7.2.2等差数列前n项和公式（课件）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

7.2.2等差数列前n项和公式 1 学习目标 1.理解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握“倒序相加法”的思想方法。 2.熟记等差数列前n项和的两个公式，并能根据已知条件选择合适的公式进行计算。 3.能够运用等差数列前n项和公式解决简单的实际问题。 4.在公式推导过程中，体会“倒序相加法”的巧妙性，培养逻辑推理能力和创新思维。 3.通过例题和练习，学会运用公式解决问题，提高运算能力和数学应用能力。 5.在公式推导和问题解决过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。 高斯(1777—1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1+2+3+4+5+…+100=？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 情境导入 =（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51） 1+2+3+4+5+…+100 =101×50=5050. 情境导入 某街道举办国庆成就展, 在展厅前用鲜花摆放了一个等腰梯形花坛．花坛由前到后共有12排, 最前一排摆放了10 盆鲜花, 往后每排依次增加2盆．写出由前到后每排摆放的鲜花盆数构成的数列, 并计算这个花坛一共用了多少盆鲜花． …… …… 容易算出, 第2排的花盆数为 12, 第3排的花盆数为 14, …, 第 12排的花盆数为 32． 因此, 由前到后每排的花盆数构成的数列为  10, 12, 14, …, 32 ． 情境导入 …… 要计算一共用了多少盆鲜花, 就是要计算等差列10, 12, 14, ⋯, 32各项的和．设想将等腰梯形倒过来, 与原来的等腰梯形合并在一起, 如图所示, 可以发现每一排的花盆数都是42, 即  10+32=12+30 =14+28=…=32+10． 因为一共有12排花盆, 所以这个花坛的花盆总数为 252． 探索新知 一般地, 数列{an}的前n项和记为Sn , 于是有 Sn=a1 + a2 + a3 + …+an-1+an, (1) (1)式也可以写为 Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1． (2) 将(1)式与(2)式相加, 可得 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+ (a3+an-2)+… +(an+a1), 因为在等差数列{an}中 a1+an=a1+an a2+an-1=(a1+d )+(an−d )=a1+an, a3+an-2=(a1+2d )+(an−2d )=a1+an, …… an+a1=a1+an 所以 2Sn=n (a1+an) ． 探索新知 等差数列的前n项和公式 = ． 因为an=a1+(n-1)d, 所以上面的公式也可写成 = d ． 探索新知 探索新知 这两个求和公式各有什么特点，又该如何使用？ 当一个等差数列的公差为正数的时候, 它的前n项和一定随着项数的增加而增加么？反之, 当公差为负数时, 它的前n项和一定随着项数的增加而减少吗？ 探究与发现 分析：等差数列前n项和Sn的单调性，不仅取决于公差d的符号，还与首项a1的符号及数列正负项的分界点有关： d > 0时：只有当a1≥0（所有项非负），Sn才随(n)递增；若a1<0，Sn先减后增。 d < 0时：只有当a1≤0（所有项非正），Sn才随(n)递减；若a1>0，Sn先增后减。 综上，两个命题均不成立： 1.公差为正数时，Sn不一定随项数增加而增加； 2.公差为负数时，Sn不一定随项数增加而减少。 例4 在等差数列{an}中, a1=5, a9=85, 求S9． 解 根据等差数列的前n项和公式 得 = =405 ． 典型例题 例5 等差数列-6, -4, -2, 0, …的前多少项的和等于30？ 由于a1=-6, d=a2-a1=(-4)-(-6) =2, 故由等差数列前n项和公式 得 30=(-6) n+ ×2, 即 n2-7n-30=0 ． 解得 n=10或n=-3(舍去), 因此, 该数列的前10项和是30． 解 设该数列的前n项和等于30 ． 典型例题 在等差数列{}中 (1) ①当 = ,数列{}是常数列. ②当时,表示关于n的二次函数(常数项为0) (2) n为奇数） (3) + = 总结延伸 (4)等差数列{}的前项和为, 则仍成等差数列 等差数列前n项的和有点难 其实是蒙你吓你又要框住你 等差数列通过学公式我了然 还别说前n项和更通透 那就是二分之n乘首末项和 而你嫣然的一笑却说不知道 我的无奈在闪现 强调知三就能求其它 同学们等下课，而我盼上课 题已讲千万遍，心隔千万里 我只好硬着头皮继续往下讲 就当我独自在那演戏 练习巩固 C 练习巩固 B 练习巩固 B 练习巩固 B 练习巩固 1 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 练习巩固 归纳汇总 等差数列的前n项和公式 = ． = d ． 作业布置 1.完成7.2.2《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 每天进步一点点！ Lavf55.33.100 1．在等差数列中，已知，则（    ） A．60 B．240 C．120 D．148 试卷第1页，共3页 【分析】利用等差数列的性质和前项和解答即可. 【详解】在等差数列中，已知， 所以有， 试卷第1页，共3页 2．记为等差数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以，即， 即，所以， 又因为， 设等差数列首项为，公差为， ，解得：， 试卷第1页，共3页 3．在等差数列中，，则（   ）． A．15 B．18 C．21 D．24 试卷第1页，共3页 【分析】根据等差数列下标和的性质以及等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】， ，， ． 试卷第1页，共3页 4．在等差数列中，已知，则（    ） A．18 B．12 C．9 D．6 试卷第1页，共3页 【分析】根据等差数列的前项和公式找到，再根据等差中项的性质求. 【详解】设等差数列的首项为，公差为. 则，得, 由等差数列的性质可得, 故. 试卷第1页，共3页 5．已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 试卷第1页，共3页 【分析】根据等差中项以及前n项和公式即可求解. 【详解】由得.，即， 则. 试卷第1页，共3页 6．某剧场有10排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有22个座位，那么这个剧场共有多少个座位？ 试卷第1页，共3页 【分析】依题意，从最后一排起，座位数构成以22为首项，为公差的等差数列，再求该等差数列的前10项和即可. 试卷第1页，共3页 【详解】设最后一排的座位数为，则从最后一排起，座位数构成以22为首项，为公差的等差数列， 所以这个剧场共有. 试卷第1页，共3页 7．已知等差数列中，，，求： (1)首项和公差d； (2)该数列的前8项和的值. 试卷第1页，共3页 【详解】（1）等差数列中，设，可得 ，解得，. （2）等差数列的前项和， 故该数列前项和. 试卷第1页，共3页 8．在等差数列中，若，求的值. 试卷第1页，共3页 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式及性质即可得解. 【详解】 ， 解得， 试卷第1页，共3页 9．若等差数列满足，求它的前13项和. 试卷第1页，共3页 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则因为， 所以， 即． 试卷第1页，共3页 所以 试卷第1页，共3页 . 试卷第1页，共3页 10．在等差数列中，，求. 试卷第1页，共3页 【分析】根据等差中项的应用以及等差数列的前项和的公式求解即可. 试卷第1页，共3页 【详解】 . 试卷第1页，共3页 11．如果椭圆的短轴长，焦距，长轴长依次成等差数列，求椭圆离心率. 试卷第1页，共3页 【详解】由题意得，设短轴长，焦距，长轴长分别为， 因为短轴长，焦距，长轴长依次成等差数列， 所以，即， 又椭圆中，， 则， 即， 整理得，， 所以. 试卷第1页，共3页 $