7.2.1等差数列的概念（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

7.2.1等差数列的概念 1 学习目标 1.理解等差数列的定义，能准确判断一个数列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式，能根据首项和公差求出通项公式，反之，能根据通项公式求出数列的首项和公差； 3.能运用等差数列的通项公式解决简单的实际问题。 4.通过对具体实例的观察、分析、比较和归纳，经历等差数列概念的形成过程，培养观察能力和抽象概括能力； 5.感受等差数列在现实生活中的广泛应用，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣。 等差数列是一种有特殊规律的数列, 其通项公式的前n项和公式的推导蕴含着重要的数学思想方法． 引言 情境导入 由此可知, 圜丘坛的上层第1圈有9块石板, 第2圈有18块石板, 第3圈有27块石板, … , 第9圈有81块石板．则圜丘坛上层(除天心石)每圈的石板数构成数列 9, 18, 27, … , 81． （1） 数学上还有很多类似的数列 1, 2, 3, …, 99, 100 （2） 1, 3, 5, 7, … （3） 20, 15, 10, 5, … （4） 观察这些数列，发现它们具有什么共同特征了吗？ 这些数列都有一个共同特点：从第二项起, 每一项与它前一项的差都等于同一个常数． 探索新知 一般地, 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差都等于同一个常数时, 就称这个数列为等差数列； 这个常数称为等差数列的公差, 通常用字母d来表示． 探索新知 [注意] (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项之差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 探索新知 观察上面的数列，发现： 数列（1）（2）（3）（4）都是等差数列,它们的公差d分别是9, 1, 2, -5． 探索新知 9, 18, 27, … , 81． （1） 1, 2, 3, …, 99, 100 （2） 1, 3, 5, 7, … （3） 20, 15, 10, 5, … （4） 如果数列an是一个公差为d的等差数列, 那么该数列从第二项起每一项都等于它的前一项与公差的和, 即 a2=a1+d, a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d, …… 因此, 首项为a1、公差为d 的等差数列an的通项公式为 an=a1+(n−1) d ． 探索新知 已知一个等差数列中的某一项和这个数列的公差, 如何表示出其他的项？ 探究与发现 等差数列中，只要知道任意一项和公差，就可以通过公式(an=ak+(n−k)d)表示出数列中的所有项。 该公式的核心是利用“相邻项差为公差”的性质，通过已知项向目标项“移动”相应的公差数。 例1 已知等差数列2, 5, 8, 11, … ． （1）求这个数列的通项公式; （2）求出这个数列的第6项; （3）这个数列的第几项是35？ 解 （1）设这个等差数列通项公式为{an}, 则a1=2, a2=5, 可得 d =5-2=3 ． 由an=a1+(n-1)d 得, 该等差数列的通项公式为 an=2+( n-1)×3=3n-1． 即 an=3n-1; 典型例题 解 （2）由an=3n-1, 可知a6=3×6-1 =17； 例1 已知等差数列2, 5, 8, 11, … ． （1）求这个数列的通项公式; （2）求出这个数列的第6项; （3）这个数列的第几项是35？ 典型例题 解 （3）设35是这个数列的第n项, 即an=35, 则由通项公式 an=3n-1 可得 35=3n-1, 解得 n=12． 因此, 35是这个数列的第12项． 例1 已知等差数列2, 5, 8, 11, … ． （1）求这个数列的通项公式; （2）求出这个数列的第6项; （3）这个数列的第几项是35？ 典型例题 例2 在等差数列 an 中, a2=25, a7=10, 求a1, d, a10 解 由等差数列的通项公式an=a1+(n−1) d , 可得 解方程组, 得 于是, 该等差数列的通项公式为an=28+(n-1)×(-3)=-3n+31. 由此可得, a10= (-3)×10+31=1 所以, a1=28, d=-3, a10=1 典型例题 例3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列, 他们三个人的年龄之和为 99, 爷爷的年龄是小明的年龄的10倍, 求他们祖孙三人的年龄 分析 对于构成等差数列的三个数, 可以将它们设为 a1, a1+d, a1+2d, 也可以将它们设为a-d, a, a+d, 其中d为公差 结合题目，已知这三个数的和, 则将它们设为a-d , a, a+d更有利于计算 典型例题 例3 小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列, 他们三个人的年龄之和为 99, 爷爷的年龄是小明的年龄的10倍, 求他们祖孙三人的年龄 解 设小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别为a-d , a, a+d , 则 解方程组得 于是, a-d=6, a+d=60 即小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别是6岁、33岁和 60岁． 典型例题 一般地, 当三个数a, A, b成等差数列时, A称为a和b的等差中项 若A是a与b的等差中项, 则由等差数列的定义可知, A-a=b-A, 因此 A= 探索新知 举一反三 小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄恰好构成等差数列, 其中爷爷的年龄是72岁, 小明的年龄是18岁, 求小明爸爸的年龄 ． 分析：根据等差数列的性质， 若三个数成等差数列，则中间项等于前后两项的算术平均数。 解：设小明爸爸的年龄为x岁，则有： x = (18 + 72) ÷ 2 x = 90 ÷ 2 = 45 因此，小明爸爸的年龄是45岁。 常见设元技巧 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d. 方法总结 等差数列的增减性 对于an＝a1＋(n－1)d， (1)当d＞0时，{an}为 数列； (2)当d＜0时，{an}为 数列； (3)当d＝0时，{an}为 数列． 递增 递减 常 方法总结 (1)定义法 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法 an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如何判断一个数列为等差数列 方法总结 1.判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项与公差. （1）4，6，8，10，12，14，······； （2）36，32，28，24，20，16，······； （3）9，9，9，9，9，9，9，······； （4）0，0，0，0，0，0，0，······； （5）-4，-3，-2，-1，1，2，3，4，······； （6）5，9，13，17，···，4n+1，······； 是数列，但不是等差数列 练习巩固 练习巩固 B 练习巩固 A 练习巩固 6 练习巩固 103 练习巩固 归纳汇总 作业布置 1.完成7.2.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 2．下列不是等差数列的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 试卷第1页，共3页 【详解】A选项中的数列是等差数列，公差为； B选项中的数列不是等差数列； C选项中的数列是等差数列，公差为； D选项中的数列是等差数列，公差为； 试卷第1页，共3页 3．在等差数列中，已知，，则该数列的公差等于（   ） A．2 B．6 C．3 D．4 试卷第1页，共3页 【详解】∵，， ∴且， 解得. 试卷第1页，共3页 4．已知等差数列中，，则 . 试卷第1页，共3页 【详解】由题意知等差数列中，， 根据等差数列的性质，得， 解得. 试卷第1页，共3页 5．在等差数列中，若，公差，则 ． 试卷第1页，共3页 【详解】解：因为等差数列中，，， 即， 解得. 试卷第1页，共3页 6．在等差数列中，和是二次方程的两个根，求． 试卷第1页，共3页 【分析】根据韦达定理求得，再结合是和的等差中项即可求解 【详解】因为和是二次方程的两个根， 所以， 因为是和的等差中项 所以，即 所以. 试卷第1页，共3页 $