7.2.1等差数列的概念（同步练习）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》（原卷版+解析版）

高教版《数学 拓展模块下册》 7.2.1 等差数列的概念 一、单选题 1．设数列是公差为的等差数列，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由，解得． 故选：D. 2．3和7的等差中项是（   ） A．4 B．5 C．10 D．6 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质即可求解. 【详解】由题意得，3和7的等差中项为． 故选：B. 3．下列数列不是等差数列的是（   ） A．，，，， B．，，，， C． D．，，，， 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义逐项验证即可. 【详解】由等差数列的定义得，A项，，故是等差数列； B项，，故是等差数列；C项，，故是等差数列； D项，，故不是等差数列． 故选：D. 二、填空题 4．是数列中的第 项. 【答案】 【分析】先根据规律写出数列的通项，再代入通项公式解出答案. 【详解】根据可以看出，后一项减前一项的差一直为6， 故该数列是等差数列. 由数列得，，故通项公式为，， 把代入得，， 所以是数列的第项. 故答案为：. 5．公差为d的等差数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式即可得解. 【详解】公差为d的等差数列的通项公式为， 故答案为：. 6．与的等差中项为 【答案】14 【分析】通过等差中项的定义计算即可得出结果. 【详解】与的等差中项为. 故答案为：14 三、证明题 7．若成等差数列，求证：也成等差数列. 【答案】详见解析 【分析】由成等差数列，根据等差中项的定义，可以得到，要想证明也成等差数列.只要证明即可. 【详解】证明：因为成等差数列，所以， 因此，所以 也成等差数列. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了证明三个式子成等差数列，运用等差数列的性质是解题的关键. 8．已知数列的前n项和，证明：数列是等差数列. 【答案】证明见详解 【分析】先根据求得通项公式，再根据等差数列的定义证明即可. 【详解】当时， ， 当时，符合上式. 所以. 当时， ， 所以数列是以首项，公差的等差数列. 一、单选题 1．在等差数列中，，，则该数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的通项公式，列不等式组求出和，据此可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由题得： ，解得， . 故选：A 2．等差数列的前三项依次是，，，则值为（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等差中项性质易得答案. 【详解】因为等差数列的前三项依次是，，， 所以，解得. 故选：C． 3．下列数列不是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列定义易得答案 【详解】选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列； 选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列； 选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列； 选项D中，，不是等差数列， 故选：D． 二、填空题 4．已知等差数列中，分别是方程的两个根，则 . 【答案】2 【分析】根据等差中项性质及根与系数关系计算即可求解. 【详解】由分别是方程的两个根，解得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2． 5．已知数列满足，，则 . 【答案】32 【分析】先求出等差数列的公差，再根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，对任意的，，故数列是公差为的等差数列， 所以，. 故答案为：. 6．已知数列满足，，则此数列的通项公式 . 【答案】 【分析】先求等差数列的公差，再根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. 故答案为：. 三、证明题 7．证明：若数列是等差数列，则（其中为公差，，为正整数）． 【答案】证明见解析 【分析】根据等差数列的通项公式证明即可. 【详解】已知数列是等差数列， 则， ， ， 所以. 8．已知a、b、c成等差数列，求证：也成等差数列. 【答案】证明见解析 【分析】利用等差数列的定义即可得证. 【详解】由成等差数列得， 则 ， 所以成等差数列. 一、单选题 1．已知在等差数列中，，，则=（    ） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式易得答案 【详解】设公差为，由题知， 解得，所以. 故选：D. 2．若的三内角A，B，C成等差数列，则必有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差中项即可得解. 【详解】因为的三内角A，B，C成等差数列， 所以，且，故. 故选：C. 3．在中，“”是“是、的等差中项”的（    ） A．必要不充分条件 B．既不是充分又不是必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念及充分条件与必要条件的概念求解. 【详解】若，则，即，即是、的等差中项，充分性成立； 反之，若是、的等差中项，则， 因为，则，所以，必要性成立， ∴“”是“是、的等差中项”的充要条件， 故选：D． 二、填空题 4．已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】满足，则的奇数项、偶数项各自构成公差为的等差数列，分奇偶项讨论求通项公式. 【详解】因为， 则， 则的奇数项、偶数项分别构成公差为2的等差数列，则应分奇偶项讨论， 当为奇数时，设，则， 所以 ； 当为偶数时，设，则， 所以 综上所述，， 故答案为：. 5．在数列中，，，若，则 . 【答案】674 【分析】根据题意，结合等差数列的概念，及通项公式，即可求解. 【详解】∵，， ∴ ∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列， ∴， 令，解得. 故答案为：674. 三、证明题 6．已知数列中，，. (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，结合数列的递推公式，及等差数列的概念，即可证明结论成立； （2）根据题意，先求出数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）因为数列中，，， 所以，， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列. （2）由(1)知，数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以. 四、解答题 7．已知数列的前项和， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前多少项和最大． 【答案】(1) (2)前16项的和最大 【分析】（1）根据数列通项以及数列的前n项和之间的关系求解即可. （2）将前项和进行配方，再根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）当时，； 当时， ； 所以：； （2）因为 ； 所以前16项的和最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版《数学 拓展模块下册》 7.2.1 等差数列的概念 一、单选题 1．设数列是公差为的等差数列，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．3和7的等差中项是（   ） A．4 B．5 C．10 D．6 3．下列数列不是等差数列的是（   ） A．，，，， B．，，，， C． D．，，，， 二、填空题 4．是数列中的第 项. 5．公差为d的等差数列的通项公式为 . 6．与的等差中项为 三、证明题 7．若成等差数列，求证：也成等差数列. 8．已知数列的前n项和，证明：数列是等差数列. 一、单选题 1．在等差数列中，，，则该数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．等差数列的前三项依次是，，，则值为（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 3．下列数列不是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知等差数列中，分别是方程的两个根，则 . 5．已知数列满足，，则 . 6．已知数列满足，，则此数列的通项公式 . 三、证明题 7．证明：若数列是等差数列，则（其中为公差，，为正整数）． 8．已知a、b、c成等差数列，求证：也成等差数列. 一、单选题 1．已知在等差数列中，，，则=（    ） A．8 B．10 C．14 D．16 2．若的三内角A，B，C成等差数列，则必有（　　） A． B． C． D． 3．在中，“”是“是、的等差中项”的（    ） A．必要不充分条件 B．既不是充分又不是必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 二、填空题 4．已知数列满足，且，则 . 5．在数列中，，，若，则 . 三、证明题 6．已知数列中，，. (1)证明:数列是等差数列. (2)求数列的通项公式. 四、解答题 7．已知数列的前项和， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前多少项和最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $