6.4.3余弦定理（教案）-高教版《数学 拓展模块下册》（2023修订版）《上好课》

高教版《数学拓展模块下册》 第六章三角计算 6.4.3余弦定理 一、教材 高等教育出版社《数学》（拓展模块下册）（修订版） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 从教材体系来看，本节是在学生已经学习了正弦定理，掌握了已知三角形的两角和一边、两边和其中一边的对角解三角形的方法之后，对解三角形问题的进一步拓展和完善。余弦定理揭示了三角形中三边与其中一角之间的数量关系，它不仅能够解决已知三角形两边及其夹角求第三边，以及已知三角形三边求角的问题，还为后续学习三角形的面积计算、立体几何中空间角与距离的求解等内容奠定了重要基础。教材通过实际问题引入，引导学生经历从特殊到一般的探究过程，体现了数学的逻辑性和严谨性，同时也渗透了数形结合、转化与化归等重要数学思想方法，对于培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养具有重要意义。 五、学情分析 从知识基础来看，学生已经学习了勾股定理、任意角的三角函数、同角三角函数基本关系、诱导公式以及正弦定理等内容，具备了一定的三角知识储备，这为学习余弦定理提供了必要的知识铺垫。从认知特点来看，中职学生形象思维能力相对较强，抽象思维能力有待提高，对数学知识的实际应用较为关注。在学习正弦定理时，学生已经初步接触了解三角形的问题，对通过数学方法解决实际测量问题有一定的兴趣。但学生在数学探究能力、逻辑推理的严密性以及知识的综合应用能力方面仍存在不足，可能在余弦定理的推导过程中感到困难，在公式的灵活应用以及与正弦定理的区分选择上容易混淆。因此，教学中应注重创设问题情境，激发学生的学习兴趣，通过直观演示和引导探究，降低推导难度，帮助学生理解定理的本质，并通过典型例题和练习，强化公式的应用。 六、教学目标 1.学生能够理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的两种表达形式； 2.能够运用余弦定理解决两类基本问题：已知两边及其夹角求第三边，已知三边求任意一角；能够根据已知条件选择合适的定理（正弦定理或余弦定理）解决三角形问题。 3.通过对实际问题的思考，引导学生经历观察、猜想、推导、验证、应用的数学探究过程，培养学生的数学抽象和逻辑推理能力； 4.在解决问题的过程中，提高学生的数学运算能力和分析问题、解决问题的能力，体会数形结合、转化与化归的数学思想。 5.通过余弦定理的探索和应用，感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学学习的兴趣。 七、教学重点 余弦定理的推导过程及其应用。 八、教学难点 1.余弦定理的推导； 2.灵活运用余弦定理和正弦定理解决三角形综合问题。 十一、教学方法 情境教学法：创设实际测量问题情境，激发学生的学习动机和探究欲望。 引导探究法：通过问题链的设计，引导学生从特殊到一般，自主探究余弦定理的表达式。 讲练结合法：通过教师讲解、例题示范与学生练习相结合，帮助学生掌握定理的应用。 多媒体辅助教学法：利用PPT、几何画板等工具，直观展示图形、动态演示推导过程，增强教学的直观性和生动性。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 复习回顾 回顾正弦定理的内容，应用场景。 温故知新 情境导入 在6.4.1的“情境与问题”中,园林工人修建花圃的过程中,需在墙角的对面建造一道篱笆墙,问所建篱笆墙的长度为多少(不考虑其他因素)？ 引用之前例子体现知识衔接 探索新知 如图所示,以△ABC的顶点A为坐标原点、射线AB的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则点A、B的坐标分别为A(0,0),B(c,0)．由6.4.1可知,点C的坐标为C(bcosA,bsinA)． 根据两点间距离公式可得, 即a2=b2+c2-2bccosA． 同理可得, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC． 于是,我们得到三角形中边角关系的又一个重要定理． 余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍． 在任意△ABC中,都有 a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC． 上述公式也可以变形为： 特别地,当∠C=90°时,有c2=a2+b2．因此,勾股定理是余弦定理的特例． 可以看出,利用余弦定理能解决下列两类问题： （1）己知三角形的两边及其夹角,求第三边和其他两角; （2）己知三角形的三边,求三个角． 探究与发现 已知三角形的两边和其中一边的对角,能否利用余弦定理解三角形？ 延续证明三角形面积公式的方法,利 用解析法证明余弦定理,也可以引导学生尝试应用向量法和几何法等多种途径证明余弦定理勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推广。 典型例题 例6在△ABC中，a=4，b=6，∠C=60°，求c． 解因为c2=a2+b2-2abcosC =42+62-2×4×6×cos60° =28． 所以c 通过本题的计算可知,本节的“情境与问题”中需建篱笆墙的长度约为5.29m． 例7在△ABC中，a=4，b=6，c，求ΔABC的最大的角及面积． 解由于a＜b＜c,故∠C最大．根据余弦定理可得 因为0°<∠C＜180°,所以∠C=120°.根据三角形面积公式可得, 所以,△ABC的最大角为120°,其面积为3． 例6是直接应用公式解决问题 例7领会使用公式体现了余弦定理是判断三角形形状的重要方法 巩固练习 1.填空 考察正弦定理的记忆； 2.选择 考察三角形面积公式、正弦定理； 3.选择 考察正弦定理； 4.填空 利用正弦定理求正弦值； 5.填空 利用正弦定理求边长； 6-11解答题 正弦定理的应用. 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺 归纳总结 余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 培养学生总结学习过程能力 作业布置 1.完成6.4.3《同步练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾. 学而时习，夯实所学. 板书设计 6.4.3余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 副板书 学生板演练习 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注；预留空白区域展示学生练习答案，增强互动性. 十一、教学反思 本节课通过创设实际问题情境引入新课，能够有效激发学生的学习兴趣；在定理推导过程中，从特殊到一般，引导学生自主探究，结合坐标系进行代数推导，思路清晰，易于学生理解；例题设计由浅入深，涵盖了余弦定理的基本应用和综合应用，并与正弦定理进行了比较，有助于学生掌握定理的选择方法；课堂练习针对性强，能够及时巩固所学知识。 不足与改进：在余弦定理的推导环节，虽然采用了坐标法，但部分学生可能仍对坐标系的建立和两点间距离公式的应用感到抽象，下次教学可考虑先用几何法（如勾股定理的推广）进行直观演示，再过渡到代数推导，降低理解难度；课堂练习的时间略显紧张，部分学生可能来不及完成所有练习，可适当调整各环节时间分配，或设置分层练习，让不同层次的学生都能得到充分发展；对于余弦定理与正弦定理的综合应用，可增加一些更具挑战性的题目，培养学生的综合解题能力。此外，课后应加强对学生作业的反馈与辅导，及时了解学生的掌握情况，针对薄弱环节进行补充讲解。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $