6.4.2正弦定理（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.4.2正弦定理 1 学习目标 1.理解并掌握正弦定理的内容，能准确表述正弦定理； 2.会运用正弦定理解决两类基本解三角形问题； 3.通过从直角三角形到一般三角形的探究过程，体验“观察—猜想—证明—应用”的数学研究方法。 4.在探究和证明正弦定理的过程中，培养学生的逻辑推理能力、动手操作能力和分析解决问题的能力。 5.通过对正弦定理的探究和应用，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学学习的兴趣。 无线电测向运动是利用无线电信号迅速、准确地测定出隐蔽电台方位, 并寻找出隐蔽电台的一种体育竞技运动, 也称无线电“猎狐”．如图所示, 运动员在A、B两点使用测向机分别测得隐蔽电台的方向, 这两个方向的交点C 就是目标所在的位置, 即隐蔽电台的位置． 若测得 AB=100 m, ∠A=45°, ∠B=60°, 怎样计算AC 和BC的长度呢？ (精确到0.01 m) 情境导入 由三角形的面积公式 S△ABC= sinA= acsinB= sinC, 可得sinA= acsinB, 即 bsinA= asinB． 于是, = ． 同理可得, = ． 因此, = = ． 探索新知 正弦定理 在一个三角形中, 各边与其所对角的正弦之比相等． 即, 在任意△ABC中, 都有 = = ． 正弦定理可以解决下列两类问题： （1）已知三角形的两边和其中一边所对的角, 求其他两角和另一条边; （2）已知三角形的两个角和任意一边, 求其他两边和另一个角． 探索新知 例3 在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=15°, a=5, 求b．   解 在△ABC中, 由∠A+∠B+∠C=180°, 得∠A=180°-∠B-∠C =180°-45°-15°=120°． 由正弦定理可知, = ． 于是, b= = = = ． 因此, b= ． 典型例题 “情境与问题”中, ∠C=180°-∠A-∠B =180°-45°-60°=75°． 由正弦定理 = , 得 同理, AC= = = = 150 -50≈89.66(m)． 因此测向机1(点A)和测向机2(点B)到隐蔽电(点C )的距离分别约为89.66m和73.21m ． BC= = = = 100 -100 ≈73.21(m)． 典型例题 解（1）由正弦定理可知, = ．于是, sinB = = = × = ． 例4 在△ABC中, a=1, b=． （1）若∠A=30°, 求∠C; （2）若∠B=135°, 求∠C ． 又因为0° <∠B<180°, 所以∠B=45°或135°． 当∠B=45°时, ∠C = 180°-∠A-∠B=180°-30°-45°=105°． 当∠B=135°时, ∠C =180°-∠A-∠B=180°-30°-135°=15°． 因此, ∠C=105°或15°． 读一读 已知三角形的两边和其 中 一 边 的 对角, 利用正弦定理求另一 边的对角时, 要讨论角的取值范围, 避免漏解或多解． 已知三角形的两角时, 可以借助三角形的内角 和等于180°求第三个角． 典型例题 （2）由正弦定理可知, = ．于是, sinA = = = ． 又因为0° <∠A<180°, 所以∠A=30°或150°． 因为钝角三角形只能有一个内角为钝角, ∠B已为钝角, 所以∠A只能是锐角． 因此, ∠A=30°．从而∠C =180°-∠A-∠B=180°-30°-135°=15°． 解 例4 在△ABC中, a=1, b=． （1）若∠A=30°, 求∠C; （2）若∠B=135°, 求∠C ． 典型例题 解 例5 设△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a, b, c, 且a=2bsinA, 求∠B. 由正弦定理, 设 = =k , 于是, a=ksinA, b=ksinB, 将以上两式代入已知a=2bsinA中, 得 ksinA=2ksinB·sinA, 即 sinB= , 又因为0° ＜∠B＜180° , 所以∠B=30°或150°. 典型例题 即学即练 方法总结 方法总结 练习巩固 D 练习巩固 练习巩固 A 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 归纳汇总 正弦定理 = = ． 作业布置 1.完成6.4.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 在 中，已知 ， ， ，求 、 及 ． 解：由正弦定理，得 ， ∵ ， ，∴ 或 ． 当 时， ， ； 当 时， ， ． 注意：在三角形中， 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 一、正弦定理适用类型 正弦定理表达式为（其中 (a,b,c) 为三角形三边，(A,B,C) 为对应的三个内角，(R) 为外接圆半径），适用于以下两类解三角形问题： 1. 已知两角和任意一边（AAS或ASA） · 原理：三角形内角和为，已知两角可求第三角，再结合正弦定理求其余两边。 2. 已知两边和其中一边的对角（SSA） · 原理：需结合三角形性质判断解的个数（无解、一解或两解），再用正弦定理求角和边。 二、应用技巧 (1)边角互化，简化等式 o示例：若，则 。 (2)结合三角形内角和与诱导公式 o示例：已知，，则，。 (3)SSA问题中解的个数判定 o示例：已知 ，，，因，且 (2 < 3 < 4)，故有两解。 (4)利用外接圆半径 (R) 辅助计算 o示例：在中，若 ，，则，即外接圆直径为10。 (5)方程思想求解未知量 o示例：已知 ，，，由得，故或，但因 (a > b)，时，舍去，故。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．正弦定理的常见变形 （1） ， ， . （2） ，. （3） . （4） = . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2.已知△ABC中，AB＝eq \r(3)，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( ) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),4) C.eq \f(\r(3),2)或eq \r(3) D.eq \f(\r(3),4)或eq \f(\r(3),2) 【解析】设c＝AB＝eq \r(3)，b＝AC＝1，由于B＝30°， ∴c·sin B＝eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)，c·sin B<b<c， ∴符合条件的三角形有两个． ∵eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，即eq \f(1,\f(1,2))＝eq \f(\r(3),sin C)，∴sin C＝eq \f(\r(3),2)， ∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°， 又S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A，∴S△ABC＝eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4). 3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝eq \r(3)λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．无数个 解析：直接根据正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)， 可得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3)λsin 45°,λ)＝eq \f(\r(6),2)>1,没有意义, 故满足条件的三角形的个数为0． 4．在中，，求   . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为在中，， 所以， 根据正弦定理得：，即， 解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝45°.若解此三角形有两解，则x的取值范围是__________． (2，2eq \r(2)) 【解析】sin A＝eq \f(sin 45°,2)·x＝eq \f(\r(2),4)x. 因三角形有两解． 所以45°<A<135°且∠A≠90°， ∴x>2，且eq \f(\r(2),4)x<1. 解得2<x<2eq \r(2). 6．设的内角，，的对边分别是，，，若，，，的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】因为，， 所以， 由，得， 解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 7．在中，已知，且三角形的周长为，求三角形最大边的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】解：由正弦定理： ， 设， 又三角形的周长为， ， ， 即三角形最大边的长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 8．在中，，求证：是等边三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以 ， 根据正弦定理，得，即， 所以， 同理可证，， 所以， 所以是等边三角形. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 9．在中，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为在中， ， 则，即， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 10．已知在中，，，，求B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】在中，由正弦定理可得： ，，， 可得：， 由，可得或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 11．已知中，．求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由正弦定理得： ， 解得． 由知，， 因此，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $