6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） （导学案）数学人教A版选择性必修第三册

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 导学案 （1）通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; （2）正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. （3）能利用两个原理解决一些简单的实际问题. （4）培养数学建模、数学运算等重要学科素养 1． 创设情境，引入新知 我们年级计划组织世界之窗研学活动，从学校出发到目的地，有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 思考：从学校到世界之窗，一共有多少种不同的出行方式？ 2． 探究新知 思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 预设：编号有2类方案： 第一类方案 用大写的英文字母编号：可编出26种不同的号码; 第二类方案 用阿拉伯数字编号：可编出10种不同号码; 总共能编出 26+10=36种 不同的号码. 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 预设：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次，“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示. 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 预设：（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； （2）分别计算各类号码的个数； （3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数． 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 举例预设：小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？ 答案预设：从北京到重庆有2类方案： 第一类方案 乘坐飞机：有 4种 不同的走法; 第二类方案 乘坐火车：有 3种 不同的走法; 总共有 4+3=7种 不同的走法. 分类加法计数原理：一般地，完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有： N=m+n 种不同的方法. 3． 应用新知 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1． 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 管理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择? 分析预设：要完成的事情是“选一个专业”．因为这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件． 解析预设：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为 ． 牛刀小试： 练1：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比赛，共有_______种不同的选法. 预设：可以从男生或女生种选一名． 从男生中有30种不同选法，从女生中有24种不同选法． 根据分类加法计数原理，该班选一名做代表的选法种数为 N=30+24=54 练2：一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 预设：根据分类加法计数原理，不同的取法种数为．故答案为：10 4． 探究新知 探究：完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N=m1 +m2+m3 种不同方法. 推广：如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 共有 N=m1 +m2+ ∙∙∙ +mn 种不同方法 牛刀小试： 练3：情景引入中，研学计划有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 预设：根据分类加法计数原理，不同的取法种数为．故答案为：6 练4：有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙，每天有18班火车、5班汽车和12班飞机．一天小强从上海去长沙，共有多少种不同的方式？ 预设：因为有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙， 每天有18班火车、5班汽车和12班飞机， 所以一天中小强从上海去长沙，共有种. 练5：音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不同的选法？ 预设：按照分类加法计数原理计算可得，共有种选法. 思考：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以，，…，，，，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 追问：前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？ 预设：这两个问题中编号的要求不同，在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个，都可以给出一个座位号码．但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤． 提示：用图6.1-1所示的方法可以列出所有可能的号码 追问：你能用树状图列出所有可能的号码吗？ 根据提示中画“树状图”的方法，列举出所有的编号号码，并做好分享准备. 追问：有没有更简单一点的计数方法？ 预设：我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母的任意一个都能和9个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9=54 个不同的号码. 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 预设：首先，这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，其次，“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成. 因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的． 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 预设：（1）确定分步标准，根据问题条件分：先选字母号码，后选数字号码两个步骤； （2）分别计算各步骤号码的个数； （3）各类号码的个数相乘，得出所有号码的个数． 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 举例预设：小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？ 答案预设：从北京到重庆：需分2个步骤进行 第一步 从北京到成都：有 4种 不同的走法; 第二步 从成都到重庆：有 3种 不同的走法; 总共有 4×3=12种 不同的走法. 定义：一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法． 辨析：（1）无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数 （2）只有各个步骤都完成才算做完这件事情 5． 应用新知 例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 预设：任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成： 第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法； 第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为: N=30×24=720 小试牛刀： 练7：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 预设：确定后两位数字组成一个电话号码，可以分两个步骤完成： 第1步，选第5位上的数字，有10种不同选法； 第2步，选第6位上的数字，有10种不同选法， 所以根据分步乘法计数原理，共有不同选法种数为 N=10×10=100 6． 探究新知 探究：完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 共有 N=m1 ×m2×m3 种不同方法. 推广：如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 答案为：共有 N=m1 ×m2× ∙∙∙ ×mn 种不同方法 小试牛刀： 练8：某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ） A．14 B．64 C．72 D．80 预设：因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种. 故选：B． 练9：12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有 种不同的获奖情况． 预设：共有（种）不同的获奖情况．故答案为：1320. 7． 应用新知 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法? （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法? 分析预设：（1）要完成的一件事是“从书架上取1本书”，可以分从第1层、第2层和第3层中取三类方案；（2）要完成的一件事是“从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书”，可以分三个步骤完成． 解析预设：（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类方案是从第1层取１本计算机书，有4种方法； 第2类方案是从第2层取１本文艺书，有3种方法； 第3类方案是从第3层取１本体育书，有2种方法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为： N=4+3+2=9 （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分3个步骤完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为：N=4×3×2=24 总结：分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同： 相同点：回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题 不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事． 类型一：“多面手”问题 例1 7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法. 预设：第1步：选出会象棋的，有5种选择;3 象 2 围 2 多 第2步：选出会围棋的，有4种选择; 根据分步乘法计数原理，共5×4=20种选法. 总结：排除法解决“多面手”问题模型 a名会甲但不会乙，c名会乙但不会甲，b名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有 N 种不同的选法. 解法：第1步：选出会甲的，有a+b种选择;a 甲 c 乙 b 多 第2步：选出会乙的，有c+b种选择; 根据分步乘法计数原理，共(a+b)(c+b)种选法. 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有(a+b)(c+b)－b种选法 题型二：“ ab与ba”问题 例题2 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 预设：（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：36＝729. （2）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为：63＝216. 总结：分步乘法计数原理解决“ ab与ba”问题 模型：有a个人选b个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解法：（1）人选项目，每人有b种选法，根据乘法原理：a个人共有ba种选法; （2）项目选人，每项目有a种选法，根据乘法原理：b个项目共有 ab种选法; 作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第1课时） 导学案 （1）通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; （2）正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. （3）能利用两个原理解决一些简单的实际问题. （4）培养数学建模、数学运算等重要学科素养 1． 创设情境，引入新知 我们年级计划组织世界之窗研学活动，从学校出发到目的地，有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 思考：从学校到世界之窗，一共有多少种不同的出行方式？ 2． 探究新知 思考：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 分类加法计数原理：一般地，完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有： N= 种不同的方法. 3． 应用新知 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表6.1-1． 表6.1-1 A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 管理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择? 牛刀小试： 练1：某班有男生30名，女生24名，现要从中选一名，代表班级参加比赛，共有_______种不同的选法. 练2：一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ． 4． 探究新知 探究：完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 推广：如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 牛刀小试： 练3：情景引入中，研学计划有几种出行方案可以选择： 方案一：坐公交车，有 2 条不同的公交线路直达（公交 1 路、公交 2 路）； 方案二：坐地铁，有 1 条地铁线路直达（地铁 3 号线）； 方案三：坐网约车，有 3 家不同的网约车平台可选（平台 A、平台 B、平台 C）。 练4：有火车、汽车、飞机这三种方式可以从上海到长沙，每天有18班火车、5班汽车和12班飞机．一天小强从上海去长沙，共有多少种不同的方式？ 练5：音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不同的选法？ 思考：用前6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字，以，，…，，，，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码? 追问：前一个问题和这个问题，完成的事情都是“给一个座位编号”，这两个问题有何不同？ 追问：你能用树状图列出所有可能的号码吗？ 追问：有没有更简单一点的计数方法？ 探究：你能说一说这个问题的特征吗? 思考：上述计数过程的基本环节有哪些？ 思考：你能举一些生活中类似的例子吗？ 定义：一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 _______ 种不同的方法． 辨析：（1）无论第1步采用哪种方法，与之对应的第2步都有相同的方法数 （2） 只有各个步骤都完成才算做完这件事情 5． 应用新知 例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 小试牛刀： 练7：某电话局管辖范围内的电话号码由6位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后2位数字都是0～9之间的一个数字，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 6． 探究新知 探究：完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 推广：如果完成一件事情需要n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢? 小试牛刀： 练8：某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ） A．14 B．64 C．72 D．80 练9：12名选手参加校园歌手大赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，共有 种不同的获奖情况． 7． 应用新知 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同取法? （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法? 总结：分类计数原理加法与分步乘法计数原理的异同： 类型一：“多面手”问题 例1 7名学生中，3名会下象棋但不会下围棋，2名会下围棋但不会下象棋，2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选出2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有____种不同的选法. 总结：排除法解决“多面手”问题模型 a名会甲但不会乙，c名会乙但不会甲，b名既会甲又会乙，现从中选出2人分别参加甲比赛和乙比赛，共有 N 种不同的选法. 解法：第1步：选出会甲的，有a+b种选择;a 甲 c 乙 b 多 第2步：选出会乙的，有c+b种选择; 根据分步乘法计数原理，共(a+b)(c+b)种选法. 其中同个多面手2次均被选中的情况应排除， 故有(a+b)(c+b)－b种选法 题型二：“ ab与ba”问题 例题2 有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 总结：分步乘法计数原理解决“ ab与ba”问题 模型：有a个人选b个项目，在下列情况下各有多少种不同的选法？(不一定每人都参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，但每人参加的项目不限． 解法：（1）人选项目，每人有b种选法，根据乘法原理：a个人共有ba种选法; （2）项目选人，每项目有a种选法，根据乘法原理：b个项目共有 ab种选法; 作业1：完成教材：第5页~第6页 练习1,2,3,4. 作业2：配套辅导资料对应的《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $