6.5三角计算的应用（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

6.5三角计算的应用 1 学习目标 1.能运用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的距离、高度测量问题； 2.能将现实中的实际问题转化为解三角形模型，并用三角计算求解； 3.掌握“画图→建模→列式→计算”的问题解决步骤，提升数学应用能力。 4.通过情境探究、小组合作，经历实际问题的数学化过程，体会数学建模思想； 5.培养严谨求实的科学态度和团队协作精神，提升职业核心素养。 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面,  能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用． 引言 1、正弦定理： 2、余弦定理： 3、三角形面积： 知识回顾 也可变形为： 也可变形为： 4、解斜三角形的常规解法： 已知条件 定理选用 一般解法 AAS、ASA SAS SSS SSA 正弦定理 正弦定理 或余弦定理 余弦定理 余弦定理 由A+B+C=180°求第三角，再用正弦定理求另外两边 用余弦定理求第三边，再用余弦定理求另一角，后用内角和求第三角 用余弦定理求出两角，用内角和定理求第三角。 先用正弦定理求另一对角，或用余弦定理求第三边，解的情况有三种。 (两角一边） (两边夹角） (两边及对角） (三边） 知识回顾 为了美化校园环境, 建设绿色校园, 某学校要在一块半径为10 m, 圆心角为 的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设计要求, 矩形的一边在扇形的半径上, 且矩形内接于扇形, 应如何设计, 才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积． 思路提示：在日常生活中, 人们会遇到一些求最大面积的问题．对于这类问题, 可以“角”为自变量建立函数关系式, 利用三角函数的最值来解决． 情境与问题（1） 情境导入 解 设扇形圆心为O, 矩形为 ABCD, 如图所示． 连接 OD, 记∠COD=θ, 则在Rt△COD中, CD=10sinθ, OC=10cosθ ． 在Rt△AOB中, tan = ． 由AB=CD可知 ． 于是, BC=OC-OB=10cosθ- ． 典型例题 因此, 矩形花坛ABCD的面积 S=BC·CD = ·10sinθ =100sinθcosθ - =50sin2θ - =50sin2θ(-1) = = ． 典型例题 此时, 2θ + = +2kπ, 得θ=kπ+ ． 综上所述, 按照∠COD = 设计, 可使得花坛的面积最大, 最大面积为 m² . 显然, 当sin(2θ+ )=1时, S2= ． 又因为θ∈, 所以θ = ． 典型例题 在日常生活中, 居民家庭用电都是交流电(如图) ．若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用  U=220sin来表示, 求： （1）开始时的电压；  （2）电压值重复出现一次的时间间隔；  （3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻． 情境与问题（2） 情境导入 情境导入 生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟, 如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时, 可以先建立三角函数模型, 然后利用三角函数的性质解决这些问题． 观察电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系  U=220sin 这是一个正弦型函数. 解（1）U=220sin 取t=0, 得开始时的电压 U=220sin 即该交流电开始时的电压为110 V ; 典型例题 （2）由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期, 故电压值重复出现一次的时间间隔为 T= = 0.02(s) 即电压值经过0.02s重复出现; 典型例题 （3）对于函数U=220sin 当sin=1时, 得电压的最大值Umax 此时, = 2kπ+ (k为非负整数) 因此, 电压第一次达到最大值的时刻为 s 即电压的最大值是, s时第一次达到最大值 当k=0时, = 解得t= (s) 典型例题 海水受太阳和月亮引力的影响, 所发生的周期性涨落的现象成为潮汐, 早潮一般称为潮, 晚潮称为汐在通常情况下, 传在涨潮时驶进航道, 快靠近船坞; 卸货后落潮时返回海洋已知某港口的某季节每天的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)的关系可用函数y=2sin+5 (0≤x≤24)近似描述若一条船的吃水深度为4 m, 安全条例规定至少要有2m的安全间隙(船底与海底的距离), 该船何时能进入港口？在港口能停多久？ 情境与问题（3） 情景导入 情境与问题（3） 解 由题意,船安全进入港口时, 需水深至少为4+2=6(m), 则需2sin+5≥6, 即sin ≥ 因此, 该船可以在1时左右进港, 5时左右出港; 或在13时左右进港，17时左右出港该船每次可以在港口停留4 h左右. 情景导入 如图所示, 在河的岸边选定两点A、B, 对岸选定点C, 测得∠CAB=45°, ∠CBA=75°, AB=120m ．试根据测量结果, 求河的宽度． 情境与问题（4） 情境导入 解 因为∠CAB=45°, ∠CBA=75°, 所以∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA =180° - 45°- 75° =60° ． 根据正弦定理, 可得 = , 因此, BC= = = 40 典型例题 因此, CD=BC sin75° =40 × =20(+3) ≈ 94.64(m) ． 答：河宽约为94.64m. 又=+) =sin 45°cos+cos 45°sin 在△ABC中, 作CD⊥AB, 交AB于点D, 则CD的长度即为河宽． 在Rt△CDB中, sin∠CBD= 典型例题 总结 对于无法直接测量的距离、高度等, 存在着许多可供选择的间接测量方案．例如, 可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识, 通过测量和计算求得结果．学习了三角计算后, 我们也可以利用正、余弦定理解决这些问题． 典型例题 高铁隧道能缩短隔山相望的两地之间的路程, 并且避免大坡道, 我国的高铁路线中有很多隧道．某隧道开凿前, 需测量隧道两端的距离．如图所示, 为测量D、E之间的距离, 在山的一侧选取点C, 并测得CA=500 m, CB=800 m, ∠ACB=60°．又测得点A、B到隊道口的距离AD=180 m, BE=240 m(A、D、E、B在一条直线上), 试计算隊道DE的长． 情境与问题（5） 情境导入 解 在△ABC 中, CA=500, CB=800,  ∠ACB=60°． 根据余弦定理可得,   AB² =AC² +BC² -2·AC·BC cos∠ACB   = 500²+800²-2×500×800×cos60°    = 490 000 ． 因此, AB=700(m) ．   于是, DE=AB-AD-EB=700-180-240=280(m) ．   隧道DE 的长为 280m. 典型例题 练习巩固 A 练习巩固 B 练习巩固 30 练习巩固 练习巩固 归纳汇总 作业布置 1.完成6.5《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 1．一个三角形广告牌，两边长分别为5米和7米，它们夹角的余弦值为，则该三角形广告牌的面积为（     ）. A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 试卷第1页，共3页 【详解】已知，根据， 可得， 再根据三角形面积公式， 其中，，则平方米. 试卷第1页，共3页 2．刘徽（约公元225年—约公元295年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可以得到的近似值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 【详解】利用割圆术的思想，将单位圆分成360个扇形，则扇形的圆心角为， 由题设每个扇形所对应的等腰三角形的面积为即有， 可得 试卷第1页，共3页 3．习总书记在党的二十大报告中着眼全面建设社会主义现代化国家的目标任务，对增进民生福祉、提高人民生活品质作出重要部署.某地区为改善人居环境，拟利用路边一处三角形地块修建口袋公园，其形状如图所示.已知米，米，，则该口袋公园的面积是 平方米. 试卷第1页，共3页 【详解】已知米，米，， 则 平方米， 所以口袋公园的面积是平方米 试卷第1页，共3页 4．如图，在高速公路建设中，要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，求隧道长度. 试卷第1页，共3页 【详解】由余弦定理可得： ． 试卷第1页，共3页 5．如图所示，舰在某港口北偏东35°，距港口10海里处；舰在此港口北偏西25°，距港口15海里处，求，两舰相距多少海里. 试卷第1页，共3页 【详解】由题干可知，与原点构成三角形，设原点为， 则，，； 由余弦定理可知 ， 则； 试卷第1页，共3页 $