第19卷 计数原理与排列组合 2026年江西省“三校生”对口升学考试《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年江西省“三校生”对口升学考试《数学45分钟训练卷》，依托于江西省“三校生”对口升学考试考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是2026年江西省“三校生”对口升学考试《数学45分钟训练卷》的第19卷。 2026年江西省“三校生”对口升学 第19卷 计数原理与排列组合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、是非选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.对每小题的命题做出判断，对的选A，错的选B） 1．有5名同学站成一排，其中小张必须站在排头，这5个人的排法共有100种( ) 2．由数字可以组成12个大于3000的没有重复的四位数．( ) 3．若，则等于5．( ) 4．的二项展开式中，含的项的系数为5. ( ) 二、单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 5．某同学有3件上衣和2条裤子，不同的穿搭方式有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 6．某中职学校学生会主席团共有5名成员，其中3名女生、2名男生，现从中任选两名去参加活动，是1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 7．的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D． 8．已知的展开式的第5项为，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有 种． 10．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有 种. 11．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 12．某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识”竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有 种. 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13．已知二项式的展开式中共有11项. (1)求展开式的第3项的二项式系数； (2)求展开式中含的项. 14．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 15．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为512. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 16．已知甲袋中有3个黑球、2个白球，乙袋中有2个黑球、3个白球，且小球除颜色外其他完全相同. (1)若从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球的概率； (2)若从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，求至少1次取到黑球的概率； (3)若从甲、乙两袋中各取2个球，求恰好取到2个黑球的概率. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年江西省“三校生”对口升学考试《数学45分钟训练卷》，依托于江西省“三校生”对口升学考试考试大纲，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 本专辑共30份试卷，本卷是2026年江西省“三校生”对口升学考试《数学45分钟训练卷》的第19卷。 2026年江西省“三校生”对口升学 第19卷 计数原理与排列组合 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、是非选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.对每小题的命题做出判断，对的选A，错的选B） 1．有5名同学站成一排，其中小张必须站在排头，这5个人的排法共有100种( ) 【答案】错误 【分析】小张必须站在排头，其余人随便排，结合排列数公式可求得排法种数． 【详解】有5名同学站成一排，其中小张必须站在排头，其余4人随便排， 则不同的排法种数为种． 故答案为：错误． 2．由数字可以组成12个大于3000的没有重复的四位数．( ) 【答案】正确 【分析】分成首位为3和4进行计算，再由分类计数原理计算即可. 【详解】若想数字大于3000，则首位为3或4即可， 当首位为3时，剩下的三个数字任意排列即可，方法数为种， 当首位为4时，剩下的三个数字任意排列即可，方法数为种， 所以由数字组成可以大于3000的没有重复的四位数的个数为种. 故答案为：正确. 3．若，则等于5．( ) 【答案】错误 【分析】由组合数公式判断正误. 【详解】由组合数公式可知，若， 则或， 解得或， 故答案为：错误. 4．的二项展开式中，含的项的系数为5. ( ) 【答案】错误 【分析】由二项展开式的通项即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为. 令，即，可得含的项的系数为. 故答案为:错误. 二、单项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 5．某同学有3件上衣和2条裤子，不同的穿搭方式有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】根据排列组合中的分步乘法计数原理求解即可. 【详解】某同学有3件上衣和2条裤子,则不同的穿搭方式有. 故选：B. 6．某中职学校学生会主席团共有5名成员，其中3名女生、2名男生，现从中任选两名去参加活动，是1男1女的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概率的计算公式，结合组合数公式求解即可. 【详解】由题意得，从五名成员中选两名参加活动共有种选法， 1男1女的选法有种，则1男1女的概率是. 故选：A. 7．的展开式的第2项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 则第项是. 故选：B. 8．已知的展开式的第5项为，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【分析】先根据二项式的通项公式写出的第项，再根据系数之间的关系求得实数的值. 【详解】根据二项式的通项公式可得， 的展开式的第5项为， 又的展开式的第项为， 所以，即 解得或. 故选：C． 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 9．有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有 种． 【答案】146 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算即可. 【详解】当取出不同的球为红球和白球时，一共有种； 当取出不同的球为红球和黄球时，一共有种； 当取出不同的球为白球和黄球时，一共有种； 综上：一共有种． 故答案为：146． 10．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有 种. 【答案】9 【点睛】利用分类加法计数原理，计算得到答案. 【详解】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法， 若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种， 故答案为：9. 11．在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再由指定的幂指数求解即可得答案. 【详解】二项式的展开式通项公式， 由，得，因此， 所以的系数为， 故答案为：. 12．某班从3名男同学和5名女同学中，选取3人参加学校的“创文知识”竞赛，要求男女生都有，则不同的选法共有 种. 【答案】45 【分析】利用间接法，即所有选法中排除全为男生和全为女生的情况即可得答案. 【详解】若从3名男同学和5名女同学中任选3位同学，有种可能， 若从中只选择男生，有种可能， 若从中只选择女生，有种可能， 所以在所有组合中排除全为男生和全为女生的情况，则共有（种）. 故答案为：45. 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 13．已知二项式的展开式中共有11项. (1)求展开式的第3项的二项式系数； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1)45 (2) 【分析】（1）根据二项式的展开式有11项，进而得到n的值，进而利用通项公式求解即可； （2）根据通项公式求解指定项即可； 【详解】（1）因为二项式的展开式中共有11项， 所以， 所以展开式的第3项的二项式系数为； （2）通项公式为， 令，即， 所以. 14．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）2名医生必须参加，选派的4人只有2人从护士中挑选，再由组合数计算即可. （2）2名医生都不参加，需从护士中挑选4人，再由组合数计算即可. （3）2名医生至少有1人参加，分两类情况考虑，分别由组合数计算即可. 【详解】（1）2名医生必须参加， 因此选派的4人只有2人从护士中挑选，有种选法． 因此，不同的选派方法共有（种）. （2）2名医生都不参加， 就需要从护士中挑选4人，有种选法 因此，不同的选派方法共有（种）. （3）2名医生至少有1人参加，可分两类情况考虑： 第一类：2名医生中只有1人参加， 此时，不同的选派方法共有（种） 第二类：2名医生都参加， 此时，不同的选派方法共有（种）， 综上，不同的选派方法共有（种）． 15．已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为512. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式系数之和即可求出n的值. （2）先求出二项展开式通项，再令求出k的值即可求解常数项. 【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512， 所以，即，解得. （2）由通项公式， 令，可得， 所以展开式中的常数项为 16．已知甲袋中有3个黑球、2个白球，乙袋中有2个黑球、3个白球，且小球除颜色外其他完全相同. (1)若从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球的概率； (2)若从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，求至少1次取到黑球的概率； (3)若从甲、乙两袋中各取2个球，求恰好取到2个黑球的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解； （2）根据题意，先求出三次都取到白球的概率，结合对立事件的概率的计算，即可求解； （3）根据题意，结合组合数的应用，及古典概率的计算，即可求解. 【详解】（1）由题意，设事件从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球， 则， 即从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个黑球的概率为. （2）由题意，设事件从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，至少1次取到黑球, 因为从乙袋中任取1个球，取到白球的概率为， 则， 即从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，至少1次取到黑球的概率为. （3）由题意，可分三种情况：①甲乙两袋中各取出1个黑球1个白球；②甲袋中取出2个黑球、乙袋中取出2个白球； ③甲袋中取出2个白球、乙袋中取出2个黑球； 设事件从甲、乙两袋中各取2个球，恰好取到2个黑球， 则， 即从甲、乙两袋中各取2个球，恰好取到2个黑球的概率为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $