7.1数列的概念（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

7.1数列的概念 1 学习目标 1.理解数列的定义，能准确判断一组数是否构成数列，并能说出数列的项、首项等基本概念。 2.掌握数列的通项公式的概念，能根据通项公式写出数列的前几项；能根据数列的前几项归纳出简单数列的通项公式。 3.了解数列的分类标准，能对简单数列进行分类。 4.通过观察、分析具体数列实例，经历数列概念的形成过程，培养抽象概括能力和归纳推理能力。 5.通过数列在实际生活中的应用实例，感受数学的实用性，激发学习数学的兴趣。 数列是刻画客观事物规律性的一种数学模型, 在生产实践和科学研究中有着广泛的应用． 引言 案例一 1978 年底, 中国共产党召开了具有历史转折意义的十一届三中全会, 吹响了改革开放的号角．改革开放40多年来, 我国经济持续快速增长, 综合国力位于世界前列． 2025年2月, 国家统计局在我国2024年国民经济和社会发展统计公报中, 给出了2020—2024年国内生产总值及其增长速度统计图, 从这张统计图中你能获得哪些数据信息？ 情境导入 根据图中的数据, 把这五年的国内生产总值依次排成一列 103.5, 117.4, 123.4, 129.4, 143.9; （1） 相应的年份可以排成一列 2020, 2021, 2022, 2023, 2024; （2） 每一年的增长率也可以排成一列 2.3%, 8.6%, 3.1% , 5.4 % , 5.0 % ; （3） 探索新知 案例二 某种细菌每经过时间 t 分裂一次, 每次分裂都是1个细菌分裂成2个．一个细菌不断分裂, 每次分裂之后的细菌个数可以构成一个数列 2, 4, 8, 16, 32, …, （4） 其中 a1=2, a2=4, a3=8, … 案例三 无穷多个3也可以构成一个数列 3, 3, 3, 3, 3, … （5） 其中 a1=3, a2=3, a3=3, … 探索新知 像(1)(2)(3) 这样按照一定次序排成的一列数称为数列． 数列中的每一个数为这个数列的项． 探索新知 数列的一般形式为a1, a2, a3, …, an, …, 简记作an ． 其中, a1称为数列的首项, an称为数列的第n项． 项数有限的数列称为有穷数列； 项数无限的数列称为无穷数列． 所有项均为同一个数的数列叫做常数列． 数列（1）（2）（3）是有穷数列, 数列（4）（5）是无穷数列． 数列（5）是常数列． 探索新知 103.5, 117.4, 123.4, 129.4, 143.9; （1） 2020, 2021, 2022, 2023, 2024; （2） 2.3%, 8.6%, 3.1% , 5.4 % , 5.0 % ; （3） 2, 4, 8, 16, 32, …, （4） 3, 3, 3, 3, 3, … （5） 将数列分类 思考： 数列（5）的第n项可以表示为an=3，数列（4）和数列（2）的第n项该如何表示呢？ 数列（4）的每一项都可以写成以2为底的指数幂, 其第1项a1 = 21, 第2项a2 = 22 ,  …, 第n项an = 2n． 同样, 数列（2）也有一定的规律, 第1项a1 = 2019+1, 第2项a2 = 2019+2 , … , 第n项是2019+n(n∈N*且n≤5)． 情境导入 一般地, 当一个数列的第n项an与项数n之间的关系可以用一个式子来表示时, 这个式子就称为这个数列的通项公式． 例如, 数列（2）的通项公式是an = 2019+n (n∈N*且n≤5) ； 数列（4）的通项公式是an = 2n ． 探索新知 根据通项公式, 写出下列数列an 的前5项． （1） an = ; （2） an = (-1)n+1 ． 例1 解 （1）在通项公式中依次取n = 1, 2, 3, 4, 5, 得到数列的前5项, 分别为 a1= = a2 = = a3 = = a4 = = a5 = = 典型例题 根据通项公式, 写出下列数列an 的前5项． （1） an = ; （2） an = (-1)n+1 ． 例1 解 （2）在通项公式中依次取n=1, 2, 3, 4, 5, 得到数列的前5项, 分别为 a1=(-1)1+1=(-1)2 =1；a2 =(-1)2+1=(-1)3 =-1； a3 =(-1)3+1=(-1)4 =1； a4 =(-1)4+1=(-1)5 =-1； a5 =(-1)5+1=(-1)6 =1． 典型例题 例2 写出数列{an}的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数． （1）2, 4, 6, 8; （2） , , , ; （3）-, - , ． 解 （1）因为数列的前4项2, 4, 6, 8都等于相应项数的2倍， 所以它的一个通项公式是 an 2n; 典型例题 例2 写出数列{an}的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数． （1）2, 4, 6, 8; （2） , , , ; （3）-, - , ． 解 （2）因为数列前4项的分母都等于相应的项数的2倍加1， 所以它的一个通项公式是 典型例题 例2 写出数列{an}的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数． （1）2, 4, 6, 8; （2） , , , ; （3）-, - , ． 解 （3）因为数列前4项的绝对值的分母都等于相应的项数乘以该项数加1, 且奇数项为负, 偶数项为正, 所以它的一个通项公式是 ． 典型例题 两千多年前, 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上用小石子摆成三角形来表示数, 再按照点或小石子能排列的形状对数进行分类, 如图所示．你能找出下列点数的规律么？ 探究与发现 第n个三角形数由n行石子组成，第一行1个，第二行2个，……，第n行n个，总数为前n个自然数的和，计算公式为：1 + 2 + 3 + ... + n = 例3 设数列an 的通项公式是an=3n+1, 问13是否为该数列的项？若是, 它数列的是第几项？ 解 设13是数列{an}的第n项, 将13代入数列的通项公式an=3n+1中, 得13=3n+1, 解得 n=4 ． 因此, 13是数列{an}中的项 , 并且它是数列的第4项． 典型例题 已知数列an的首项a1=3, n≥2时, an=an-1+2 , 试写出这个数列的前5项． 解 由题意可知, a1=3, an=an-1+2(n≥2, n*) ． 当n=2时, a2= a1+2=3+2=5; 当n=3时, a3=a2+2=5+2=7; 当n=4时, a4=a3+2=7+2=9; 当n=5时, a5=a4+2=9+2=11． 例4 想一想：这个数列相邻两项的差有什么特点？ 典型例题 这个数列相邻两项的差相等 方法总结 ①通项公式的主要作用是“知序号可求项”； ②一些数列的通项公式不是唯一的； ③不是每一个数列都能写出它的通项公式。对于这些数列，有时可以借助数列中相邻项的关系来确定数列的各项． 在数列{}中, 项： 序号… 数列与函数的关系： 数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 方法总结 观察法求通项公式： (1)常见数列：正整数列、奇数列、偶数列、平方数列、三角形数列； (2) 分数列：观察分子、分母的特点； (3) 指数数列：观察底数、指数的特点； (4) 各项符号一正一负：或. 方法总结 练习巩固 C 练习巩固 D 练习巩固 B 练习巩固 三 练习巩固 归纳汇总 作业布置 1.完成7.1《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ 1．下列叙述正确的是（    ） A．数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1表示同一数列 B．1，2，3，4，5，…，100表示的是无穷数列 C．小于12的正整数构成的数列是有穷数列 D．小于12的正整数构成的数列是无穷数列 试卷第1页，共3页 【详解】 对于A根据数列的概念，数列与数列不表示同一数列，A项错误； 对于B，的项数是有限的，数列为有穷数列，B项错误； 对于C，小于的正整数构成的数列的项数是有限的，数列为有穷数列，C项正确； 对于D，小于的正整数构成的数列的项数是有限的，数列为有穷数列，D项错误． 试卷第1页，共3页 2．下列各数中，是数列中的项的是（   ） A．22 B．33 C．41 D．57 试卷第1页，共3页 【详解】A：设，解得，所以22不是数列中的项，故A项错误； B：设，解得，所以33不是数列中的项，故B项错误； C：设，解得，所以41不是数列中的项，故C项错误； D：设，解得或（舍），所以57是数列中的项，故D项正确. 试卷第1页，共3页 3．已知数列的通项公式为，那么（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 【详解】因为数列的通项公式为， 所以 . 试卷第1页，共3页 4．如果今天是星期一，那么从明天算起，第 天是星期 . 试卷第1页，共3页 【分析】由周期为7，确定包含的周期数和余数即可得解. 【详解】周期为7， 又∵余2， ∴ 天后是星期三. 试卷第1页，共3页 5．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 试卷第1页，共3页 【详解】（1）数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． （2）令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 试卷第1页，共3页 $