F在y轴上的长度 D. 力F在y轴上的投影长 4.已知两个力F1和F2在同一坐标轴上的投影相等，则这两个力( )。 A. F1＜F2 B.F1=F2 C.不一定相等 D.F1＞F2 5. 下列哪种建立坐标系的方法不妥( )。 A. 让坐标轴尽可能与各分力倾斜 B. 让坐标轴尽可能通过各分力 C. 让坐标轴尽可能与各分力平行 D. 让坐标轴尽可能与各分力垂直 6.力F在坐标轴的第三象限,方向如图所示,F的图影Fx、Fy为( )。 A．Fx＝Fcosα、Fy＝Fsinα B．Fx＝Fcosα、Fy＝－Fsinα C．－Fx＝Fcosα、Fy＝Fsinα D．－Fx＝Fcosα、Fy＝－Fsinα 第6题图 第7题图 7.如图所示,小球的受力体系正确的是( )。 A．平面力偶系 B．平行力系 C．平面汇交力系 D．平面任意力系 8.平面汇交力系平衡时，可用解析法求合力，它利用( )。 A.合力投影定理 B.两合力矩方程为零 C.三角形法 D.多边形法 9.平面汇交力系平衡的充分和必要条件是( )。 A．力系中各力在两直角坐标轴上投影的代数和分别等于零 B．该力系的合力等于零 C．力系的力多边形是自行封闭的 D．该力系的合力不等于零 10.平面汇交力系的平衡条件是( )。 A.∑Fx=0 B.∑Fy=0 C.∑Fx=0和∑Fy=0 D.∑M =0 11.平面汇交力系最多可列出的独立平衡方程数为( )。 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．6 个 二、多项选择题 1.关于平面汇交力系的几何法求解,下列说法正确的是( )。 A.几何法适用于求解两个或多个力的合成 B.采用几何法合成力时，必须使用比例尺准确绘图 C.几何法只能用于力的合成，不能求解力的分解问题 D.几何法中力的多边形自行闭合是平面汇交力系平衡的充分必要条件 2.平面汇交力系平衡的解析条件包括( )。 A.各力在x 轴上投影的代数和为零 B.各力在y 轴上投影的代数和为零 C.各力对平面内任一点的力矩代数和为零 D.力系中各力大小相等 3.下列对求解平面汇交力系平衡的步骤描述正确的是( )。 A.选取适当的平衡物为研究对象，并画出简图 B.进行受力分析。画出研究对象的全部已知力和未知力，并设定未知力的方向 C.选取合适的坐标系，计算各力的投影 D.列平衡方程解出未知量 4.将一个已知力分解成两个分力时，下列说法不正确的是( )。 A.若已知两个分力的方向，则这两个分力的大小就唯一确定了 B.若已知一个分力的方向和另一个分力的大小，则这两个分力的大小一定有两组值 C.分力不可能与已知力垂直 D.至少有一个分力小于已知力 三、填空题 1.若平面力系中各力的作用线都汇交于一点，则该力称为 。 2.常采用 法、 法研究平面汇交力系的合成与平衡问题。 3.力的多边形和力的正交分解分别是研究平面汇交力系平衡的 法和 法的具体体现。 4.连接力多边形的封闭边时，应从第一个力的 指向最后一个力的 。 5.平面汇交力系的合力等于各力的 ，合力的作用线通过各力的 。 6.平面汇交力系平衡的几何条件是 。平面汇交力系平衡的充分和必要条件是该力系的合力等于 。 7.合力在任意一个坐标轴上的投影等于 在该坐标轴上投影的 ，这就是合力投影定理。 8.如果平面汇交力系的合力为零，则物体在该力系作用下一定处于 状态。 9.求平面汇交力系合力的解析法是用力在直角坐标轴上的 ,计算 ,确定 。 10.平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两直角坐标轴上投影的 分别等于 。其表达式为 和 。 11.平面汇交力系平衡的矢量表达式是 ，解析表达式是 。 12.若平面汇交力系由三个力组成,且这三个力的作用线汇交于一点,则该力系的独立平衡方程数目为 个。 13.在平面汇交力系的合成中,若合力FR＝０,且各分力的矢量和为零,则该力系简化的最终结果为 。 14.用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤如下： (1)确定 ，单独画出其简图； (2)进行 ，画出研究对象的全部已知力和未知力，并设定未知力的方向； (3) 选取合适的 ，计算 ； (4) ，解出未知量。 15.在对平面汇交力系列平衡方程之前，需要计算 。 16.平面汇交力系最多可以列 个平衡方程,可以求解 个未知数。 四、简述与计算题 1. “合力一定大于分力”的说法是否正确?举例说明原因。 2. 简述平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。 3. 简述用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤。 4.如图所示,已知力F1＝100N，F2＝200N，F3＝250N，试求上述三力在x、y 轴上的投影。若F4x ＝75N，F4y＝－129.9N，求合力F4。 5.如图所示，重物处于平衡状态，已知重物 G=100 kN，试求钢绳 AB、BC 的拉力。 6.图示为简易起重机。已知物体重量 G=100 kN，吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过光滑滑轮B连在铰车上，不计滑轮、钢丝绳和杆的重量，试求重物匀速上升时杆AB、BC作用于滑轮的力。 7. 如图所示，有一个重80N的球，放在与水平面夹角为45°的光滑斜面上，并用与斜面平行的绳AB 拉住，试用几何法求绳AB 受到的拉力及球对斜面的压力。 8.球重为W＝100N悬挂于绳上，并与光滑墙面相接触，如图所示已知α＝30°，试求绳所受的拉力及墙所受的压力。 【答案】 一、单项选择题 1. C 2. B 3. B 4．C 5. A 6. D 7. C 8.A 9.B 10. C 11.A 二、多项选择题 1. ABD 2. AB 3. ABCD 4.BCD 三、填空题 1. 平面汇交力系 2. 几何 解析 3. 几何 解析 4. 始端 末端 5. 矢量和 汇交点 6. 力多边形自行封闭 零 7. 所有分力 代数和 8. 平衡 9. 投影 合力的大小 合力的方向 10. 投影的代数和 零 ∑Fx=0 ∑Fy=0 11. FR =F1+F2+F3+……+Fn =0 ∑Fx=0，∑Fy=0 12. 两 13. 平衡状态 14. 研究对象 受力分析 坐标系 各力的投影 列平衡方程 15. 各力的投影 16. 两 两 四、简述与计算题 1.答：“合力一定大于分力”的说法是错的。合力不一定大于分力,要看分力的夹角。例如两个大小相同、方向相反的力,合力为0,小于任何一个分力。合力一定时，两分力间夹角越大，分力越大。 2.答：①几何条件：该力系的力多边形是自行封闭的。 ②解析条件：力系中各力在两直角坐标轴上投影的代数和分别等于零。 3.答：①确定研究对象，单独画出其简图。 ②进行受力分析，画出研究对象的全部已知力和未知力，并设定未知力的方向。 ③选取合适的坐标系，计算各力的投影。 ④列平衡方程解出未知量。 4. 解：F1： F１x＝－F1cos30°＝－100×cos30°N＝－86.6N F1y ＝－F1sin30°＝－100×sin30°N＝－50N F2： F2x ＝0 F2y ＝－F2＝－200N F3： F3x ＝F3cos45°＝250×cos45°N＝176.8N F3y ＝F3sin45°＝250×sin45°N＝176.8N F4： ɑ=30° 5. 解：(1)选取B点为研究对象，单独画出其简图。 (2)对B点进行受力分析。B点受三个力的作用，一个是钢绳向上的拉力F，大小等于重物的重量G，二是钢绳AB的拉力FTAB，大小未知，方向沿BA方向；三是钢绳BC的拉力FTBC，大小未知，方向沿BC方向。 (3)如图作平面直角坐标系。 (4)列平衡方程解出未知量。 ∑Fx =0，FTBCX－FTABX=0，FTBsin45°－FTABsin30°=0 ∑Fy =0C，F－FTABY －FTBCY=0，F－FTABcos30°－FTBCcos45°=0 又知 F=G=100KN 解得：FTAB=73.2KN，FTBC=51.77KN 即钢绳AB的拉力为73.2KN，钢绳BC 的拉力为51.77KN。 6. 解：(1)选取滑轮B为研究对象，单独画出其简图。 (2)对B点进行受力分析。不计杆重时，杆 AB、AC 都是二力杆，约束力FAB和FBC分别沿连线AB、BC方向，物体匀速提升且滑轮光滑，有 F1=F2=G。 (3)如图作平面直角坐标系。 (4)列平衡方程解出未知量。 ∑Fx =0，FAB+FBCX－F2X=0，FAB+FBCcos30°－ F2sin30°=0 ∑Fy =0，FBCY－F1－F2Y=0，FBC sin30°－F1－F2sin60°=0 又知 F1=F2=G=100KN 解得: FAB =－273.2kN，FBC= 373.2kN FAB的值为负号，说明FAB的实际方向与假设方向相反。 7. 解：取球为研究对象；受力分析并画受力图；用三角尺量出FT＝FN ≈57N。过程如图所示。 (a)图画出球受到的重力G、拉力FT和斜面支持力FN。 (b)图是几何法画出汇交力系。 (c)图用三角尺量出(近似值)。 8. 解：①取球为研究对象，画出球的受力图。 ②建坐标系，列平衡方程。 ∑Fx＝０ FN －FTsin30°＝０ ① ∑Fy＝０ FTcos30°－W＝０ ② 解方程,由②得FT＝W/cos30°＝100/0.866＝115N 将FT带入①得FN＝FTsin30°＝115N×0.5＝57.5N 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $