第七单元 分数的加减法（一）（公因数和公倍数）（解决问题讲义）数学青岛版五四学制四年级下册

第七单元 分数的加减法（一）（公因数和公倍数） 1.公因数和最大公因数的认识： ----认识公因数和最大公因数的意义，理解两个非零自然数公因数的取值范围特征，能通过列举法、筛选法等找出两个数的公因数和最大公因数 2.公倍数和最小公倍数的认识： ----认识公倍数和最小公倍数的意义，理解两个非零自然数公倍数的无限性特征，能通过列举法、扩倍法等找出两个数的公倍数和最小公倍数 3.用最大公因数解决实际问题： ----掌握用最大公因数解决实际问题的核心思路，能运用最大公因数解决“平均分且无剩余”类实际问题（如裁剪正方形布料、分割相同规格物品等） 4.用最小公倍数解决实际问题： ----掌握用最小公倍数解决实际问题的核心思路，能运用最小公倍数解决“同时发生、再次重合”类实际问题（如作息同步、周期相遇、物品配套等） 5.公因数与公倍数的应用辨析： ----结合生活实际情境，学会区分问题本质是求公因数还是公倍数，培养根据问题特征选择合适解题方法的能力，提升实际应用意识 类型1 公因数与最大公因数解决问题： 典型例题1：刘老师将自己做的71块饼干，40块糖果平均分给环保小分队的成员。结果多出1块饼干，糖果还差2颗。这个环保小分队最多有多少名同学？ 【答案】14名 【分析】多出1块饼干，糖果还差2颗，也就是71块饼干减去1块饼干，结果正好是小分队人数的倍数；40块糖果加上2颗糖果，结果也正好是小分队人数的倍数；说明小分队的人数是（71－1）和（40＋2）的公因数，求这个环保小分队最多有多少名同学，也就是求（71－1）和（40＋2）的最大公因数；用短除法可以计算出两个数的最大公因数，短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数；据此解答。 【详解】71－1＝70（块） 40＋2＝42（颗） 2×7＝14（名） 答：这个环保小分队最多有14名同学。 变式训练：一块长方形的布，长20分米，宽12分米。要把它裁剪成正方形手绢（没有剩余），那么手绢的边长最长是多少分米？能裁多少块？ 【答案】4分米；15块 【分析】根据题意可知，正方形手绢的边长就是长方形长、宽的最大公因数，分别求出长、宽中包含几个正方形的边长，即用长、宽分别除以它们的最大公因数，再将它们相乘即可。 【详解】20＝2×2×5 12＝2×2×3 20和12的最大公因数是2×2＝4 （20÷4）×（12÷4） ＝5×3 ＝15（块） 答：手绢的边长最长是4分米，能裁15块。 类型2 约分的认识及应用解决问题： 典型例题2：把一个蛋糕平均分成8份，小海吃了这个蛋糕的，小红吃了这个蛋糕的。两人一共吃了这个蛋糕的几分之几？还剩这个蛋糕的几分之几？ 【答案】； 【分析】由题意得，求两人一共吃了这个蛋糕的几分之几，直接用加即可，然后将求出来的结果约分即可；求还剩这个蛋糕的几分之几，直接用1减前面的结果即可。 【详解】＋＝＝ 1－＝－＝ 答：两人一共吃了这个蛋糕的，还剩这个蛋糕的。 变式训练：用一根1米长的铁丝围成一个三角形，三角形的一条边长为米，另一条边长为米，第三条边长多少米？ 【答案】米 【分析】根据题意知道1米就是围成的三角形的周长，由此用1米减去米，再减去米，就是第三条边的长度。 【详解】1－－ ＝－－ ＝－ ＝ ＝（米） 答：第三条边长米。 【点睛】此题考查的目的是理解分数减法的意义、三角形周长的意义，掌握分数减法的计算法则及应用。 类型3 公倍数与最小公倍数解决问题： 典型例题3：一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 【答案】91个 【分析】2个2个地拿剩1个，说明梨的个数是2的倍数多1；3个3个地拿剩1个，说明梨的个数是3的倍数多1；5个5个地拿剩1个，说明梨的个数是5的倍数多1；综合一起，梨的个数也就是2、3、5的公倍数多1，先算出2、3、5的最小公倍数，再找出100以内最大的公倍数，最后加1即可得到最多有多少个梨。 【详解】2、3、5的最小公倍数是：2×3×5 ＝6×5 ＝30 100以内，2、3、5的公倍数有：30，60，90，其中最大的是90。 90＋1＝91（个） 答：这筐梨最多有91个。 【点睛】这道题的关键是：从“2个、3个、5个拿都剩1个”，得出梨的数量是2、3、5的公倍数加1；先算出2、3、5的最小公倍数是30，再找100以内最大的公倍数90，最后加1得到最多有91个梨。 变式训练：某学校大一新生在进行了为期一个月的军训后，要进行列队展示，每班要求3人一排或5人一排都正好能站成整行，并且人数不超过50人，那么每班最多选多少人？ 【答案】45人 【分析】题目要求找出不超过50的最大人数，使得该人数同时能被3和5整除。这需要求3和5的公倍数中不超过50的最大值，先求出3和5的最小公倍数，再找出50以内3和5最大的公倍数即可解答。 【详解】3×5＝15 15×2＝30 15×3＝45 15×4＝60（不合题意） 15、30、45中的最大值是45，且小于50。 答：每班最多选45人。 A夯实基础 1．妙想准备把一张长24厘米，宽18厘米的长方形彩纸，剪成若干个大小相同的正方形纸片（边长为整厘米数）而且没有剩余，有（    ）种剪法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由题意可知，把长方形彩纸剪成若干个大小相同的正方形纸片（边长为整厘米数）而且没有剩余，则正方形的边长既是长方形长的因数，也是长方形宽的因数，说明正方形的边长是长方形长和宽的公因数，由此求出24和18的公因数，据此解答。 【详解】24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 18的因数有：1，2，3，6，9，18。 24和18的公因数有：1，2，3，6。 所以，正方形纸片的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米，有4种剪法。 故答案为：C 2．五（二）班在筹备“泉州海丝文化”主题班会时，采购了一些笔记本，数量在50~80之间，若笔记本数量是2、3、5的公倍数，那么笔记本的本数是（    ）。 A．50本 B．60本 C．70本 D．80本 【答案】B 【分析】两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数，由此即可选择。 【详解】A．50＝2×25＝5×10，50是2和5的倍数，不是3的倍数，不符合题意； B．60＝2×30＝3×20＝5×12，60是2、3、5的公倍数，符合题意； C．70＝2×35＝5×14，70是2和5的倍数，不是3的倍数，不符合题意； D．80＝2×40＝5×16，80是2和5的倍数，不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：B 3．李老师买了一些笔记本奖励学生，若平均分给4名优秀生，或平均分给6名进步生，都能正好分完。这些笔记本至少有（    ）本。 A．12 B．24 C．15 D．30 【答案】A 【分析】根据题意可知，笔记本的数量必须同时是4和6的倍数，即4和6的公倍数。要求“至少”有多少本，即求最小公倍数。 【详解】4的倍数有4、8、12、16…… 6的倍数有6、12、18…… 所以，4和6的最小公倍数是12。因此，这些笔记本至少有12本。 故答案为：A 4．在校运动会开幕式中，五（1）班学生进行队列表演（40~50人），如果每行12人或每行16人都正好排完，这个班的学生共有( )人。 【答案】48 【分析】由题意可知，每行12人或每行16人都正好排完，说明这个班的总人数既是12的倍数，也是16的倍数，用短除法求出12和16的最小公倍数，再找出40~50之间它们的公倍数，据此解答。 【详解】 12和16的最小公倍数为：2×2×3×4＝48 48×2＝96，96＞50，不符合题意。 因为40＜48＜50，所以这个班的学生共有48人。 5．爸爸和笑笑在同一个环形跑道上跑步，爸爸跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分。两人从同一起点同时同方向起跑，他们( )分后可以在起点第一次相遇，这时爸爸跑了( )圈。 【答案】 12 3 【分析】两人从同一起点同时同方向起跑，要在起点第一次相遇，意味着爸爸和笑笑都刚好跑了整数圈，所用时间必须是爸爸跑一圈时间（4分钟）和笑笑跑一圈时间（6分钟）的公倍数，而“第一次相遇”对应的就是最小公倍数。先把4和6分解成质数相乘的形式，取公有的质因数一次，再乘上各自独有的质因数，相乘就是它们的最小公倍数。求出相遇时间后，用总时间除以爸爸跑一圈需要的时间，求出爸爸跑的圈数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3 ＝4×3 ＝12 所以最小公倍数是12，即他们12分后可以在起点第一次相遇。 12÷4＝3（圈） 所以这时爸爸跑了3圈。 6．五年级同学分小组劳动，男生18人，女生24人，要使每组男、女生人数分别相等，最多分( )组，每组男生( )人，女生( )人。 【答案】 6 3 4 【分析】由题意可知，分的组数既是男生人数的因数，也是女生人数的因数，求最多分几组就是求18和24的最大公因数，用短除法求出这两个数的最大公因数，每组的男生人数＝男生的总人数÷最多分的组数，每组的女生人数＝女生的总人数÷最多分的组数，据此解答。 【详解】 18和24的最大公因数：2×3＝6 所以，最多分6组。 18÷6＝3（人） 24÷6＝4（人） 所以，每组男生3人，女生4人。 B培优拔高 7．园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 【答案】8棵 【分析】把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行数量相同且无剩余，求每行最多栽的棵数，即求56和72的最大公因数。采用分解质因数法求56和72的最大公因数，先分别把两个数分解成质因数相乘的形式，再找出它们共有的质因数，将共有的质因数相乘就能得到最大公因数，这个数就是每行最多能栽的树的数量。 【详解】56＝2×2×2×7 72＝2×2×2×3×3 共有的质因数：2×2×2 ＝4×2 ＝8 所以56和72的最大公因数是8。 答：每行最多能栽8棵树。 8．一张长方形纸，长是32cm，宽12cm，要把它剪成面积最大的正方形纸片，且没有剩余，剪成的正方形纸片的边长是多少厘米？一共可以剪成多少块？ 【答案】4厘米；24块 【分析】这道题需要找到能同时整除长方形长和宽的最大数（即长和宽的最大公因数），因为要剪成面积最大且无剩余的正方形，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数，最大的边长就是最大公因数。先找出长方形长32cm和宽12cm的所有质因数，再用相同的质因数相乘求出最大公因数，就是正方形的最大边长。用长方形的长除以正方形边长，得到长能剪的份数；用长方形的宽除以正方形边长，得到宽能剪的份数；两者相乘就是总块数。 【详解】 共同的质因数相乘： 所以，32和12的最大公因数是4，即正方形纸片的边长是4厘米。 总块数： 答：正方形纸片的边长是4厘米。一共可以剪成24块。 9．某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 【答案】6人 【分析】用48名学生加上6即可求出四（1）班人数；因为每组的人数必须相同，所以每组的人数一定是54和48的公因数：所有能同时被两个数所整除的数。每组最多就是54和48的最大公因数。 【详解】48＋6＝54（人） 54和48的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 答：现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有6人。 10．公交起始站：2路公交车每6分钟发一次车，8路公交车每10分钟发一次车，2路公交车和8路公交车同时发车后，至少再经过多少分钟两车又同时发车？ 【答案】30分钟 【分析】2路车每6分钟发车一次，那么2路车的发车间隔时间就是6的倍数；8路车每10分钟发车一次，那么8路车的发车间隔时间就是10的倍数；两辆车同时发车的间隔是6和10的公倍数，最少的间隔时间就是6和10的最小公倍数，据此解答即可。 【详解】由分析可得： 6和10的最小公倍数是： 答：两车同时发车后至少再过30分钟又同时发车。 11．公司员工一起吃午餐，1人一个饭碗，3人合用一个菜碗，6人合用一个汤碗，一共用了45个碗。共有多少名员工参加了这次聚餐活动？ 【答案】 30名 【分析】根据题意，饭碗每人一个，菜碗每3人合用一个，汤碗每6人合用一个，总碗数为45个。碗的数量必须是整数，因此员工总数应是3和6的公倍数，即6的倍数。设员工总数为6k人（k为正整数），则饭碗为6k个，菜碗为6k÷3＝2k个，汤碗为6k÷6＝k个，总碗数为6k＋2k＋k＝9k个。根据总碗数45个，列出方程9k＝45求解。 【详解】设员工总数为6k人（k为正整数）。 饭碗数量：6k（个） 菜碗数量：6k÷3＝2k（个） 汤碗数量：6k÷6＝k（个） 总碗数：6k＋2k＋k＝9k（个） 根据题意，总碗数为45个，得： 9k＝45 k＝45÷9 k＝5 员工总数：6×5＝30（名） 答：共有30名员工参加了这次聚餐活动。 C思维拓展 12．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 【答案】72人 【分析】根据题意，不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排，说明总人数必须是8和9的公倍数。要求至少有多少人在观看“天宫课堂”，即求8和9的最小公倍数。可以用枚举法求8和9的最小公倍数。 【详解】8的倍数：8、16、24、32、40、48、56、64、72…… 9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81…… 8和9的最小公倍数是72。 答：至少有72人在观看“天宫课堂”。 13．一筐苹果不超过350个，3个3个地数，5个5个地数，7个7个地数都恰好数完。请问这筐苹果最多有多少个？ 【答案】315个 【分析】先求3，5，7的最小公倍数，因为3，5，7两两互质，所以它们的最小公倍数为105，找出不超过350的公倍数分别有105，210， 315，420（超过350，舍去），因此不超过350的最大公倍数是315。 【详解】3，5和7的最小公倍数： （个） （个）    答：这筐苹果最多有315个。 【点睛】先确定苹果个数是3、5、7的公倍数，再找出不超过350的最大公倍数。 14．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 【答案】57个 【分析】由题可知，4个4个拿多1个，即苹果数除以4余1；5个5个拿多2个，即除以5余2；6个6个拿多3个，即除以6余3。观察可知，若苹果数增加3个，则分别能被4、5、6整除，即苹果数是4、5、6的公倍数减3。据此解答。 【详解】  4的倍数有：4，16，20，24，28，32，36，40，44，48，60，64 5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65 6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66 4，5，6的最小公倍数是60。 （个） 答：这一箱苹果至少有57个。 15．渭南高新某社区开展了“明月皎‘饺’情暖冬至”志愿服务活动，社区工作人员和志愿者们带着爱心饺子走访社区部分困难、独居老人，给他们送去冬至的温暖。丁阿姨盛装饺子的时候发现，不管是12个装一份，还是16个装一份，都正好装完。饺子至少有多少个？ 【答案】 48个 【分析】根据题意，求出12和16的最小公倍数，就可知饺子至少有多少个，据此解答即可。 【详解】 12和16的最小公倍数是： ＝48（个） 答：饺子至少有48个。 【点睛】本题考查最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 分数的加减法（一）（公因数和公倍数） 1.公因数和最大公因数的认识： ----认识公因数和最大公因数的意义，理解两个非零自然数公因数的取值范围特征，能通过列举法、筛选法等找出两个数的公因数和最大公因数 2.公倍数和最小公倍数的认识： ----认识公倍数和最小公倍数的意义，理解两个非零自然数公倍数的无限性特征，能通过列举法、扩倍法等找出两个数的公倍数和最小公倍数 3.用最大公因数解决实际问题： ----掌握用最大公因数解决实际问题的核心思路，能运用最大公因数解决“平均分且无剩余”类实际问题（如裁剪正方形布料、分割相同规格物品等） 4.用最小公倍数解决实际问题： ----掌握用最小公倍数解决实际问题的核心思路，能运用最小公倍数解决“同时发生、再次重合”类实际问题（如作息同步、周期相遇、物品配套等） 5.公因数与公倍数的应用辨析： ----结合生活实际情境，学会区分问题本质是求公因数还是公倍数，培养根据问题特征选择合适解题方法的能力，提升实际应用意识 类型1 公因数与最大公因数解决问题： 典型例题1：刘老师将自己做的71块饼干，40块糖果平均分给环保小分队的成员。结果多出1块饼干，糖果还差2颗。这个环保小分队最多有多少名同学？ 【分析】多出1块饼干，糖果还差2颗，也就是71块饼干减去1块饼干，结果正好是小分队人数的倍数；40块糖果加上2颗糖果，结果也正好是小分队人数的倍数；说明小分队的人数是（71－1）和（40＋2）的公因数，求这个环保小分队最多有多少名同学，也就是求（71－1）和（40＋2）的最大公因数；用短除法可以计算出两个数的最大公因数，短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数；据此解答。 变式训练：一块长方形的布，长20分米，宽12分米。要把它裁剪成正方形手绢（没有剩余），那么手绢的边长最长是多少分米？能裁多少块？ 类型2 约分的认识及应用解决问题： 典型例题2：把一个蛋糕平均分成8份，小海吃了这个蛋糕的，小红吃了这个蛋糕的。两人一共吃了这个蛋糕的几分之几？还剩这个蛋糕的几分之几？ 【分析】由题意得，求两人一共吃了这个蛋糕的几分之几，直接用加即可，然后将求出来的结果约分即可；求还剩这个蛋糕的几分之几，直接用1减前面的结果即可。 变式训练：用一根1米长的铁丝围成一个三角形，三角形的一条边长为米，另一条边长为米，第三条边长多少米？ 类型3 公倍数与最小公倍数解决问题： 典型例题3：一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 【分析】2个2个地拿剩1个，说明梨的个数是2的倍数多1；3个3个地拿剩1个，说明梨的个数是3的倍数多1；5个5个地拿剩1个，说明梨的个数是5的倍数多1；综合一起，梨的个数也就是2、3、5的公倍数多1，先算出2、3、5的最小公倍数，再找出100以内最大的公倍数，最后加1即可得到最多有多少个梨。 变式训练：某学校大一新生在进行了为期一个月的军训后，要进行列队展示，每班要求3人一排或5人一排都正好能站成整行，并且人数不超过50人，那么每班最多选多少人？ A夯实基础 1．妙想准备把一张长24厘米，宽18厘米的长方形彩纸，剪成若干个大小相同的正方形纸片（边长为整厘米数）而且没有剩余，有（    ）种剪法。 A．2 B．3 C．4 D．6 2．五（二）班在筹备“泉州海丝文化”主题班会时，采购了一些笔记本，数量在50~80之间，若笔记本数量是2、3、5的公倍数，那么笔记本的本数是（    ）。 A．50本 B．60本 C．70本 D．80本 3．李老师买了一些笔记本奖励学生，若平均分给4名优秀生，或平均分给6名进步生，都能正好分完。这些笔记本至少有（    ）本。 A．12 B．24 C．15 D．30 4．在校运动会开幕式中，五（1）班学生进行队列表演（40~50人），如果每行12人或每行16人都正好排完，这个班的学生共有( )人。 5．爸爸和笑笑在同一个环形跑道上跑步，爸爸跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分。两人从同一起点同时同方向起跑，他们( )分后可以在起点第一次相遇，这时爸爸跑了( )圈。 6．五年级同学分小组劳动，男生18人，女生24人，要使每组男、女生人数分别相等，最多分( )组，每组男生( )人，女生( )人。 B培优拔高 7．园艺师要把56棵玉兰树和72棵桂花树分别栽成若干行，每行树的数量相同（每行只栽同一种树），且每行数量要尽可能多，没有剩余。每行最多能栽多少棵树？ 8．一张长方形纸，长是32cm，宽12cm，要把它剪成面积最大的正方形纸片，且没有剩余，剪成的正方形纸片的边长是多少厘米？一共可以剪成多少块？ 9．某校同学到湿地公园开展社会实践活动，到达后进行分组。五（1）班48名同学，四（1）班人数比五（1）班多6人。现要求两班每组人数一样多，每组最多可以有多少人？ 10．公交起始站：2路公交车每6分钟发一次车，8路公交车每10分钟发一次车，2路公交车和8路公交车同时发车后，至少再经过多少分钟两车又同时发车？ 11．公司员工一起吃午餐，1人一个饭碗，3人合用一个菜碗，6人合用一个汤碗，一共用了45个碗。共有多少名员工参加了这次聚餐活动？ C思维拓展 12．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲。当天，阳光小学组织五年级学生在阶梯教室观看，观看“天宫课堂”的学生不管每排坐8人，还是每排坐9人，都正好坐满整排。至少有多少人在观看“天宫课堂”？ 13．一筐苹果不超过350个，3个3个地数，5个5个地数，7个7个地数都恰好数完。请问这筐苹果最多有多少个？ 14．有一箱苹果，如果4个4个地拿，还多1个；5个5个地拿，还多2个；6个6个地拿，还多3个。这一箱苹果至少有多少个？ 15．渭南高新某社区开展了“明月皎‘饺’情暖冬至”志愿服务活动，社区工作人员和志愿者们带着爱心饺子走访社区部分困难、独居老人，给他们送去冬至的温暖。丁阿姨盛装饺子的时候发现，不管是12个装一份，还是16个装一份，都正好装完。饺子至少有多少个？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $