6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时）（教学设计）数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节课围绕人教A版（2019）选择性必修第三册6.1分类加法与分步乘法计数原理展开，通过实际问题情境引导学生感知两个原理的内涵，明确分类加法计数原理适用于完成一件事有若干类不同方案，各类方案相互独立，方法数为各类方法数之和；分步乘法计数原理适用于完成一件事需分若干个步骤，步骤相互依存，方法数为各步骤方法数之积，同时帮助学生区分两个原理的适用条件，掌握简单应用方法，为后续计数问题学习奠定基础，培养学生的逻辑推理与数学建模素养。 2.内容解析 本节课是人教 A 版（2019）选择性必修第三册计数原理的开篇课，是整个计数模块的基础内容，兼具概念性与应用性。教学以实际问题为载体，通过具象情境引导学生从具体到抽象，逐步归纳出分类加法和分步乘法两个核心计数原理，明确两类原理的本质区别：分类加法计数原理对应 “分类完成”，各类方案彼此独立、互斥，完成事件的总方法数为各类方法数累加；分步乘法计数原理对应 “分步完成”，各步骤相互依存、缺一不可，总方法数为各步骤方法数相乘。教学中注重引导学生辨析原理的适用条件，通过简单实例让学生掌握原理的基础应用，同时在探究过程中培养学生的逻辑推理、数学抽象和建模素养，为后续排列、组合等计数问题的学习搭建核心思维框架，让学生形成 “先辨类型，再用原理” 的计数解题思路。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解分类加法与分步乘法计数原理的内涵，辨析适用条件并掌握其简单应用 1.教学目标 （1）通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; （2）正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. （3）能利用两个原理解决一些简单的实际问题. （4）培养数学建模、数学运算等重要学科素养 2.目标解析 （1）该目标聚焦原理的归纳形成，要求以具体实例为依托，引导学生从实际计数问题中提炼规律，自主总结两个原理的核心内涵，侧重培养数学抽象能力，是从具体到抽象的思维建构过程，也是掌握后续内容的前提，需让学生亲历原理的生成过程而非被动记忆。 （2）该目标是运用原理的关键前提，“完成一件事情”是计数的核心落脚点，要求学生能精准把握问题本质，区分分类的独立性与分步的依存性，学会根据问题特征做出正确选择，是突破原理应用难点的核心环节。 （3）该目标是原理学习的实践应用，要求学生将抽象原理转化为解题能力，针对简单实际问题，能规范运用两个原理计算方法数，检验对原理的理解程度，同时提升运用数学知识解决实际问题的基本能力。 （4）该目标是学科素养的培养要求，在原理归纳和问题解决中，让学生构建计数问题的数学模型，在方法数计算中锤炼数学运算能力，实现知识学习与素养提升的融合，落实数学学科的育人价值。. 分类加法与分步乘法计数原理（第1课时）学情分析 本节课授课对象为高二学生，已具备初中简单计数经验和高中数学抽象思维基础，能解决单一情境下的计数问题，但对系统计数原理缺乏认知。学生已掌握有理数运算、集合分类等知识，可作为原理推导的铺垫，不过知识迁移能力存在差异，部分学生对“分类”“分步”的逻辑界定敏感度不足。 教学中预计困难：一是难以精准理解“完成一件事”的核心内涵，易混淆事件本身与计数对象；二是对分类的互斥性、分步的依存性辨析不清，导致原理选用错误；三是面对复杂情境时，无法合理拆解问题，缺乏有序思考意识。 解决方法：以生活化实例（如选课、出行）为载体，具象化概念；通过对比辨析题强化原理差异认知，标注关键特征；引导学生按“定事件—辨类型—用原理”步骤解题，培养有序思维。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：辨析分类与分步的逻辑特征，精准理解原理内涵，能结合具体情境正确选用计数原理。 1． 创设情境，引入新知 我们年级计划组织世界之窗研学活动，从学校出发到目的地，有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 思考：从学校到世界之窗，一共有多少种不同的出行方式？ 2． 探究新知 思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 学生：自主尝试着编号，并用一一列举的方法，得出结果. 预设：编号有2类方案： 第一类方案 用大写的英文字母编号：可编出26种不同的号码; 第二类方案 用阿拉伯数字编号：可编出10种不同号码; 总共能编出 26+10=36种 不同的号码. 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 学生：根据预习教材，得出答案 预设：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次，“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示. 教师：因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数． 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 学生：回顾师生共同解决问题的过程，得出解决该类问题的基本环节. 预设：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数． 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 师生：相互讨论，学生举例，教师适当评价，特别注意让学生思考回答要完成的“一件事”是什么. 举例预设：小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？ 答案预设：从北京到重庆有2类方案： 第一类方案 乘坐飞机：有 4种 不同的走法; 第二类方案 乘坐火车：有 3种 不同的走法; 总共有 4+3=7种 不同的走法. 设计意图：使学生辨析和理解分类加法计数原理. 分类加法计数原理：一般地，完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有： N=m+n 种不同的方法. 3． 应用新知 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1． 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 管理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择? 师生：共同分析题目，结合分类加法计数原理解决问题. 分析预设：要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 解析预设：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 ． 牛刀小试： 练1：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比赛，共有_______种不同的选法. 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：可以从男生或女生种选一名． 从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法． 根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为 N=30+24=54 练2：一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 预设：根据分类加法计数原理，不同的取法种数为．故答案为：10 4． 探究新知 探究：完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 学生：类比分类加法计数原理，得出答案：共有 N=m1 +m2+m3 种不同方法. 推广：如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 学生：结合以上结论，得出分类加法计数原理的推广形式，答案为：共有 N=m1 +m2+ ∙∙∙ +mn 种不同方法 设计意图：推广分类加法计数原理，加深对分类加法 计数原理的理解与认识.巩固概念，学会用分类加法计数原理解答简单问题. 牛刀小试： 练3：情景引入中，研学计划有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 预设：根据分类加法计数原理，不同的取法种数为．故答案为：6 练4：有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙，每天有18班火车、5班汽车和12班飞机．一天小强从上海去长沙，共有多少种不同的方式？ 预设：因为有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙， 每天有18班火车、5班汽车和12班飞机， 所以一天中小强从上海去长沙，共有种. 练5：音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不同的选法？ 预设：按照分类加法计数原理计算可得，共有种选法. 思考：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以，，…，，，，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 追问：前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？ 学生：自主对比分析，根据教师的引导，得出答案 预设：这两个问题中编号的要求不同，在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤． 设计意图：比较分类计数问题与分步计数问题，渗透 分步乘法计数原理. 提示：用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码 教师：图6.1-1是解决计数问题常用的“树状图” 追问：你能用树状图列出所有可能的号码吗？ 学生：根据提示中画“树状图”的方法，列举出所有的编号号码，并做好分享准备. 追问：有没有更简单一点的计数方法？ 学生：小组讨论，思考和分析其他的解法 预设：我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母的任意一个都能和9个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9=54 个不同的号码. 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 学生：根据预习教材，得出答案 预设：首先，这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，其次，“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成. 因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的． 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 学生：回顾以上解决问题的过程，得出解决该类问题的基本环节. 预设：（1）确定分步标准，根据问题条件分：先选字母号码，后选数字号码两个步骤； （2）分别计算各步骤号码的个数； （3）各类号码的个数相乘，得出所有号码的个数． 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 师生：相互讨论，学生举例，教师适当评价，特别注意让学生思考回答要完成的“一件事”是什么. 举例预设：小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？ 答案预设：从北京到重庆：需分2个步骤进行 第一步 从北京到成都：有 4种 不同的走法; 第二步 从成都到重庆：有 3种 不同的走法; 总共有 4×3=12种 不同的走法. 设计意图：进一步理解和巩固，以及为引出分布乘法计数原理的定义做准备. 定义：一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 辨析：（1）无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数 （2）只有各个步骤都完成才算做完这件事情 5． 应用新知 例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 师生：共同审题及分析，要完成的一件事是“选男生和女生各1名”，可以分两个步骤：第1步，选男生；第2步，选女生． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成： 第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为: N=30×24=720 设计意图：巩固概念，学会用分步乘法计数原理解答简单问题. 小试牛刀： 练7：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：确定后两位数字组成一个电话号码，可以分两个步骤完成： 第1步，选第5位上的数字，有10种不同选法； 第2步，选第6位上的数字，有10种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为 N=10×10=100 6． 探究新知 探究：完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 学生：类比分步乘法计数原理，得出答案：共有 N=m1 ×m2×m3 种不同方法. 推广：如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 学生：结合以上结论，得出分类加法计数原理的推广形式，答案为：共有 N=m1 ×m2× ∙∙∙ ×mn 种不同方法 设计意图：推广分步乘法计数原理，加深对分步乘法计数原理的理解与认识.巩固概念，学会用分步乘法计数原理解答简单问题. 小试牛刀： 练8：某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ） A．14 B．64 C．72 D．80 预设：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种. 故选：B． 练9：12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有 种不同的获奖情况． 预设：共有（种）不同的获奖情况．故答案为：1320. 7． 应用新知 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法? （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法? 师生：共同分析题目，结合两个计数原理解决问题. 分析预设：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 解析预设：（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类方案是从第1层取１本计算机书，有4种方法； 第2类方案是从第2层取１本文艺书，有3种方法； 第3类方案是从第3层取１本体育书，有2种方法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为： N=4+3+2=9 （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分3个步骤完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为：N=4×3×2=24 跟踪练习：要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法? 预设：法一：分步乘法计数原理 3×2=6 第1步：选出2幅画(3种：甲乙、甲丙、乙丙) 第2步：对2幅画确定左右(各2种挂法) 法二：分步乘法计数原理 3×2=6 第1步：选1幅挂左边(3种：甲、乙、丙) 第2步：选1幅挂右边(各2种选择) 法三：分类加法计数原理 2+2+2=6 第1类：甲在左(2种方法：甲乙、甲丙) 第2类：乙在左(2种方法：乙丙、乙甲) 第3类：丙在左(2种方法：丙甲、丙乙) 法四：树状图列举法，如右图 总结：分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同： 相同点：回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题 不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 类型一：“多面手”问题 例1 7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法. 预设：第1步：选出会象棋的，有5种选择;3 象 2 围 2 多 第2步：选出会围棋的，有4种选择; 根据分步乘法计数原理，共5×4=20种选法. 总结：排除法解决“多面手”问题模型 a名会甲但不会乙，c名会乙但不会甲，b名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有 N 种不同的选法. 解法：第1步：选出会甲的，有a+b种选择;a 甲 c 乙 b 多 第2步：选出会乙的，有c+b种选择; 根据分步乘法计数原理，共(a+b)(c+b)种选法. 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有(a+b)(c+b)－b种选法 题型二：“ ab与ba”问题 例题2 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 预设：（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：36＝729. （2）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：63＝216. 总结：分步乘法计数原理解决“ ab与ba”问题 模型：有a个人选b个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解法：（1）人选项目，每人有b种选法，根据乘法原理：a个人共有ba种选法; （2）项目选人，每项目有a种选法，根据乘法原理：b个项目共有 ab种选法; 作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.  6.1 分类加法与分步乘法计数原理（第 1 课时） 一、核心原理 · 分类加法计数原理 （1）条件：完成一件事，有 n 类不同方案，各类方案互斥独立，每类有若干方法。 （2）公式：N = m₁ + m₂ + … + mₙ（mᵢ为第 i 类方法数） （3）关键词：分类、互斥、相加 · 分步乘法计数原理 （1）条件：完成一件事，需分 n 个步骤，各步骤依存关联，每步有若干方法。 （2）公式：N = m₁×m₂×…×mₙ（mᵢ为第 i 步方法数） （3）关键词：分步、依存、相乘 二、例题示范 （简例 1：分类情境，如从 A 地到 B 地的交通方式计数） （简例 2：分步情境，如搭配服装的计数问题）解法：定事件→辨类型→用原理→算结果 三、课堂小结 两原理本质：分类相加、分步相乘 关键：明确 “完成一件事”，精准辨分类 / 分步 本节课围绕分类与分步乘法计数原理展开教学，以生活化实例为切入点引导学生归纳原理，初步达成教学目标，但仍有不足。教学中通过实例对比帮助学生辨析原理差异，多数学生能理解核心内涵并解决简单问题，落实了逻辑推理素养培养。但部分学生对“完成一件事”的界定模糊，复杂情境下易混淆分类与分步，且课堂练习分层设计不足，未能充分兼顾不同层次学生。后续需优化实例难度梯度，增加针对性辨析题强化认知，同时预留更多自主探究时间，引导学生主动梳理解题步骤。此外，应加强课堂反馈的及时性，精准捕捉学生误区，通过变式训练巩固知识，提升学生灵活运用原理解决问题的能力。 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $