7.2.2等差数列前n项和公式（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第七章数列 7.2.2等差数列前n项和公式 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 本节是在学生已经学习了等差数列的概念、通项公式的基础上，进一步研究等差数列的核心内容之一。前n项和公式不仅是等差数列知识体系的重要组成部分，更是后续学习等比数列前n项和、数列求和方法以及解决实际数学问题的基础。教材通过“高斯求和”的历史故事引入，引导学生从特殊到一般、从具体到抽象地探究公式的推导过程，体现了数形结合和转化的数学思想。公式的推导过程（倒序相加法）具有独特性和重要性，对培养学生的逻辑推理能力和创新思维具有重要意义。同时，前n项和公式在生活中有着广泛的应用，如计算堆放物体总数、行程问题等，能够有效提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，符合中职数学教学注重应用性和实践性的特点。 五、学情分析 从知识储备来看，学生已经学习了等差数列的定义、通项公式，对等差数列的基本特征（相邻两项差为常数）有了一定的理解，这为学习前n项和公式奠定了基础。但中职学生数学基础相对薄弱，抽象思维和逻辑推理能力有待提高，对数学公式的推导过程往往缺乏耐心和深入探究的兴趣，更倾向于直接记忆公式和套用公式解题。从学习习惯来看，部分学生学习主动性不强，需要教师通过生动的引入、互动的环节和贴近生活的实例来激发学习兴趣。此外，学生已经具备一定的观察、归纳和简单运算能力，但在将实际问题转化为数学模型方面仍存在困难。因此，在教学过程中，应注重引导学生参与公式的推导过程，通过小组合作、动手操作等方式降低理解难度，同时强调公式的形成过程和应用场景，帮助学生克服畏难情绪，提升学习信心。 六、教学目标 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握“倒序相加法”的思想方法。 2.熟记等差数列前n项和的两个公式，并能根据已知条件选择合适的公式进行计算。 3.能够运用等差数列前n项和公式解决简单的实际问题。 4.在公式推导过程中，体会“倒序相加法”的巧妙性，培养逻辑推理能力和创新思维。 3.通过例题和练习，学会运用公式解决问题，提高运算能力和数学应用能力。 5.在公式推导和问题解决过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。 七、教学重点 1.等差数列前n项和公式的推导过程。 2.等差数列前n项和两个公式的掌握及灵活应用。 八、教学难点 1.“倒序相加法”推导等差数列前n项和公式的思想方法的理解。 2.根据不同的已知条件，正确选择合适的前n项和公式解决问题。 十一、教学方法 情境教学法：通过“高斯求和”的历史故事创设情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。 引导发现法：引导学生从特殊数列的求和入手，逐步探究一般等差数列前n项和公式的推导思路。 合作探究法：组织学生进行小组讨论，共同参与公式的推导过程，培养合作精神和探究能力。 讲练结合法：通过教师讲解、例题示范、学生练习、师生点评相结合的方式，帮助学生巩固知识，提升解题能力。 多媒体辅助教学法：利用PPT、动画等多媒体资源，直观展示公式推导过程和问题情境，增强教学的生动性和直观性。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 情境导入 高斯的故事（首尾相加） 某街道举办国庆70周年成就展,在展厅前用鲜花摆放了一个等腰梯形花坛．花坛由前到后共有12排,最前一排摆放了10盆鲜花,往后每排依次增加2盆． 写出由前到后每排摆放的鲜花盆数构成的数列,并计算这个花坛一共用了多少盆鲜花． ………… 借助几何图形为倒序相加法提供了一个直观模型 探索新知 容易算出,第2排的花盆数为12,第3排的花盆数为14,……,第12排的花盆数为32．因此,由前到后每排的花盆数构成的数列为 10,12,14,……,32． 要计算一共用了多少盆鲜花,就是要计算等差列10,12,14,…,32各项的和．设想将等腰梯形倒过来,与原来的等腰梯形合并在一起,如图所示,可以发现每一排的花盆数都是42,即 10+32=12+30=14+28=…=32+10． 因为一共有12排花盆,所以这个花坛的花盆总数为 一般地,数列{an}的前n项和记为Sn,于是有 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,（1） （1）式也可以写为 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1．（2） 将（1）式与（2）式相加,可得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) 因为在等差数列{an}中 a1+an=a1+an a2+an-1=(a1+d)+(an−d)=a1+an, a3+an-2=(a1+2d)+(an−2d)=a1+an, …… an+a1=a1+an所以 2Sn=n(a1+an)． 由此得到等差数列的前n项和公式 因为an=a1+(n-1)d,所以上面的公式又可写成 探究与发现 当一个等差数列的公差为正数的时候,它的前n项和一定随着项数的增加而增加么？反之,当公差为负数时,它的前n项和一定随着项数的增加而减少吗？ 详解见PPT 按照从特殊到一般的过程推导等差数列通项公式 用倒序相加法推导等差数列求和公式 典型例题 例4在等差数列{an}中,a1=5,a9=85,求S9． 解根据等差数列的前n项和公式 得 例5等差数列-6,-4,-2,0,…的前多少项的和等于30？ 解设该数列的前n项和等于30 由于a1=-6,d=a2-a1=(-4)-(-6)=2,故由 等差数列前n项和公式,得 即n2-7n-30=0, 解得n=10或n=-3(舍去)． 因此,该数列的前10项和是30． 例4和例5是巩固性练习,目的是学习根据条件灵活选择公式解题 巩固练习 1.选择 根据首尾两项和，求前n项和； 2.选择 根据前n项和、末项，求首项； 3.选择 根据等差数列下标和的性质以及等差数列的前项和公式； 4.选择 根据条件求某一项； 5.填空 根据中项与前n项和公式，求公差； 6.解答题 利用等差数列前n项和公式，解决实际问题； 7. 解答题 等差数列问题综合应用。 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 等差数列的前n项和公式 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成7.2.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 7.2.2等差数列的前n项和 等差数列前n项和公式 1.公式推导：倒序相加法略 2.公式变形：略 课堂练习（学生板演） 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 成功之处：本节课通过“高斯求和”的故事引入，有效激发了学生的学习兴趣；在公式推导过程中，注重引导学生参与，通过问题链的设计逐步引导学生理解“倒序相加法”，降低了抽象思维的难度；例题和练习的选取由浅入深，兼顾了基础巩固和能力提升，特别是结合了中职学生的专业特点（如车间生产、产品堆放等实例），增强了数学的应用性。多媒体的使用使公式推导过程更加直观，帮助学生更好地理解。 不足之处：部分学生在“倒序相加法”的理解上仍存在困难，对为什么两式相加后每一组的和都等于理解不够透彻，可能需要在推导过程中增加更多的具体例子（如取n=3、n=4的等差数列进行演示）来帮助学生直观感受；课堂练习的时间略显紧张，部分学生未能完成所有练习，对学生解题过程中的细节（如公式选择错误、计算失误）反馈不够及时；小组合作环节的设计可以更加具体，明确分工，以提高合作效率。 改进措施：在后续教学中，可以提前准备一些等差数列求和的小卡片，让学生在课前进行配对游戏（如找出和相等的项），为理解倒序相加法做铺垫；增加公式推导的互动性，让学生上台板演推导过程，并由其他学生进行点评；合理分配各环节的时间，确保学生有充足的练习和反馈时间；针对学生在公式应用中常见的错误，制作错题集，在下次课进行针对性讲解。同时，加强对学生数学建模能力的培养，引导学生从生活中发现等差数列求和问题，提升应用意识。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $